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Tetración

Un gráfico colorido con bucles de colores brillantes que aumentan en intensidad a medida que la mirada se dirige hacia la derecha.
Coloración del dominio de la tetración holomórfica , donde el tono representa el argumento de la función y el brillo representa la magnitud.
Un gráfico lineal con curvas que se curvan hacia arriba drásticamente a medida que los valores en el eje x se hacen más grandes.
, para n = 2, 3, 4, ... , mostrando convergencia a la exponencial infinitamente iterada entre los dos puntos

En matemáticas , la tetración (o hiper-4 ) es una operación basada en la exponenciación iterada o repetida . No existe una notación estándar para la tetración, aunque la notación de flecha hacia arriba de Knuth y el exponente izquierdo x b son comunes.

Según la definición de exponenciación repetida, significa , donde n copias de a se iteran mediante exponenciación, de derecha a izquierda, es decir, la aplicación de tiempos de exponenciación. n se llama la "altura" de la función, mientras que a se llama la "base", análoga a la exponenciación. Se leería como "la n- ésima tetración de a ".

Es la siguiente hiperoperación después de la exponenciación , pero antes de la pentación . La palabra fue acuñada por Reuben Louis Goodstein a partir de tetra- (cuatro) e iteración .

La tetración también se define recursivamente como

permitiendo intentos de extender la tetración a números no naturales como los números reales , complejos y ordinales .

Las dos funciones inversas de la tetración se denominan superraíz y superlogaritmo , análogas a la raíz n y a las funciones logarítmicas. Ninguna de las tres funciones es elemental .

La tetración se utiliza para la notación de números muy grandes .

Introducción

Aquí se muestran las primeras cuatro hiperoperaciones , siendo la tetración la cuarta de la serie. La operación unaria sucesión , definida como , se considera la operación cero.

  1. Adición de n copias de 1 añadidas a una combinada por sucesión.
  2. Multiplicación de n copias de un combinado por adición.
  3. Exponenciación n copias de una combinada por multiplicación.
  4. Tetración n copias de a combinadas por exponenciación, de derecha a izquierda.

Es importante destacar que los exponentes anidados se interpretan de arriba hacia abajo: ⁠ ⁠ significa ⁠ ⁠ y no ⁠ ⁠

La sucesión, , es la operación más básica; mientras que la adición ( ) es una operación primaria, para la adición de números naturales puede considerarse como una sucesión encadenada de sucesores de ; la multiplicación ( ) también es una operación primaria, aunque para los números naturales puede considerarse análogamente como una adición encadenada que involucra números de . La exponenciación puede considerarse como una multiplicación encadenada que involucra números de y la tetración ( ) como una potencia encadenada que involucra números . Cada una de las operaciones anteriores se define iterando la anterior; [1] sin embargo, a diferencia de las operaciones anteriores, la tetración no es una función elemental .

El parámetro se denomina base , mientras que el parámetro se puede denominar altura . En la definición original de tetración, el parámetro altura debe ser un número natural; por ejemplo, sería ilógico decir "tres elevado a sí mismo menos cinco veces" o "cuatro elevado a sí mismo la mitad de una vez". Sin embargo, así como la suma, la multiplicación y la exponenciación se pueden definir de formas que permitan extensiones a números reales y complejos, se han hecho varios intentos de generalizar la tetración a números negativos, números reales y números complejos. Una de esas formas de hacerlo es utilizando una definición recursiva para la tetración; para cualquier entero real positivo y no negativo , podemos definir recursivamente como: [1]

La definición recursiva es equivalente a la exponenciación repetida para alturas naturales ; sin embargo, esta definición permite extensiones a otras alturas como , y también – muchas de estas extensiones son áreas de investigación activa.

Terminología

Existen muchos términos para la tetración, cada uno de los cuales tiene cierta lógica detrás, pero algunos no se han vuelto de uso común por una razón u otra. Aquí se presenta una comparación de cada término con su fundamento y contrafundamento.

Debido en parte a cierta terminología compartida y simbolismo de notación similar , la tetración a menudo se confunde con funciones y expresiones estrechamente relacionadas. A continuación, se presentan algunos términos relacionados:

En las dos primeras expresiones , a es la base y la cantidad de veces que aparece a es la altura (suma uno para x ). En la tercera expresión, n es la altura , pero cada una de las bases es diferente.

Se debe tener cuidado al hacer referencia a exponenciales iteradas, ya que es común llamar a expresiones de esta forma exponenciación iterada, lo cual es ambiguo, ya que puede significar potencias iteradas o exponenciales iteradas .

Notación

Existen muchos estilos de notación diferentes que se pueden utilizar para expresar la tetración. Algunas notaciones también se pueden utilizar para describir otras hiperoperaciones , mientras que otras se limitan a la tetración y no tienen una extensión inmediata.

La notación anterior utiliza notación exponencial iterada; esta se define en general de la siguiente manera:

con n a s.

No hay tantas notaciones para exponenciales iteradas, pero aquí hay algunas:

Ejemplos

Debido al crecimiento extremadamente rápido de la tetración, la mayoría de los valores de la siguiente tabla son demasiado grandes para escribirlos en notación científica. En estos casos, se utiliza la notación exponencial iterada para expresarlos en base 10. Los valores que contienen un punto decimal son aproximados.

Observación: Si x no difiere de 10 en órdenes de magnitud, entonces para todos los . Por ejemplo, en la tabla anterior, y la diferencia es aún menor para las filas siguientes.

Extensiones

La tetración se puede extender de dos maneras diferentes; en la ecuación , tanto la base a como la altura n se pueden generalizar utilizando la definición y las propiedades de la tetración. Aunque la base y la altura se pueden extender más allá de los números enteros no negativos a diferentes dominios , incluyendo , funciones complejas como , y alturas de n infinito , las propiedades más limitadas de la tetración reducen la capacidad de extender la tetración.

Ampliación de dominio para bases

Base cero

La exponencial no está definida de manera consistente. Por lo tanto, las tetraciones no están claramente definidas por la fórmula dada anteriormente. Sin embargo, está bien definida y existe: [10]

De esta manera podríamos definir de manera consistente . Esto es análogo a definir .

Con esta extensión , por lo que la regla de la definición original sigue siendo válida.

Bases complejas

Un gráfico colorido que muestra que el período se hace mucho más grande.
Tetración por periodo
Un gráfico colorido que muestra que el escape se hace mucho más grande.
Tetración por escape

Como los números complejos pueden elevarse a potencias, la tetración se puede aplicar a bases de la forma z = a + bi (donde a y b son reales). Por ejemplo, en n z con z = i , la tetración se logra utilizando la rama principal del logaritmo natural; utilizando la fórmula de Euler obtenemos la relación:

Esto sugiere una definición recursiva para n +1 i = a′ + b′i dado cualquier n i = a + bi :

Se pueden derivar los siguientes valores aproximados:

Resolviendo la relación inversa, como en la sección anterior, se obtienen los valores esperados 0 i = 1 y −1 i = 0 , con valores negativos de n que dan resultados infinitos en el eje imaginario. Trazada en el plano complejo , toda la secuencia se desvía en espiral hasta el límite 0,4383 + 0,3606 i , que podría interpretarse como el valor donde n es infinito.

Estas secuencias de tetración se han estudiado desde la época de Euler, pero se comprenden mal debido a su comportamiento caótico. La mayoría de las investigaciones publicadas históricamente se han centrado en la convergencia de la función exponencial infinitamente iterada. La investigación actual se ha beneficiado enormemente de la llegada de potentes ordenadores con software de matemáticas simbólicas y fractales . Gran parte de lo que se sabe sobre la tetración proviene del conocimiento general de la dinámica compleja y de la investigación específica del mapa exponencial. [ cita requerida ]

Extensiones del dominio para diferentes alturas

Alturas infinitas

Un gráfico lineal con una curva rápida hacia arriba a medida que aumenta la base.
de la exponencial infinitamente iterada converge para las bases
Un gráfico cartesiano tridimensional con un punto en el centro.
La función en el plano complejo, que muestra la función exponencial iterada infinitamente con valor real (curva negra)

La tetración se puede extender a alturas infinitas ; es decir, para ciertos valores de a y n en , existe un resultado bien definido para un n infinito . Esto se debe a que para bases dentro de un cierto intervalo, la tetración converge a un valor finito a medida que la altura tiende a infinito . Por ejemplo, converge a 2 y, por lo tanto, se puede decir que es igual a 2. La tendencia hacia 2 se puede ver evaluando una pequeña torre finita:

En general, la exponencial infinitamente iterada , definida como el límite de cuando n tiende a infinito, converge para e exe 1/ e , aproximadamente el intervalo de 0,066 a 1,44, un resultado mostrado por Leonhard Euler . [11] El límite, si existe, es una solución real positiva de la ecuación y = x y . Por lo tanto, x = y 1/ y . El límite que define la exponencial infinita de x no existe cuando x > e 1/ e porque el máximo de y 1/ y es e 1/ e . El límite tampoco existe cuando 0 < x < e e .

Esto puede extenderse a números complejos z con la definición:

donde W representa la función W de Lambert .

Como el límite y = x (si existe en la recta real positiva, es decir para e exe 1/ e ) debe satisfacer x y = y , vemos que xy = x es (la rama inferior de) la función inversa de yx = y 1/ y .

Alturas negativas

Podemos utilizar la regla recursiva para la tetración,

Para probar :

Sustituyendo −1 por k obtenemos

. [12]

Los valores negativos más pequeños no se pueden definir bien de esta manera. Sustituyendo −2 por k en la misma ecuación se obtiene

que no están bien definidos. Sin embargo, a veces pueden considerarse conjuntos. [12]

Para , cualquier definición de es consistente con la regla porque

Para cualquier .

Alturas reales

En este momento no existe una solución comúnmente aceptada para el problema general de extender la tetración a los valores reales o complejos de n . Sin embargo, ha habido múltiples enfoques para abordar el tema, y ​​a continuación se describen diferentes enfoques.

En general, el problema es encontrar —para cualquier real a > 0— una función superexponencial sobre real x > −2 que satisfaga

Para encontrar una extensión más natural, normalmente se requieren uno o más requisitos adicionales. Por lo general, se trata de una recopilación de los siguientes:

El cuarto requisito difiere de un autor a otro y de un enfoque a otro. Hay dos enfoques principales para extender la tetración a alturas reales: uno se basa en el requisito de regularidad y el otro en el requisito de diferenciabilidad . Estos dos enfoques parecen ser tan diferentes que no pueden conciliarse, ya que producen resultados incoherentes entre sí. [ cita requerida ]

Cuando se define para un intervalo de longitud uno, la función completa se deduce fácilmente para todo x > −2 .

Aproximación lineal para alturas reales
Un gráfico lineal con una figura dibujada en él similar a una curva S con valores en el tercer cuadrante que descienden rápidamente y valores en el primer cuadrante que ascienden rápidamente
utilizando aproximación lineal

Una aproximación lineal (solución al requisito de continuidad, aproximación al requisito de diferenciabilidad) viene dada por:

por eso:

y así sucesivamente. Sin embargo, solo es diferenciable por partes; en valores enteros de x la derivada se multiplica por . Es continuamente diferenciable para si y solo si . Por ejemplo, utilizando estos métodos y

Un teorema principal en el artículo de Hooshmand [6] establece: Sea . Si es continua y satisface las condiciones:

entonces se determina de forma única a través de la ecuación

donde denota la parte fraccionaria de x y es la función iterada de la función .

La prueba es que las condiciones segunda a cuarta implican trivialmente que f es una función lineal en [−1, 0] .

La aproximación lineal a la función tetratónica natural es continuamente diferenciable, pero su segunda derivada no existe en valores enteros de su argumento. Hooshmand derivó otro teorema de unicidad para ella que establece:

Si es una función continua que satisface:

entonces . [Aquí está el nombre de Hooshmand para la aproximación lineal a la función de tetración natural.]

La prueba es muy parecida a la anterior; la ecuación de recursión asegura que y luego la condición de convexidad implica que es lineal en (−1, 0) .

Por lo tanto, la aproximación lineal a la tetración natural es la única solución de la ecuación y que es convexa en (−1, +∞) . Todas las demás soluciones suficientemente diferenciables deben tener un punto de inflexión en el intervalo (−1, 0) .

Aproximaciones de orden superior para alturas reales
Un par de gráficos de líneas, uno dibujado en azul que parece una onda sinusoidal que tiene una amplitud decreciente a medida que aumentan los valores a lo largo del eje x y el segundo es una línea roja que conecta directamente puntos a lo largo de estas curvas con segmentos de línea.
Una comparación de las aproximaciones lineales y cuadráticas (en rojo y azul respectivamente) de la función , de x = −2 a x = 2

Más allá de las aproximaciones lineales, una aproximación cuadrática (al requisito de diferenciabilidad) viene dada por:

que es diferenciable para todos , pero no dos veces diferenciable. Por ejemplo, Si esto es lo mismo que la aproximación lineal. [1]

Por la forma en que se calcula, esta función no se "anula", a diferencia de los exponentes, donde . Es decir,

.

Así como existe una aproximación cuadrática, también existen aproximaciones cúbicas y métodos para generalizar a aproximaciones de grado n , aunque son mucho más difíciles de manejar. [1] [14]

Aproximación binomial cerca de uno

Utilizando la fórmula de aproximación binomial

Para valores pequeños de x, podemos anidar exponentes tanto como queramos

Significado:

Podemos generalizar esta suma para cualquier n, real o complejo.

Alturas complejas

Un gráfico complejo que muestra valores en aumento a lo largo del eje x
Dibujo de la extensión analítica de la tetración al plano complejo. Los niveles y las cotas se muestran con curvas gruesas.

En 2017, se demostró [15] que existe una función única F que es una solución de la ecuación F ( z + 1) = exp( F ( z )) y satisface las condiciones adicionales de que F (0) = 1 y F ( z ) se acerca a los puntos fijos del logaritmo (aproximadamente 0,318 ± 1,337 i ) cuando z se acerca a ± i y que F es holomorfa en todo el plano complejo z , excepto en la parte del eje real en z ≤ −2 . Esta prueba confirma una conjetura previa . [16] La construcción de dicha función fue demostrada originalmente por Kneser en 1950. [17] El mapa complejo de esta función se muestra en la figura de la derecha. La prueba también funciona para otras bases además de e , siempre que la base sea mayor que . El trabajo posterior extendió la construcción a todas las bases complejas. [18]

El requisito de que la tetración sea holomorfa es importante para su unicidad. Muchas funciones S pueden construirse como

donde α y β son secuencias reales que decaen lo suficientemente rápido para proporcionar la convergencia de la serie , al menos en valores moderados de Im  z .

La función S satisface las ecuaciones de tetración S ( z + 1) = exp( S ( z )) , S (0) = 1 , y si α n y β n se aproximan a 0 lo suficientemente rápido será analítica en un entorno del eje real positivo. Sin embargo, si algunos elementos de { α } o { β } no son cero, entonces la función S tiene multitud de singularidades y líneas de corte adicionales en el plano complejo, debido al crecimiento exponencial de seno y coseno a lo largo del eje imaginario; cuanto menores sean los coeficientes { α } y { β } , más alejadas estarán estas singularidades del eje real.

La extensión de la tetración al plano complejo es, pues, esencial para la unicidad; la tetración real-analítica no es única.

Tetración ordinal

La tetración se puede definir para números ordinales mediante inducción transfinita. Para todos los α y todos los β > 0 :

Recursividad no elemental

La tetración (restringida a ) no es una función recursiva elemental . Se puede demostrar por inducción que para cada función recursiva elemental f , existe una constante c tal que

Denotamos el lado derecho por . Supongamos, por el contrario, que la tetración es recursiva elemental. también es recursiva elemental. Por la desigualdad anterior, existe una constante c tal que . Al hacer , tenemos que , una contradicción.

Operaciones inversas

La exponenciación tiene dos operaciones inversas: raíces y logaritmos . Análogamente, las inversas de la tetración se denominan a menudo superraíz y superlogaritmo (de hecho, todas las hiperoperaciones mayores o iguales a 3 tienen inversas análogas); por ejemplo, en la función , las dos inversas son la superraíz cúbica de y y el superlogaritmo base  y de x .

Superraíz

La superraíz es la operación inversa de la tetración con respecto a la base: si , entonces y es una n- ésima superraíz de x ( o ).

Por ejemplo,

Entonces 2 es la cuarta súper raíz de 65,536.

Raíz cuadrada suprarrenal

Una curva que comienza en (0,1), se dobla ligeramente hacia la derecha y luego se dobla drásticamente hacia la izquierda a medida que aumentan los valores a lo largo del eje x.
El gráfico

La superraíz de segundo orden , superraíz cuadrada o superraíz cuadrada tiene dos notaciones equivalentes, y . Es la inversa de y se puede representar con la función W de Lambert : [19]

La función también ilustra la naturaleza reflexiva de las funciones raíz y logaritmo, ya que la ecuación a continuación solo es verdadera cuando :

Al igual que las raíces cuadradas , la superraíz cuadrada de x puede no tener una única solución. A diferencia de las raíces cuadradas, determinar el número de superraíces cuadradas de x puede ser difícil. En general, si , entonces x tiene dos superraíces cuadradas positivas entre 0 y 1; y si , entonces x tiene una superraíz cuadrada positiva mayor que 1. Si x es positivo y menor que no tiene ninguna superraíz cuadrada real , pero la fórmula dada anteriormente produce infinitas raíces complejas contables para cualquier x finito distinto de 1. [19] La función se ha utilizado para determinar el tamaño de los clústeres de datos . [20]

En :

Otras superraíces

Un gráfico lineal que comienza en el origen y rápidamente hace una asíntota hacia 2 a medida que aumenta el valor a lo largo del eje x.
El gráfico

Para cada entero n > 2 , la función n x está definida y es creciente para x ≥ 1 , y n 1 = 1 , de modo que la n ésima superraíz de x , , existe para x ≥ 1 .

Una de las fórmulas más simples y rápidas para una superraíz de tercer grado es la fórmula recursiva, si: x x x = a , y luego x ( n + 1) = exp (W (W ( x ( n ) ln ( a )))) , por ejemplo x (0) = 1 .

Sin embargo, si se utiliza la aproximación lineal anterior, entonces si −1 < y ≤ 0 , entonces no puede existir.

De la misma manera que la superraíz cuadrada, la terminología para otras superraíces puede basarse en las raíces normales : las "superraíces cúbicas" pueden expresarse como ; la "cuarta superraíz" puede expresarse como ; y la " n -ésima superraíz" es . Nótese que puede no estar definida de manera única, porque puede haber más de una n - ésima raíz. Por ejemplo, x tiene una única superraíz (real) si n es impar , y hasta dos si n es par . [ cita requerida ]

Al igual que con la extensión de la tetración a alturas infinitas, la superraíz se puede extender a n = ∞ , quedando bien definida si 1/ exe . Nótese que y por lo tanto que . Por lo tanto, cuando está bien definida, y , a diferencia de la tetración normal, es una función elemental . Por ejemplo, .

Del teorema de Gelfond-Schneider se desprende que la superraíz de cualquier entero positivo n es entera o trascendental , y es entera o irracional. [21] Todavía es una cuestión abierta si las superraíces irracionales son trascendentales en el último caso.

Superlogaritmo

Una vez que se selecciona una definición de tetración continua creciente (en x ), x a , se define el superlogaritmo correspondiente o para todos los números reales x y a > 1 .

La función slog a x satisface:

Preguntas abiertas

Además de los problemas con las extensiones de la tetración, hay varias preguntas abiertas respecto de la tetración, particularmente cuando se refieren a las relaciones entre sistemas numéricos como los números enteros y los números irracionales :

Aplicaciones

Para cada gráfico H en h vértices y cada ε > 0 , defina

Entonces, cada grafo G en n vértices con como máximo n h /D copias de H se puede hacer libre de H eliminando como máximo εn 2 aristas. [24]

Véase también

Notas

  1. ^ La notación n x de Rudolf von Bitter Rucker (1982) , introducida por Hans Maurer (1901) y Reuben Louis Goodstein (1947) para la tetración, no debe confundirse con la notación n f ( x ) de Alfred Pringsheim y Jules Molk (1907) para denotar composiciones de funciones iteradas , ni con la notación pre-superíndice n x de David Patterson Ellerman (1995) para raíces .

Referencias

  1. ^ abcd Neyrinck, Mark. Una investigación sobre operaciones aritméticas. Consultado el 9 de enero de 2019.
  2. ^ RL Goodstein (1947). "Ordinales transfinitos en la teoría recursiva de números". Revista de lógica simbólica . 12 (4): 123–129. doi :10.2307/2266486. JSTOR  2266486. S2CID  1318943.
  3. ^ N. Bromer (1987). "Superexponenciación". Revista de Matemáticas . 60 (3): 169–174. doi :10.1080/0025570X.1987.11977296. JSTOR  2689566.
  4. ^ JF MacDonnell (1989). "Algunos puntos críticos de la función de hiperpotencia x x … {\displaystyle x^{x^{\dots }}}". Revista Internacional de Educación Matemática . 20 (2): 297–305. doi :10.1080/0020739890200210. MR  0994348.
  5. ^ Weisstein, Eric W. "Torre de energía". MathWorld .
  6. ^ ab Hooshmand, MH (2006). "Ultra potencia y funciones ultra exponenciales". Transformadas integrales y funciones especiales . 17 (8): 549–558. doi :10.1080/10652460500422247. S2CID  120431576.
  7. ^ "Verbo de poder". J Vocabulary . J Software . Consultado el 28 de octubre de 2011 .
  8. ^ "Espacios" . Consultado el 17 de febrero de 2022 .
  9. ^ DiModica, Thomas. Valores de tetración. Consultado el 15 de octubre de 2023.
  10. ^ "Subiendo la escalera de los operadores hiper: tetración". math.blogoverflow.com . Blog de matemáticas de Stack Exchange . Consultado el 25 de julio de 2019 .
  11. ^ Euler, L. "De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus". Acta Acad. Científico. Petropol. 2 , 29–51, 1783. Reimpreso en Euler, L. Opera Omnia, Series Prima, vol. 6: Comentarios Algebraicae . Leipzig, Alemania: Teubner, págs. 350–369, 1921. (facsímil)
  12. ^ ab Müller, M. "Reihenalgebra: ¿Qué viene más allá de la exponenciación?" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2013-12-02 . Consultado el 2018-12-12 .
  13. ^ Trappmann, Henryk; Kouznetsov, Dmitrii (28 de junio de 2010). «5+ métodos para la tetración analítica real» . Consultado el 5 de diciembre de 2018 .
  14. ^ Andrew Robbins. Resolución de la extensión analítica por partes de la tetración y el superlogaritmo. Las extensiones se encuentran en la segunda parte del artículo, "Comienzo de los resultados".
  15. ^ Paulsen, W.; Cowgill, S. (marzo de 2017). "Resolución de F ( z + 1 ) = b F ( z ) {\displaystyle F(z+1)=b^{F(z)}} en el plano complejo" (PDF) . Avances en Matemática Computacional . 43 : 1–22. doi :10.1007/s10444-017-9524-1. S2CID  9402035.
  16. ^ Kouznetsov, D. (julio de 2009). "Solución de F ( z + 1 ) = exp ⁡ ( F ( z ) ) {\displaystyle F(z+1)=\exp(F(z))} en el plano complejo z {\displaystyle z}" (PDF) . Matemáticas de la computación . 78 (267): 1647–1670. doi : 10.1090/S0025-5718-09-02188-7 .
  17. ^ Kneser, H. (1950). "Reelle analytische Lösungen der Gleichung und verwandter Funktionalgleichungen". Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán). 187 : 56–67.
  18. ^ Paulsen, W. (junio de 2018). "Tetración para bases complejas". Avances en Matemática Computacional . 45 : 243–267. doi :10.1007/s10444-018-9615-7. S2CID  67866004.
  19. ^ ab Corless, RM; Gonnet, GH; Hare, DEG; Jeffrey, DJ; Knuth, DE (1996). "Sobre la función W de Lambert" ( PostScript ) . Avances en Matemática Computacional . 5 : 333. arXiv : 1809.07369 . doi :10.1007/BF02124750. S2CID  29028411.
  20. ^ Krishnam, R. (2004), "Autoorganización eficiente de grandes redes de sensores inalámbricos" – Tesis, BOSTON UNIVERSITY, COLLEGE OF ENGINEERING. págs. 37–40
  21. ^ ab Marshall, Ash J., y Tan, Yiren, "Un número racional de la forma aa con un irracional", Mathematical Gazette 96, marzo de 2012, págs. 106-109.
  22. ^ Bischoff, Manon (24 de enero de 2024). «Una afirmación descabellada sobre los poderes de Pi crea un misterio trascendental». Scientific American . Archivado desde el original el 24 de abril de 2024. Consultado el 23 de abril de 2024 .
  23. ^ Cheng, Chuangxun; Dietel, Brian; Herblot, Mathilde; Huang, Jingjing; Krieger, Holly; Marques, Diego; Mason, Jonathan; Mereb, Martin; Wilson, S. Robert (2009). "Algunas consecuencias de la conjetura de Schanuel". Journal of Number Theory . 129 : 1464–1467. arXiv : 0804.3550 .
  24. ^ Jacob Fox, Una nueva prueba del lema de eliminación de grafos, preimpresión de arXiv (2010). arXiv:1006.1300 [math.CO]

Lectura adicional