Decimal

El sistema de numeración decimal ( también llamado sistema de numeración posicional de base diez y denario /ˈd iːnər i / [ 1 ] o decanario ) es^el sistema estándar para denotar números enteros y no enteros . Es la extensión a los números no enteros ( fracciones decimales ) del sistema de numeración hindú-árabe . La forma de denotar los números en el sistema decimal suele denominarse notación decimal . ^[2]

Un número decimal (también a menudo simplemente decimal o, menos correctamente, número decimal ), se refiere generalmente a la notación de un número en el sistema de numeración decimal. A veces, los decimales pueden identificarse mediante un separador decimal (normalmente "." o "," como en $25,9703$ o $3,1415$ ). ^[3] Decimal también puede referirse específicamente a los dígitos después del separador decimal, como en " $3.14$ es la aproximación de $π$ a dos decimales ". Los dígitos cero después de un separador decimal sirven para indicar la precisión de un valor.

Los números que pueden representarse en el sistema decimal son las fracciones decimales. Es decir, fracciones de la forma $a /10 n$ , donde $a$ es un número entero y $n$ es un número entero no negativo . Las fracciones decimales también resultan de la suma de un número entero y una parte fraccionaria ; la suma resultante a veces se llama número fraccionario .

Los decimales se utilizan comúnmente para aproximar números reales. Al aumentar el número de dígitos después del separador decimal, se pueden hacer que los errores de aproximación sean tan pequeños como se desee, cuando se dispone de un método para calcular los nuevos dígitos.

Originalmente y en la mayoría de los usos, un decimal tiene sólo un número finito de dígitos después del separador decimal. Sin embargo, el sistema decimal se ha extendido a infinitos decimales para representar cualquier número real , mediante el uso de una secuencia infinita de dígitos después del separador decimal (ver representación decimal ). En este contexto, los decimales habituales, con un número finito de dígitos distintos de cero después del separador decimal, a veces se denominan decimales terminantes . Un decimal periódico es un decimal infinito que, después de algún lugar, repite indefinidamente la misma secuencia de dígitos (por ejemplo, $5,123144144144144... = 5,123 144$ ). ^[4] Un decimal infinito representa un número racional , el cociente de dos números enteros, si y sólo si es un decimal periódico o tiene un número finito de dígitos distintos de cero.

Origen

Muchos sistemas de numeración de civilizaciones antiguas utilizan el diez y sus poderes para representar números, posiblemente porque hay diez dedos en dos manos y la gente empezó a contar usando los dedos. Algunos ejemplos son, en primer lugar, los números egipcios , luego los números brahmi , los números griegos , los números hebreos , los números romanos y los números chinos . Los números muy grandes eran difíciles de representar en estos antiguos sistemas numéricos, y sólo los mejores matemáticos podían multiplicar o dividir números grandes. Estas dificultades se resolvieron por completo con la introducción del sistema de numeración hindú-árabe para representar números enteros . Este sistema se ha ampliado para representar algunos números no enteros, llamados fracciones decimales o números decimales , para formar el sistema de numeración decimal .

Notación decimal

Para escribir números, el sistema decimal utiliza diez dígitos decimales , una marca decimal y, para números negativos , un signo menos "-". Los dígitos decimales son , 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; ^[5] el separador decimal es el punto " $.$ " en muchos países (principalmente de habla inglesa), ^[6] y una coma " " $,$ en otros países. ^[3]

Para representar un número no negativo , un número decimal consta de

ya sea una secuencia (finita) de dígitos (como "2017"), donde la secuencia completa representa un número entero:
${\ Displaystyle a_ {m} a_ {m-1} \ ldots a_ {0}}$
o una marca decimal que separa dos secuencias de dígitos (como "20.70828")

a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}

Si $m > 0$ , es decir, si la primera secuencia contiene al menos dos dígitos, generalmente se supone que el primer dígito $a m$ no es cero. En algunas circunstancias puede resultar útil tener uno o más ceros a la izquierda; esto no cambia el valor representado por el decimal: por ejemplo, $3,14 = 03,14 = 003,14$ . De manera similar, si el último dígito a la derecha de la marca decimal es cero (es decir, si $b n = 0$ ), se puede eliminar; por el contrario, se pueden agregar ceros finales después de la marca decimal sin cambiar el número representado; ^{[nota 1]} por ejemplo, $15 = 15,0 = 15,00$ y $5,2 = 5,20 = 5,200$ .

Para representar un número negativo , se coloca un signo menos antes $de m$ .

El número representa el número. $a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}$

a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+\cdots +a_{0}10^{0}+{\frac {b_{1}}{10^{1}}}+{\frac {b_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {b_{n}}{10^{n}}}

La parte entera o parte integral de un número decimal es el número entero escrito a la izquierda del separador decimal (ver también truncamiento ). Para un número decimal no negativo, es el número entero más grande que no es mayor que el decimal. La parte del separador decimal a la derecha es la parte fraccionaria , que equivale a la diferencia entre el numeral y su parte entera.

Cuando la parte integral de un numeral es cero, puede ocurrir, típicamente en informática , que la parte entera no esté escrita (por ejemplo, $.1234$ , en lugar de $0.1234$ ). En la escritura normal, esto generalmente se evita debido al riesgo de confusión entre el signo decimal y otros signos de puntuación.

En resumen, la contribución de cada dígito al valor de un número depende de su posición en el numeral. Es decir, el sistema decimal es un sistema de numeración posicional .

Fracciones decimales

Las fracciones decimales (a veces llamadas números decimales , especialmente en contextos que involucran fracciones explícitas) son los números racionales que pueden expresarse como una fracción cuyo denominador es una potencia de diez. ^[7] Por ejemplo, los decimales representan las fracciones. $0.8,14.89,0.00079,1.618,3.14159$ $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}4/5$ , $1489 / 100$ , $79 / 100000$ , $+ 809 / 500$ y $+ 314159 / 100000$ , y por lo tanto son números decimales.

De manera más general, un decimal con $n$ dígitos después del separador (un punto o una coma) representa la fracción con denominador $10 n$ , cuyo numerador es el número entero que se obtiene quitando el separador.

De ello se deduce que un número es una fracción decimal si y sólo si tiene una representación decimal finita.

Expresados como fracciones totalmente reducidas , los números decimales son aquellos cuyo denominador es producto de una potencia de 2 y una potencia de 5. Así, los denominadores más pequeños de los números decimales son

1=2^{0}\cdot 5^{0},2=2^{1}\cdot 5^{0},4=2^{2}\cdot 5^{0},5=2^{0}\cdot 5^{1},8=2^{3}\cdot 5^{0},10=2^{1}\cdot 5^{1},16=2^{4}\cdot 5^{0},20=2^{2}\cdot 5^{1},25=2^{0}\cdot 5^{2},\ldots

Aproximación usando números decimales

Los números decimales no permiten una representación exacta de todos los números reales . Sin embargo, permiten aproximar cada número real con cualquier precisión deseada, por ejemplo, el decimal 3,14159 se aproxima a $π$ , con menos de 10 ⁻⁵ de diferencia; por eso los decimales se utilizan ampliamente en la ciencia , la ingeniería y la vida cotidiana.

Más precisamente, para cada número real $x$ y cada entero positivo $n$ , hay dos decimales $L$ y $u$ con como máximo $n$ dígitos después de la marca decimal tales que $L \leq x \leq u$ y $(u - L) = 10 - n$ .

Los números se obtienen muy a menudo como resultado de mediciones . Como las mediciones están sujetas a una incertidumbre de medición con un límite superior conocido , el resultado de una medición está bien representado por un decimal con $n$ dígitos después de la marca decimal, tan pronto como el error absoluto de medición esté limitado desde arriba por $10 - n$ . En la práctica, los resultados de las mediciones suelen aparecer con un determinado número de dígitos después del punto decimal, que indican los límites del error. Por ejemplo, aunque 0,080 y 0,08 denotan el mismo número, el número decimal 0,080 sugiere una medición con un error inferior a 0,001, mientras que el número 0,08 indica un error absoluto limitado por 0,01. En ambos casos, el valor real de la cantidad medida podría ser, por ejemplo, 0,0803 o 0,0796 (véanse también cifras significativas ).

Expansión decimal infinita

Para un número real $x$ y un entero $n \geq 0$ , sea $[x] n$ la expansión decimal (finita) del mayor número que no sea mayor que $x y$ que tenga exactamente $n$ dígitos después de la marca decimal. Sea $d i$ el último dígito de $[x] i$ . Es sencillo ver que $[x] n$ se puede obtener añadiendo $d n$ a la derecha de $[x] n -1$ . De esta manera uno tiene

[x] norte = [x] 0 . re 1 re 2 ... re norte -1 re norte

y la diferencia de $[x] n -1$ y $[x] n$ asciende a

\left\vert \left[x\right]_{n}-\left[x\right]_{n-1}\right\vert =d_{n}\cdot 10^{-n}<10^{-n+1}

que es 0, si $d n = 0$ , o se vuelve arbitrariamente pequeño cuando $n$ tiende al infinito. Según la definición de límite , $x$ es el límite de $[x] n$ cuando $n$ tiende al infinito . Esto se escribe como o ${\textstyle \;x=\lim _{n\rightarrow \infty }[x]_{n}\;}$

x = [x] 0 . re 1 re 2 ... re norte ...

que se llama expansión decimal infinita de $x$ .

Por el contrario, para cualquier número entero $[x] 0$ y cualquier secuencia de dígitos la expresión (infinita) $[$ $x$ $]$ $0$ $.$ $d$ $1$ $d$ $2$ $...$ $d$ $n$ $...$ es una expansión decimal infinita de un número real $x$ . Esta expansión es única si ni todos $los d$ $n$ son iguales a 9 ni todos $los d$ $n$ son iguales a 0 para $n lo$ suficientemente grande (para todos $n$ mayores que algún número natural $N$ ). ${\textstyle \;(d_{n})_{n=1}^{\infty }}$

Si todo $d n$ para $n > N$ es igual a 9 y $[x] n = [x] 0 . d 1 d 2 ... d n$ , el límite de la secuencia es la fracción decimal obtenida reemplazando el último dígito que no es un 9, es decir: $d$ $N$ , por $d$ $N$ $+ 1$ , y reemplazando todos los 9 posteriores por 0 ( ver 0,999... ). ${\textstyle \;([x]_{n})_{n=1}^{\infty }}$

Cualquier fracción decimal de este tipo, es decir: $d n = 0$ para $n > N$ , se puede convertir a su expansión decimal infinita equivalente reemplazando $d N$ por $d N - 1$ y reemplazando todos los 0 posteriores por 9 (ver 0,999... ).

En resumen, todo número real que no sea una fracción decimal tiene una expansión decimal infinita única. Cada fracción decimal tiene exactamente dos expansiones decimales infinitas, una que contiene solo 0 después de algún lugar, que se obtiene mediante la definición anterior de $[x] n$ , y la otra que contiene solo 9 después de algún lugar, que se obtiene definiendo $[x] n$ como el mayor número menor que $x$ , que tiene exactamente $n$ dígitos después de la marca decimal.

Numeros racionales

La división larga permite calcular la expansión decimal infinita de un número racional . Si el número racional es una fracción decimal, la división eventualmente se detiene, produciendo un número decimal, que puede prolongarse hasta una expansión infinita agregando infinitos ceros. Si el número racional no es una fracción decimal, la división puede continuar indefinidamente. Sin embargo, como todos los restos sucesivos son menores que el divisor, sólo hay un número finito de restos posibles, y después de algún lugar, la misma secuencia de dígitos debe repetirse indefinidamente en el cociente. Es decir, uno tiene un decimal periódico . Por ejemplo,

181= 0. 012345679 012... (con el grupo 012345679 repitiéndose indefinidamente).

Lo contrario también es cierto: si, en algún punto de la representación decimal de un número, la misma cadena de dígitos comienza a repetirse indefinidamente, el número es racional.

o, dividiendo tanto el numerador como el denominador por 6,692/1665.

cálculo decimal

La mayoría de los sistemas informáticos modernos de hardware y software suelen utilizar una representación binaria internamente (aunque muchas de las primeras computadoras, como la ENIAC o la IBM 650 , utilizaban una representación decimal internamente). ^[8] Para uso externo por parte de especialistas en informática, esta representación binaria a veces se presenta en los sistemas octales o hexadecimales relacionados .

Sin embargo, para la mayoría de los propósitos, los valores binarios se convierten a o desde los valores decimales equivalentes para su presentación o entrada de humanos; Los programas informáticos expresan literales en decimal de forma predeterminada. (123.1, por ejemplo, está escrito como tal en un programa de computadora, aunque muchos lenguajes de computadora no pueden codificar ese número con precisión).

Tanto el hardware como el software de la computadora también utilizan representaciones internas que son efectivamente decimales para almacenar valores decimales y realizar operaciones aritméticas. A menudo, esta aritmética se realiza con datos que están codificados usando alguna variante de decimal codificado en binario , ^[9]^[10] especialmente en implementaciones de bases de datos, pero hay otras representaciones decimales en uso (incluido el punto flotante decimal, como en las revisiones más recientes del Estándar IEEE 754 para aritmética de punto flotante ). ^[11]

La aritmética decimal se utiliza en las computadoras para que los resultados fraccionarios decimales de sumar (o restar) valores con una longitud fija de su parte fraccionaria siempre se calculen con la misma longitud de precisión. Esto es especialmente importante para los cálculos financieros, por ejemplo, que requieren en sus resultados múltiplos enteros de la unidad monetaria más pequeña a efectos de contabilidad. Esto no es posible en binario, porque las potencias negativas de no tienen representación fraccionaria binaria finita; y generalmente es imposible para la multiplicación (o división). ^[12]^[13] Consulte Aritmética de precisión arbitraria para cálculos exactos. $10$

Historia

Muchas culturas antiguas calculaban con números basados en diez, quizás porque dos manos humanas tienen diez dedos. ^[14] Los pesos estandarizados utilizados en la civilización del valle del Indo ( c. 3300-1300 a. C. ) se basaron en las proporciones: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20. , 50, 100, 200 y 500, mientras que su gobernante estandarizado, el gobernante de Mohenjo-daro , se dividió en diez partes iguales. ^[15]^[16]^[17] Los jeroglíficos egipcios , evidentes desde alrededor del 3000 a. C., utilizaban un sistema puramente decimal, ^[18] al igual que la escritura lineal A ( c. 1800-1450 a. C. ) de los minoicos ^[19]^{[20 ]} y la escritura lineal B (c. 1400-1200 a. C.) de los micénicos . El sistema numérico de la Grecia clásica también utilizaba potencias de diez, incluyendo una base intermedia de 5, al igual que los números romanos . ^[21] En particular, el erudito Arquímedes (c. 287-212 a. C.) inventó un sistema posicional decimal en su Sand Reckoner que se basó en 10 ⁸ . ^[21]^{[22] Los jeroglíficos} hititas (desde el siglo XV a. C.) también eran estrictamente decimales. ^[23]

Algunos textos antiguos no matemáticos, como los Vedas , que datan de 1700 a 900 a. C., utilizan decimales y fracciones decimales matemáticas. ^[24]

Los números hieráticos egipcios, los números del alfabeto griego, los números del alfabeto hebreo, los números romanos, los números chinos y los primeros números brahmi indios son todos sistemas decimales no posicionales y requerían una gran cantidad de símbolos. Por ejemplo, los números egipcios usaban diferentes símbolos para 10, 20 a 90, 100, 200 a 900, 1000, 2000, 3000, 4000 a 10,000. ^[25] El sistema decimal posicional más antiguo del mundo fue el cálculo de varillas chino . ^[26]

El sistema decimal posicional más antiguo del mundo.
Forma vertical de la fila superior.
Forma horizontal de la fila inferior.

Historia de las fracciones decimales.

A partir del siglo II a. C., algunas unidades chinas de longitud se basaban en divisiones en diez; en el siglo III d.C., estas unidades metrológicas se utilizaban para expresar fracciones decimales de longitudes, de forma no posicional. ^[27] Los cálculos con fracciones decimales de longitudes se realizaron utilizando varillas de conteo posicionales , como se describe en el Sunzi Suanjing de los siglos III-V . El matemático del siglo V Zu Chongzhi calculó una aproximación de $π$ de 7 dígitos . El libro de Qin Jiushao Tratado matemático en nueve secciones (1247) escribe explícitamente una fracción decimal que representa un número en lugar de una medida, utilizando varillas para contar. ^[28] El número 0,96644 se denota

寸

Los historiadores de la ciencia china han especulado que la idea de las fracciones decimales pudo haberse transmitido desde China al Medio Oriente. ^[26]

Al Khwarizmi introdujo las fracciones en los países islámicos a principios del siglo IX, escritas con un numerador arriba y un denominador abajo, sin barra horizontal. Esta forma de fracción se mantuvo en uso durante siglos. ^[26]^[29]

Las fracciones decimales posicionales aparecen por primera vez en un libro del matemático árabe Abu'l-Hasan al-Uqlidisi escrito en el siglo X. ^[30] El matemático judío Immanuel Bonfils utilizó fracciones decimales alrededor de 1350, pero no desarrolló ninguna notación para representarlas. ^[31] El matemático persa Jamshīd al-Kāshī utilizó, y afirmó haber descubierto, fracciones decimales en el siglo XV. ^[30]

Simon Stevin introdujo un precursor de la notación decimal europea moderna en el siglo XVI. El influyente folleto de Stevin De Thiende ("el arte de las décimas") se publicó por primera vez en holandés en 1585 y se tradujo al francés como La Disme . ^[32]

John Napier introdujo el uso del punto (.) para separar la parte entera de un número decimal de la parte fraccionaria en su libro sobre la construcción de tablas de logaritmos, publicado póstumamente en 1620. ^[33]^{: p. 8, archivo pág. 32)}

Lenguajes naturales

En la India surgió un método para expresar todos los números naturales posibles utilizando un conjunto de diez símbolos. Varios idiomas indios muestran un sistema decimal sencillo. Muchas lenguas indo-arias y dravídicas tienen números entre 10 y 20 expresados en un patrón regular de suma hasta 10. ^[34]

El idioma húngaro también utiliza un sencillo sistema decimal. Todos los números entre 10 y 20 se forman regularmente (por ejemplo, 11 se expresa como "tizenegy", literalmente "uno entre diez"), al igual que los que están entre 20 y 100 (23 como "huszonhárom" = "tres sobre veinte").

Un sencillo sistema de rango decimal con una palabra para cada orden (10十, 100百, 1000千, 10,000万), y en el que 11 se expresa como diez-uno y 23 como dos-diez-tres , y 89,345 se expresa como 8 (diez mil)万9 (mil)千3 (cien)百4 (decenas)十5 se encuentra en chino y en vietnamita con algunas irregularidades. Los japoneses , coreanos y tailandeses han importado el sistema decimal chino. Muchos otros idiomas con sistema decimal tienen palabras especiales para los números entre 10 y 20 y décadas. Por ejemplo, en inglés 11 es "once", no "ten-one" o "one-teen".

Las lenguas incas como el quechua y el aymara tienen un sistema decimal casi sencillo, en el que 11 se expresa como diez con uno y 23 como dos-diez con tres .

Algunos psicólogos sugieren que las irregularidades en los nombres de los números en inglés pueden obstaculizar la capacidad de contar de los niños. ^[35]

Otras bases

Algunas culturas utilizan, o utilizaron, otras bases numéricas.

Las culturas mesoamericanas precolombinas, como la maya, utilizaban un sistema de base 20 (quizás basado en el uso de los veinte dedos de manos y pies ).
La lengua yuki en California y las lenguas pameas ^[36] en México tienen sistemas octales ( base -8) porque los hablantes cuentan usando los espacios entre los dedos en lugar de los dedos mismos. ^[37]
La existencia de una base no decimal en los primeros vestigios de las lenguas germánicas está atestiguada por la presencia de palabras y glosas que significan que la cuenta es en decimal (cognados de "cuenta de diez" o "de diez en diez"); Esto sería de esperarse si el conteo normal no fuera decimal, y algo inusual si lo fuera. ^[38]^[39] Cuando se conoce este sistema de conteo, se basa en la "centena larga" = 120 y un "mil largo" de 1200. Las descripciones como "larga" sólo aparecen después de la "centena pequeña" de 100. apareció con los cristianos. Introducción de Gordon al nórdico antiguo Archivado el 15 de abril de 2016 en Wayback Machine p. 293, da nombres de números que pertenecen a este sistema. Una expresión relacionada con "ciento ochenta" se traduce como 200, y la expresión relacionada con "doscientos" se traduce como 240. Goodare ^{[ enlace muerto permanente ]} detalla el uso de la centena larga en Escocia en la Edad Media, dando ejemplos como cálculos en los que el acarreo implica i C (es decir, cien) como 120, etc. El hecho de que la población general no se alarmara al encontrar tales números sugiere un uso bastante común. También es posible evitar números parecidos a centenas utilizando unidades intermedias, como piedras y libras, en lugar de una cuenta larga de libras. Goodare da ejemplos de números como la puntuación vii, donde se evita la centena utilizando puntuaciones extendidas. También hay un artículo de WH Stevenson sobre "Long Hundred y sus usos en Inglaterra". ^[40]^[41]
Muchas o todas las lenguas chumashan utilizaban originalmente un sistema de conteo de base 4 , en el que los nombres de los números se estructuraban según múltiplos de 4 y 16 . ^[42]
Muchos idiomas ^[43] utilizan sistemas numéricos quinarios (base 5) , incluidos Gumatj , Nunggubuyu , ^[44] Kuurn Kopan Noot ^[45] y Saraveca . De estos, Gumatj es el único idioma verdadero conocido entre 5 y 25, en el que 25 es el grupo superior de 5.
Algunos nigerianos utilizan sistemas duodecimales . ^[46] Lo mismo hicieron algunas pequeñas comunidades en India y Nepal, como lo indican sus idiomas. ^[47]
Se informa que el idioma huli de Papua Nueva Guinea tiene números de base 15 . ^[48] Ngui significa 15, ngui ki significa 15 × 2 = 30 y ngui ngui significa 15 × 15 = 225.
Se informa que Umbu-Ungu , también conocido como Kakoli, tiene números de base 24 . ^[49] Tokapu significa 24, tokapu talu significa 24 × 2 = 48, y tokapu tokapu significa 24 × 24 = 576.
Se informa que Ngiti tiene un sistema numérico de base 32 con ciclos de base 4. ^[43]
Se informa que el idioma Ndom de Papúa Nueva Guinea tiene números de base 6 . ^[50] Mer significa 6, mer an thef significa 6 × 2 = 12, nif significa 36 y nif thef significa 36 × 2 = 72.

Ver también

Notas

^ A veces, los ceros adicionales se utilizan para indicar la precisión de una medición. Por ejemplo, "15,00 m" puede indicar que el error de medición es inferior a un centímetro (0,01 m), mientras que "15 m" puede significar que la longitud es de aproximadamente quince metros y que el error puede superar los 10 centímetros.

Referencias

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^ El vinculum (sobrelínea) en 5.123 144 indica que la secuencia '144' se repite indefinidamente, es decir5.123 144 144 144 144 ... .
^ En algunos países, como los de habla árabe , se utilizan otros glifos para los dígitos.
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