Análisis a múltiples escalas

En matemáticas y física , el análisis de escalas múltiples (también llamado método de escalas múltiples ) comprende técnicas utilizadas para construir aproximaciones uniformemente válidas a las soluciones de problemas de perturbación , tanto para valores pequeños como grandes de las variables independientes . Esto se hace introduciendo variables de escala rápida y de escala lenta para una variable independiente y, posteriormente, tratando estas variables, rápidas y lentas, como si fueran independientes. A partir de entonces, en el proceso de solución del problema de perturbación, la libertad adicional resultante –introducida por las nuevas variables independientes– se utiliza para eliminar términos seculares (no deseados) . Este último impone restricciones a la solución aproximada, que se denominan condiciones de solubilidad .

La investigación matemática de aproximadamente la década de 1980 propone que las transformadas de coordenadas y las variedades invariantes brindan un soporte más sólido para el modelado multiescala (por ejemplo, ver variedad central y variedad lenta ).

Ejemplo: ecuación de Duffing no amortiguada

Aquí se pueden ver las diferencias entre los enfoques tanto para la teoría de perturbaciones regulares como para el análisis de escalas múltiples, y cómo se comparan con la solución exacta para ${\textstyle {\mathcal {O}}(\varepsilon )}$ ${\textstyle \varepsilon ={\frac {1}{4}}}$

Ecuación diferencial y conservación de energía.

Como ejemplo del método de análisis de escala múltiple, considere la ecuación de Duffing no amortiguada y no forzada : ^{[1] que es una} ecuación diferencial ordinaria de segundo orden que describe un oscilador no lineal . Se busca una solución y ( t ) para valores pequeños del parámetro de no linealidad (positivo) 0 <  ε  ≪ 1. Se sabe que la ecuación de Duffing no amortiguada es un sistema hamiltoniano : con q  =  y ( t ) y p  =  dy / dt . En consecuencia, el hamiltoniano H ( p ,  q ) es una cantidad conservada, una constante, igual a H  =  ⁠ $${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+y+\varepsilon y^{3}=0,}$$ $${\displaystyle y(0)=1,\qquad {\frac {dy}{dt}}(0)=0,}$$ $${\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}},\qquad {\frac {dq}{dt}}=+{\frac {\partial H}{\partial p}},\quad {\text{ with }}\quad H={\tfrac {1}{2}}p^{2}+{\tfrac {1}{2}}q^{2}+{\tfrac {1}{4}}\varepsilon q^{4},}$$1/2⁠  +  ⁠1/4⁠  ε para las condiciones iniciales dadas . Esto implica que tanto y como dy / dt deben estar acotados: $${\displaystyle \left|y(t)\right|\leq {\sqrt {1+{\tfrac {1}{2}}\varepsilon }}\quad {\text{ and }}\quad \left|{\frac {dy}{dt}}\right|\leq {\sqrt {1+{\tfrac {1}{2}}\varepsilon }}\qquad {\text{ for all }}t.}$$

Solución sencilla de series de perturbaciones

Un enfoque regular del problema en series de perturbaciones procede escribiendo y sustituyendo esto en la ecuación de Duffing no amortiguada. Emparejar potencias de da el sistema de ecuaciones ${\textstyle y(t)=y_{0}(t)+\varepsilon y_{1}(t)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2})}$ ${\textstyle \varepsilon }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}y_{0}}{dt^{2}}}+y_{0}&=0,\\{\frac {d^{2}y_{1}}{dt^{2}}}+y_{1}&=-y_{0}^{3}.\end{aligned}}}$$

Resolverlos sujetos a las condiciones iniciales produce $${\displaystyle y(t)=\cos(t)+\varepsilon \left[{\tfrac {1}{32}}\cos(3t)-{\tfrac {1}{32}}\cos(t)-\underbrace {{\tfrac {3}{8}}\,t\,\sin(t)} _{\text{secular}}\right]+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2}).}$$

Tenga en cuenta que el último término entre llaves es secular: crece sin límites para grandes | t |. En particular, este término es O (1) y tiene el mismo orden de magnitud que el término de orden principal. Como los términos se han desordenado, la serie ya no es una expansión asintótica de la solución. ${\displaystyle t=O(\varepsilon ^{-1})}$

Método de escalas múltiples.

Para construir una solución que sea válida más allá de , se utiliza el método de análisis de escalas múltiples . Introduzca la escala lenta t ₁ : y suponga que la solución y ( t ) es una solución en serie de perturbaciones que depende tanto de t como de t ₁ , tratada como: ${\displaystyle t=O(\epsilon ^{-1})}$ $${\displaystyle t_{1}=\varepsilon t}$$ $${\displaystyle y(t)=Y_{0}(t,t_{1})+\varepsilon Y_{1}(t,t_{1})+\cdots .}$$

Entonces: usando dt ₁ / dt  =  ε . Similarmente: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dt}}&=\left({\frac {\partial Y_{0}}{\partial t}}+{\frac {dt_{1}}{dt}}{\frac {\partial Y_{0}}{\partial t_{1}}}\right)+\varepsilon \left({\frac {\partial Y_{1}}{\partial t}}+{\frac {dt_{1}}{dt}}{\frac {\partial Y_{1}}{\partial t_{1}}}\right)+\cdots \\&={\frac {\partial Y_{0}}{\partial t}}+\varepsilon \left({\frac {\partial Y_{0}}{\partial t_{1}}}+{\frac {\partial Y_{1}}{\partial t}}\right)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2}),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {\partial ^{2}Y_{0}}{\partial t^{2}}}+\varepsilon \left(2{\frac {\partial ^{2}Y_{0}}{\partial t\,\partial t_{1}}}+{\frac {\partial ^{2}Y_{1}}{\partial t^{2}}}\right)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2}).}$$

Entonces, los problemas de orden cero y de primer orden de la serie de perturbaciones de múltiples escalas para la ecuación de Duffing se convierten en: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}Y_{0}}{\partial t^{2}}}+Y_{0}&=0,\\{\frac {\partial ^{2}Y_{1}}{\partial t^{2}}}+Y_{1}&=-Y_{0}^{3}-2\,{\frac {\partial ^{2}Y_{0}}{\partial t\,\partial t_{1}}}.\end{aligned}}}$$

Solución

El problema de orden cero tiene la solución general: con A ( t ₁ ) una amplitud de valor complejo para la solución de orden cero Y ₀ ( t ,  t ₁ ) y i ²  = −1. Ahora, en el problema de primer orden, el forzamiento en el lado derecho de la ecuación diferencial es donde cc denota el conjugado complejo de los términos anteriores. La aparición de términos seculares se puede prevenir imponiendo a la –aún desconocida– amplitud A ( t ₁ ) la condición de solubilidad $${\displaystyle Y_{0}(t,t_{1})=A(t_{1})\,e^{+it}+A^{\ast }(t_{1})\,e^{-it},}$$ $${\displaystyle \left[-3\,A^{2}\,A^{\ast }-2\,i\,{\frac {dA}{dt_{1}}}\right]\,e^{+it}-A^{3}\,e^{+3it}+c.c.}$$ $${\displaystyle -3\,A^{2}\,A^{\ast }-2\,i\,{\frac {dA}{dt_{1}}}=0.}$$

La solución a la condición de solubilidad, satisfaciendo además las condiciones iniciales y (0) = 1 y dy / dt (0) = 0 , es: $${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\,\exp \left({\tfrac {3}{8}}\,i\,t_{1}\right).}$$

Como resultado, la solución aproximada mediante el análisis de escalas múltiples es usar t ₁ = εt y ​​es válida para εt = O(1) . Esto concuerda con los cambios de frecuencia no lineales encontrados al emplear el método de Lindstedt-Poincaré . $${\displaystyle y(t)=\cos \left[\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,\varepsilon \right)t\right]+{\mathcal {O}}(\varepsilon ),}$$

Esta nueva solución es válida hasta . Las soluciones de orden superior (utilizando el método de escalas múltiples) requieren la introducción de escalas lentas adicionales, es decir, t ₂ = ε ² t , t ₃ = ε ³ t , etc. Sin embargo, esto introduce posibles ambigüedades en la solución de la serie de perturbaciones. que requieren un tratamiento cuidadoso (ver Kevorkian & Cole 1996; Bender & Orszag 1999). ^[2] ${\displaystyle t=O(\epsilon ^{-2})}$

Transformación de coordenadas a variables de amplitud/fase

Alternativamente, los enfoques modernos derivan este tipo de modelos utilizando transformaciones de coordenadas, como en el método de formas normales , ^[3] como se describe a continuación.

Se busca una solución en nuevas coordenadas donde la amplitud varía lentamente y la fase varía a un ritmo casi constante, es decir, el álgebra sencilla encuentra la transformación de coordenadas ^{[ cita necesaria ]} transforma la ecuación de Duffing en el par en el que el radio es constante y la fase evoluciona de acuerdo con ${\displaystyle y\approx r\cos \theta }$ ${\displaystyle (r,\theta )}$ ${\displaystyle r(t)}$ ${\displaystyle \theta (t)}$ ${\displaystyle d\theta /dt\approx 1.}$ $${\displaystyle y=r\cos \theta +{\frac {1}{32}}\varepsilon r^{3}\cos 3\theta +{\frac {1}{1024}}\varepsilon ^{2}r^{5}(-21\cos 3\theta +\cos 5\theta )+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{3})}$$ ${\displaystyle dr/dt=0}$ $${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=1+{\frac {3}{8}}\varepsilon r^{2}-{\frac {15}{256}}\varepsilon ^{2}r^{4}+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{3}).}$$

Es decir, las oscilaciones de Duffing son de amplitud constante pero tienen frecuencias diferentes dependiendo de la amplitud. ^[4] ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle d\theta /dt}$

Los ejemplos más difíciles se tratan mejor utilizando una transformación de coordenadas dependiente del tiempo que involucra exponenciales complejas (como también se invocó en el enfoque anterior de múltiples escalas de tiempo). Un servicio web realizará el análisis de una amplia gama de ejemplos. ^{[ ¿cuando? ] [5]}

Ver también

• Método de expansiones asintóticas emparejadas.
• aproximación WKB
• Método de promediar
• Método de promediado de Krylov-Bogoliubov

Notas

1. Este ejemplo se trata en: Bender & Orszag (1999) págs. 545–551.
2. Bender y Orszag (1999) pág. 551.
3. Lamarque, CH-H.; Touzé, C.; Thomas, O. (2012), "Un límite superior para los límites de validez de enfoques analíticos asintóticos basados ​​en la teoría de la forma normal" (PDF) , Dinámica no lineal , 70 (3): 1931–1949, doi :10.1007/s11071-012-0584 -y, hdl :10985/7473, S2CID  254862552
4. Roberts, AJ, Modelado de dinámicas emergentes en sistemas complejos , consultado el 3 de octubre de 2013.
5. Roberts, AJ, Construya variedades centrales de ecuaciones diferenciales ordinarias o de retardo (autónomas) , consultado el 3 de octubre de 2013

Referencias

• Kevorkian, J.; Cole, JD (1996), Métodos de perturbación singular y escala múltiple , Springer, ISBN 978-0-387-94202-5
• Bender, CM ; Orszag, SA (1999), Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros , Springer, págs. 544–568, ISBN 978-0-387-98931-0
• Nayfeh, AH (2004), Métodos de perturbación , Wiley – VCH Verlag, ISBN 978-0-471-39917-9

enlaces externos

• Carson C. Chow (ed.). "Análisis de escala múltiple". Scholarpedia .