Topología del producto

Topología sobre productos cartesianos de espacios topológicos

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , un espacio producto es el producto cartesiano de una familia de espacios topológicos dotados de una topología natural denominada topología de producto . Esta topología difiere de otra topología, quizás más natural, denominada topología de caja , que también puede aplicarse a un espacio producto y que concuerda con la topología de producto cuando el producto se da sólo sobre un número finito de espacios. Sin embargo, la topología de producto es "correcta" en el sentido de que convierte al espacio producto en un producto categórico de sus factores, mientras que la topología de caja es demasiado fina ; en ese sentido, la topología de producto es la topología natural del producto cartesiano.

Definición

En todos los casos, será un conjunto de índices no vacíos y para cada índice sea un espacio topológico . Denotemos el producto cartesiano de los conjuntos por ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$

$${\displaystyle X:=\prod X_{\bullet }:=\prod _{i\in I}X_{i}}$$

y para cada índice denotamos la -ésima proyección canónica por ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle i}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}p_{i}:\ \prod _{j\in I}X_{j}&\to X_{i},\\[3mu](x_{j})_{j\in I}&\mapsto x_{i}.\\\end{aligned}}}$$

Eltopología del producto , a veces denominadaLa topología de Tichonoff , on,se define como latopología más burda(es decir, la topología con la menor cantidad de conjuntos abiertos) para la cual todas las proyeccionessoncontinuas. El producto cartesianodotado con la topología del producto se denomina ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}}$ ${\textstyle p_{i}:\prod X_{\bullet }\to X_{i}}$ ${\textstyle X:=\prod _{i\in I}X_{i}}$espacio de producto . Los conjuntos abiertos en la topología de producto son uniones arbitrarias (finitas o infinitas) de conjuntos de la formadonde cada unoes abierto enysolo para un número finitoEn particular, para un producto finito (en particular, para el producto de dos espacios topológicos), el conjunto de todos los productos cartesianos entre un elemento base de cada unoda una base para la topología de producto deEs decir, para un producto finito, el conjunto de todosdondees un elemento de la base (elegida) dees una base para la topología de producto de ${\textstyle \prod _{i\in I}U_{i},}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}\neq X_{i}}$ ${\displaystyle i.}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}.}$ ${\textstyle \prod _{i\in I}U_{i},}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X_{i},}$ ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}.}$

La topología del producto en es la topología generada por conjuntos de la forma donde y es un subconjunto abierto de En otras palabras, los conjuntos ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right),}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$

$${\displaystyle \left\{p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right)\mathbin {\big \vert } i\in I{\text{ and }}U_{i}\subseteq X_{i}{\text{ is open in }}X_{i}\right\}}$$

forman una subbase para la topología en Un subconjunto de es abierto si y solo si es una unión (posiblemente infinita) de intersecciones de un número finito de conjuntos de la forma Los a veces se denominan cilindros abiertos y sus intersecciones son conjuntos de cilindros . ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right).}$ ${\displaystyle p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right)}$

La topología del producto también se denomina topología de convergencia puntual porque una secuencia (o, de manera más general, una red ) en converge si y solo si todas sus proyecciones a los espacios convergen. Explícitamente, una secuencia (respectivamente, una red ) converge a un punto dado si y solo si en para cada índice donde denota (respectivamente, denota ). En particular, si se utiliza para todos , entonces el producto cartesiano es el espacio de todas las funciones de valor real en y la convergencia en la topología del producto es lo mismo que la convergencia puntual de funciones. ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\textstyle s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\textstyle s_{\bullet }=\left(s_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\textstyle x\in \prod _{i\in I}X_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}\left(s_{\bullet }\right)\to p_{i}(x)}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle p_{i}\left(s_{\bullet }\right):=p_{i}\circ s_{\bullet }}$ ${\displaystyle \left(p_{i}\left(s_{n}\right)\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left(p_{i}\left(s_{a}\right)\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle X_{i}=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle i}$ ${\textstyle \prod _{i\in I}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{I}}$ ${\displaystyle I,}$

Ejemplos

Si la línea real está dotada de su topología estándar , entonces la topología del producto de las copias de es igual a la topología euclidiana ordinaria en (Como es finito, esto también es equivalente a la topología de caja en ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

El conjunto de Cantor es homeomorfo al producto de un número contable de copias del espacio discreto y el espacio de números irracionales es homeomorfo al producto de un número contable de copias de los números naturales , donde nuevamente cada copia lleva la topología discreta. ${\displaystyle \{0,1\}}$

En el artículo sobre la topología inicial se ofrecen varios ejemplos adicionales .

Propiedades

El conjunto de productos cartesianos entre los conjuntos abiertos de las topologías de cada uno forma una base para lo que se llama la topología de caja. En general, la topología de caja es más fina que la topología de producto, pero para productos finitos coinciden. ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X.}$

El espacio producto junto con las proyecciones canónicas, se puede caracterizar por la siguiente propiedad universal : si es un espacio topológico, y para cada es una función continua, entonces existe precisamente una función continua tal que para cada una de ellas conmuta el siguiente diagrama : ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle f_{i}:Y\to X_{i}}$ ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle i\in I}$

Esto demuestra que el espacio producto es un producto en la categoría de espacios topológicos . De la propiedad universal anterior se deduce que una función es continua si y solo si es continua para todos En muchos casos es más fácil comprobar que las funciones componentes son continuas. Comprobar si una función es continua suele ser más difícil; se intenta utilizar el hecho de que son continuas de alguna manera. ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle f_{i}=p_{i}\circ f}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle p_{i}}$

Además de ser continuas, las proyecciones canónicas son mapas abiertos . Esto significa que cualquier subconjunto abierto del espacio del producto permanece abierto cuando se proyecta hacia abajo hasta el La inversa no es cierta: si es un subespacio del espacio del producto cuyas proyecciones hacia abajo hasta todos los son abiertas, entonces no necesita ser abierto en (consideremos por ejemplo ) Las proyecciones canónicas no son mapas generalmente cerrados (consideremos por ejemplo el conjunto cerrado cuyas proyecciones sobre ambos ejes son ). ${\displaystyle p_{i}:X\to X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle W=\mathbb {R} ^{2}\setminus (0,1)^{2}.}$ ${\textstyle \left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:xy=1\right\},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$

Supongamos que es un producto de subconjuntos arbitrarios, donde para cada Si todos no son vacíos , entonces es un subconjunto cerrado del espacio del producto si y solo si cada es un subconjunto cerrado de De manera más general, el cierre del producto de subconjuntos arbitrarios en el espacio del producto es igual al producto de los cierres: ^[1] ${\textstyle \prod _{i\in I}S_{i}}$ ${\displaystyle S_{i}\subseteq X_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\textstyle \prod _{i\in I}S_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$ ${\textstyle \prod _{i\in I}S_{i}}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle {\operatorname {Cl} _{X}}{\Bigl (}\prod _{i\in I}S_{i}{\Bigr )}=\prod _{i\in I}{\bigl (}{\operatorname {Cl} _{X_{i}}}S_{i}{\bigr )}.}$$

Cualquier producto de espacios de Hausdorff es a su vez un espacio de Hausdorff.

El teorema de Tichonoff , que es equivalente al axioma de elección , establece que cualquier producto de espacios compactos es un espacio compacto. Una especialización del teorema de Tichonoff que requiere solo el lema del ultrafiltro (y no toda la fuerza del axioma de elección) establece que cualquier producto de espacios compactos de Hausdorff es un espacio compacto.

Si es fijo entonces el conjunto ${\textstyle z=\left(z_{i}\right)_{i\in I}\in X}$

$${\displaystyle \left\{x=\left(x_{i}\right)_{i\in I}\in X\mathbin {\big \vert } x_{i}=z_{i}{\text{ for all but finitely many }}i\right\}}$$

es un subconjunto denso del espacio del producto . ^[1] ${\displaystyle X}$

Relación con otras nociones topológicas

Separación

• Todo producto de T ₀ espacios es T ₀ .
• Todo producto de T ₁ espacios es T ₁ .
• Cada producto de los espacios de Hausdorff es Hausdorff.
• Todo producto de espacios regulares es regular.
• Todo producto de los espacios de Tichonoff es Tichonoff.
• Un producto de espacios normales no necesita ser normal.

Compacidad

• Todo producto de espacios compactos es compacto ( teorema de Tichonoff ).
• Un producto de espacios localmente compactos no necesariamente debe serlo. Sin embargo, un producto arbitrario de espacios localmente compactos donde todos, salvo un número finito, son compactos es localmente compacto (esta condición es suficiente y necesaria).

Conectividad

• Todo producto de espacios conexos (o conexos por trayectorias) es conexo (o conexo por trayectorias).
• Todo producto de espacios hereditariamente desconectados es hereditariamente desconectado.

Espacios métricos

• Los productos contables de espacios métricos son espacios metrizables .

Axioma de elección

Una de las muchas maneras de expresar el axioma de elección es decir que es equivalente a la afirmación de que el producto cartesiano de una colección de conjuntos no vacíos no es vacío. ^[2] La prueba de que esto es equivalente a la afirmación del axioma en términos de funciones de elección es inmediata: uno solo necesita escoger un elemento de cada conjunto para encontrar un representante en el producto. Por el contrario, un representante del producto es un conjunto que contiene exactamente un elemento de cada componente.

El axioma de elección aparece nuevamente en el estudio de espacios de productos (topológicos); por ejemplo, el teorema de Tichonoff sobre conjuntos compactos es un ejemplo más complejo y sutil de un enunciado que requiere el axioma de elección y es equivalente a él en su formulación más general, ^[3] y muestra por qué la topología del producto puede considerarse la topología más útil para aplicar a un producto cartesiano.

Véase también

• Unión disjunta (topología)  : espacio formado al equipar la unión disjunta de los conjuntos subyacentes con una topología natural llamada topología de unión disjuntaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Topología final  : la mejor topología que hace que algunas funciones sean continuas
• Topología inicial  : topología más burda que hace que ciertas funciones sean continuas; a veces llamada topología límite proyectiva
• Límite inverso  – Construcción en teoría de categorías
• Convergencia puntual  : una noción de convergencia en matemáticas
• Espacio cociente (topología)  – Construcción del espacio topológico
• Subespacio (topología)  – Topología heredadaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Topología débil  – Término matemático

Notas

1. Bourbaki 1989, págs.
2. Pervin, William J. (1964), Fundamentos de topología general , Academic Press, pág. 33
3. Hocking, John G.; Young, Gail S. (1988) [1961], Topología, Dover, pág. 28, ISBN 978-0-486-65676-2

Referencias

• Bourbaki, Nicolás (1989) [1966]. Topología general: capítulos 1 a 4 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1.OCLC 18588129  .
• Willard, Stephen (1970). Topología general. Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 0486434796. Recuperado el 13 de febrero de 2013 .