Perturbación singular

Concepto en matemáticas

En matemáticas , un problema de perturbación singular es un problema que contiene un pequeño parámetro que no puede aproximarse estableciendo el valor del parámetro en cero. Más precisamente, la solución no puede aproximarse uniformemente mediante una expansión asintótica

${\displaystyle \varphi (x)\approx \sum _{n=0}^{N}\delta _{n}(\varepsilon )\psi _{n}(x)\,}$

como . Aquí está el pequeño parámetro del problema y hay una secuencia de funciones de orden creciente, como por ejemplo . Esto contrasta con los problemas de perturbaciones regulares , para los cuales se puede obtener una aproximación uniforme de esta forma. Los problemas singularmente perturbados generalmente se caracterizan por dinámicas que operan en múltiples escalas. A continuación se describen varias clases de perturbaciones singulares. ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta _{n}(\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta _{n}(\varepsilon )=\varepsilon ^{n}}$

El término "perturbación singular" fue acuñado en la década de 1940 por Kurt Otto Friedrichs y Wolfgang R. Wasow . ^[1]

Métodos de análisis

Un problema perturbado cuya solución puede aproximarse en todo el dominio del problema, ya sea espacio o tiempo, mediante una única expansión asintótica tiene una perturbación regular . Muy a menudo en las aplicaciones, se encuentra una aproximación aceptable a un problema periódicamente perturbado simplemente reemplazando el parámetro pequeño por cero en todas partes del planteamiento del problema. Esto corresponde a tomar sólo el primer término de la expansión, lo que produce una aproximación que converge, quizás lentamente, a la verdadera solución a medida que decrece. La solución a un problema singularmente perturbado no se puede aproximar de esta manera: como se ve en los ejemplos siguientes, una perturbación singular generalmente ocurre cuando el pequeño parámetro de un problema multiplica su operador más alto. Por lo tanto, tomar ingenuamente el parámetro como cero cambia la naturaleza misma del problema. En el caso de ecuaciones diferenciales, no se pueden satisfacer las condiciones de contorno; en ecuaciones algebraicas, el número posible de soluciones disminuye. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

La teoría de la perturbación singular es un área de exploración rica y continua para matemáticos, físicos y otros investigadores. Los métodos utilizados para abordar los problemas en este campo son muchos. Los más básicos incluyen el método de expansiones asintóticas emparejadas y la aproximación WKB para problemas espaciales y, en el tiempo, el método de Poincaré-Lindstedt , el método de escalas múltiples y promedio periódico. Los métodos numéricos para resolver problemas de perturbaciones singulares también son muy populares. ^[2]

Para libros sobre perturbación singular en EDO y PDE, consulte, por ejemplo, Holmes, Introducción a los métodos de perturbación , ^[3] Hinch, Métodos de perturbación ^[4] o Bender y Orszag , Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros . ^[5]

Ejemplos de problemas perturbativos singulares

Cada uno de los ejemplos que se describen a continuación muestra cómo fallará un análisis ingenuo de perturbaciones, que supone que el problema es regular en lugar de singular. Algunos muestran cómo el problema puede resolverse mediante métodos singulares más sofisticados.

Coeficientes de fuga en ecuaciones diferenciales ordinarias.

Las ecuaciones diferenciales que contienen un pequeño parámetro que premultiplica el término de orden más alto suelen exhibir capas límite, de modo que la solución evoluciona en dos escalas diferentes. Por ejemplo, considere el problema del valor límite

${\displaystyle {\begin{matrix}\varepsilon u^{\prime \prime }(x)+u^{\prime }(x)=-e^{-x},\ \ 0<x<1\\u(0)=0,\ \ u(1)=1.\end{matrix}}}$

Su solución cuando es la curva sólida que se muestra a continuación. Tenga en cuenta que la solución cambia rápidamente cerca del origen. Si establecemos ingenuamente , obtendríamos la solución etiquetada como "externa" debajo de la cual no modela la capa límite, para la cual x es cercano a cero. Para obtener más detalles que muestran cómo obtener la aproximación uniformemente válida, consulte el método de expansiones asintóticas coincidentes . ${\displaystyle \varepsilon =0.1}$ ${\displaystyle \varepsilon =0}$

Ejemplos en el tiempo

Un robot manipulador accionado eléctricamente puede tener una dinámica mecánica más lenta y una dinámica eléctrica más rápida, exhibiendo así dos escalas de tiempo. En tales casos, podemos dividir el sistema en dos subsistemas, uno correspondiente a dinámicas más rápidas y otro correspondiente a dinámicas más lentas, y luego diseñar controladores para cada uno de ellos por separado. Mediante una técnica de perturbación singular, podemos hacer que estos dos subsistemas sean independientes entre sí, simplificando así el problema de control.

Considere una clase de sistema descrito por el siguiente conjunto de ecuaciones:

${\displaystyle {\dot {x}}_{1}=f_{1}(x_{1},x_{2})+\varepsilon g_{1}(x_{1},x_{2},\varepsilon ),\,}$

${\displaystyle \varepsilon {\dot {x}}_{2}=f_{2}(x_{1},x_{2})+\varepsilon g_{2}(x_{1},x_{2},\varepsilon ),\,}$

${\displaystyle x_{1}(0)=a_{1},x_{2}(0)=a_{2},\,}$

con . La segunda ecuación indica que la dinámica de es mucho más rápida que la de . Un teorema de Tikhonov ^[6] establece que, con las condiciones correctas en el sistema, inicialmente y muy rápidamente aproximará la solución a las ecuaciones ${\displaystyle 0<\varepsilon \ll 1}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}}$

${\displaystyle {\dot {x}}_{1}=f_{1}(x_{1},x_{2}),\,}$

${\displaystyle f_{2}(x_{1},x_{2})=0,\,}$

${\displaystyle x_{1}(0)=a_{1},\,}$

en algún intervalo de tiempo y que, a medida que disminuye hacia cero, el sistema se acercará más a la solución en ese mismo intervalo. ^[7] ${\displaystyle \varepsilon }$

Ejemplos en el espacio

En mecánica de fluidos , las propiedades de un fluido ligeramente viscoso son dramáticamente diferentes fuera y dentro de una capa límite estrecha . Así, el fluido exhibe múltiples escalas espaciales.

Los sistemas de reacción-difusión en los que un reactivo se difunde mucho más lentamente que otro pueden formar patrones espaciales marcados por áreas donde existe un reactivo y áreas donde no, con transiciones bruscas entre ellas. En ecología , los modelos depredador-presa como

${\displaystyle u_{t}=\varepsilon u_{xx}+uf(u)-vg(u),\,}$

${\displaystyle v_{t}=v_{xx}+vh(u),\,}$

Se ha demostrado que las investigaciones sobre dónde está la presa y dónde está el depredador exhiben tales patrones. ^[8] ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

Ecuaciones algebraicas

Considere el problema de encontrar todas las raíces del polinomio . En el límite , esta cúbica degenera en cuadrática con raíces en . Sustituyendo una serie de perturbaciones regulares ${\displaystyle p(x)=\varepsilon x^{3}-x^{2}+1}$ ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ ${\displaystyle 1-x^{2}}$ ${\displaystyle x=\pm 1}$

${\displaystyle x(\varepsilon )=x_{0}+\varepsilon x_{1}+\varepsilon ^{2}x_{2}+\cdots }$

en la ecuación y equiparar potencias iguales de solo produce correcciones a estas dos raíces: ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle x(\varepsilon )=\pm 1+{\frac {1}{2}}\varepsilon \pm {\frac {5}{8}}\varepsilon ^{2}+\cdots .}$

Para encontrar la otra raíz se debe utilizar el análisis de perturbaciones singulares. Debemos entonces lidiar con el hecho de que la ecuación degenera a cuadrática cuando dejamos que tienda a cero, en ese límite una de las raíces escapa al infinito. Para evitar que esta raíz se vuelva invisible para el análisis perturbativo, debemos reescalar para realizar un seguimiento de esta raíz de escape de modo que, en términos de las variables reescaladas, no escape. Definimos una variable reescalada donde el exponente se elegirá de modo que reescalemos lo suficientemente rápido como para que la raíz tenga un valor finito en el límite de cero, pero de modo que no colapse a cero donde están las otras dos raíces. terminará en. En términos de tenemos ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y=x\varepsilon ^{\nu }}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y^{3}-\varepsilon ^{\nu -1}y^{2}+\varepsilon ^{3\nu -1}=0.}$

Podemos ver que para the está dominado por los términos de menor grado, mientras que at se vuelve tan dominante como el término mientras ambos dominan el término restante. Este punto en el que el término de mayor orden ya no desaparecerá en el límite a cero para volverse igualmente dominante sobre otro término se denomina degeneración significativa; esto produce el cambio de escala correcto para hacer visible la raíz restante. Esta elección produce ${\displaystyle \nu <1}$ ${\displaystyle y^{3}}$ ${\displaystyle \nu =1}$ ${\displaystyle y^{2}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle y^{3}-y^{2}+\varepsilon ^{2}=0.}$

Sustituyendo la serie de perturbaciones

${\displaystyle y(\varepsilon )=y_{0}+\varepsilon ^{2}y_{1}+\varepsilon ^{4}y_{2}+\cdots }$

rendimientos

${\displaystyle y_{0}^{3}-y_{0}^{2}=0.}$

Entonces nos interesa la raíz en ; la doble raíz en son las dos raíces que hemos encontrado arriba que colapsan a cero en el límite de un cambio de escala infinito. Al calcular los primeros términos de la serie se obtiene ${\displaystyle y_{0}=1}$ ${\displaystyle y_{0}=0}$

${\displaystyle x(\varepsilon )={\frac {y(\varepsilon )}{\varepsilon }}={\frac {1}{\varepsilon }}-\varepsilon -2\varepsilon ^{3}+\cdots .}$

Referencias

1. Wasow, Wolfgang R. (1981), "SOBRE PROBLEMAS DE LA CAPA LÍMITE EN LA TEORÍA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS" (PDF) , Centro de Investigación de Matemáticas, Universidad de Wisconsin-Madison, Informe resumido técnico , 2244 : PDF página 5
2. Wang, Yingwei; Chen, Suqin; Wu, Xionghua (2010). "Un método de colocación espectral racional para resolver una clase de problemas de perturbación singular parametrizados". Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 233 (10): 2652–2660. Código Bib : 2010JCoAM.233.2652W. doi : 10.1016/j.cam.2009.11.011 .
3. Holmes, Mark H. Introducción a los métodos de perturbación . Springer, 1995. ISBN 978-0-387-94203-2 
4. Hinch, métodos de perturbación de EJ . Prensa de la Universidad de Cambridge, 1991. ISBN 978-0-521-37897-0 
5. Bender, Carl M. y Orszag, Steven A. Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros . Springer, 1999. ISBN 978-0-387-98931-0 
6. Tikhonov, AN (1952), "Sistemas de ecuaciones diferenciales que contienen un pequeño parámetro que multiplica la derivada" (en ruso), Mat. SB. 31 (73), págs. 575–586
7. Verhulst, Fernando. Métodos y aplicaciones de perturbaciones singulares: capas límite y dinámica de múltiples escalas de tiempo , Springer, 2005. ISBN 0-387-22966-3 . 
8. Owen, MR y Lewis, MA "Cómo la depredación puede ralentizar, detener o revertir una invasión de presas", Boletín de biología matemática (2001) 63, 655-684.