Método de Poincaré-Lindstedt

Técnica utilizada en la teoría de la perturbación.

En teoría de la perturbación , el método de Poincaré-Lindstedt o método de Lindstedt-Poincaré es una técnica para aproximar uniformemente soluciones periódicas a ecuaciones diferenciales ordinarias , cuando fallan los enfoques de perturbación regulares. El método elimina los términos seculares (términos que crecen sin límites) que surgen en la aplicación directa de la teoría de la perturbación a problemas débilmente no lineales con soluciones oscilatorias finitas. ^{[1] [2]}

El método lleva el nombre de Henri Poincaré , ^[3] y Anders Lindstedt . ^[4]

Todos los esfuerzos de los geómetras en la segunda mitad de este siglo han tenido como objetivo principal la eliminación de los términos seculares.

—  Henri Poincaré , Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste, prefacio al volumen I

El artículo da varios ejemplos. La teoría se puede encontrar en el Capítulo 10 de Ecuaciones diferenciales no lineales y sistemas dinámicos de Verhulst. ^[5]

Ejemplo: la ecuación de Duffing

La ecuación de Duffing no amortiguada y no forzada viene dada por

${\displaystyle {\ddot {x}}+x+\varepsilon \,x^{3}=0\,}$

para t  > 0, con 0 <  ε  ≪ 1. ^[6]

Considere las condiciones iniciales

${\displaystyle x(0)=1,\,}$   ${\displaystyle {\dot {x}}(0)=0.\,}$

Se busca una solución en serie de perturbaciones de la forma x ( t ) =  x ₀ ( t ) +  ε  x ₁ ( t ) + .... Los dos primeros términos de la serie son

${\displaystyle x(t)=\cos(t)+\varepsilon \left[{\tfrac {1}{32}}\,\left(\cos(3t)-\cos(t)\right)-{\tfrac {3}{8}}\,t\,\sin(t)\right]+\cdots .\,}$

Esta aproximación crece sin límite en el tiempo, lo que es inconsistente con el sistema físico que modela la ecuación . ^[7] El término responsable de este crecimiento ilimitado, llamado término secular , es . El método Poincaré-Lindstedt permite la creación de una aproximación precisa para todos los tiempos, como se muestra a continuación. ${\displaystyle t\sin(t)}$

Además de expresar la solución misma como una serie asintótica , forma otra serie con la que escalar el tiempo t :

${\displaystyle \tau =\omega t,\,}$  dónde  ${\displaystyle \omega =\omega _{0}+\varepsilon \omega _{1}+\cdots .\,}$

Tenemos el orden principal ω ₀  = 1, porque cuando , la ecuación tiene solución . Entonces el problema original se convierte en ${\displaystyle \epsilon =0}$ ${\displaystyle x=\cos(t)}$

${\displaystyle \omega ^{2}\,x''(\tau )+x(\tau )+\varepsilon \,x^{3}(\tau )=0\,}$

Ahora busque una solución de la forma x ( τ ) =  x ₀ ( τ ) +  ε  x ₁ ( τ ) + ... . Se obtienen las siguientes soluciones para el problema de orden cero y primer orden en ε :

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=\cos(\tau )\\{\text{and }}x_{1}&={\tfrac {1}{32}}\,\left(\cos(3\tau )-\cos(\tau )\right)+\left(\omega _{1}-{\tfrac {3}{8}}\right)\,\tau \,\sin(\tau ).\end{aligned}}}$

Entonces el término secular se puede eliminar mediante la elección: ω ₁  =  ⁠3/8⁠ . Se pueden obtener órdenes de precisión más altos si se continúa el análisis de perturbaciones de esta manera. A partir de ahora, la aproximación (correcta hasta el primer orden en ε ) es

${\displaystyle x(t)\approx \cos {\Bigl (}\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,\varepsilon \right)\,t{\Bigr )}+{\tfrac {1}{32}}\,\varepsilon \,\left[\cos {\Bigl (}3\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,\varepsilon \,\right)\,t{\Bigr )}-\cos {\Bigl (}\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,\varepsilon \,\right)\,t{\Bigr )}\right].\,}$

Ejemplo: el oscilador de van der Pol

Resolvemos el oscilador de van der Pol solo hasta el orden 2. Este método se puede continuar indefinidamente de la misma manera, donde el término de orden n consta de un término armónico , más algunos términos superarmónicos . Los coeficientes de los términos superarmónicos se resuelven directamente y los coeficientes del término armónico se determinan expandiendo hasta el orden-(n+1) y eliminando su término secular. ${\displaystyle \epsilon ^{n}x_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}\cos(t)+b_{n}\cos(t)}$ ${\displaystyle a_{n,2}\cos(2t)+b_{n,2}\cos(2t)+\cdots }$

Consulte el capítulo 10 de ^[5] para una derivación hasta el orden 3, y ^[8] para una derivación por computadora hasta el orden 164.

Considere el oscilador de van der Pol con ecuación donde es un pequeño número positivo. Realizar sustitución al segundo orden: $${\displaystyle {\ddot {x}}+\epsilon (x^{2}-1){\dot {x}}+x=0}$$ ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle \tau =\omega t,\,}$  dónde  ${\displaystyle \omega =1+\epsilon \omega _{1}+\epsilon ^{2}\omega _{2}+O(\epsilon ^{3})}$

lo que produce la ecuación. Ahora reemplazamos y tenemos tres ecuaciones, para los órdenes respectivamente: La primera ecuación tiene solución general . Elija el origen del tiempo de manera que . Luego, introdúzcalo en la segunda ecuación para obtener (después de algunas identidades trigonométricas). Para eliminar el término secular, debemos establecer ambos coeficientes en cero, por lo que obtenemos . En particular, encontramos que cuando aumenta de cero a una pequeña constante positiva, todas las órbitas circulares en el espacio de fases se destruyen, excepto la de radio 2. Ahora, resolviendo se obtiene . Siempre podemos absorber el término en , por lo que podemos tener WLOG simplemente . $${\displaystyle \omega ^{2}{\ddot {x}}+\omega \epsilon (x^{2}-1){\dot {x}}+x=0}$$ ${\displaystyle x=x_{0}+\epsilon x_{1}+\epsilon ^{2}x_{2}+O(\epsilon ^{3})}$ ${\displaystyle 1,\epsilon ,\epsilon ^{2}}$ $${\displaystyle {\begin{cases}{\ddot {x}}_{0}+x_{0}=0\\{\ddot {x}}_{1}+x_{1}+2\omega _{1}{\ddot {x}}_{0}+(x_{0}^{2}-1){\dot {x}}_{0}=0\\{\ddot {x}}_{2}+x_{2}+(\omega _{1}^{2}+2\omega _{2}){\ddot {x}}_{0}+2\omega _{1}{\ddot {x}}_{1}+2x_{0}x_{1}{\dot {x}}_{0}+\omega _{1}(x_{0}^{2}-1){\dot {x}}_{0}+{\dot {x}}_{1}(x_{0}^{2}-1)=0\end{cases}}}$$ ${\displaystyle x_{0}=A\cos(\tau +\phi )}$ ${\displaystyle \phi =0}$ $${\displaystyle {\ddot {x}}_{1}+x_{1}+(A-A^{3}/4)\sin \tau -2\omega _{1}A\cos \tau -(A^{3}/4)\sin(3\tau )=0}$$ ${\displaystyle \sin \tau ,\cos \tau }$ $${\displaystyle {\begin{cases}A=A^{3}/4\\2\omega _{1}A=0\end{cases}}}$$ ${\displaystyle A=2,\omega _{1}=0}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle {\ddot {x}}_{1}+x_{1}=2\sin(3\tau )}$ ${\displaystyle x_{1}=B\cos(\tau +\phi )-{\frac {1}{4}}\sin(3\tau )}$ ${\displaystyle \epsilon B\cos(\tau +\phi )}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{1}=-{\frac {1}{4}}\sin(3\tau )}$

Ahora introduzca la segunda ecuación para obtener Para eliminar el término secular, establecemos . $${\displaystyle {\ddot {x}}_{2}+x_{2}-(4\omega _{2}+1/4)\cos \tau -{\frac {3}{4}}\cos 3\tau -{\frac {5}{4}}\cos 5\tau =0}$$ ${\displaystyle \omega _{2}=-{\frac {1}{16}}}$

Así encontramos que . ${\displaystyle \omega =1-{\frac {1}{16}}\epsilon ^{2}+O(\epsilon ^{3})}$

Ejemplo: ecuación de Mathieu

Este es un ejemplo de resonancia paramétrica .

Considere la ecuación de Mathieu , donde es una constante y es pequeña. La solución de la ecuación tendría dos escalas de tiempo, una de variación rápida del orden de , y otra de variación lenta del orden de . Entonces expanda la solución como Ahora inserte la ecuación de Mathieu y expanda para obtener Como antes, tenemos las soluciones. Los coeficientes del término secular en la tercera ecuación son. Poniéndolos a cero, encontramos las ecuaciones de movimiento: ${\displaystyle {\ddot {x}}+(1+b\epsilon ^{2}+\epsilon \cos(t))x=0}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle T=\epsilon ^{2}t}$ $${\displaystyle x(t)=x_{0}(t,T)+\epsilon x_{1}(t,T)+\epsilon ^{2}x_{2}(t,T)+O(\epsilon ^{3})}$$ $${\displaystyle {\begin{cases}\partial _{t}^{2}x_{0}+x_{0}=0\\\partial _{t}^{2}x_{1}+x_{1}=-\cos(t)x_{0}\\\partial _{t}^{2}x_{2}+x_{2}=-bx_{0}-2\partial _{tT}x_{0}-\cos(t)x_{1}\end{cases}}}$$ $${\displaystyle {\begin{cases}x_{0}=A\cos(t)+B\sin(t)\\x_{1}=-{\frac {A}{2}}+{\frac {A}{6}}\cos(2t)+{\frac {B}{6}}\sin(2t)\end{cases}}}$$ $${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{12}}\left(-12bA+5A-24B'\right)\\{\frac {1}{12}}\left(24A'-12bB-B\right)\end{cases}}}$$

${\displaystyle {\frac {d}{dT}}{\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&{\frac {1}{2}}({\frac {1}{12}}+b)\\{\frac {1}{2}}({\frac {5}{12}}-b)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}}}$

Su determinante es , por lo que cuando , el origen es un punto de silla, por lo que la amplitud de la oscilación crece ilimitadamente. ${\displaystyle {\frac {1}{4}}(b-5/12)(b+1/12)}$ ${\displaystyle b\in (-1/12,5/12)}$ ${\displaystyle {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}$

En otras palabras, cuando la frecuencia angular (en este caso, ) en el parámetro está suficientemente cerca de la frecuencia angular (en este caso, ) del oscilador original, la oscilación crece ilimitadamente, como un niño que se balancea en un columpio y bombea toda la energía. camino a la luna. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {1+b\epsilon ^{2}}}}$

Expansión de Shohat

^[9]

Para el oscilador de van der Pol, tenemos para grande , por lo que a medida que se vuelve grande, la expansión en serie de en términos de diverge y necesitaríamos mantener más y más términos para mantenernos acotados. Esto nos sugiere una parametrización acotada: Luego, usando expansiones seriales y , y usando el mismo método de eliminación de los términos seculares, encontramos . ${\displaystyle \omega \sim 1/\epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \omega }$ $${\displaystyle r:={\frac {\epsilon }{1+\epsilon }}}$$ ${\displaystyle \epsilon \omega =r+c_{2}r^{2}+c_{3}r^{3}+c_{4}r^{4}+\cdots }$ ${\displaystyle x=x_{0}+rx_{1}+r^{2}x_{2}+\cdots }$ ${\displaystyle c_{2}=1,c_{3}={\frac {15}{16}},c_{4}={\frac {13}{16}}}$

Porque , la expansión nos permite tomar un número finito de términos para la serie de la derecha, y convergería a un valor finito en el límite. Entonces tendríamos , que es exactamente el comportamiento asintótico deseado. Ésta es la idea detrás de la expansión de Shohat. ${\displaystyle \lim _{\epsilon \to \infty }r=1}$ ${\displaystyle \epsilon \omega =r+c_{2}r^{2}+c_{3}r^{3}+c_{4}r^{4}+\cdots }$ ${\displaystyle \epsilon \to \infty }$ ${\displaystyle \omega \sim 1/\epsilon }$

La constante asintótica exacta es , a la que como podemos ver se aproxima por . ${\displaystyle \epsilon \omega \to {\frac {2\pi }{3-2\ln 2}}=3.8936\cdots }$ ${\displaystyle 1+c_{2}+c_{3}+c_{4}=3.75}$

Referencias y notas

1. Drazin, PG (1992), Sistemas no lineales , Cambridge University Press, ISBN 0-521-40668-4, págs. 181-186.
2. Strogatz, Steven (2019). "Ejercicio 7.6.19, 7.6.21". Dinámica no lineal y caos: con aplicaciones a la física, la biología, la química y la ingeniería (2ª ed.). Boca Ratón. ISBN 978-0-367-09206-1. OCLC  1112373147.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
3. Poincaré, H. (1957) [1893], Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Célèste , vol. II, Nueva York: Dover Publ., §123–§128.
4. A. Lindstedt, Abh. K. Akad. Wiss. San Petersburgo 31, núm. 4 (1882)
5. Verhulst, Fernando (1996). Ecuaciones diferenciales no lineales y sistemas dinámicos. Texto universitario. Berlín, Heidelberg: Springer Berlín Heidelberg. doi :10.1007/978-3-642-61453-8. ISBN 978-3-540-60934-6.
6. J. David Logan. Matemáticas aplicadas , segunda edición, John Wiley & Sons, 1997. ISBN 0-471-16513-1 . 
7. La ecuación de Duffing tiene una energía invariante  = constante, como se puede ver multiplicando la ecuación de Duffing e integrando con respecto al tiempo  t . Para el ejemplo considerado, a partir de sus condiciones iniciales se encuentra: E  =  ⁠ ${\displaystyle \scriptstyle E={\tfrac {1}{2}}\,{\dot {x}}^{2}+{\tfrac {1}{2}}\,x^{2}+{\tfrac {1}{4}}\,\varepsilon \,x^{4}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\dot {x}}}$1/2⁠  +  ⁠1/4⁠ε  .​
8. Andersen, CM; Geer, James F. (junio de 1982). "Expansiones en series de potencias para la frecuencia y período del ciclo límite de la ecuación de Van Der Pol". Revista SIAM de Matemática Aplicada . 42 (3): 678–693. doi :10.1137/0142047. ISSN  0036-1399.
9. Bellman, Richard (2003). "2.5. La expansión de Shohat". Técnicas de perturbación en matemáticas, ingeniería y física. Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-43258-0. OCLC  51942387.