Ley del circuito de Ampère

Concepto en electromagnetismo clásico.

En el electromagnetismo clásico , la ley del circuito de Ampère (no confundir con la ley de fuerza de Ampère ) ^[1] relaciona la circulación de un campo magnético alrededor de un bucle cerrado con la corriente eléctrica que pasa a través del bucle.

James Clerk Maxwell (no Ampère) lo derivó utilizando la hidrodinámica en su artículo publicado en 1861 " On Physical Lines of Force ". ^[2] En 1865 generalizó la ecuación para aplicarla a corrientes variables en el tiempo agregando el término de corriente de desplazamiento , lo que dio como resultado la forma moderna de la ley, a veces llamada ley de Ampère-Maxwell , ^{[3] [4] [5]} que es una de las ecuaciones de Maxwell que forman la base del electromagnetismo clásico .

Ley del circuito original de Ampère

En 1820, el físico danés Hans Christian Ørsted descubrió que una corriente eléctrica crea un campo magnético a su alrededor, cuando notó que la aguja de una brújula junto a un cable que transportaba corriente giraba de modo que la aguja quedaba perpendicular al cable. ^{[6] [7]} Investigó y descubrió las reglas que gobiernan el campo alrededor de un cable recto portador de corriente: ^[8]

• Las líneas del campo magnético rodean el cable por el que circula corriente.
• Las líneas del campo magnético se encuentran en un plano perpendicular al cable.
• Si se invierte la dirección de la corriente, se invierte la dirección del campo magnético.
• La intensidad del campo es directamente proporcional a la magnitud de la corriente.
• La intensidad del campo en cualquier punto es inversamente proporcional a la distancia del punto al cable.

Esto provocó una gran cantidad de investigaciones sobre la relación entre la electricidad y el magnetismo. André-Marie Ampère investigó la fuerza magnética entre dos cables portadores de corriente y descubrió la ley de fuerza de Ampère . En la década de 1850, el físico matemático escocés James Clerk Maxwell generalizó estos resultados y otros en una sola ley matemática. La forma original de la ley de circuitos de Maxwell, que derivó ya en 1855 en su artículo "Sobre las líneas de fuerza de Faraday" ^[9] basándose en una analogía con la hidrodinámica, relaciona los campos magnéticos con las corrientes eléctricas que los producen. Determina el campo magnético asociado a una corriente determinada, o la corriente asociada a un campo magnético determinado.

La ley del circuito original sólo se aplica a una situación magnetostática , a corrientes continuas y estables que fluyen en un circuito cerrado. Para sistemas con campos eléctricos que cambian con el tiempo, la ley original (como se indica en esta sección) debe modificarse para incluir un término conocido como corrección de Maxwell (ver más abajo).

Formas equivalentes

La ley del circuito original se puede escribir en varias formas diferentes, que en última instancia son todas equivalentes:

• Una "forma integral" y una "forma diferencial". Las formas son exactamente equivalentes y están relacionadas por el teorema de Kelvin-Stokes (consulte la sección "demostración" a continuación).
• Formularios que utilizan unidades SI y aquellos que utilizan unidades cgs . Otras unidades son posibles, pero raras. Esta sección utilizará unidades SI, y las unidades cgs se analizarán más adelante.
• Se forma utilizando campos magnéticos B o H. Estas dos formas utilizan la densidad de corriente total y la densidad de corriente libre, respectivamente. Los campos B y H están relacionados por la ecuación constitutiva : B = μ ₀ H en materiales no magnéticos donde μ ₀ es la constante magnética .

Explicación

La forma integral de la ley del circuito original es una integral de línea del campo magnético alrededor de alguna curva cerrada C (arbitraria pero debe ser cerrada). La curva C, a su vez, limita una superficie S a través de la cual pasa la corriente eléctrica (nuevamente arbitraria pero no cerrada, ya que S no encierra ningún volumen tridimensional ) y encierra la corriente. El enunciado matemático de la ley es una relación entre la circulación del campo magnético alrededor de algún camino (integral de línea) debido a la corriente que pasa a través de ese camino cerrado (integral de superficie). ^{[10] [11]}

En términos de corriente total (que es la suma de la corriente libre y la corriente ligada), la integral de línea del campo magnético B ( en teslas , T) alrededor de la curva cerrada C es proporcional a la corriente total I _enc que pasa a través de una superficie. S (encerrado por C ). En términos de corriente libre, la integral de línea del campo magnético H ( en amperios por metro , A·m ⁻¹ ) alrededor de la curva cerrada C es igual a la corriente libre If _,enc a través de una superficie S. ^{[ se necesita aclaración ]}

• J es la densidad de corriente total (en amperios por metro cuadrado , A·m ⁻² ),
• J _f es únicamente la densidad de corriente libre,
• ∮ _C es la integral de línea cerrada alrededor de la curva cerrada C ,
• ∬ _S denota una integral de superficie 2-D sobre S encerrada por C ,
• · es el producto escalar vectorial ,
• d l es un elemento infinitesimal (un diferencial ) de la curva C (es decir, un vector con magnitud igual a la longitud del elemento de línea infinitesimal y dirección dada por la tangente a la curva C )
• d S es el área vectorial de un elemento infinitesimal de superficie S (es decir, un vector con magnitud igual al área del elemento de superficie infinitesimal y dirección normal a la superficie S. La dirección de la normal debe corresponder con la orientación de C por la regla de la mano derecha), consulte a continuación una explicación más detallada de la curva C y la superficie S.
• ∇ × es el operador curl .

Ambigüedades y convenciones de signos.

Hay una serie de ambigüedades en las definiciones anteriores que requieren aclaración y elección de convención.

1. Primero, tres de estos términos están asociados con ambigüedades de signos: la integral de línea ∮ _C podría rodear el bucle en cualquier dirección (en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario a las agujas del reloj); el área vectorial d S podría apuntar en cualquiera de las dos direcciones normales a la superficie; y I _enc es la corriente neta que pasa a través de la superficie S , es decir, la corriente que pasa en una dirección, menos la corriente en la otra dirección, pero cualquier dirección podría elegirse como positiva. Estas ambigüedades se resuelven mediante la regla de la mano derecha : con la palma de la mano derecha hacia el área de integración y el dedo índice apuntando a lo largo de la dirección de la línea de integración, el pulgar extendido apunta en la dirección que debe elegirse. para el área vectorial d S . Además, la corriente que pasa en la misma dirección que d S debe contarse como positiva. La regla de agarre de la mano derecha también se puede utilizar para determinar las señales.
2. En segundo lugar, hay infinitas superficies posibles S que tienen la curva C como borde. (Imagínese una película de jabón sobre un bucle de alambre, que se puede deformar soplando sobre la película). ¿Cuál de esas superficies se elegirá? Si el bucle no se encuentra en un solo plano, por ejemplo, no hay una opción obvia. La respuesta es que no importa: en el caso magnetostático, la densidad de corriente es solenoidal (ver la siguiente sección), por lo que el teorema de divergencia y la ecuación de continuidad implican que el flujo a través de cualquier superficie con límite C , con la misma convención de signos, es lo mismo. En la práctica, normalmente se elige la superficie más conveniente (con el límite dado) sobre la que realizar la integración.

Corriente libre versus corriente ligada

La corriente eléctrica que surge en las situaciones más simples de los libros de texto se clasificaría como "corriente libre", por ejemplo, la corriente que pasa a través de un cable o una batería . Por el contrario, la "corriente ligada" surge en el contexto de materiales a granel que pueden magnetizarse y/o polarizarse . (Todos los materiales pueden hacerlo hasta cierto punto).

Cuando se magnetiza un material (por ejemplo, colocándolo en un campo magnético externo), los electrones permanecen unidos a sus respectivos átomos, pero se comportan como si estuvieran orbitando el núcleo en una dirección particular, creando una corriente microscópica. Cuando las corrientes de todos estos átomos se juntan, crean el mismo efecto que una corriente macroscópica, circulando perpetuamente alrededor del objeto magnetizado. Esta corriente de magnetización J _M es una contribución a la "corriente ligada".

La otra fuente de corriente ligada es la carga ligada . Cuando se aplica un campo eléctrico, las cargas unidas positivas y negativas pueden separarse a distancias atómicas en materiales polarizables , y cuando las cargas unidas se mueven, la polarización cambia, creando otra contribución a la "corriente unida", la corriente de polarización J _P .

La densidad de corriente total J debida a cargas libres y ligadas es entonces:

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+\mathbf {J} _{\mathrm {M} }+\mathbf {J} _{\mathrm {P} }\,,}$

con J _f   la densidad de corriente "libre" o "conducción".

Toda la corriente es fundamentalmente igual, microscópicamente. Sin embargo, a menudo existen razones prácticas para querer tratar la corriente ligada de manera diferente a la corriente libre. Por ejemplo, la corriente ligada generalmente se origina en dimensiones atómicas, y es posible que deseemos aprovechar una teoría más simple destinada a dimensiones más grandes. El resultado es que la ley del circuito de Ampère, más microscópica, expresada en términos de B y la corriente microscópica (que incluye corrientes libres, de magnetización y de polarización), a veces se expresa en la forma equivalente a continuación en términos de H y la corriente libre únicamente. Para obtener una definición detallada de corriente libre y corriente ligada, y la prueba de que las dos formulaciones son equivalentes, consulte la sección "prueba" a continuación.

Deficiencias de la formulación original de la ley circuito.

Hay dos cuestiones importantes relacionadas con la ley circuito que requieren un examen más detenido. Primero, existe un problema con respecto a la ecuación de continuidad de la carga eléctrica. En cálculo vectorial, la identidad de la divergencia de un rizo establece que la divergencia del rizo de un campo vectorial siempre debe ser cero. Por eso

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=0\,,}$

y entonces la ley del circuito de Ampère original implica que

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} =0\,,}$

es decir, que la densidad de corriente es solenoidal .

Pero, en general, la realidad sigue la ecuación de continuidad de la carga eléctrica :

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,,}$

que es distinto de cero para una densidad de carga que varía con el tiempo. Un ejemplo ocurre en un circuito de capacitor donde existen densidades de carga que varían con el tiempo en las placas. ^{[12] [13] [14] [15] [16]}

En segundo lugar, existe un problema relacionado con la propagación de ondas electromagnéticas. Por ejemplo, en el espacio libre , donde

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {0} \,,}$

la ley del circuito implica que

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mathbf {0} \,,}$

es decir, que el campo magnético es irrotacional , pero para mantener la coherencia con la ecuación de continuidad de la carga eléctrica , debemos tener

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,.}$

Para tratar estas situaciones, se debe sumar la contribución de la corriente de desplazamiento al término actual en la ley del circuito.

James Clerk Maxwell concibió la corriente de desplazamiento como una corriente de polarización en el mar de vórtice dieléctrico, que utilizó para modelar el campo magnético hidrodinámica y mecánicamente. ^[17] Añadió esta corriente de desplazamiento a la ley del circuito de Ampère en la ecuación 112 en su artículo de 1861 " Sobre las líneas físicas de fuerza ". ^[18]

Corriente de desplazamiento

En el espacio libre , la corriente de desplazamiento está relacionada con la tasa de cambio temporal del campo eléctrico.

En un dieléctrico, la contribución anterior a la corriente de desplazamiento también está presente, pero una contribución importante a la corriente de desplazamiento está relacionada con la polarización de las moléculas individuales del material dieléctrico. Aunque las cargas no pueden fluir libremente en un dieléctrico, las cargas de las moléculas pueden moverse un poco bajo la influencia de un campo eléctrico. Las cargas positivas y negativas de las moléculas se separan bajo el campo aplicado, provocando un aumento en el estado de polarización, expresado como densidad de polarización P. Un estado cambiante de polarización equivale a una corriente.

Ambas contribuciones a la corriente de desplazamiento se combinan definiendo la corriente de desplazamiento como: ^[12]

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {D} }={\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {D} (\mathbf {r} ,\,t)\,,}$

donde el campo de desplazamiento eléctrico se define como:

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r} }\mathbf {E} \,,}$

donde ε ₀ es la constante eléctrica , ε _r la permitividad estática relativa y P es la densidad de polarización . Sustituyendo esta forma por D en la expresión de corriente de desplazamiento, tiene dos componentes:

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {D} }=\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\,.}$

El primer término del lado derecho está presente en todas partes, incluso en el vacío. No implica ningún movimiento real de carga, pero sin embargo tiene un campo magnético asociado, como si fuera una corriente real. Algunos autores aplican el nombre de corriente de desplazamiento únicamente a esta contribución. ^[19]

El segundo término del lado derecho es la corriente de desplazamiento tal como la concibió originalmente Maxwell, asociada con la polarización de las moléculas individuales del material dieléctrico.

La explicación original de Maxwell para la corriente de desplazamiento se centró en la situación que ocurre en los medios dieléctricos. En la era moderna post-éter, el concepto se ha ampliado para aplicarse a situaciones sin medios materiales presentes, por ejemplo, al vacío entre las placas de un condensador de vacío de carga . La corriente de desplazamiento se justifica hoy porque cumple varios requisitos de una teoría electromagnética: predicción correcta de campos magnéticos en regiones donde no fluye corriente libre; predicción de la propagación de ondas de campos electromagnéticos; y conservación de la carga eléctrica en los casos en que la densidad de carga varía con el tiempo. Para mayor discusión ver Desplazamiento actual .

Ampliando la ley original: la ecuación de Ampère-Maxwell

A continuación, la ecuación del circuito se amplía incluyendo la corriente de polarización, remediando así la aplicabilidad limitada de la ley del circuito original.

Al tratar las cargas libres por separado de las cargas ligadas, la ecuación que incluye la corrección de Maxwell en términos del campo H es (el campo H se usa porque incluye las corrientes de magnetización, por lo que J _M no aparece explícitamente; consulte el campo H y también la nota ): ^[20]

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{S}\left(\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$

(forma integral), donde H es el campo magnético H (también llamado "campo magnético auxiliar", "intensidad del campo magnético" o simplemente "campo magnético"), D es el campo de desplazamiento eléctrico y J _f es la corriente de conducción encerrada. o densidad de corriente libre . En forma diferencial,

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\,.}$

Por otro lado, al tratar todas las cargas del mismo modo (sin tener en cuenta si son cargas ligadas o libres), la ecuación generalizada de Ampère, también llamada ecuación de Maxwell-Ampère, está en forma integral (consulte la sección "prueba" a continuación):

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{S}\left(\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$

En forma diferencial,

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$

En ambas formas, J incluye la densidad de corriente de magnetización ^[21] , así como las densidades de corriente de conducción y polarización. Es decir, la densidad de corriente en el lado derecho de la ecuación de Ampère-Maxwell es:

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {f} }+\mathbf {J} _{\mathrm {D} }+\mathbf {J} _{\mathrm {M} }=\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+\mathbf {J} _{\mathrm {P} }+\mathbf {J} _{\mathrm {M} }+\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,,}$

donde la densidad de corriente J _D es la corriente de desplazamiento y J es la contribución de la densidad de corriente realmente debida al movimiento de cargas, tanto libres como ligadas. Debido a que ∇ ⋅  D = ρ , el problema de la continuidad de la carga con la formulación original de Ampère ya no es un problema. ^[22] Debido al término en ε ₀∂ mi/∂t​, ahora es posible la propagación de ondas en el espacio libre.

Con la adición de la corriente de desplazamiento, Maxwell pudo plantear (correctamente) la hipótesis de que la luz era una forma de onda electromagnética . Consulte la ecuación de ondas electromagnéticas para obtener una discusión sobre este importante descubrimiento.

Prueba de equivalencia

Prueba de que las formulaciones de la ley del circuito en términos de corriente libre son equivalentes a las formulaciones que involucran corriente total

En esta prueba demostraremos que la ecuación

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$

es equivalente a la ecuación

${\displaystyle {\frac {1}{\mu _{0}}}(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} )=\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,.}$

Tenga en cuenta que solo estamos tratando con las formas diferenciales, no con las formas integrales, pero eso es suficiente ya que las formas diferencial e integral son equivalentes en cada caso, según el teorema de Kelvin-Stokes .

Introducimos la densidad de polarización P , que tiene la siguiente relación con E y D :

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} \,.}$

A continuación, introducimos la densidad de magnetización M , que tiene la siguiente relación con B y H :

${\displaystyle {\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} =\mathbf {H} +\mathbf {M} }$

y la siguiente relación con la corriente ligada:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} _{\mathrm {bound} }&=\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\\&=\mathbf {J} _{\mathrm {M} }+\mathbf {J} _{\mathrm {P} },\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {M} }=\nabla \times \mathbf {M} ,}$

se llama densidad de corriente de magnetización , y

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {P} }={\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}},}$

es la densidad de corriente de polarización. Tomando la ecuación para B :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\mu _{0}}}(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} )&=\mathbf {\nabla } \times \left(\mathbf {H} +\mathbf {M} \right)\\&=\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} +\mathbf {J} _{\mathrm {M} }\\&=\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+\mathbf {J} _{\mathrm {P} }+\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {J} _{\mathrm {M} }.\end{aligned}}}$

En consecuencia, refiriéndose a la definición de corriente ligada:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\mu _{0}}}(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} )&=\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+\mathbf {J} _{\mathrm {bound} }+\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\\&=\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}},\end{aligned}}}$

como se iba a demostrar.

Ley del circuito de Ampère en unidades cgs

En unidades cgs , la forma integral de la ecuación, incluida la corrección de Maxwell, dice

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}={\frac {1}{c}}\iint _{S}\left(4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,}$

donde c es la velocidad de la luz .

La forma diferencial de la ecuación (nuevamente, incluida la corrección de Maxwell) es

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}\left(4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right).}$

Ver también

• Ley de Biot-Savart
• Corriente de desplazamiento
• Capacidad
• Modelo de dipolo magnético amperiano
• Ecuación de ondas electromagnéticas
• ecuaciones de maxwell
• Ley de inducción de Faraday
• Densidad de polarización
• Corriente eléctrica
• Cálculo vectorial
• teorema de stokes

Notas

1. Ampère nunca utilizó el concepto de campo en ninguna de sus obras; cf. Assis, André Koch Torres; Chaib, JPM C; Ampère, André-Marie (2015). Electrodinámica de Ampère: análisis del significado y evolución de la fuerza de Ampère entre elementos actuales, junto con una traducción completa de su obra maestra: Teoría de los fenómenos electrodinámicos, deducida únicamente de la experiencia (PDF) . Montreal, QC: Apeiron. cap. 15p. 221.ISBN​ 978-1-987980-03-5.Por tanto, la "ley del circuito de Ampère" se denomina más propiamente "ley de Ampère-Maxwell". Lleva el nombre de Ampère por sus contribuciones a la comprensión de la corriente eléctrica. Maxwell no toma la ley de fuerzas de Ampère como punto de partida para derivar ninguna de sus ecuaciones, aunque menciona la ley de fuerzas de Ampère en su Tratado sobre electricidad y magnetismo vol. 2, parte 4, cap. 2 (§§502-527) y 23 (§§845-866).
2. Secretario Maxwell, James (1890). "Sobre las líneas físicas de fuerza". Nueva York, Publicaciones de Dover.
3. Fleisch, Daniel (2008). Una guía para estudiantes sobre las ecuaciones de Maxwell. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 83.ISBN​ 9781139468473.
4. Garg, Anupam (2012). Electromagnetismo clásico en pocas palabras. Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 125.ISBN​ 9780691130187.
5. Katz, Débora M. (2016). Física para científicos e ingenieros: fundamentos y conexiones, versión ampliada. Aprendizaje Cengage. pag. 1093.ISBN​ 9781337364300.
6. Oersted, HC (1820). "Experimentos sobre el efecto de una corriente eléctrica sobre las agujas magnéticas". Anales de Filosofía . Londres: Baldwin, Craddock, Joy. 16 : 273.
7. HAM Snelders, "El descubrimiento del electromagnetismo de Oersted" en Cunningham, Andrew Cunningham; Nicolás Jardine (1990). El romanticismo y las ciencias. Archivo COPA. pag. 228.ISBN​ 0521356857.
8. Dhogal (1986). Ingeniería Eléctrica Básica, vol. 1. Tata McGraw-Hill. pag. 96.ISBN​ 0074515861.
9. Secretario Maxwell, James (1890). "Sobre las líneas de fuerza de Faraday". Nueva York, Publicaciones de Dover.
10. Knoepfel, Heinz E. (2000). Campos magnéticos: un tratado teórico completo para uso práctico. Wiley. pag. 4.ISBN​ 0-471-32205-9.
11. Owen, George E. (2003). Teoría electromagnética (Reimpresión de 1963 ed.). Publicaciones Courier-Dover. pag. 213.ISBN​ 0-486-42830-3.
12. Jackson, John David (1999). Electrodinámica clásica (3ª ed.). Wiley. pag. 238.ISBN​ 0-471-30932-X.
13. Griffiths, David J. (1999). Introducción a la electrodinámica (3ª ed.). Pearson/Addison-Wesley. págs. 322–323. ISBN 0-13-805326-X.^{[ enlace muerto permanente ]}
14. Owen, George E. (2003). Teoría electromagnética. Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. pag. 285.ISBN​ 0-486-42830-3.
15. Billingham, J.; Rey, AC (2006). Movimiento ondulatorio. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 179.ISBN​ 0-521-63450-4.
16. Pizarrero, JC; Frank, Nueva Hampshire (1969). Electromagnetismo (Reimpresión de 1947 ed.). Publicaciones de Courier Dover. pag. 83.ISBN​ 0-486-62263-0.
17. Siegel, Daniel M. (2003). Innovación en la teoría electromagnética de Maxwell: vórtices moleculares, corriente de desplazamiento y luz. Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 96–98. ISBN 0-521-53329-5.
18. Secretario Maxwell, James (1861). "Sobre las líneas físicas de fuerza" (PDF) . Revista Filosófica y Revista de Ciencias .
19. Por ejemplo, consulte Griffiths, David J. (1999). Introducción a la electrodinámica. Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall. pag. 323.ISBN​ 0-13-805326-X.y Tai L. Chow (2006). Introducción a la teoría electromagnética. Jones y Bartlett. pag. 204.ISBN​ 0-7637-3827-1.
20. Rogalski, Mircea S.; Palmer, Stuart B. (2006). Física Universitaria Avanzada. Prensa CRC. pag. 267.ISBN​ 1-58488-511-4.
21. Rogalski, Mircea S.; Palmer, Stuart B. (2006). Física Universitaria Avanzada. Prensa CRC. pag. 251.ISBN​ 1-58488-511-4.
22. La corriente de magnetización se puede expresar como la curvatura de la magnetización, por lo que su divergencia es cero y no contribuye a la ecuación de continuidad. Ver corriente de magnetización .

Otras lecturas

• Griffiths, David J. (1998). Introducción a la electrodinámica (3ª ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
• Tipler, Paul (2004). Física para científicos e ingenieros: electricidad, magnetismo, luz y física moderna elemental (5ª ed.) . WH Freeman. ISBN 0-7167-0810-8.

enlaces externos

• Medios relacionados con la ley de Ampere en Wikimedia Commons
• MISN-0-138 Ley de Ampere ( archivo PDF ) de Kirby Morgan para el Proyecto PHYSNET.
• MISN-0-145 La ecuación de Ampere-Maxwell; Corriente de desplazamiento (archivo PDF) de JS Kovacs para el proyecto PHYSNET.
• Una teoría dinámica del campo electromagnético Artículo de Maxwell de 1864