Independencia algebraica

Conjunto sin igualdades polinómicas no triviales

En álgebra abstracta , un subconjunto de un campo es algebraicamente independiente respecto de un subcampo si los elementos de no satisfacen ninguna ecuación polinomial no trivial con coeficientes en . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle K}$

En particular, un conjunto de un elemento es algebraicamente independiente sobre si y solo si es trascendental sobre . En general, todos los elementos de un conjunto algebraicamente independiente sobre son necesariamente trascendentales sobre , y sobre todas las extensiones de cuerpo sobre generadas por los elementos restantes de . ${\displaystyle \{\alpha \}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$

Ejemplo

Los dos números reales y son cada uno números trascendentales : no son raíces de ningún polinomio no trivial cuyos coeficientes sean números racionales . Por lo tanto, cada uno de los dos conjuntos unitarios y es algebraicamente independiente en el cuerpo de números racionales. ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ ${\displaystyle 2\pi +1}$ ${\displaystyle \{{\sqrt {\pi }}\}}$ ${\displaystyle \{2\pi +1\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Sin embargo, el conjunto no es algebraicamente independiente sobre los números racionales, porque el polinomio no trivial ${\displaystyle \{{\sqrt {\pi }},2\pi +1\}}$

${\displaystyle P(x,y)=2x^{2}-y+1}$

es cero cuando y . ${\displaystyle x={\sqrt {\pi }}}$ ${\displaystyle y=2\pi +1}$

Independencia algebraica de constantes conocidas

Aunque se sabe que tanto e como e son trascendentales, no se sabe si el conjunto de ambos es algebraicamente independiente sobre . ^[1] De hecho, ni siquiera se sabe si es irracional. ^[2] Nesterenko demostró en 1996 que: ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \pi +e}$

• Los números , , y , donde es la función gamma , son algebraicamente independientes sobre . ^[3] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle e^{\pi }}$ ${\displaystyle \Gamma (1/4)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Los números y son algebraicamente independientes sobre . ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle \Gamma (1/3)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Para todos los números enteros positivos , el número es algebraicamente independiente sobre . ^[4] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Teorema de Lindemann-Weierstrass

El teorema de Lindemann-Weierstrass se puede utilizar a menudo para demostrar que algunos conjuntos son algebraicamente independientes sobre . Afirma que siempre que sean números algebraicos que sean linealmente independientes sobre , entonces también serán algebraicamente independientes sobre . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Matroides algebraicas

Dada una extensión de campo que no sea algebraica, se puede utilizar el lema de Zorn para demostrar que siempre existe un subconjunto algebraicamente independiente máximo de más de . Además, todos los subconjuntos algebraicamente independientes máximos tienen la misma cardinalidad , conocida como el grado de trascendencia de la extensión. ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$

Para cada conjunto de elementos de , los subconjuntos algebraicamente independientes de satisfacen los axiomas que definen los conjuntos independientes de un matroide . En este matroide, el rango de un conjunto de elementos es su grado de trascendencia, y el plano generado por un conjunto de elementos es la intersección de con el cuerpo . Un matroide que se puede generar de esta manera se llama matroide algebraico . No se conoce una buena caracterización de los matroides algebraicos, pero se sabe que ciertos matroides no son algebraicos; el más pequeño es el matroide Vámos . ^[5] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K[T]}$

Muchos matroides finitos pueden representarse mediante una matriz sobre un cuerpo , en la que los elementos del matroide corresponden a columnas de la matriz, y un conjunto de elementos es independiente si el conjunto correspondiente de columnas es linealmente independiente . Cada matroide con una representación lineal de este tipo también puede representarse como un matroide algebraico, eligiendo un indeterminado para cada fila de la matriz, y utilizando los coeficientes de la matriz dentro de cada columna para asignar a cada elemento del matroide una combinación lineal de estos trascendentales. La inversa es falsa: no todo matroide algebraico tiene una representación lineal. ^[6] ${\displaystyle K}$

Referencias

1. Patrick Morandi (1996). Campo y teoría de Galois. Springer. pág. 174. ISBN 978-0-387-94753-2. Recuperado el 11 de abril de 2008 .
2. Green, Ben (2008), "III.41 Números irracionales y trascendentales", en Gowers, Timothy (ed.), The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, pág. 222
3. Manin, Yu. I. ; Panchishkin, AA (2007). Introducción a la teoría de números moderna . Enciclopedia de ciencias matemáticas. Vol. 49 (segunda edición). pág. 61. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN  0938-0396. Zbl  1079.11002.
4. Nesterenko, Yuri V (1996). "Funciones modulares y problemas de trascendencia". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias, Serie I. 322 (10): 909–914.
5. Ingleton, AW; Main, RA (1975), "Existen matroides no algebraicos", Boletín de la Sociedad Matemática de Londres , 7 (2): 144–146, doi :10.1112/blms/7.2.144, MR  0369110.
6. Joshi, KD (1997), Estructuras discretas aplicadas, New Age International, pág. 909, ISBN 9788122408263.

Enlaces externos

• Chen, Johnny. "Algebraicamente independiente". MathWorld .