Degeneración (matemáticas)

En matemáticas , un caso degenerado es un caso límite de una clase de objetos que parece ser cualitativamente diferente (y usualmente más simple) que el resto de la clase; ^[1] " degeneración " es la condición de ser un caso degenerado. ^[2]

Las definiciones de muchas clases de objetos compuestos o estructurados suelen incluir implícitamente desigualdades. Por ejemplo, se supone que los ángulos y las longitudes de los lados de un triángulo son positivos. Los casos límite, en los que una o varias de estas desigualdades se convierten en igualdades, son degeneraciones. En el caso de los triángulos, se tiene un triángulo degenerado si al menos la longitud de un lado o un ángulo es cero. Equivalentemente, se convierte en un "segmento de línea". ^[3]

A menudo, los casos degenerados son los casos excepcionales en los que se producen cambios en la dimensión habitual o en la cardinalidad del objeto (o de alguna parte de él). Por ejemplo, un triángulo es un objeto de dimensión dos, y un triángulo degenerado está contenido en una línea , ^[3] lo que hace que su dimensión sea uno. Esto es similar al caso de un círculo, cuya dimensión se reduce de dos a cero a medida que degenera en un punto. ^[1] Como otro ejemplo, el conjunto solución de un sistema de ecuaciones que depende de parámetros generalmente tiene una cardinalidad y dimensión fijas, pero la cardinalidad y/o la dimensión pueden ser diferentes para algunos valores excepcionales, llamados casos degenerados. En un caso degenerado de este tipo, se dice que el conjunto solución es degenerado.

Para algunas clases de objetos compuestos, los casos degenerados dependen de las propiedades que se estudian específicamente. En particular, la clase de objetos a menudo puede definirse o caracterizarse mediante sistemas de ecuaciones. En la mayoría de los casos, una clase dada de objetos puede definirse mediante varios sistemas de ecuaciones diferentes, y estos diferentes sistemas de ecuaciones pueden conducir a diferentes casos degenerados, al tiempo que caracterizan los mismos casos no degenerados. Esta puede ser la razón por la que no existe una definición general de degeneración, a pesar de que el concepto se usa ampliamente y se define (si es necesario) en cada situación específica.

Un caso degenerado tiene características especiales que lo hacen no genérico o un caso especial . Sin embargo, no todos los casos no genéricos o especiales son degenerados. Por ejemplo, los triángulos rectángulos , los triángulos isósceles y los triángulos equiláteros no son genéricos ni degenerados. De hecho, los casos degenerados a menudo corresponden a singularidades , ya sea en el objeto o en algún espacio de configuración . Por ejemplo, una sección cónica es degenerada si y solo si tiene puntos singulares (por ejemplo, punto, línea, líneas que se intersecan). ^[4]

En geometría

Sección cónica

Una cónica degenerada es una sección cónica (una curva plana de segundo grado , definida por una ecuación polinómica de grado dos) que no es una curva irreducible .

Un punto es un círculo degenerado , es decir, uno con radio 0. ^[1]
La línea es un caso degenerado de una parábola si esta se encuentra en un plano tangente . En geometría inversa , una línea es un caso degenerado de un círculo , con un radio infinito.
Dos líneas paralelas también forman una parábola degenerada.
Un segmento de línea puede verse como un caso degenerado de una elipse en el que el semieje menor tiende a cero, los focos van a los puntos finales y la excentricidad tiende a uno.
Un círculo puede considerarse como una elipse degenerada, a medida que la excentricidad se acerca a 0 y los focos se fusionan. ^[1]
Una elipse también puede degenerar en un solo punto.
Una hipérbola puede degenerar en dos líneas que se cruzan en un punto, a través de una familia de hipérbolas que tienen esas líneas como asíntotas comunes .

Triángulo

Un triángulo degenerado es un triángulo "plano" en el sentido de que está contenido en un segmento de línea . Por lo tanto, tiene vértices colineales ^[3] y área cero. Si los tres vértices son distintos por pares, tiene dos ángulos de 0° y un ángulo de 180°. Si dos vértices son iguales, tiene un ángulo de 0° y dos ángulos indefinidos. Si los tres vértices son iguales, los tres ángulos son indefinidos.

Rectángulo

Un segmento de línea es un caso degenerado de un rectángulo que tiene un lado de longitud 0.
Para cualquier subconjunto no vacío , existe un rectángulo degenerado acotado y alineado con el eje donde y $a$ $i$ , $b$ $i$ , $c$ $i$ son constantes (con $a$ $i$ $\leq$ $b$ $i$ para todo $i$ ). El número de lados degenerados de $R$ es el número de elementos del subconjunto $S$ . Por lo tanto, puede haber tan pocos como un "lado" degenerado o tantos como $n$ (en cuyo caso $R$ se reduce a un punto singleton). $S\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}$ $R\triangleq \left\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:x_{i}=c_{i}\ ({\text{para }}i\en S){\text{ y }}a_{i}\leq x_{i}\leq b_{i}\ ({\text{para }}i\notin S)\right\}$ $\mathbf {x} \triánguloq \izquierda[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\derecha]$

Polígono convexo

Un polígono convexo es degenerado si al menos dos lados consecutivos coinciden al menos parcialmente, o al menos un lado tiene longitud cero, o al menos un ángulo mide 180°. Por lo tanto, un polígono convexo degenerado de n lados se parece a un polígono con menos lados. En el caso de los triángulos, esta definición coincide con la que se ha dado anteriormente.

Poliedro convexo

Un poliedro convexo es degenerado si dos facetas adyacentes son coplanares o dos aristas están alineadas. En el caso de un tetraedro , esto equivale a decir que todos sus vértices se encuentran en el mismo plano , lo que le da un volumen de cero.

Toro estándar

En contextos donde se permite la autointersección, una esfera de doble cubierta es un toro estándar degenerado donde el eje de revolución pasa por el centro del círculo generador, en lugar de fuera de él.
Un toro degenera en un círculo cuando su radio menor tiende a 0.

Esfera

Cuando el radio de una esfera tiende a cero, la esfera degenerada resultante de volumen cero es un punto .

Otro

Ver posición general para otros ejemplos.

En otra parte

Un conjunto que contiene un solo punto es un continuo degenerado .
Objetos como el dígono y el monógono pueden considerarse casos degenerados de polígonos : válidos en un sentido matemático abstracto general, pero que no forman parte de la concepción euclidiana original de los polígonos.
Una variable aleatoria que sólo puede tomar un valor tiene una distribución degenerada ; si ese valor es el número real 0, entonces su densidad de probabilidad es la función delta de Dirac .
A veces se dice que una raíz de un polinomio es degenerada si es una raíz múltiple , ya que genéricamente las $n$ raíces de un polinomio de $n-$ ésimo grado son todas distintas. ^[1] Este uso se traslada a los problemas propios: un valor propio degenerado es una raíz múltiple del polinomio característico .
En mecánica cuántica , cualquier multiplicidad de este tipo en los valores propios del operador hamiltoniano da lugar a niveles de energía degenerados . Por lo general, cualquier degeneración de este tipo indica alguna simetría subyacente en el sistema.

Véase también

Referencias

^ abcde Weisstein, Eric W. "Degenerate". mathworld.wolfram.com . Consultado el 29 de noviembre de 2019 .
^ "Definición de DEGENERACIÓN". www.merriam-webster.com . Consultado el 29 de noviembre de 2019 .
^ abc "Mathwords: Degenerate" (Palabras matemáticas: degeneradas). www.mathwords.com . Consultado el 29 de noviembre de 2019 .
^ "Mathwords: Secciones cónicas degeneradas". www.mathwords.com . Consultado el 29 de noviembre de 2019 .