Tomografía cuántica

Reconstrucción de estados cuánticos a partir de mediciones

La tomografía cuántica o tomografía de estados cuánticos es el proceso mediante el cual se reconstruye un estado cuántico utilizando mediciones en un conjunto de estados cuánticos idénticos. ^[1] La fuente de estos estados puede ser cualquier dispositivo o sistema que prepare estados cuánticos de manera consistente en estados cuánticos puros o de otra manera en estados mixtos generales . Para poder identificar de manera única el estado, las mediciones deben ser tomográficamente completas . Es decir, los operadores medidos deben formar una base de operadores en el espacio de Hilbert del sistema, proporcionando toda la información sobre el estado. A este conjunto de observaciones a veces se le llama quórum . El término tomografía se utilizó por primera vez en la literatura de física cuántica en un artículo de 1993 que presentaba la tomografía homodina óptica experimental. ^[2]

Figura 1: Un oscilador armónico representado en el espacio de fases por su momento y posición.

Figura 2: Muchos osciladores idénticos representados en el espacio de fases por su momento y posición

Por otra parte, en la tomografía de procesos cuánticos se utilizan estados cuánticos conocidos para investigar un proceso cuántico y descubrir cómo se puede describir. De manera similar, la tomografía de medición cuántica funciona para descubrir qué medición se está realizando. Mientras que la evaluación comparativa aleatoria obtiene de manera escalable una cifra de mérito de la superposición entre el proceso cuántico físico propenso a errores y su contraparte ideal.

El principio general detrás de la tomografía de estados cuánticos es que al realizar repetidamente muchas mediciones diferentes en sistemas cuánticos descritos por matrices de densidad idénticas, los conteos de frecuencia se pueden usar para inferir probabilidades , y estas probabilidades se combinan con la regla de Born para determinar una matriz de densidad que se ajuste mejor a las observaciones.

Esto se puede entender fácilmente haciendo una analogía clásica. Consideremos un oscilador armónico (por ejemplo, un péndulo). La posición y el momento del oscilador en cualquier punto dado se pueden medir y, por lo tanto, el movimiento se puede describir completamente mediante el espacio de fases . Esto se muestra en la figura 1. Al realizar esta medición para una gran cantidad de osciladores idénticos, obtenemos una distribución de probabilidad en el espacio de fases (figura 2). Esta distribución se puede normalizar (el oscilador en un momento dado tiene que estar en algún lugar) y la distribución debe ser no negativa. Por lo tanto, hemos recuperado una función que proporciona una descripción de la probabilidad de encontrar la partícula en un punto dado con un momento dado. ${\displaystyle W(x,p)}$

Para las partículas mecánicas cuánticas se puede hacer lo mismo. La única diferencia es que no se debe violar el principio de incertidumbre de Heisenberg, lo que significa que no podemos medir el momento y la posición de la partícula al mismo tiempo. El momento y la posición de la partícula se denominan cuadraturas (consulte Espacio de fase óptica para obtener más información) en estados cuánticos relacionados. Al medir una de las cuadraturas de un gran número de estados cuánticos idénticos, obtendremos una densidad de probabilidad correspondiente a esa cuadratura en particular. Esto se denomina distribución marginal o (consulte la figura 3). En el siguiente texto veremos que esta densidad de probabilidad es necesaria para caracterizar el estado cuántico de la partícula, que es el objetivo de la tomografía cuántica . ${\displaystyle \mathrm {pr} (X)}$ ${\displaystyle \mathrm {pr} (P)}$

Figura 3: Distribución marginal

¿Para qué se utiliza la tomografía de estados cuánticos?

La tomografía cuántica se aplica a una fuente de sistemas para determinar el estado cuántico de la salida de esa fuente. A diferencia de una medición en un solo sistema, que determina el estado actual del sistema después de la medición (en general, el acto de realizar una medición altera el estado cuántico), la tomografía cuántica funciona para determinar el estado o los estados anteriores a las mediciones.

La tomografía cuántica se puede utilizar para caracterizar señales ópticas, incluida la medición de la ganancia y pérdida de señal de dispositivos ópticos, ^[3] así como en computación cuántica y teoría de la información cuántica para determinar de manera confiable los estados reales de los qubits . ^{[4] [5]} Uno puede imaginar una situación en la que una persona, Bob, prepara muchos objetos idénticos (partículas o campos) en los mismos estados cuánticos y luego se los da a Alice para medir. Al no estar segura con la descripción del estado de Bob, Alice puede desear hacer una tomografía cuántica para clasificar el estado ella misma.

Métodos de tomografía de estados cuánticos

Inversión lineal

Utilizando la regla de Born , se puede derivar la forma más simple de tomografía cuántica. Generalmente, no se sabe de antemano si un estado es puro y puede ser mixto. En este caso, se deberán realizar muchos tipos de mediciones diferentes, muchas veces cada una. Para reconstruir completamente la matriz de densidad para un estado mixto en un espacio de Hilbert de dimensión finita , se puede utilizar la siguiente técnica.

La regla de Born establece que , donde es un proyector de resultados de medición particular y es la matriz de densidad del sistema. Dado un histograma de observaciones para cada medición, se tiene una aproximación a para cada . ${\displaystyle \mathrm {P} (E_{i}|\rho )=\mathrm {Trace} (E_{i}\rho )}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle \mathrm {P} (E_{i}|\rho )}$ ${\displaystyle E_{i}}$

Dados los operadores lineales y , defina el producto interno ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle S\cdot T=\mathrm {Tr} [S^{\dagger }T]={\vec {S}}^{\dagger }{\vec {T}}}$

donde es la representación del operador como un vector columna y un vector fila tal que es el producto interno de los dos. ${\displaystyle {\vec {T}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\vec {S}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\vec {S}}^{\dagger }{\vec {T}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$

Defina la matriz como ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}{\vec {E}}_{1}^{\dagger }\\{\vec {E}}_{2}^{\dagger }\\{\vec {E}}_{3}^{\dagger }\\\vdots \end{pmatrix}}}$.

Aquí E _i es una lista fija de mediciones individuales (con resultados binarios) y A realiza todas las mediciones a la vez.

Luego, al aplicar esto, se obtienen las probabilidades : ${\displaystyle {\vec {\rho }}}$

${\displaystyle A{\vec {\rho }}={\begin{pmatrix}{\vec {E}}_{1}^{\dagger }{\vec {\rho }}\\{\vec {E}}_{2}^{\dagger }{\vec {\rho }}\\{\vec {E}}_{3}^{\dagger }{\vec {\rho }}\\\vdots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{1}\cdot \rho \\E_{2}\cdot \rho \\E_{3}\cdot \rho \\\vdots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathrm {P} (E_{1}|\rho )\\\mathrm {P} (E_{2}|\rho )\\\mathrm {P} (E_{3}|\rho )\\\vdots \end{pmatrix}}\approx {\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\\vdots \end{pmatrix}}={\vec {p}}}$.

La inversión lineal corresponde a invertir este sistema utilizando las frecuencias relativas observadas para derivar (que es isomorfo a ). ${\displaystyle {\vec {p}}}$ ${\displaystyle {\vec {\rho }}}$ ${\displaystyle \displaystyle \rho }$

Este sistema no va a ser cuadrado en general, ya que para cada medición que se realice generalmente habrá múltiples proyectores de resultados de medición. Por ejemplo, en un espacio de Hilbert 2-D con 3 mediciones , cada medición tiene 2 resultados, cada uno de los cuales tiene un proyector E _i , para 6 proyectores, mientras que la dimensión real del espacio de matrices de densidad es (2⋅2 ² )/2=4, lo que resulta en 6 x 4. Para resolver el sistema, multiplica por la izquierda por : ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{T}}$

${\displaystyle A^{T}A{\vec {\rho }}=A^{T}{\vec {p}}}$.

Ahora, al resolver obtenemos la pseudoinversa : ${\displaystyle {\vec {\rho }}}$

${\displaystyle {\vec {\rho }}=(A^{T}A)^{-1}A^{T}{\vec {p}}}$.

En general, esto funciona solo si la lista de mediciones E _i está tomográficamente completa. De lo contrario, la matriz no será invertible . ${\displaystyle A^{T}A}$

Variables continuas y tomografía cuántica homodina

En espacios de Hilbert de dimensión infinita , por ejemplo, en mediciones de variables continuas como la posición, la metodología es algo más compleja. Un ejemplo notable es la tomografía de la luz , conocida como tomografía homodina óptica . Utilizando mediciones homodinas balanceadas , se puede derivar la función de Wigner y una matriz de densidad para el estado de la luz . ^[6]

Un enfoque implica mediciones a lo largo de diferentes direcciones rotadas en el espacio de fase . Para cada dirección , se puede encontrar una distribución de probabilidad para la densidad de probabilidad de las mediciones en la dirección del espacio de fase que produce el valor . El uso de una transformación inversa de Radon (la retroproyección filtrada) en conduce a la función de Wigner , , ^[7] que se puede convertir mediante una transformada inversa de Fourier en la matriz de densidad para el estado en cualquier base. ^[5] A menudo se utiliza una técnica similar en la tomografía médica . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle w(q,\theta )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle w(q,\theta )}$ ${\displaystyle \mathrm {W} (x,p)}$

Ejemplo: tomografía de estado de un solo qubit

La matriz de densidad de un solo qubit se puede expresar en términos de su vector de Bloch y el vector de Pauli : ${\displaystyle {\vec {r}}}$ ${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left(I+{\vec {r}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+r_{z}&r_{x}-\mathrm {i} r_{y}\\r_{x}+\mathrm {i} r_{y}&1-r_{z}\end{pmatrix}}}$.

La tomografía de estado de un solo qubit se puede realizar mediante mediciones de Pauli de un solo qubit: ^[8]

1. Primero, crea una lista de tres circuitos cuánticos, con el primero midiendo el qubit en la base computacional ( base Z ), el segundo realizando una compuerta Hadamard antes de la medición (que realiza la medición en base X ), y el tercero realizando la compuerta de cambio de fase apropiada (es decir ) seguida de una compuerta Hadamard antes de la medición (que realiza la medición en base Y ); ${\displaystyle {\sqrt {Z}}^{\dagger }=|0\rangle \langle 0|+\exp(-\mathrm {i} \pi /2)|1\rangle \langle 1|}$
2. Luego, ejecute estos circuitos (normalmente miles de veces), y los conteos en los resultados de la medición del primer circuito producen , el segundo circuito , y el tercer circuito ; ${\displaystyle {\bar {z}}=(n_{z,+}-n_{z,-})/(n_{z,+}+n_{z,-})}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle {\bar {y}}}$
3. Finalmente, si , entonces se produce un vector de Bloch medido como , y la matriz de densidad medida es ; Si , será necesario renormalizar el vector de Bloch medido como antes de usarlo para calcular la matriz de densidad medida. ${\displaystyle {\bar {x}}^{2}+{\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2}\leq 1}$ ${\displaystyle {\vec {r}}_{m}=({\bar {x}},{\bar {y}},{\bar {z}})}$ ${\displaystyle \rho _{m}={\frac {1}{2}}\left(I+{\vec {r}}_{m}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}$ ${\displaystyle {\bar {x}}^{2}+{\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2}>1}$ ${\displaystyle {\vec {r}}_{m}=({\bar {x}},{\bar {y}},{\bar {z}})/{\sqrt {{\bar {x}}^{2}+{\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2}}}}$

Este algoritmo es la base de la tomografía de qubit y se utiliza en algunas rutinas de programación cuántica , como la de Qiskit . ^{[9] [10]}

Ejemplo: tomografía homodina.

Las amplitudes de los campos electromagnéticos (cuadraturas) se pueden medir con gran eficiencia utilizando fotodetectores junto con selectividad de modo temporal. La tomografía homodina balanceada es una técnica confiable para reconstruir estados cuánticos en el dominio óptico. Esta técnica combina las ventajas de las altas eficiencias de los fotodiodos en la medición de la intensidad o el número de fotones de la luz, junto con la medición de las características cuánticas de la luz mediante un ingenioso dispositivo llamado detector de tomografía homodina .

La tomografía homodina cuántica se entiende con el siguiente ejemplo. Se dirige un láser a un divisor de haz 50-50% , dividiendo el haz láser en dos haces. Uno se utiliza como oscilador local (LO) y el otro se utiliza para generar fotones con un estado cuántico particular . La generación de estados cuánticos se puede realizar, por ejemplo, dirigiendo el haz láser a través de un cristal de duplicación de frecuencia ^[11] y luego sobre un cristal de conversión descendente paramétrico . Este cristal genera dos fotones en un cierto estado cuántico. Uno de los fotones se utiliza como señal de activación utilizada para activar (iniciar) el evento de lectura del detector de tomografía homodina. El otro fotón se dirige al detector de tomografía homodina para reconstruir su estado cuántico. Dado que los fotones de activación y de señal están entrelazados (esto se explica en el artículo sobre conversión descendente paramétrica espontánea ), es importante comprender que el modo óptico del estado de la señal se crea de forma no local solo cuando el fotón de activación incide en el fotodetector (del módulo de lectura de eventos de activación) y se mide realmente. Dicho de forma más sencilla, solo cuando se mide el fotón de activación, el fotón de señal puede medirse mediante el detector homodino.

Ahora considere el detector de tomografía homodina como se muestra en la figura 4 (figura faltante). El fotón de señal (este es el estado cuántico que queremos reconstruir) interfiere con el oscilador local , cuando se dirigen a un divisor de haz 50-50% . Dado que los dos haces se originan del mismo llamado láser maestro , tienen la misma relación de fase fija . El oscilador local debe ser intenso, en comparación con la señal, para que proporcione una referencia de fase precisa. El oscilador local es tan intenso, que podemos tratarlo clásicamente (a = α) y descuidar las fluctuaciones cuánticas. El campo de señal está controlado espacial y temporalmente por el oscilador local, que tiene una forma controlada. Donde el oscilador local es cero, la señal es rechazada. Por lo tanto, tenemos selectividad de modo temporal-espacial de la señal. El divisor de haz redirige los dos haces a dos fotodetectores. Los fotodetectores generan una corriente eléctrica proporcional al número de fotones . Se restan las dos corrientes del detector y la corriente resultante es proporcional al operador del campo eléctrico en el modo de señal, que depende de la fase óptica relativa de la señal y del oscilador local.

Dado que la amplitud del campo eléctrico del oscilador local es mucho mayor que la de la señal, se pueden ver la intensidad o las fluctuaciones en el campo de la señal. El sistema de tomografía homodina funciona como un amplificador . El sistema puede verse como un interferómetro con un haz de referencia de intensidad tan alta (el oscilador local) que es posible medir el desequilibrio de la interferencia causado por un solo fotón en la señal. Esta amplificación está muy por encima del nivel de ruido de los fotodetectores .

La medición se reproduce un gran número de veces. A continuación, se modifica la diferencia de fase entre la señal y el oscilador local para "escanear" un ángulo diferente en el espacio de fases . Esto se puede ver en la figura 4. La medición se repite de nuevo un gran número de veces y se recupera una distribución marginal a partir de la diferencia actual. La distribución marginal se puede transformar en la matriz de densidad y/o en la función de Wigner . Dado que la matriz de densidad y la función de Wigner proporcionan información sobre el estado cuántico del fotón, hemos reconstruido el estado cuántico del fotón.

La ventaja de este método de detección equilibrado es que esta disposición es insensible a las fluctuaciones en la intensidad del láser .

Los cálculos cuánticos para recuperar el componente de cuadratura de la diferencia actual se realizan de la siguiente manera.

El operador de número de fotones para los rayos que inciden en los fotodetectores después del divisor de haz viene dado por:

${\displaystyle {\hat {n}}_{i}={\hat {a}}_{i}^{\dagger }{\hat {a}}_{i}}$,

donde i es 1 y 2, respectivamente para los haces uno y dos. Los operadores de modo del campo que emerge de los divisores de haz están dados por:

${\displaystyle {\hat {a}}_{1}=2^{-1/2}({\hat {a}}-\alpha _{LO})}$

${\displaystyle {\hat {a}}_{2}=2^{-1/2}({\hat {a}}+\alpha _{LO})}$

El denota el operador de aniquilación de la señal y alfa la amplitud compleja del oscilador local. La diferencia en el número de fotones es finalmente proporcional a la cuadratura y se expresa por: ${\displaystyle {\hat {a}}}$

${\displaystyle {\hat {n}}_{21}={\hat {n}}_{2}-{\hat {n}}_{1}=\alpha _{LO}^{*}{\hat {a}}+\alpha _{LO}{\hat {a}}^{\dagger }}$,

Reescribiendo esto con la relación:

${\displaystyle {\hat {q}}=2^{-1/2}({\hat {a}}^{\dagger }+{\hat {a}})}$

Resultados en la siguiente relación:

${\displaystyle {\hat {n}}_{21}=2^{1/2}|{\hat {\alpha }}_{LO}|{\hat {q}}_{\theta }}$,

donde vemos una relación clara entre la diferencia del número de fotones y el componente de cuadratura . Al realizar un seguimiento de la corriente total, se puede recuperar información sobre la intensidad del oscilador local, ya que esta suele ser una cantidad desconocida, pero una cantidad importante para calcular el componente de cuadratura . ${\displaystyle {\hat {q}}_{\theta }}$ ${\displaystyle {\hat {q}}_{\theta }}$

Problemas con la inversión lineal

Uno de los principales problemas que presenta el uso de la inversión lineal para calcular la matriz de densidad es que, en general, la solución calculada no será una matriz de densidad válida. Por ejemplo, podría arrojar probabilidades negativas o probabilidades mayores que 1 para ciertos resultados de medición. Esto es particularmente un problema cuando se realizan menos mediciones.

Otro problema es que en espacios de Hilbert de dimensión infinita , se requeriría una cantidad infinita de resultados de medición. Hacer suposiciones sobre la estructura y usar una base de medición finita conduce a artefactos en la densidad del espacio de fases. ^[5]

Estimación de máxima verosimilitud

La estimación de máxima verosimilitud (también conocida como MLE o MaxLik) es una técnica popular para tratar los problemas de inversión lineal. Al restringir el dominio de las matrices de densidad al espacio adecuado y buscar la matriz de densidad que maximice la probabilidad de obtener los resultados experimentales, garantiza que el estado sea teóricamente válido y, al mismo tiempo, se ajuste a los datos. La probabilidad de un estado es la probabilidad que se asignaría a los resultados observados si el sistema hubiera estado en ese estado.

Supongamos que las mediciones se han observado con frecuencias . Entonces, la probabilidad asociada con un estado es ${\displaystyle \{|y_{j}\rangle \langle y_{j}|\}}$ ${\displaystyle f_{j}}$ ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$

${\displaystyle L({\hat {\rho }})=\prod _{j}\langle y_{j}|{\hat {\rho }}|y_{j}\rangle ^{f_{j}}}$

¿Dónde está la probabilidad del resultado para el estado ? ${\displaystyle \langle y_{j}|{\hat {\rho }}|y_{j}\rangle }$ ${\displaystyle y_{j}}$ ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$

Encontrar el máximo de esta función no es trivial y generalmente implica métodos iterativos. ^{[12] [13]} Los métodos son un tema activo de investigación.

Problemas con la estimación de máxima verosimilitud

La estimación de máxima verosimilitud adolece de algunos problemas menos obvios que la inversión lineal. Uno de ellos es que realiza predicciones sobre probabilidades que no se pueden justificar con los datos. Esto se ve más fácilmente al observar el problema de los valores propios cero . La solución calculada mediante MLE a menudo contiene valores propios que son 0, es decir, es deficiente en rango . En estos casos, la solución se encuentra entonces en el límite de la esfera de Bloch n-dimensional . Esto se puede ver como algo relacionado con la inversión lineal que da estados que se encuentran fuera del espacio válido (la esfera de Bloch). En estos casos, MLE elige un punto cercano que es válido, y los puntos más cercanos generalmente están en el límite. ^[4]

Esto no es un problema físico, el estado real podría tener cero valores propios . Sin embargo, dado que ningún valor puede ser menor que 0, una estimación de un valor propio que sea 0 implica que el estimador está seguro de que el valor es 0, de lo contrario habría estimado algún valor mayor que 0 con un pequeño grado de incertidumbre como la mejor estimación. Aquí es donde surge el problema, ya que no es lógico concluir con absoluta certeza después de un número finito de mediciones que cualquier valor propio (es decir, la probabilidad de un resultado particular) es 0. Por ejemplo, si se lanza una moneda 5 veces y cada vez se observa cara, no significa que haya 0 probabilidades de obtener cruz, a pesar de que esa sea la descripción más probable de la moneda. ^[4] ${\displaystyle \epsilon }$

Métodos bayesianos

La estimación de media bayesiana (BME) es un enfoque relativamente nuevo que aborda los problemas de la estimación de máxima verosimilitud. Se centra en encontrar soluciones óptimas que también sean honestas , ya que incluyen barras de error en la estimación. La idea general es comenzar con una función de verosimilitud y una función que describa el conocimiento previo del experimentador (que podría ser una función constante), y luego integrar todas las matrices de densidad utilizando el producto de la función de verosimilitud y la función de conocimiento previo como ponderación.

Dada una función de conocimiento previo razonable, BME producirá un estado estrictamente dentro de la esfera de Bloch n-dimensional . En el caso de una moneda lanzada N veces para obtener N caras descritas anteriormente, con una función de conocimiento previo constante, BME asignaría como probabilidad de cruz. ^[4] ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{N+2}}}$

BME proporciona un alto grado de precisión ya que minimiza las divergencias operativas de la estimación respecto del estado real. ^[4]

Métodos para datos incompletos

La cantidad de mediciones necesarias para realizar una tomografía cuántica completa de un sistema de múltiples partículas aumenta exponencialmente con la cantidad de partículas, lo que hace que dicho procedimiento sea imposible incluso para sistemas de tamaño modesto. Por lo tanto, se han desarrollado varios métodos para realizar una tomografía cuántica con menos mediciones.

El concepto de compleción de matriz y detección comprimida se han aplicado para reconstruir matrices de densidad a partir de un conjunto incompleto de mediciones (es decir, un conjunto de mediciones que no es un quórum). En general, esto es imposible, pero bajo ciertas suposiciones (por ejemplo, si la matriz de densidad es un estado puro, o una combinación de sólo unos pocos estados puros) entonces la matriz de densidad tiene menos grados de libertad, y puede ser posible reconstruir el estado a partir de las mediciones incompletas. ^[14]

La tomografía cuántica invariante permutacional ^[15] es un procedimiento que se ha desarrollado principalmente para estados que están cerca de ser permutacionalmente simétricos, lo que es típico en los experimentos actuales. Para partículas de dos estados, el número de mediciones necesarias escala solo cuadráticamente con el número de partículas. ^[16] Además del modesto esfuerzo de medición, el procesamiento de los datos medidos también se puede realizar de manera eficiente: es posible llevar a cabo el ajuste de una matriz de densidad física en los datos medidos incluso para sistemas grandes. ^[17] La ​​tomografía cuántica invariante permutacional se ha combinado con detección comprimida en un experimento fotónico de seis qubits. ^[18]

Tomografía de medición cuántica

Se puede imaginar una situación en la que un aparato realiza alguna medición en sistemas cuánticos y determina qué medición particular se desea. La estrategia es enviar sistemas de varios estados conocidos y usar estos estados para estimar los resultados de la medición desconocida. También conocidas como "estimación cuántica", las técnicas de tomografía son cada vez más importantes, incluidas las de tomografía de medición cuántica y la tomografía de estado cuántico muy similar. Dado que una medición siempre se puede caracterizar por un conjunto de POVM , el objetivo es reconstruir los POVM que la caracterizan . El enfoque más simple es la inversión lineal. Como en la observación de estados cuánticos, se utiliza ${\displaystyle \Pi _{l}}$

${\displaystyle \displaystyle \mathrm {Tr} [\Pi _{l}\rho _{m}]=\mathrm {P} (l|\rho _{m})}$.

Aprovechando la linealidad como se indicó anteriormente, esto se puede invertir para resolver el . ${\displaystyle \Pi _{l}}$

No es sorprendente que esto sufra los mismos inconvenientes que en la tomografía de estados cuánticos: es decir, resultados no físicos, en particular probabilidades negativas. En este caso, los POVM no serán válidos , ya que no serán positivos. Se pueden utilizar métodos bayesianos, así como la estimación de máxima verosimilitud de la matriz de densidad, para restringir los operadores a resultados físicos válidos. ^[19] ${\displaystyle \Pi _{l}}$

Tomografía de proceso cuántico

La tomografía de procesos cuánticos (QPT) se ocupa de identificar un proceso dinámico cuántico desconocido. El primer enfoque, introducido en 1996 y conocido a veces como tomografía de procesos cuánticos estándar (SQPT), implica preparar un conjunto de estados cuánticos y enviarlos a través del proceso, para luego utilizar la tomografía de estados cuánticos para identificar los estados resultantes. ^[20] Otras técnicas incluyen la tomografía de procesos asistida por ancilla (AAPT) y la tomografía de procesos asistida por entrelazamiento (EAPT), que requieren una copia adicional del sistema. ^[21]

Cada una de las técnicas mencionadas anteriormente se conocen como métodos indirectos de caracterización de la dinámica cuántica, ya que requieren el uso de la tomografía cuántica de estados para reconstruir el proceso. Por el contrario, existen métodos directos como la caracterización directa de la dinámica cuántica (DCQD) que proporcionan una caracterización completa de los sistemas cuánticos sin ninguna tomografía de estados. ^[22]

La cantidad de configuraciones experimentales (preparaciones de estados y mediciones) necesarias para la tomografía de procesos cuánticos completa crece exponencialmente con la cantidad de partículas constituyentes de un sistema. En consecuencia, en general, la QPT es una tarea imposible para los sistemas cuánticos de gran escala. Sin embargo, bajo el supuesto de decoherencia débil, un mapa dinámico cuántico puede encontrar una representación dispersa. El método de tomografía de procesos cuánticos comprimidos (CQPT) utiliza la técnica de detección comprimida y aplica el supuesto de escasez para reconstruir un mapa dinámico cuántico a partir de un conjunto incompleto de mediciones o preparaciones de estados de prueba. ^[23]

Mapas dinámicos cuánticos

Un proceso cuántico, también conocido como mapa dinámico cuántico, puede describirse mediante un mapa completamente positivo ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\rho )}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(\rho )=\sum _{i}A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }}$,

donde , los operadores acotados en el espacio de Hilbert ; con elementos de operación que satisfacen de modo que . ${\displaystyle \rho \in {\mathcal {B(H)}}}$ ${\displaystyle \displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{i}A_{i}^{\dagger }A_{i}\leq I}$ ${\displaystyle \mathrm {Tr} [{\mathcal {E}}(\rho )]\leq 1}$

Sea una base ortogonal para . Escribe los operadores en esta base ${\displaystyle \displaystyle \{E_{i}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B(H)}}}$ ${\displaystyle \displaystyle A_{i}}$

${\displaystyle \displaystyle A_{i}=\sum _{m}a_{im}E_{m}}$.

Esto conduce a

${\displaystyle {\mathcal {E}}(\rho )=\sum _{m,n}\chi _{mn}E_{m}\rho E_{n}^{\dagger }}$,

dónde . ${\displaystyle \chi _{mn}=\sum _{i}a_{im}a_{in}^{*}}$

El objetivo es entonces resolver para , que es un superoperador positivo y se caracteriza completamente con respecto a la base. ^{[21] [22]} ${\displaystyle \displaystyle \chi }$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle \displaystyle \{E_{i}\}}$

Tomografía de proceso cuántico estándar

La SQPT aborda este problema utilizando entradas linealmente independientes , donde es la dimensión del espacio de Hilbert . Para cada uno de estos estados de entrada , al enviarlo a través del proceso se obtiene un estado de salida que se puede escribir como una combinación lineal de , es decir . Al enviar cada uno de ellos muchas veces, se puede utilizar la tomografía de estados cuánticos para determinar los coeficientes experimentalmente. ${\displaystyle d^{2}}$ ${\displaystyle \rho _{j}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \rho _{j}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\rho )}$ ${\displaystyle \rho _{k}}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {E}}(\rho _{j})=\sum _{k}c_{jk}\rho _{k}}$ ${\displaystyle \rho _{j}}$ ${\displaystyle c_{jk}}$

Escribir

${\displaystyle E_{m}\rho _{j}E_{n}^{\dagger }=\sum _{k}B_{m,n,j,k}\rho _{k}}$,

donde es una matriz de coeficientes. Entonces ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \sum _{k}c_{jk}\rho _{k}={\mathcal {E}}(\rho _{j})=\sum _{m,n}\chi _{m,n}E_{m}\rho _{j}E_{n}^{\dagger }=\sum _{m,n}\sum _{k}\chi _{m,n}B_{m,n,j,k}\rho _{k}}$.

Dado que forman una base linealmente independiente, ${\displaystyle \rho _{k}}$

${\displaystyle \displaystyle c_{jk}=\sum _{m,n}\chi _{m,n}B_{m,n,j,k}}$.

Invirtiendo obtenemos : ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \chi _{m,n}=\sum _{j,k}B_{m,n,j,k}^{-1}c_{jk}}$.

Véase también

• Discordia cuántica
• Proceso cuántico
• Entrelazamiento cuántico § Entrelazamiento de quarks top

Referencias

1. Tomografía de estados cuánticos. "UIUC".
2. Smithey, DT; Beck, M.; Raymer, MG; Faridani, A. (1993-03-01). "Medición de la distribución de Wigner y la matriz de densidad de un modo de luz utilizando tomografía homodina óptica: aplicación a estados comprimidos y al vacío". Physical Review Letters . 70 (9): 1244–1247. Bibcode :1993PhRvL..70.1244S. doi :10.1103/physrevlett.70.1244. ISSN  0031-9007. PMID  10054327.
3. D'Ariano, G Mauro; Laurentis, Martina De; Paris, Matteo GA; Porzio, Alberto; Solimeno, Salvatore (1 de junio de 2002). "Tomografía cuántica como herramienta para la caracterización de dispositivos ópticos". Journal of Optics B: Óptica cuántica y semiclásica . 4 (3): S127–S132. arXiv : quant-ph/0110110 . Bibcode :2002JOptB...4S.127M. doi :10.1088/1464-4266/4/3/366. ISSN  1464-4266. S2CID  17185255.
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5. Lvovsky, AI; Raymer, MG (2009). "Tomografía cuántica de estado óptico de variable continua". Reseñas de Física Moderna . 81 (1): 299–332. arXiv : quant-ph/0511044 . Código Bibliográfico :2009RvMP...81..299L. doi :10.1103/RevModPhys.81.299. S2CID  118928592.
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