Álgebra de Super-Poincaré

Generalización supersimétrica del álgebra de Poincaré

En física teórica , una superálgebra de Poincaré es una extensión del álgebra de Poincaré para incorporar la supersimetría , una relación entre bosones y fermiones . Son ejemplos de álgebras de supersimetría (sin cargas centrales o simetrías internas), y son superálgebras de Lie . Por lo tanto, una superálgebra de Poincaré es un espacio vectorial graduado Z 2 con un corchete de Lie graduado tal que la parte par es un álgebra de Lie que contiene el álgebra de Poincaré, y la parte impar está construida a partir de espinores en los que hay una relación de anticonmutación con valores en la parte par.

Boceto informal

El álgebra de Poincaré describe las isometrías del espaciotiempo de Minkowski . A partir de la teoría de representación del grupo de Lorentz , se sabe que el grupo de Lorentz admite dos representaciones de espinores complejos no equivalentes, denominadas y . ^{[nb 1]} Tomando su producto tensorial , se obtiene ; tales descomposiciones de productos tensoriales de representaciones en sumas directas se dan por la regla de Littlewood-Richardson . ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\overline {2}}}$ ${\displaystyle 2\otimes {\overline {2}}=3\oplus 1}$

Normalmente, se considera que una descomposición de este tipo se refiere a partículas específicas: así, por ejemplo, el pión , que es una partícula vectorial quiral , está compuesto por un par quark -antiquark. Sin embargo, también se podría identificar con el propio espacio-tiempo de Minkowski. Esto conduce a una pregunta natural: si el espacio-tiempo de Minkowski pertenece a la representación adjunta , ¿puede entonces extenderse la simetría de Poincaré a la representación fundamental ? Bueno, sí se puede: esto es exactamente el superálgebra de Poincaré. Hay una pregunta experimental correspondiente: si vivimos en la representación adjunta, ¿dónde se esconde entonces la representación fundamental? Este es el programa de la supersimetría , que no se ha encontrado experimentalmente. ${\displaystyle 3\oplus 1}$

Historia

El álgebra de super-Poincaré fue propuesta por primera vez en el contexto del teorema de Haag–Łopuszański–Sohnius , como un medio para evitar las conclusiones del teorema de Coleman–Mandula . Es decir, el teorema de Coleman–Mandula es un teorema de no-go que establece que el álgebra de Poincaré no puede extenderse con simetrías adicionales que podrían describir las simetrías internas del espectro de partículas físicas observado. Sin embargo, el teorema de Coleman–Mandula asumió que la extensión del álgebra sería por medio de un conmutador; esta suposición, y por lo tanto el teorema, se pueden evitar considerando el anticonmutador, es decir, empleando números de Grassmann anticonmutadores . La propuesta fue considerar un álgebra de supersimetría , definida como el producto semidirecto de una extensión central del álgebra de super-Poincaré por un álgebra de Lie compacta de simetrías internas.

Definición

La extensión supersimétrica más simple del álgebra de Poincaré contiene dos espinores de Weyl con la siguiente relación de anticonmutación:

${\displaystyle \{Q_{\alpha },{\bar {Q}}_{\dot {\beta }}\}=2{\sigma ^{\mu }}_{\alpha {\dot {\beta }}}P_{\mu }}$

y todas las demás relaciones de anticonmutación entre los Q y los P se desvanecen. ^[1] Los operadores se conocen como supercargas . En la expresión anterior son los generadores de la traslación y son las matrices de Pauli . El índice recorre los valores Se utiliza un punto sobre el índice para recordar que este índice se transforma de acuerdo con la representación del espinor conjugado no equivalente; nunca se deben contraer accidentalmente estos dos tipos de índices. Las matrices de Pauli pueden considerarse una manifestación directa de la regla de Littlewood-Richardson mencionada anteriormente: indican cómo el producto tensorial de los dos espinores puede reexpresarse como un vector. El índice, por supuesto, varía sobre las dimensiones del espacio-tiempo. ${\displaystyle Q_{\alpha },{\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}}$ ${\displaystyle P_{\mu }}$ ${\displaystyle \sigma ^{\mu }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =1,2.}$ ${\displaystyle {\dot {\beta }}}$ ${\displaystyle 2\otimes {\overline {2}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu =0,1,2,3.}$

Es conveniente trabajar con espinores de Dirac en lugar de espinores de Weyl; un espinor de Dirac puede considerarse como un elemento de ; tiene cuatro componentes. Las matrices de Dirac son, por lo tanto, también cuatridimensionales y pueden expresarse como sumas directas de las matrices de Pauli. El producto tensorial da entonces una relación algebraica con la métrica de Minkowski que se expresa como: ${\displaystyle 2\oplus {\overline {2}}}$ ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$

${\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=2g^{\mu \nu }}$

y

${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }={\frac {i}{2}}\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right]}$

Esto entonces nos da el álgebra completa ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[M^{\mu \nu },Q_{\alpha }\right]&={\frac {1}{2}}(\sigma ^{\mu \nu })_{\alpha }^{\;\;\beta }Q_{\beta }\\\left[Q_{\alpha },P^{\mu }\right]&=0\\\{Q_{\alpha },{\bar {Q}}_{\dot {\beta }}\}&=2(\sigma ^{\mu })_{\alpha {\dot {\beta }}}P_{\mu }\\\end{aligned}}}$

que se combinan con el álgebra normal de Poincaré . Es un álgebra cerrada, ya que se satisfacen todas las identidades de Jacobi y puede tener representaciones matriciales explícitas. Seguir esta línea de razonamiento conducirá a la supergravedad .

Supersimetría extendida

Es posible agregar más supercargas. Es decir, fijamos un número que por convención se denomina , y definimos las supercargas con ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle Q_{\alpha }^{I},{\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}^{I}}$ ${\displaystyle I=1,\cdots ,{\mathcal {N}}.}$

Se puede pensar que son muchas copias de las supercargas originales y, por lo tanto, satisfacen

${\displaystyle [M^{\mu \nu },Q_{\alpha }^{I}]=(\sigma ^{\mu \nu })_{\alpha }{}^{\beta }Q_{\beta }^{I}}$

${\displaystyle [P^{\mu },Q_{\alpha }^{I}]=0}$

y

${\displaystyle \{Q_{\alpha }^{I},{\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}^{J}\}=2\sigma _{\alpha {\dot {\alpha }}}^{\mu }P_{\mu }\delta ^{IJ}}$

pero también puede satisfacer

${\displaystyle \{Q_{\alpha }^{I},Q_{\beta }^{J}\}=\epsilon _{\alpha \beta }Z^{IJ}}$

y

${\displaystyle \{{\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}^{I},{\bar {Q}}_{\dot {\beta }}^{J}\}=\epsilon _{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}Z^{\dagger IJ}}$

¿Dónde está la carga central ? ${\displaystyle Z^{IJ}=-Z^{JI}}$

Grupo super-Poincaré y superespacio

Así como el álgebra de Poincaré genera el grupo de Poincaré de isometrías del espacio de Minkowski, el superálgebra de Poincaré, un ejemplo de superálgebra de Lie, genera lo que se conoce como supergrupo . Esto se puede utilizar para definir un superespacio con supercargas: estas son las clases laterales derechas del grupo de Lorentz dentro del supergrupo de Poincaré. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

Así como tiene la interpretación como generador de traslaciones del espacio-tiempo, las cargas , con , tienen la interpretación como generadoras de traslaciones del superespacio en las 'coordenadas de espín' del superespacio. Es decir, podemos ver al superespacio como la suma directa del espacio de Minkowski con 'dimensiones de espín' etiquetadas por las coordenadas . La supercarga genera traslaciones en la dirección etiquetada por la coordenada Contando, hay dimensiones de espín. ${\displaystyle P_{\mu }}$ ${\displaystyle Q_{\alpha }^{I},{\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}^{I}}$ ${\displaystyle I=1,\cdots ,{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \theta _{\alpha }^{I},{\bar {\theta }}^{I{\dot {\alpha }}}}$ ${\displaystyle Q_{\alpha }^{I}}$ ${\displaystyle \theta _{\alpha }^{I}.}$ ${\displaystyle 4{\mathcal {N}}}$

Notación para superespacio

Por lo tanto, el superespacio que consiste en el espacio de Minkowski con supercargas se etiqueta como o, a veces, simplemente como . ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3|4{\mathcal {N}}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4|4{\mathcal {N}}}}$

SUSY en el espacio-tiempo de Minkowski 3+1

En el espaciotiempo de Minkowski (3 + 1) , el teorema de Haag–Łopuszański–Sohnius establece que el álgebra SUSY con N generadores de espinores es el siguiente.

La parte par de la superálgebra de Lie en estrella es la suma directa del álgebra de Poincaré y un álgebra de Lie reductiva B (tal que su parte autoadjunta es el espacio tangente de un grupo de Lie compacto real ). La parte impar del álgebra sería

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}},0\right)\otimes V\oplus \left(0,{\frac {1}{2}}\right)\otimes V^{*}}$

donde y son representaciones específicas del álgebra de Poincaré. (En comparación con la notación utilizada anteriormente en el artículo, estas corresponden a y , respectivamente; consulte también la nota al pie donde se introdujo la notación anterior). Ambos componentes son conjugados entre sí bajo la conjugación *. V es una representación compleja N -dimensional de B y V ^* es su representación dual . El corchete de Lie para la parte impar está dado por un emparejamiento equivariante simétrico {.,.} en la parte impar con valores en la parte par. En particular, su entrelazador reducido de al ideal del álgebra de Poincaré generado por traslaciones se da como el producto de un entrelazador distinto de cero de a (1/2,1/2) por el "entrelazador de contracción" de a la representación trivial . Por otro lado, su entrelazador reducido de es el producto de un entrelazador (antisimétrico) de a (0,0) y un entrelazador antisimétrico A de a B . Conjugúelo para obtener el caso correspondiente para la otra mitad. ${\displaystyle (1/2,0)}$ ${\displaystyle (0,1/2)}$ ${\displaystyle {\overline {2}}\oplus 1}$ ${\displaystyle 1\oplus 2}$ ${\displaystyle \left[\left({\frac {1}{2}},0\right)\otimes V\right]\otimes \left[\left(0,{\frac {1}{2}}\right)\otimes V^{*}\right]}$ ${\displaystyle \left({\frac {1}{2}},0\right)\otimes \left(0,{\frac {1}{2}}\right)}$ ${\displaystyle V\otimes V^{*}}$ ${\displaystyle \left[\left({\frac {1}{2}},0\right)\otimes V\right]\otimes \left[\left({\frac {1}{2}},0\right)\otimes V\right]}$ ${\displaystyle \left({\frac {1}{2}},0\right)\otimes \left({\frac {1}{2}},0\right)}$ ${\displaystyle N^{2}}$

norte= 1

B es ahora (llamado simetría R) y V es la representación 1D de con carga 1. A (el entrelazador definido anteriormente) tendría que ser cero ya que es antisimétrico. ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)}$

En realidad, hay dos versiones de N=1 SUSY, una sin (es decir, B es cero-dimensional) y la otra con . ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)}$

norte= 2

B es ahora y V es la representación doblete 2D de con una carga cero . Ahora, A es un entrelazador distinto de cero para la parte de B. ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {u}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)}$

Alternativamente, V podría ser un doblete 2D con una carga distinta de cero. En este caso, A tendría que ser cero. ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)}$

Otra posibilidad sería dejar que B sea . V es invariante bajo y y se descompone en una repetición unidimensional con carga 1 y otra repetición unidimensional con carga -1. El entrelazador A sería complejo con la parte real mapeándose a y la parte imaginaria mapeándose a . ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)_{A}\oplus {\mathfrak {u}}(1)_{B}\oplus {\mathfrak {u}}(1)_{C}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)_{B}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)_{C}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)_{A}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)_{B}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)_{C}}$

O podríamos tener a B siendo V el representante doble de con cargas cero y A siendo un entrelazador complejo con la parte real mapeándose a y la parte imaginaria a . ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {u}}(1)_{A}\oplus {\mathfrak {u}}(1)_{B}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)_{A}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)_{B}}$

Esto ni siquiera agota todas las posibilidades. Vemos que hay más de una  supersimetría N = 2; asimismo, las SUSY para N  > 2 tampoco son únicas (de hecho, la cosa solo empeora).

norte= 3

En teoría, está permitido, pero la estructura de multipletes se vuelve automáticamente la misma que la de una teoría supersimétrica N = 4. Por lo tanto, se la discute con menos frecuencia en comparación con la versión N = 1,2,4. ^{[ cita requerida ]}

norte= 4

Este es el número máximo de supersimetrías en una teoría sin gravedad.

norte= 8

Este es el número máximo de supersimetrías en cualquier teoría supersimétrica. Más allá de , cualquier supermultiplete sin masa contiene un sector con helicidad tal que . Tales teorías sobre el espacio de Minkowski deben ser libres (no interactuantes). ${\displaystyle {\mathcal {N}}=8}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle |\lambda |>2}$

SUSY en varias dimensiones

En las dimensiones 0 + 1, 2 + 1, 3 + 1, 4 + 1, 6 + 1, 7 + 1, 8 + 1 y 10 + 1, un álgebra SUSY se clasifica por un entero  positivo N.

En las dimensiones 1 + 1, 5 + 1 y 9 + 1, un álgebra SUSY se clasifica mediante dos números enteros no negativos ( M ,  N ), al menos uno de los cuales es distinto de cero. M representa el número de SUSY zurdos y N representa el número de SUSY diestros.

La razón de esto tiene que ver con las condiciones de realidad de los espinores .

En adelante, d  = 9 significa d  = 8 + 1 en la firma de Minkowski, etc. La estructura del álgebra de supersimetría está determinada principalmente por el número de generadores fermiónicos, es decir, el número N multiplicado por la dimensión real del espinor en d dimensiones. Esto se debe a que se puede obtener fácilmente un álgebra de supersimetría de menor dimensión a partir de una de mayor dimensionalidad mediante el uso de la reducción dimensional.

Límite superior de dimensión de las teorías supersimétricas

La dimensión máxima permitida de las teorías con supersimetría es , lo que admite una teoría única llamada supergravedad de once dimensiones que es el límite de baja energía de la teoría M. Esto incorpora la supergravedad: sin supergravedad, la dimensión máxima permitida es . ^[3] ${\displaystyle d=11=10+1}$ ${\displaystyle d=10=9+1}$

d = 11

El único ejemplo es la supersimetría N  = 1 con 32 supercargas.

d = 10

De d  = 11, N  = 1 SUSY, se obtiene N  = (1, 1) álgebra SUSY no quiral, que también se denomina supersimetría de tipo IIA . También existe el álgebra SUSY N  = (2, 0), que se denomina supersimetría de tipo IIB . Ambas tienen 32 supercargas.

El álgebra SUSY de 16 supercargas N  = (1, 0) es el álgebra SUSY mínima en 10 dimensiones. También se denomina supersimetría de tipo I. La teoría de supercuerdas de tipo IIA/IIB/I tiene el álgebra SUSY del nombre correspondiente. El álgebra de supersimetría para las supercuerdas heteróticas es la de tipo I.

Observaciones

1. Las representaciones barradas son lineales conjugadas mientras que las no barradas son lineales complejas. El numeral se refiere a la dimensión del espacio de representación . Otra notación más común es escribir ( 1 ⁄ 2 , 0) y (0, 1 ⁄ 2 ) respectivamente para estas representaciones. La representación irreducible general es entonces ( m , n ) , donde m, n son semiintegrales y corresponden físicamente al contenido de espín de la representación, que va desde | m + n | a | m − n | en pasos enteros, cada espín ocurriendo exactamente una vez.

Notas

1. Aitchison 2005
2. van Nieuwenhuizen 1981, pág. 274
3. Tong, David. "Supersimetría". www.damtp.cam.ac.uk . Consultado el 3 de abril de 2023 .

Referencias

• Aitchison, Ian JR (2005). "Supersimetría y el MSSM: una introducción elemental". arXiv : hep-ph/0505105 .
• Gol'fand, YA ; Likhtman, EP (1971). "Extensión del álgebra de los generadores de grupos de Poincaré y violación de la invariancia P". JETP Lett. 13 : 323–326. Código Bibliográfico :1971JETPL..13..323G.
• van Nieuwenhuizen, P. (1981). "Supergravedad". Física. Representante 68 (4): 189–398. Código bibliográfico : 1981PhR....68..189V. doi :10.1016/0370-1573(81)90157-5.
• Volkov, DV; Akulov, VP (1972). "Posible interacción universal de neutrinos". JETP Lett . 16 (11): 621 pp.
• Volkov, DV; Akulov, VP (1973). "¿Es el neutrino una partícula de piedra de oro?". Phys. Lett. B . 46 (1): 109–110. Bibcode :1973PhLB...46..109V. doi :10.1016/0370-2693(73)90490-5.
• Weinberg, Steven (2000). Supersimetría . La teoría cuántica de campos. Vol. 3 (1.ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press . ISBN. 978-0521670555.
• Wess, J. ; Zumino, B. (1974). "Transformaciones de supercalibre en cuatro dimensiones". Física nuclear B . 70 (1): 39–50. Código Bibliográfico :1974NuPhB..70...39W. doi :10.1016/0550-3213(74)90355-1.