Suma

Suma de varios números u otros valores.

En matemáticas , la suma es la suma de una secuencia de números , llamados sumandos o sumandos ; el resultado es su suma o total . Además de los números, también se pueden sumar otros tipos de valores: funciones , vectores , matrices , polinomios y, en general, elementos de cualquier tipo de objetos matemáticos sobre los que se define una operación denotada por "+".

Las sumatorias de sucesiones infinitas se llaman series . Implican el concepto de límite y no se consideran en este artículo.

La suma de una secuencia explícita se denota como una sucesión de adiciones. Por ejemplo, la suma de [1, 2, 4, 2] se denota 1 + 2 + 4 + 2 y da como resultado 9, es decir, 1 + 2 + 4 + 2 = 9 . Como la suma es asociativa y conmutativa , no hay necesidad de paréntesis y el resultado es el mismo independientemente del orden de las sumas. La suma de una secuencia de un solo elemento da como resultado este elemento en sí. La suma de una secuencia vacía (una secuencia sin elementos), por convención, da como resultado 0.

Muy a menudo, los elementos de una secuencia se definen, mediante un patrón regular, en función de su lugar en la secuencia. Para patrones simples, la suma de secuencias largas se puede representar reemplazando la mayoría de los sumandos por elipses. Por ejemplo, la suma de los primeros 100 números naturales se puede escribir como 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 99 + 100 . De lo contrario, la suma se denota utilizando la notación Σ, donde es una letra griega mayúscula sigma ampliada . Por ejemplo, la suma de los primeros n números naturales se puede denotar como ${\textstyle \sum }$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}i.}$

Para sumatorias largas y sumatorias de longitud variable (definidas con elipses o notación Σ), es un problema común encontrar expresiones de forma cerrada para el resultado. Por ejemplo, ^[un]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}.}$

Aunque este tipo de fórmulas no siempre existen, se han descubierto muchas fórmulas de suma; algunas de las más comunes y elementales se enumeran en el resto de este artículo.

Notación

Notación sigma mayúscula

El símbolo de suma

La notación matemática utiliza un símbolo que representa de forma compacta la suma de muchos términos similares: el símbolo de suma , una forma ampliada de la letra griega mayúscula vertical sigma . Esto se define como ${\textstyle \sum }$

${\displaystyle \sum _{i\mathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}}$

donde i es el índice de sumatoria ; a _i es una variable indexada que representa cada término de la suma; m es el límite inferior de la sumatoria y n es el límite superior de la sumatoria . El " i = m " debajo del símbolo de suma significa que el índice i comienza igual a m . El índice, i , se incrementa en uno para cada término sucesivo y se detiene cuando i = n . ^[b]

Esto se lee como "suma de a _i , de i = ma n " .

A continuación se muestra un ejemplo que muestra la suma de cuadrados:

${\displaystyle \sum _{i=3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86.}$

En general, si bien cualquier variable puede usarse como índice de sumatoria (siempre que no se incurra en ambigüedad), algunas de las más comunes incluyen letras como , ^[c] , y ; este último también se utiliza a menudo para el límite superior de una suma. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

Alternativamente, el índice y los límites de sumatoria a veces se omiten de la definición de sumatoria si el contexto es suficientemente claro. Esto se aplica particularmente cuando el índice va de 1 a n . ^[1] Por ejemplo, se podría escribir que:

${\displaystyle \sum a_{i}^{2}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}.}$

A menudo se utilizan generalizaciones de esta notación, en las que se proporciona una condición lógica arbitraria y se pretende que la suma incluya todos los valores que satisfacen la condición. Por ejemplo:

${\displaystyle \sum _{0\leq k<100}f(k)}$

es una notación alternativa para la suma de todos ( enteros ) en el rango especificado. Similarmente, ${\textstyle \sum _{k=0}^{99}f(k),}$ ${\displaystyle f(k)}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \sum _{x\mathop {\in } S}f(x)}$

es la suma de todos los elementos del conjunto , y ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \sum _{d\,|\,n}\;\mu (d)}$

es la suma de todos los números enteros positivos dividiendo . ^[d] ${\displaystyle \mu (d)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$

También hay formas de generalizar el uso de muchos signos sigma. Por ejemplo,

${\displaystyle \sum _{i,j}}$

es lo mismo que

${\displaystyle \sum _{i}\sum _{j}.}$

Se utiliza una notación similar para el producto de una secuencia , donde se utiliza una forma ampliada de la letra mayúscula griega pi , en lugar de ${\textstyle \prod }$ ${\textstyle \sum .}$

Casos especiales

Es posible sumar menos de 2 números:

• Si la suma tiene un sumando , entonces la suma evaluada es . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• Si la suma no tiene sumandos, entonces la suma evaluada es cero , porque cero es la identidad de la suma. Esto se conoce como suma vacía .

Estos casos degenerados normalmente sólo se utilizan cuando la notación de suma da un resultado degenerado en un caso especial. Por ejemplo, si en la definición anterior, entonces solo hay un término en la suma; si entonces no hay ninguno. ${\displaystyle n=m}$ ${\displaystyle n=m-1}$

suma algebraica

La frase "suma algebraica" se refiere a una suma de términos que pueden tener signos positivos o negativos. Los términos con signos positivos se suman, mientras que los términos con signos negativos se restan.

Definicion formal

La suma se puede definir de forma recursiva de la siguiente manera:

${\displaystyle \sum _{i=a}^{b}g(i)=0}$, para ; ${\displaystyle b<a}$

${\displaystyle \sum _{i=a}^{b}g(i)=g(b)+\sum _{i=a}^{b-1}g(i)}$, para . ${\displaystyle b\geqslant a}$

Notación de la teoría de la medida

En la notación de la teoría de la medida y la integración , una suma se puede expresar como una integral definida ,

${\displaystyle \sum _{k\mathop {=} a}^{b}f(k)=\int _{[a,b]}f\,d\mu }$

¿Dónde está el subconjunto de los números enteros desde hasta y dónde está la medida de conteo sobre los números enteros? ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mu }$

Cálculo de diferencias finitas

Dada una función f que se define sobre los números enteros en el intervalo [ m , n ] , se cumple la siguiente ecuación:

${\displaystyle f(n)-f(m)=\sum _{i=m}^{n-1}(f(i+1)-f(i)).}$

Esto se conoce como serie telescópica y es análogo al teorema fundamental del cálculo en cálculo de diferencias finitas , que establece que:

${\displaystyle f(n)-f(m)=\int _{m}^{n}f'(x)\,dx,}$

dónde

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

es la derivada de f .

Un ejemplo de aplicación de la ecuación anterior es el siguiente:

${\displaystyle n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}\left((i+1)^{k}-i^{k}\right).}$

Usando el teorema del binomio , esto puede reescribirse como:

${\displaystyle n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}{\biggl (}\sum _{j=0}^{k-1}{\binom {k}{j}}i^{j}{\biggr )}.}$

La fórmula anterior se usa más comúnmente para invertir el operador de diferencia , definido por: ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \Delta (f)(n)=f(n+1)-f(n),}$

donde f es una función definida sobre los números enteros no negativos. Por lo tanto, dada tal función f , el problema es calcular la antidiferencia de f , una función tal que . Es decir, esta función se define hasta la suma de una constante y se puede elegir como ^[2] ${\displaystyle F=\Delta ^{-1}f}$ ${\displaystyle \Delta F=f}$ ${\displaystyle F(n+1)-F(n)=f(n).}$

${\displaystyle F(n)=\sum _{i=0}^{n-1}f(i).}$

No siempre existe una expresión cerrada para tal suma, pero la fórmula de Faulhaber proporciona una forma cerrada en el caso de y, por linealidad , para cada función polinómica de n . ${\displaystyle f(n)=n^{k}}$

Aproximación por integrales definidas

Muchas de estas aproximaciones se pueden obtener mediante la siguiente conexión entre sumas e integrales , que es válida para cualquier función creciente f :

${\displaystyle \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds.}$

y para cualquier función decreciente f :

${\displaystyle \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds.}$

Para aproximaciones más generales, consulte la fórmula de Euler-Maclaurin .

Para sumatorias en las que el sumando viene dado (o puede ser interpolado) por una función integrable del índice, la sumatoria puede interpretarse como una suma de Riemann que ocurre en la definición de la integral definida correspondiente. Por lo tanto, se puede esperar que, por ejemplo,

${\displaystyle {\frac {b-a}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)\approx \int _{a}^{b}f(x)\ dx,}$

ya que el lado derecho es por definición el límite del lado izquierdo. Sin embargo, para una suma dada n es fija, y poco se puede decir sobre el error en la aproximación anterior sin suposiciones adicionales sobre f : está claro que para funciones muy oscilantes la suma de Riemann puede estar arbitrariamente lejos de la integral de Riemann. ${\displaystyle n\to \infty }$

Identidades

Las fórmulas siguientes implican sumas finitas; para sumas infinitas o sumas finitas de expresiones que involucran funciones trigonométricas u otras funciones trascendentales , consulte la lista de series matemáticas .

Identidades generales

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)\quad }$( distributividad ) ^[3]

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)\pm \sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left(f(n)\pm g(n)\right)\quad }$( conmutatividad y asociatividad ) ^[3]

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)\quad }$(cambio de índice)

${\displaystyle \sum _{n\in B}f(n)=\sum _{m\in A}f(\sigma (m)),\quad }$para una biyección σ de un conjunto finito A a un conjunto B (cambio de índice); esto generaliza la fórmula anterior.

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)\quad }$(dividiendo una suma, usando asociatividad )

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)=\sum _{n=0}^{b}f(n)-\sum _{n=0}^{a-1}f(n)\quad }$(una variante de la fórmula anterior)

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t-s}f(t-n)\quad }$(la suma desde el primer término hasta el último es igual a la suma desde el último hasta el primero)

${\displaystyle \sum _{n=0}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t}f(t-n)\quad }$(un caso particular de la fórmula anterior)

${\displaystyle \sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}\quad }$(conmutatividad y asociatividad, nuevamente)

${\displaystyle \sum _{k\leq j\leq i\leq n}a_{i,j}=\sum _{i=k}^{n}\sum _{j=k}^{i}a_{i,j}=\sum _{j=k}^{n}\sum _{i=j}^{n}a_{i,j}=\sum _{j=0}^{n-k}\sum _{i=k}^{n-j}a_{i+j,i}\quad }$(otra aplicación de conmutatividad y asociatividad)

${\displaystyle \sum _{n=2s}^{2t+1}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(2n)+\sum _{n=s}^{t}f(2n+1)\quad }$(dividir una suma en sus partes pares e impares , para índices pares)

${\displaystyle \sum _{n=2s+1}^{2t}f(n)=\sum _{n=s+1}^{t}f(2n)+\sum _{n=s+1}^{t}f(2n-1)\quad }$(dividir una suma en sus partes pares e impares, para índices impares)

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=0}^{n}b_{j}{\biggr )}=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{n}a_{i}b_{j}\quad }$( distributividad )

${\displaystyle \sum _{i=s}^{m}\sum _{j=t}^{n}{a_{i}}{c_{j}}={\biggl (}\sum _{i=s}^{m}a_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=t}^{n}c_{j}{\biggr )}\quad }$(la distributividad permite la factorización)

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}\log _{b}f(n)=\log _{b}\prod _{n=s}^{t}f(n)\quad }$(el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores)

${\displaystyle C^{\sum \limits _{n=s}^{t}f(n)}=\prod _{n=s}^{t}C^{f(n)}\quad }$(el exponencial de una suma es el producto del exponencial de los sumandos)

${\displaystyle \sum _{m=0}^{k}\sum _{n=0}^{m}f(m,n)=\sum _{m=0}^{k}\sum _{n=m}^{k}f(n,m),\quad }$para cualquier función de . ${\textstyle f}$ ${\textstyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$

Potencias y logaritmo de progresiones aritméticas.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c=nc\quad }$por cada c que no depende de i

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}\qquad }$(Suma de la progresión aritmética más simple , formada por los primeros n números naturales.) ^{[2] : 52}

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2}\qquad }$(Suma de los primeros números naturales impares)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}2i=n(n+1)\qquad }$(Suma de los primeros números naturales pares)

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log i=\log n!\qquad }$(Una suma de logaritmos es el logaritmo del producto)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{2}=\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}\qquad }$(Suma de los primeros cuadrados , ver número piramidal cuadrado .) ^{[2] : 52}

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}={\biggl (}\sum _{i=0}^{n}i{\biggr )}^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}\qquad }$( Teorema de Nicómaco ) ^{[2] : 52}

De manera más general, se tiene la fórmula de Faulhaber para ${\displaystyle p>1}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {n^{p+1}}{p+1}}+{\frac {1}{2}}n^{p}+\sum _{k=2}^{p}{\binom {p}{k}}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}\,n^{p-k+1},}$

donde denota un número de Bernoulli y es un coeficiente binomial . ${\displaystyle B_{k}}$ ${\displaystyle {\binom {p}{k}}}$

Índice de suma en exponentes

En las siguientes sumas, se supone que a es diferente de 1.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={\frac {1-a^{n}}{1-a}}}$(suma de una progresión geométrica )

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{2^{i}}}=2-{\frac {1}{2^{n-1}}}}$(caso especial para a = 1/2 )

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}={\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}}$( a multiplicado por la derivada con respecto a a de la progresión geométrica)

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n-1}\left(b+id\right)a^{i}&=b\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}+d\sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}\\&=b\left({\frac {1-a^{n}}{1-a}}\right)+d\left({\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}\right)\\&={\frac {b(1-a^{n})-(n-1)da^{n}}{1-a}}+{\frac {da(1-a^{n-1})}{(1-a)^{2}}}\end{aligned}}}$

(suma de una secuencia aritmético-geométrica )

Coeficientes binomiales y factoriales.

Existen muchísimas identidades de suma que involucran coeficientes binomiales (un capítulo completo de Matemáticas Concretas está dedicado solo a las técnicas básicas). Algunos de los más básicos son los siguientes.

Implicando el teorema del binomio

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{n-i}b^{i}=(a+b)^{n},}$el teorema del binomio

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n},}$el caso especial donde a = b = 1

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}=1}$, el caso especial donde p = a = 1 − b , que, para expresa la suma de la distribución binomial ${\displaystyle 0\leq p\leq 1,}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i{n \choose i}=n(2^{n-1}),}$el valor en a = b = 1 de la derivada con respecto a a del teorema del binomio

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {n \choose i}{i+1}}={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}},}$el valor en a = b = 1 de la antiderivada con respecto a a del teorema del binomio

Involucrando números de permutación

En las siguientes sumas, es el número de k -permutaciones de n . ${\displaystyle {}_{n}P_{k}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{}_{i}P_{k}{n \choose i}={}_{n}P_{k}(2^{n-k})}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{}_{i+k}P_{k+1}=\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=0}^{k}(i+j)={\frac {(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i!\cdot {n \choose i}=\sum _{i=0}^{n}{}_{n}P_{i}=\lfloor n!\cdot e\rfloor ,\quad n\in \mathbb {Z} ^{+}}$, donde y denota la función suelo . ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

Otros

${\displaystyle \sum _{k=0}^{m}{\binom {n+k}{n}}={\binom {n+m+1}{n+1}}}$

${\displaystyle \sum _{i=k}^{n}{i \choose k}={n+1 \choose k+1}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i\cdot i!=(n+1)!-1}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{m+i-1 \choose i}={m+n \choose n}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}^{2}={2n \choose n}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {1}{i!}}={\frac {\lfloor n!\;e\rfloor }{n!}}}$

Números armónicos

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=H_{n}\quad }$(el enésimo número armónico )

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{k}}}=H_{n}^{k}\quad }$(un número armónico generalizado )

Las tasas de crecimiento

Las siguientes son aproximaciones útiles (usando la notación theta ):

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{c}\in \Theta (n^{c+1})}$para c real mayor que −1

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\in \Theta (\log _{e}n)}$(Ver número armónico )

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c^{i}\in \Theta (c^{n})}$para c real mayor que 1

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\in \Theta (n\cdot \log(n)^{c})}$para c real no negativo

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\in \Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})}$para c real no negativo , d

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}\in \Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})}$para real no negativo b > 1, c , d

Historia

• En 1675, Gottfried Wilhelm Leibniz , en una carta a Henry Oldenburg , sugiere el símbolo ∫ para marcar la suma de diferenciales ( latín : calculus summatorius ), de ahí la forma de S. ^{[4] [5] [6]} El cambio de nombre de este símbolo a integral surgió más tarde en intercambios con Johann Bernoulli . ^[6]
• En 1755, el símbolo de suma Σ está atestiguado en Institutiones calculi diferencialis de Leonhard Euler . ^{[7] [8]} Euler usa el símbolo en expresiones como:

${\displaystyle \Sigma \ (2wx+w^{2})=x^{2}}$

• En 1772, Lagrange atestigua el uso de Σ y Σ ⁿ . ^{[7] [9]}
• En 1823, se atestigua la letra S mayúscula como símbolo de suma de series. Al parecer, este uso estaba muy extendido. ^[7]
• En 1829, el símbolo de suma Σ está atestiguado por Fourier y CGJ Jacobi . ^[7] El uso de Fourier incluye límites inferiores y superiores, por ejemplo: ^{[10] [11]}

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }e^{-i^{2}t}\ldots }$

Ver también

• Notación pi mayúscula
• Notación de Einstein
• soporte iverson
• Operación binaria iterada
• Algoritmo de suma de Kahan
• Producto (matemáticas)
• Suma por partes
• ∑ el glifo único de suma (U+2211 SUMA N-ARIA )
• ⎲ el comienzo del glifo emparejado (U+23B2 SUMMATION TOP )
• ⎳ el final del glifo emparejado (U+23B3 SUMA INFERIOR )

Notas

1. Para más detalles, consulte Número triangular .
2. Para obtener una exposición detallada sobre la notación de suma y la aritmética con sumas, consulte Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). "Capítulo 2: Sumas". Matemáticas concretas: una base para la informática (2ª ed.). Profesional de Addison-Wesley. ISBN 978-0201558029.
3. en contextos donde no existe posibilidad de confusión con la unidad imaginaria ${\displaystyle i}$
4. Aunque el nombre de la variable ficticia no importa (por definición), normalmente se utilizan letras desde la mitad del alfabeto ( hasta ) para indicar números enteros, si existe riesgo de confusión. Por ejemplo, incluso si no debería haber dudas sobre la interpretación, a muchos matemáticos podría parecerles un poco confuso ver en lugar de en las fórmulas anteriores que involucran . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Referencias

1. "Notación sumatoria". www.columbia.edu . Consultado el 16 de agosto de 2020 .
2. Manual abcd de matemáticas discretas y combinatorias , Kenneth H. Rosen, John G. Michaels, CRC Press, 1999, ISBN 0-8493-0149-1 . 
3. "Cálculo I - Notación sumatoria". tutorial.math.lamar.edu . Consultado el 16 de agosto de 2020 .
4. Burton, David M. (2011). La historia de las matemáticas: una introducción (7ª ed.). McGraw-Hill. pag. 414.ISBN​ 978-0-07-338315-6.
5. Leibniz, Gottfried Wilhelm (1899). Gerhardt, Karl Immanuel (ed.). Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band. Berlín: Mayer & Müller. pag. 154.
6. Cajori (1929), págs.
7. Cajori (1929), pág. 61.
8. Euler, Leonhard (1755). Institutiones Calculi diferencialis (en latín). Petrópolis. pag. 27.
9. Lagrange, Joseph-Louis (1867–1892). Obras de Lagrange. Tomo 3 (en francés). París. pag. 451.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
10. Mémoires de l'Académie royale des sciences de l'Institut de France pour l'année 1825, tomo VIII (en francés). París: Didot. 1829. págs. 581-622.
11. Fourier, Jean-Baptiste Joseph (1888–1890). Obras de Fourier. Tomo 2 (en francés). París: Gauthier-Villars. pag. 149.

Bibliografía

• Cajori, Florián (1929). Una historia de las notaciones matemáticas Volumen II. Publicación de corte abierta. ISBN 978-0-486-67766-8.

enlaces externos

• Medios relacionados con el resumen en Wikimedia Commons