onda trocoidal

Solución exacta de las ecuaciones de Euler para ondas de gravedad superficiales periódicas.

Elevación de la superficie de una onda trocoidal (azul intenso) que se propaga hacia la derecha. Las trayectorias de las partículas de la superficie libre son círculos cerrados (en cian) y la velocidad del flujo se muestra en rojo para las partículas negras. La altura de la ola (diferencia entre la elevación de la cresta y el valle) se denota como , la longitud de onda como y la velocidad de fase como ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle c.}$

En dinámica de fluidos , una onda trocoidal u onda de Gerstner es una solución exacta de las ecuaciones de Euler para las ondas de gravedad superficiales periódicas . Describe una onda progresiva de forma permanente sobre la superficie de un fluido incompresible de profundidad infinita. La superficie libre de esta solución de onda es una trocoide invertida (al revés) , con crestas más afiladas y valles planos. Esta solución ondulatoria fue descubierta por Gerstner en 1802 y redescubierta de forma independiente por Rankine en 1863.

El campo de flujo asociado a la onda trocoidal no es irrotacional : tiene vorticidad . La vorticidad tiene una fuerza y ​​una distribución vertical tan específicas que las trayectorias de las parcelas de fluido son círculos cerrados. Esto contrasta con la observación experimental habitual de la deriva de Stokes asociada con el movimiento ondulatorio. Además, la velocidad de fase es independiente de la amplitud de la onda trocoidal , a diferencia de otras teorías ondulatorias no lineales (como las de la onda de Stokes y la onda cnoidal ) y observaciones. Por estas razones, así como por el hecho de que faltan soluciones para una profundidad de fluido finita, las ondas trocoidales tienen un uso limitado para aplicaciones de ingeniería.

En los gráficos por ordenador , la representación de olas oceánicas de aspecto realista se puede realizar mediante el uso de las llamadas ondas de Gerstner . Se trata de una extensión multicomponente y multidireccional de la onda Gerstner tradicional, que a menudo utiliza transformadas rápidas de Fourier para hacer factible la animación (en tiempo real) . ^[1]

Descripción de la onda trocoidal clásica.

Las contribuciones vectoriales de la fuerza gravitacional (gris medio) y el gradiente de presión (negro) se combinan de una manera sorprendente para producir el movimiento circular uniforme de las partículas del fluido. Para un movimiento circular uniforme, la fuerza neta (gris claro) tiene magnitud constante y siempre apunta hacia el centro del círculo. Las partículas de fluido se colorean según sus valores. Dado que la presión es función únicamente de , la animación ilustra cómo los vectores de gradiente de presión son siempre perpendiculares a las bandas de color y sus magnitudes son mayores cuando las bandas de color están más juntas. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$

Usando una especificación lagrangiana del campo de flujo , el movimiento de las parcelas de fluido es, para una onda periódica en la superficie de una capa de fluido de profundidad infinita: ^[2] donde y son las posiciones de las parcelas de fluido en el plano en el tiempo , con la coordenada horizontal y la coordenada vertical (positiva hacia arriba, en la dirección opuesta a la gravedad). Las coordenadas lagrangianas etiquetan las parcelas de fluido, con los centros de las órbitas circulares, alrededor de las cuales la parcela de fluido correspondiente se mueve con velocidad constante. Además está el número de onda (y la longitud de onda ), mientras que es la velocidad de fase con la que la onda se propaga en la dirección - . La velocidad de fase satisface la relación de dispersión : que es independiente de la no linealidad de la onda (es decir, no depende de la altura de la ola ), y esta velocidad de fase es la misma que para las ondas lineales de Airy en aguas profundas. $${\displaystyle {\begin{aligned}X(a,b,t)&=a+{\frac {e^{kb}}{k}}\sin \left(k(a+ct)\right),\\Y(a,b,t)&=b-{\frac {e^{kb}}{k}}\cos \left(k(a+ct)\right),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle x=X(a,b,t)}$ ${\displaystyle y=Y(a,b,t)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (x,y)=(a,b)}$ ${\displaystyle c\,\exp(kb).}$ ${\textstyle k=2\pi /\lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle c^{2}={\frac {g}{k}},}$$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle c}$

La superficie libre es una línea de presión constante y se corresponde con una línea , donde es una constante (no positiva). Porque las olas más altas se presentan, con una cresta en forma de cúspide . Tenga en cuenta que la onda de Stokes más alta (irrotacional) tiene un ángulo de cresta de 120°, en lugar de 0° para la onda trocoidal rotacional. ^[3] ${\displaystyle b=b_{s}}$ ${\displaystyle b_{s}}$ ${\displaystyle b_{s}=0}$

La altura de onda de la onda trocoidal es La onda es periódica en la dirección -, con longitud de onda y también periódica en el tiempo con período ${\textstyle H={\frac {2}{k}}\exp(kb_{s}).}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \lambda ;}$ ${\textstyle T=\lambda /c={\sqrt {2\pi \lambda /g}}.}$

La vorticidad bajo la onda trocoidal: ^[2] varía con la elevación lagrangiana y disminuye rápidamente con la profundidad debajo de la superficie libre. ${\displaystyle \varpi }$ $${\displaystyle \varpi (a,b,t)=-{\frac {2kce^{2kb}}{1-e^{2kb}}},}$$ ${\displaystyle b}$

En gráficos por computadora

Animación (5 MB) de olas de oleaje utilizando ondas Gerstner multidireccionales y multicomponentes para la simulación de la superficie del océano y POV-Ray para la representación 3D . (La animación es periódica en el tiempo; se puede configurar para que se repita después de hacer clic derecho sobre ella mientras se reproduce).

En los gráficos por ordenador se utiliza una extensión multicomponente y multidireccional de la descripción lagrangiana del movimiento de la superficie libre, tal como se utiliza en la onda trocoidal de Gerstner, para la simulación de las olas del océano. ^[1] Para la onda de Gerstner clásica, el movimiento del fluido satisface exactamente las ecuaciones de flujo no lineal , incompresible y no viscoso debajo de la superficie libre. Sin embargo, las ondas de Gerstner extendidas en general no satisfacen exactamente estas ecuaciones de flujo (aunque las satisfacen aproximadamente, es decir, para la descripción lagrangiana linealizada por flujo potencial ). Esta descripción del océano se puede programar de manera muy eficiente mediante el uso de la transformada rápida de Fourier (FFT). Además, las olas oceánicas resultantes de este proceso parecen realistas, como resultado de la deformación no lineal de la superficie libre (debido a la especificación lagrangiana del movimiento): crestas más agudas y valles más planos .

La descripción matemática de la superficie libre en estas ondas de Gerstner puede ser la siguiente: ^[1] las coordenadas horizontales se denotan como y , y la coordenada vertical es . El nivel medio de la superficie libre está en y la dirección positiva es hacia arriba, opuesta a la fuerza de la gravedad de la Tierra. La superficie libre se describe paramétricamente en función de los parámetros y también del tiempo. Los parámetros están relacionados con la superficie media. Puntos alrededor de los cuales el fluido se parcela en la órbita de la superficie ondulada. La superficie libre se especifica a través y con: donde es la función tangente hiperbólica , es el número de componentes de onda considerados, es la amplitud de la componente y su fase . Además está su número de onda y su frecuencia angular . Los dos últimos, y no pueden elegirse independientemente sino que están relacionados a través de la relación de dispersión con la profundidad media del agua . En aguas profundas ( ) la tangente hiperbólica va a uno: los componentes y del vector de número de onda horizontal determinan la dirección de propagación de la onda del componente ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle g.}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta ,}$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle (x,y,z)=(\alpha ,0,\beta )}$ ${\displaystyle x=\xi (\alpha ,\beta ,t),}$ ${\displaystyle y=\zeta (\alpha ,\beta ,t)}$ ${\displaystyle z=\eta (\alpha ,\beta ,t)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\xi &=\alpha -\sum _{m=1}^{M}{\frac {k_{x,m}}{k_{m}}}\,{\frac {a_{m}}{\tanh \left(k_{m}\,h\right)}}\,\sin \left(\theta _{m}\right),\\\eta &=\beta -\sum _{m=1}^{M}{\frac {k_{z,m}}{k_{m}}}\,{\frac {a_{m}}{\tanh \left(k_{m}\,h\right)}}\,\sin \left(\theta _{m}\right),\\\zeta &=\sum _{m=1}^{M}a_{m}\,\cos \left(\theta _{m}\right),\\\theta _{m}&=k_{x,m}\,\alpha +k_{z,m}\,\beta -\omega _{m}\,t-\phi _{m},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \tanh }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle a_{m}}$ ${\displaystyle {m=1\dots M}}$ ${\displaystyle \phi _{m}}$ ${\textstyle k_{m}={\sqrt {\scriptstyle k_{x,m}^{2}+k_{z,m}^{2}}}}$ ${\displaystyle \omega _{m}}$ ${\displaystyle k_{m}}$ ${\displaystyle \omega _{m},}$ $${\displaystyle \omega _{m}^{2}=g\,k_{m}\tanh \left(k_{m}\,h\right),}$$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h\to \infty }$ ${\displaystyle {\tanh(k_{m}\,h)\to 1.}}$ ${\displaystyle k_{x,m}}$ ${\displaystyle k_{z,m}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}_{m}}$ ${\displaystyle m.}$

La elección de los distintos parámetros y de una determinada profundidad media determina la forma de la superficie del océano. Se necesita una elección inteligente para aprovechar la posibilidad de un cálculo rápido mediante la FFT. Véase, por ejemplo, Tessendorf (2001) para obtener una descripción de cómo hacer esto. La mayoría de las veces, los números de onda se eligen en una cuadrícula regular en el espacio. A partir de entonces, las amplitudes y fases se eligen aleatoriamente de acuerdo con el espectro de densidad de varianza de un determinado estado del mar deseado . Finalmente, mediante FFT, la superficie del océano se puede construir de tal manera que sea periódica tanto en el espacio como en el tiempo, lo que permite el mosaico , creando periodicidad en el tiempo cambiando ligeramente las frecuencias de manera que para ${\displaystyle a_{m},k_{x,m},k_{z,m}}$ ${\displaystyle \phi _{m}}$ ${\displaystyle m=1,\dots ,M,}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (k_{x},k_{z})}$ ${\displaystyle a_{m}}$ ${\displaystyle \phi _{m}}$ ${\displaystyle \omega _{m}}$ ${\displaystyle \omega _{m}=m\,\Delta \omega }$ ${\displaystyle m=1,\dots ,M.}$

En el renderizado, a menudo también se necesita el vector normal a la superficie. Estos se pueden calcular usando el producto cruzado ( ) como: ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$ ${\displaystyle \times }$ $${\displaystyle {\boldsymbol {n}}={\frac {\partial {\boldsymbol {s}}}{\partial \alpha }}\times {\frac {\partial {\boldsymbol {s}}}{\partial \beta }}\quad {\text{with}}\quad {\boldsymbol {s}}(\alpha ,\beta ,t)={\begin{pmatrix}\xi (\alpha ,\beta ,t)\\\zeta (\alpha ,\beta ,t)\\\eta (\alpha ,\beta ,t)\end{pmatrix}}.}$$

El vector normal unitario entonces tiene la norma de ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{n}={\boldsymbol {n}}/\|{\boldsymbol {n}}\|,}$ ${\displaystyle \|{\boldsymbol {n}}\|}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}.}$

Notas

1. Tessendorf (2001)
2. Cordero (1994, §251)
3. Stokes, GG (1880), "Suplemento de un artículo sobre la teoría de las ondas oscilatorias", Artículos matemáticos y físicos, volumen I, Cambridge University Press, págs. 314–326, OCLC  314316422

Referencias

• Gerstner, FJ (1802), "Theorie der Wellen", Abhandlunger der Königlichen Böhmischen Geselschaft der Wissenschaften , Praga. Reimpreso en: Annalen der Physik 32 (8), págs. 412–445, 1809.
• Craik, ADD (2004), "Los orígenes de la teoría de las ondas de agua", Revisión anual de mecánica de fluidos , 36 : 1–28, Bibcode :2004AnRFM..36....1C, doi :10.1146/annurev.fluid.36.050802. 122118
• Lamb, H. (1994), Hidrodinámica (6ª ed.), Cambridge University Press, §251, ISBN 978-0-521-45868-9, OCLC  30070401Publicada originalmente en 1879, la sexta edición ampliada apareció por primera vez en 1932.
• Rankine, WJM (1863), "Sobre la forma exacta de las ondas cerca de la superficie de las aguas profundas", Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 153 : 127–138, Bibcode : 1863RSPT..153..127M, doi : 10.1098 /rstl.1863.0006
• Tessendorf, J. (2001), "Simulación del agua del océano" (PDF) , SIGGRAPH 2001