Modo normal

Patrón de movimiento oscilante en un sistema.

Un modo normal de un sistema dinámico es un patrón de movimiento en el que todas las partes del sistema se mueven de forma sinusoidal con la misma frecuencia y con una relación de fase fija. El movimiento libre descrito por los modos normales tiene lugar a frecuencias fijas. Estas frecuencias fijas de los modos normales de un sistema se conocen como sus frecuencias naturales o frecuencias resonantes . Un objeto físico, como un edificio, un puente o una molécula, tiene un conjunto de modos normales y sus frecuencias naturales que dependen de su estructura, materiales y condiciones límite.

El movimiento más general de un sistema lineal es una superposición de sus modos normales. Los modos son normales en el sentido de que pueden moverse independientemente, es decir que una excitación de un modo nunca provocará el movimiento de un modo diferente. En términos matemáticos, los modos normales son ortogonales entre sí.

Vibración de un único modo normal de un disco circular con una condición de contorno fijada a lo largo de todo el borde exterior. Ver otros modos.

Una fotografía flash de una taza de café negro vibrando en modos normales.

Excitación de modos normales en una gota de agua durante el efecto Leidenfrost.

Definiciones generales

Modo

En la teoría ondulatoria de la física y la ingeniería, un modo en un sistema dinámico es un estado de excitación de onda estacionaria , en el que todos los componentes del sistema se verán afectados de forma sinusoidal a una frecuencia fija asociada con ese modo.

Debido a que ningún sistema real puede encajar perfectamente en el marco de la onda estacionaria, el concepto de modo se toma como una caracterización general de estados específicos de oscilación, tratando así el sistema dinámico de una manera lineal , en la que se puede realizar una superposición lineal de estados.

Los ejemplos clásicos incluyen

• En un sistema dinámico mecánico, una cuerda vibrante es el ejemplo más claro de un modo, en el que la cuerda es el medio, la tensión sobre la cuerda es la excitación y el desplazamiento de la cuerda con respecto a su estado estático es el modal. variable.
• En un sistema dinámico acústico, un solo tono de sonido es un modo, en el que el aire es el medio, la presión del sonido en el aire es la excitación y el desplazamiento de las moléculas de aire es la variable modal.
• En un sistema dinámico estructural, un edificio alto que oscila bajo su eje de mayor flexión es un modo en el que todo el material del edificio -bajo las simplificaciones numéricas adecuadas- es el medio, las solicitaciones sísmicas/viento/ambientales son las excitaciones y los desplazamientos son la variable modal.
• En un sistema eléctrico dinámico, una cavidad resonante hecha de delgadas paredes metálicas que encierra un espacio hueco, para un acelerador de partículas es un sistema de onda estacionaria pura y, por tanto, un ejemplo de modo en el que el espacio hueco de la cavidad es el medio. , la fuente de RF (un Klystron u otra fuente de RF) es la excitación y el campo electromagnético es la variable modal.
• Cuando se relaciona con la música , los modos normales de vibración de los instrumentos (cuerdas, flautas de aire, tambores, etc.) se denominan " sobretonos ".

El concepto de modos normales también encuentra aplicación en otros sistemas dinámicos, como la óptica , la mecánica cuántica , la dinámica atmosférica y la dinámica molecular .

La mayoría de los sistemas dinámicos pueden excitarse en varios modos, posiblemente simultáneamente. Cada modo se caracteriza por una o varias frecuencias, ^{[ dudoso ]} según el campo de la variable modal. Por ejemplo, una cuerda vibrante en un espacio 2D se define por una sola frecuencia (desplazamiento axial 1D), pero una cuerda vibrante en un espacio 3D se define por dos frecuencias (desplazamiento axial 2D).

Para una amplitud dada en la variable modal, cada modo almacenará una cantidad específica de energía debido a la excitación sinusoidal.

El modo normal o dominante de un sistema con múltiples modos será el modo que almacena la cantidad mínima de energía para una amplitud dada de la variable modal o, de manera equivalente, para una determinada cantidad de energía almacenada, el modo dominante será el modo que impone la amplitud máxima de la variable modal.

Números de modo

Un modo de vibración se caracteriza por una frecuencia modal y una forma de modo. Está numerado según el número de medias ondas en la vibración. Por ejemplo, si un haz vibratorio con ambos extremos fijados mostrara una forma modal de la mitad de una onda sinusoidal (un pico en el haz vibratorio), estaría vibrando en el modo 1. Si tuviera una onda sinusoidal completa (un pico y un valle ) estaría vibrando en el modo 2.

En un sistema con dos o más dimensiones, como el disco que se muestra en la imagen, a cada dimensión se le asigna un número de modo. Usando coordenadas polares , tenemos una coordenada radial y una coordenada angular. Si se mide desde el centro hacia afuera a lo largo de la coordenada radial, se encontrará una onda completa, por lo que el número de modo en la dirección radial es 2. La otra dirección es más complicada, porque solo se considera la mitad del disco debido a la antisimetría ( también llamada simetría sesgada ) naturaleza de la vibración de un disco en la dirección angular. Por lo tanto, al medir 180° a lo largo de la dirección angular, encontraría una media onda, por lo que el número de moda en la dirección angular es 1. Entonces, el número de moda del sistema es 2–1 o 1–2, dependiendo de qué coordenada se considere la "primera" y cuál se considera la "segunda" coordenada (por lo que es importante indicar siempre qué número de modo coincide con cada dirección de coordenadas).

En los sistemas lineales cada modo es completamente independiente de todos los demás modos. En general, todos los modos tienen diferentes frecuencias (los modos más bajos tienen frecuencias más bajas) y diferentes formas de modo.

Nodos

Una forma modal de una membrana de tambor, con líneas nodales mostradas en verde pálido.

En un sistema unidimensional, en un modo dado, la vibración tendrá nodos o lugares donde el desplazamiento es siempre cero. Estos nodos corresponden a puntos en la forma modal donde la forma modal es cero. Dado que la vibración de un sistema viene dada por la forma del modo multiplicada por una función de tiempo, el desplazamiento de los puntos de los nodos permanece cero en todo momento.

Cuando se expanden a un sistema bidimensional, estos nodos se convierten en líneas donde el desplazamiento es siempre cero. Si miras la animación de arriba, verás dos círculos (uno aproximadamente a mitad de camino entre el borde y el centro, y el otro en el borde mismo) y una línea recta que divide el disco, donde el desplazamiento es cercano a cero. En un sistema idealizado, estas líneas son exactamente iguales a cero, como se muestra a la derecha.

En sistemas mecánicos

Osciladores acoplados

Considere dos cuerpos iguales (no afectados por la gravedad), cada uno de masa m , unidos a tres resortes, cada uno con constante elástica k . Se unen de la siguiente manera, formando un sistema físicamente simétrico:

donde los puntos de los bordes son fijos y no pueden moverse. Usaremos x ₁ ( t ) para denotar el desplazamiento horizontal de la masa izquierda y x ₂ ( t ) para denotar el desplazamiento de la masa derecha.

Si denotamos la aceleración (la segunda derivada de x ( t ) con respecto al tiempo) como , las ecuaciones de movimiento son: ${\displaystyle \scriptstyle {\ddot {x}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m{\ddot {x}}_{1}&=-kx_{1}+k(x_{2}-x_{1})=-2kx_{1}+kx_{2}\\m{\ddot {x}}_{2}&=-kx_{2}+k(x_{1}-x_{2})=-2kx_{2}+kx_{1}\end{aligned}}}$

Como esperamos un movimiento oscilatorio de modo normal (donde ω es el mismo para ambas masas), intentamos:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}(t)&=A_{1}e^{i\omega t}\\x_{2}(t)&=A_{2}e^{i\omega t}\end{aligned}}}$

Sustituyéndolos en las ecuaciones de movimiento obtenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}-\omega ^{2}mA_{1}e^{i\omega t}&=-2kA_{1}e^{i\omega t}+kA_{2}e^{i\omega t}\\-\omega ^{2}mA_{2}e^{i\omega t}&=kA_{1}e^{i\omega t}-2kA_{2}e^{i\omega t}\end{aligned}}}$

Como el factor exponencial es común a todos los términos, lo omitimos y simplificamos:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\omega ^{2}m-2k)A_{1}+kA_{2}&=0\\kA_{1}+(\omega ^{2}m-2k)A_{2}&=0\end{aligned}}}$

Y en representación matricial :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\omega ^{2}m-2k&k\\k&\omega ^{2}m-2k\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\end{pmatrix}}=0}$

Si la matriz de la izquierda es invertible, la solución única es la solución trivial ( A ₁ ,  A ₂ ) = ( x ₁ ,  x ₂ ) = (0,0). Las soluciones no triviales se encuentran para aquellos valores de ω donde la matriz de la izquierda es singular , es decir, no es invertible. De ello se deduce que el determinante de la matriz debe ser igual a 0, entonces:

${\displaystyle (\omega ^{2}m-2k)^{2}-k^{2}=0}$

Resolviendo para , tenemos dos soluciones positivas: ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{1}&={\sqrt {\frac {k}{m}}}\\\omega _{2}&={\sqrt {\frac {3k}{m}}}\end{aligned}}}$

Si sustituimos ω ₁ en la matriz y resolvemos para ( A ₁ ,  A ₂ ), obtenemos (1, 1). Si sustituimos ω ₂ , obtenemos (1, −1). (Estos vectores son vectores propios y las frecuencias son valores propios ).

El primer modo normal es:

${\displaystyle {\vec {\eta }}_{1}={\begin{pmatrix}x_{1}^{1}(t)\\x_{2}^{1}(t)\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\cos {(\omega _{1}t+\varphi _{1})}}$

Lo que corresponde a que ambas masas se mueven en la misma dirección al mismo tiempo. Este modo se llama antisimétrico.

El segundo modo normal es:

${\displaystyle {\vec {\eta }}_{2}={\begin{pmatrix}x_{1}^{2}(t)\\x_{2}^{2}(t)\end{pmatrix}}=c_{2}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\cos {(\omega _{2}t+\varphi _{2})}}$

Esto corresponde a que las masas se mueven en direcciones opuestas, mientras que el centro de masa permanece estacionario. Este modo se llama simétrico.

La solución general es una superposición de los modos normales donde c ₁ , c ₂ , φ ₁ y φ ₂ están determinados por las condiciones iniciales del problema.

El proceso demostrado aquí se puede generalizar y formular utilizando el formalismo de la mecánica lagrangiana o la mecánica hamiltoniana .

Ondas estacionarias

Una onda estacionaria es una forma continua de modo normal. En una onda estacionaria, todos los elementos espaciales (es decir, coordenadas ( x ,  y ,  z )) oscilan en la misma frecuencia y en fase (alcanzando el punto de equilibrio juntos), pero cada uno tiene una amplitud diferente.

La forma general de una onda estacionaria es:

${\displaystyle \Psi (t)=f(x,y,z)(A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t))}$

donde ƒ ( x ,  y ,  z ) representa la dependencia de la amplitud con la ubicación y el coseno\seno son las oscilaciones en el tiempo.

Físicamente, las ondas estacionarias se forman por la interferencia (superposición) de ondas y sus reflejos (aunque también se puede decir lo contrario: que una onda en movimiento es una superposición de ondas estacionarias). La forma geométrica del medio determina cuál sería el patrón de interferencia, por lo tanto determina la forma ƒ ( x , y ,  z ) de la onda estacionaria. Esta dependencia del espacio se llama modo normal .

Por lo general, para problemas con dependencia continua de ( x ,  y ,  z ) no existe un número único o finito de modos normales, pero hay infinitos modos normales. Si el problema está acotado (es decir, está definido en una sección finita del espacio), hay muchos modos normales numerables (normalmente numerados n = 1, 2, 3, ...). Si el problema no está acotado, existe un espectro continuo de modos normales.

Sólidos elásticos

En cualquier sólido a cualquier temperatura, las partículas primarias (por ejemplo, átomos o moléculas) no son estacionarias, sino que vibran en posiciones medias. En los aisladores la capacidad del sólido para almacenar energía térmica se debe casi en su totalidad a estas vibraciones. Muchas propiedades físicas del sólido (por ejemplo, el módulo de elasticidad) pueden predecirse si se conocen las frecuencias con las que vibran las partículas. La suposición más simple (de Einstein) es que todas las partículas oscilan alrededor de sus posiciones medias con la misma frecuencia natural ν . Esto equivale a suponer que todos los átomos vibran independientemente con una frecuencia ν . Einstein también asumió que los estados de energía permitidos para estas oscilaciones son armónicos o múltiplos integrales de hν . El espectro de formas de onda se puede describir matemáticamente utilizando una serie de Fourier de fluctuaciones de densidad sinusoidales (o fonones térmicos ).

Los armónicos fundamentales y los primeros seis de una cuerda vibrante. Las matemáticas de la propagación de ondas en sólidos cristalinos consisten en tratar los armónicos como una serie ideal de Fourier de fluctuaciones de densidad sinusoidales (u ondas de desplazamiento atómico).

Posteriormente, Debye reconoció que cada oscilador está íntimamente acoplado a sus osciladores vecinos en todo momento. Así, al reemplazar los osciladores desacoplados idénticos de Einstein con el mismo número de osciladores acoplados, Debye correlacionó las vibraciones elásticas de un sólido unidimensional con el número de modos de vibración matemáticamente especiales de una cuerda estirada (ver figura). El tono puro del tono o frecuencia más bajo se denomina fundamental y los múltiplos de esa frecuencia se denominan sobretonos armónicos. Asignó a uno de los osciladores la frecuencia de vibración fundamental de todo el bloque de sólido. Asignó a los osciladores restantes las frecuencias de los armónicos de esa fundamental, estando la más alta de todas estas frecuencias limitada por el movimiento de la unidad primaria más pequeña.

Los modos normales de vibración de un cristal son en general superposiciones de muchos armónicos, cada uno con una amplitud y fase apropiadas. Los fonones de longitud de onda más larga (baja frecuencia) son exactamente aquellas vibraciones acústicas que se consideran en la teoría del sonido. Tanto las ondas longitudinales como las transversales pueden propagarse a través de un sólido, mientras que, en general, sólo las ondas longitudinales son sostenidas por fluidos.

En el modo longitudinal , el desplazamiento de las partículas desde sus posiciones de equilibrio coincide con la dirección de propagación de la onda. Las ondas longitudinales mecánicas también se han denominado ondas de compresión . Para los modos transversales , las partículas individuales se mueven perpendicularmente a la propagación de la onda.

Según la teoría cuántica, la energía media de un modo vibratorio normal de un sólido cristalino con frecuencia característica ν es:

${\displaystyle E(\nu )={\frac {1}{2}}h\nu +{\frac {h\nu }{e^{h\nu /kT}-1}}}$

El término (1/2) hν representa la "energía del punto cero", o la energía que tendrá un oscilador en el cero absoluto. E ( ν ) tiende al valor clásico kT a altas temperaturas

${\displaystyle E(\nu )=kT\left[1+{\frac {1}{12}}\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)^{2}+O\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)^{4}+\cdots \right]}$

Conociendo la fórmula termodinámica,

${\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial E}}\right)_{N,V}={\frac {1}{T}}}$

la entropía por modo normal es:

${\displaystyle {\begin{aligned}S\left(\nu \right)&=\int _{0}^{T}{\frac {d}{dT}}E\left(\nu \right){\frac {dT}{T}}\\[10pt]&={\frac {E\left(\nu \right)}{T}}-k\log \left(1-e^{-{\frac {h\nu }{kT}}}\right)\end{aligned}}}$

La energía libre es:

${\displaystyle F(\nu )=E-TS=kT\log \left(1-e^{-{\frac {h\nu }{kT}}}\right)}$

que, para kT  >> hν , tiende a:

${\displaystyle F(\nu )=kT\log \left({\frac {h\nu }{kT}}\right)}$

Para calcular la energía interna y el calor específico debemos conocer el número de modos vibratorios normales y una frecuencia entre los valores ν y ν  + dν . Permita que este número sea f ( ν )d ν . Dado que el número total de modos normales es 3 N , la función f ( ν ) viene dada por:

${\displaystyle \int f(\nu )\,d\nu =3N}$

La integración se realiza sobre todas las frecuencias del cristal. Entonces la energía interna U estará dada por:

${\displaystyle U=\int f(\nu )E(\nu )\,d\nu }$

En mecánica cuántica

En mecánica cuántica , el estado de un sistema se describe mediante una función de onda que resuelve la ecuación de Schrödinger . El cuadrado del valor absoluto de , es decir ${\displaystyle \ |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \ \psi (x,t)}$ ${\displaystyle \ \psi }$

${\displaystyle \ P(x,t)=|\psi (x,t)|^{2}}$

es la densidad de probabilidad de medir la partícula en el lugar x en el tiempo  t .

Por lo general, cuando se trata de algún tipo de potencial , la función de onda se descompone en una superposición de estados propios de energía , cada uno de los cuales oscila con una frecuencia de . Así, se puede escribir ${\displaystyle \omega =E_{n}/\hbar }$

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}|n\rangle \left\langle n|\psi (t=0)\right\rangle e^{-iE_{n}t/\hbar }}$

Los estados propios tienen un significado físico más allá de una base ortonormal . Cuando se mide la energía del sistema , la función de onda colapsa en uno de sus estados propios y, por lo tanto, la función de onda de la partícula se describe mediante el estado propio puro correspondiente a la energía medida .

En sismología

Los modos normales se generan en la Tierra a partir de ondas sísmicas de longitud de onda larga procedentes de grandes terremotos que interfieren para formar ondas estacionarias.

Para una esfera elástica, isotrópica y homogénea, surgen modos esferoidales, toroidales y radiales (o respiratorios). Los modos esferoidales solo involucran ondas P y SV (como las ondas de Rayleigh ) y dependen del número de armónicos n y del orden angular l , pero tienen una degeneración de orden azimutal m . El aumento de l concentra la rama fundamental más cerca de la superficie y, en general , l tiende a las ondas de Rayleigh. Los modos toroidales solo involucran ondas SH (como las ondas de Amor ) y no existen en el núcleo externo fluido. Los modos radiales son solo un subconjunto de modos esferoidales con l=0 . La degeneración no existe en la Tierra, ya que está rota por la rotación, la elipticidad y la estructura heterogénea de velocidad y densidad tridimensional.

Se puede suponer que cada modo puede aislarse, la aproximación de autoacoplamiento, o que muchos modos cercanos en frecuencia resuenan , la aproximación de acoplamiento cruzado. El autoacoplamiento únicamente cambiará la velocidad de fase y no el número de ondas alrededor de un círculo máximo, lo que resultará en un estiramiento o encogimiento del patrón de onda estacionaria. El acoplamiento cruzado modal se produce debido a la rotación de la Tierra, a partir de una estructura elástica asférica o debido a la elipticidad de la Tierra y conduce a una mezcla de modos fundamentales esferoidales y toroidales.

Ver también

• antirresonancia
• velocidad critica
• Oscilador armónico
• Serie armónica (música)
• Espectroscopia infrarroja
• Modo con fugas
• resonancia mecánica
• Análisis modal
• Modo (electromagnetismo)
• modo cuasinormal
• Teoría de Sturm-Liouville
• Vibración torsional
• Vibraciones de una membrana circular.

Fuentes

• Blevins, Robert D. (2001). Fórmulas para la frecuencia natural y la forma del modo (Reimpresión ed.). Malabar, Florida: Pub Krieger. ISBN 978-1575241845.
• Tzou, HS; Bergman, LA, eds. (2008). Dinámica y Control de Sistemas Distribuidos . Cambridge [Inglaterra]: Cambridge University Press . ISBN 978-0521033749.
• Esquilador, Peter M. (2009). Introducción a la sismología (2ª ed.). Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 231-237. ISBN 9780521882101.

enlaces externos

• Apuntes de conferencias de Harvard sobre modos normales