Intervalos anidados

4 miembros de una secuencia de intervalos anidados

En matemáticas , una secuencia de intervalos anidados se puede entender intuitivamente como una colección ordenada de intervalos en la recta numérica real con números naturales como índice. Para que una secuencia de intervalos se considere intervalos anidados, se deben cumplir dos condiciones: ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$

1. Cada intervalo de la secuencia está contenido en el anterior ( siempre es un subconjunto de ). ${\displaystyle I_{n+1}}$ ${\displaystyle I_{n}}$
2. La longitud de los intervalos se vuelve arbitrariamente pequeña (lo que significa que la longitud cae por debajo de cada umbral posible después de un cierto índice ). ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N}$

En otras palabras, el límite izquierdo del intervalo solo puede aumentar ( ), y el límite derecho solo puede disminuir ( ). ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle a_{n+1}\geq a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n+1}\leq b_{n}}$

Históricamente, mucho antes de que alguien definiera intervalos anidados en un libro de texto, la gente construía implícitamente tales anidaciones con fines de cálculo concretos. Por ejemplo, los antiguos babilonios descubrieron un método para calcular raíces cuadradas de números. En contraste, el famoso Arquímedes construyó secuencias de polígonos, que inscribían y circunscribían un círculo unitario , para obtener un límite inferior y superior para la circunferencia del círculo, que es el número circular Pi ( ). ${\displaystyle \pi }$

La cuestión central que se plantea es la naturaleza de la intersección de todos los números naturales, o, dicho de otro modo, del conjunto de números que se encuentran en cada intervalo (es decir, para todo ). En las matemáticas modernas, los intervalos anidados se utilizan como método de construcción de los números reales (para completar el campo de los números racionales). ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Motivación histórica

Como se indicó en la introducción, los usuarios históricos de las matemáticas descubrieron la anidación de intervalos y algoritmos estrechamente relacionados como métodos para cálculos específicos. Aquí se presentarán algunas variaciones e interpretaciones modernas de estas técnicas antiguas:

Cálculo de raíces cuadradas

Al intentar hallar la raíz cuadrada de un número , se puede estar seguro de que , lo que da el primer intervalo , en el que se debe hallar. Si se conoce el cuadrado perfecto inmediatamente superior , se puede obtener un candidato aún mejor para el primer intervalo: . ${\displaystyle x>1}$ ${\displaystyle 1\leq {\sqrt {x}}\leq x}$ ${\displaystyle I_{1}=[1,x]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k^{2}>x}$ ${\displaystyle I_{1}=[1,k]}$

Los demás intervalos se pueden definir ahora de forma recursiva observando la secuencia de puntos medios . Dado que el intervalo ya se conoce (comienza en ), se puede definir ${\displaystyle I_{n}=[a_{n},b_{n}],n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle m_{n}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}}$ ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle I_{1}}$

${\displaystyle I_{n+1}:=\left\{{\begin{matrix}\left[m_{n},b_{n}\right]&&{\text{if}}\;\;m_{n}^{2}\leq x\\\left[a_{n},m_{n}\right]&&{\text{if}}\;\;m_{n}^{2}>x\end{matrix}}\right.}$

Para ponerlo en palabras, se puede comparar el punto medio de con para determinar si el punto medio es menor o mayor que . Si el punto medio es menor, se puede establecer como el límite inferior del siguiente intervalo , y si el punto medio es mayor, se puede establecer como el límite superior del siguiente intervalo. Esto garantiza que . Con esta construcción, los intervalos se anidan y su longitud se reduce a la mitad en cada paso de la recursión. Por lo tanto, es posible obtener límites inferiores y superiores para con una precisión arbitrariamente buena (dado suficiente tiempo computacional). ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle I_{n+1}}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}\in I_{n+1}}$ ${\displaystyle |I_{n}|}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$

También se puede calcular , cuando . En este caso , y el algoritmo se puede utilizar estableciendo y calculando el recíproco después de que se haya adquirido el nivel de precisión deseado. ${\displaystyle {\sqrt {y}}}$ ${\displaystyle 0<y<1}$ ${\displaystyle 1/y>1}$ ${\displaystyle x:=1/y}$

Ejemplo

Para demostrar este algoritmo, se muestra un ejemplo de cómo se puede utilizar para encontrar el valor de . Nótese que, dado que , el primer intervalo del algoritmo se puede definir como , dado que debe encontrarse dentro de este intervalo. Por lo tanto, utilizando este intervalo, se puede continuar con el siguiente paso del algoritmo calculando el punto medio del intervalo, determinando si el cuadrado del punto medio es mayor o menor que 19 y estableciendo los límites del siguiente intervalo en consecuencia antes de repetir el proceso: ${\displaystyle {\sqrt {19}}}$ ${\displaystyle 1^{2}<19<5^{2}}$ ${\displaystyle I_{1}:=[1,5]}$ ${\displaystyle {\sqrt {19}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&={\dfrac {1+5}{2}}=3&&\Rightarrow \;m_{1}^{2}=9\leq 19&&\Rightarrow \;I_{2}=[3,5]\\m_{2}&={\dfrac {3+5}{2}}=4&&\Rightarrow \;m_{2}^{2}=16\leq 19&&\Rightarrow \;I_{3}=[4,5]\\m_{3}&={\dfrac {4+5}{2}}=4.5&&\Rightarrow \;m_{3}^{2}=20.25>19&&\Rightarrow \;I_{4}=[4,4.5]\\m_{4}&={\dfrac {4+4.5}{2}}=4.25&&\Rightarrow \;m_{4}^{2}=18.0625\leq 19&&\Rightarrow \;I_{5}=[4.25,4.5]\\m_{5}&={\dfrac {4.25+4.5}{2}}=4.375&&\Rightarrow \;m_{5}^{2}=19.140625>19&&\Rightarrow \;I_{5}=[4.25,4.375]\\&\vdots &&\end{aligned}}}$

Cada vez que se calcula un nuevo punto medio, el rango de valores posibles para se puede restringir de modo que los valores que permanecen dentro del intervalo se acerquen cada vez más al valor real de . Es decir, cada cambio sucesivo en los límites del intervalo dentro del cual debe estar permite estimar el valor de con mayor precisión, ya sea aumentando los límites inferiores del intervalo o disminuyendo los límites superiores del intervalo. ${\displaystyle {\sqrt {19}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {19}}=4.35889894\dots }$ ${\displaystyle {\sqrt {19}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {19}}}$

Este procedimiento puede repetirse tantas veces como sea necesario para alcanzar el nivel de precisión deseado. En teoría, repitiendo los pasos indefinidamente, se puede llegar al valor verdadero de esta raíz cuadrada.

El método de las garzas

El método babilónico utiliza un algoritmo aún más eficiente que produce aproximaciones precisas de para un resultado aún más rápido. La descripción moderna que utiliza intervalos anidados es similar al algoritmo anterior, pero en lugar de utilizar una secuencia de puntos medios, se utiliza una secuencia dada por ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle (c_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle c_{n+1}:={\frac {1}{2}}\cdot \left(c_{n}+{\frac {x}{c_{n}}}\right)}$.

Esto da como resultado una secuencia de intervalos dada por y , donde , proporcionará límites superior e inferior precisos para muy rápido. En la práctica, solo se debe considerar , que converge a (como lo hace, por supuesto, el límite inferior del intervalo). Este algoritmo es un caso especial del método de Newton . ${\displaystyle I_{n+1}:=\left[{\frac {x}{c_{n}}},c_{n}\right]}$ ${\displaystyle I_{1}=[0,k]}$ ${\displaystyle k^{2}>x}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$

Medida del círculo de Arquímedes

π se puede estimar calculando los perímetros de polígonos circunscritos e inscritos.

Como se muestra en la imagen, los límites inferior y superior de la circunferencia de un círculo se pueden obtener con polígonos regulares inscritos y circunscritos. Al examinar un círculo con diámetro , la circunferencia es (por definición de Pi) el número del círculo . ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \pi }$

Alrededor del año 250 a. C., Arquímedes de Siracusa comenzó con hexágonos regulares , cuyas longitudes de los lados (y, por lo tanto, la circunferencia) se pueden calcular directamente a partir del diámetro del círculo. Además, se puede encontrar una forma de calcular la longitud de los lados de un -gono regular a partir del -gono anterior , comenzando por el hexágono regular ( -gono). Al duplicar sucesivamente el número de aristas hasta llegar a polígonos de 96 lados, Arquímedes alcanzó un intervalo con . El límite superior todavía se utiliza a menudo como una aproximación aproximada, pero pragmática, de . ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle {\tfrac {223}{71}}<\pi <{\tfrac {22}{7}}}$ ${\displaystyle 22/7\approx 3.143}$ ${\displaystyle \pi }$

Alrededor del año 1600 d. C., el método de Arquímedes seguía siendo el estándar de oro para calcular Pi y fue utilizado por el matemático holandés Ludolph van Ceulen para calcular más de treinta dígitos de , lo que le llevó décadas. Poco después, se descubrieron métodos más potentes para el cálculo. ${\displaystyle \pi }$

Otras implementaciones

Los primeros usos de las secuencias de intervalos anidados (o que pueden describirse como tales con las matemáticas modernas) se pueden encontrar en los predecesores del cálculo ( diferenciación e integración ). En informática , las secuencias de intervalos anidados se utilizan en algoritmos para el cálculo numérico. Es decir, el método de bisección se puede utilizar para calcular las raíces de funciones continuas . A diferencia de las secuencias matemáticamente infinitas, un algoritmo computacional aplicado termina en algún punto, cuando se ha encontrado el cero deseado o se ha aproximado lo suficientemente bien .

La construcción de los números reales

En el análisis matemático , los intervalos anidados proporcionan un método para introducir axiomáticamente los números reales como la compleción de los números racionales , siendo una necesidad para discutir los conceptos de continuidad y diferenciabilidad . Históricamente, el descubrimiento del cálculo diferencial e integral de Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz a fines del siglo XVII ha planteado un enorme desafío para los matemáticos que intentaban probar sus métodos de manera rigurosa; a pesar de su éxito en física , ingeniería y otras ciencias. La descripción axiomática de los intervalos anidados (o un axioma equivalente) se ha convertido en una base importante para la comprensión moderna del cálculo.

En el contexto de este artículo, en conjunción con y es un campo ordenado de Arquímedes , lo que significa que se cumplen los axiomas de orden y la propiedad de Arquímedes . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \cdot }$

Definición[1]

Sea una secuencia de intervalos cerrados del tipo , donde denota la longitud de dicho intervalo. Se puede llamar a una secuencia de intervalos anidados , si ${\displaystyle (I_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle I_{n}=[a_{n},b_{n}]}$ ${\displaystyle |I_{n}|:=b_{n}-a_{n}}$ ${\displaystyle (I_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

1. ${\displaystyle \quad \forall n\in \mathbb {N} :\;\;I_{n+1}\subseteq I_{n}}$
2. ${\displaystyle \quad \forall \varepsilon >0\;\exists N\in \mathbb {N} :\;\;|I_{N}|<\varepsilon }$.

Expresada en palabras, la propiedad 1 significa que los intervalos están anidados según su índice. La segunda propiedad formaliza la noción de que los tamaños de los intervalos se vuelven arbitrariamente pequeños; es decir, que para una constante arbitraria siempre se puede encontrar un intervalo (con índice ) con una longitud estrictamente menor que ese número . También vale la pena señalar que la propiedad 1 implica inmediatamente que cada intervalo con un índice también debe tener una longitud . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |I_{n}|<\varepsilon }$

Observación

Obsérvese que algunos autores denominan intervalos anidados decrecientes a estas secuencias de intervalos que satisfacen ambas propiedades . En este caso, una secuencia de intervalos anidados se refiere a una secuencia que solo satisface la propiedad 1.

Axioma de completitud

Si es una sucesión de intervalos anidados, siempre existe un número real, que está contenido en cada intervalo . En notación formal, este axioma garantiza que ${\displaystyle (I_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle I_{n}}$

${\displaystyle \exists x\in \mathbb {R} :\;x\in \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}}$.

Teorema

La intersección de cada secuencia de intervalos anidados contiene exactamente un número real . ${\displaystyle (I_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle x}$

Demostración: Esta afirmación se puede verificar fácilmente por contradicción. Supongamos que existen dos números diferentes . De ello se deduce que difieren en Como ambos números tienen que estar contenidos en cada intervalo, se deduce que para todo . Esto contradice la propiedad 2 de la definición de intervalos anidados; por lo tanto, la intersección puede contener como máximo un número . El axioma de completitud garantiza que existe tal número real . ${\displaystyle x,y\in \cap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}}$ ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle |x-y|>0.}$ ${\displaystyle |I_{n}|\geq |x-y|}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \;\square }$

Notas

• Este axioma es fundamental en el sentido de que una secuencia de intervalos anidados no necesariamente contiene un número racional, lo que significa que podría producir , si solo se consideran los racionales. ${\displaystyle \cap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}}$ ${\displaystyle \emptyset }$
• El axioma es equivalente a la existencia del ínfimo y del supremo (prueba a continuación), a la convergencia de las sucesiones de Cauchy y al teorema de Bolzano-Weierstrass . Esto significa que uno de los cuatro debe introducirse axiomáticamente, mientras que los otros tres pueden demostrarse sucesivamente.

Consecuencias directas del axioma

Existencia de raíces

Al generalizar el algoritmo mostrado arriba para raíces cuadradas, se puede demostrar que en los números reales, la ecuación siempre se puede resolver para . Esto significa que existe un único número real , tal que . En comparación con la sección anterior, se logra una secuencia de intervalos anidados para la raíz -ésima de , es decir , observando si el punto medio del intervalo -ésimo es menor o igual o mayor que . ${\displaystyle x=y^{j},\;j\in \mathbb {N} ,x>0}$ ${\displaystyle y={\sqrt[{j}]{x}}=x^{1/j}}$ ${\displaystyle y>0}$ ${\displaystyle x=y^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle m_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m_{n}^{k}}$

Existencia de ínfimo y supremo en conjuntos acotados

Definición

Si tiene un límite superior, es decir, existe un número , tal que para todo , se puede llamar al número el supremo de , si ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x\leq b}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle s=\sup(A)}$ ${\displaystyle A}$

1. El número es un límite superior de , lo que significa ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \forall x\in A:\;x\leq s}$
2. ${\displaystyle s}$es el límite superior mínimo de , lo que significa ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \forall \sigma <s:\;\exists x\in A:\;x>\sigma }$

Sólo puede existir un único número de este tipo . Análogamente, se puede definir el ínfimo ( ) de un conjunto acotado desde abajo como el límite inferior más grande de ese conjunto. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \inf(B)}$ ${\displaystyle B\subset \mathbb {R} }$

Teorema

Cada conjunto tiene un supremo (ínfimo), si está acotado por arriba (por abajo). ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$

Demostración: Sin pérdida de generalidad, se puede observar un conjunto que tiene un límite superior. Ahora se puede construir una secuencia de intervalos anidados que tenga las dos propiedades siguientes: ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (I_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle I_{n}=[a_{n},b_{n}]}$

1. ${\displaystyle b_{n}}$es un límite superior para todos ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
2. ${\displaystyle a_{n}}$nunca es un límite superior para ningún . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

La construcción sigue una recursión comenzando con cualquier número , que no sea un límite superior (por ejemplo , donde y un límite superior arbitrario de ). Dado para algunos se puede calcular el punto medio y definir ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{1}=c-1}$ ${\displaystyle c\in A}$ ${\displaystyle b_{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I_{n}=[a_{n},b_{n}]}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle m_{n}:={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}}$

${\displaystyle I_{n+1}:=\left\{{\begin{matrix}\left[a_{n},m_{n}\right]&&{\text{if}}\;m_{n}\;{\text{is an upper bound of}}\;A\\\left[m_{n},b_{n}\right]&&{\text{if}}\;m_{n}\;{\text{is not an upper bound}}\end{matrix}}\right.}$

Nótese que esta secuencia de intervalos está bien definida y, obviamente, es una secuencia de intervalos anidados por construcción.

Sea ahora el número en cada intervalo (cuya existencia está garantizada por el axioma). es un límite superior de , de lo contrario existe un número , tal que . Además, esto implicaría la existencia de un intervalo con , de lo que se sigue, debido a que también es un elemento de . Pero esto es una contradicción con la propiedad 1 del supremo (es decir, para todo ). Por lo tanto es de hecho un límite superior de . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle x>s}$ ${\displaystyle I_{m}=[a_{m},b_{m}]}$ ${\displaystyle b_{m}-a_{m}<x-s}$ ${\displaystyle b_{m}-s<x-s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle I_{m}}$ ${\displaystyle b_{m}<s}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle A}$

Supongamos que existe un límite superior inferior de . Como es una secuencia de intervalos anidados, las longitudes de los intervalos se vuelven arbitrariamente pequeñas; en particular, existe un intervalo con una longitud menor que . Pero de uno se obtiene y por lo tanto . Siguiendo las reglas de esta construcción, tendría que haber un límite superior de , contradiciendo la propiedad 2 de todas las secuencias de intervalos anidados. ${\displaystyle \sigma <s}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (I_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle s-\sigma }$ ${\displaystyle s\in I_{n}}$ ${\displaystyle s-a_{n}<s-\sigma }$ ${\displaystyle a_{n}>\sigma }$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle A}$

En dos pasos se ha demostrado que es un límite superior de y que no puede existir un límite superior inferior. Por lo tanto, es el supremo de por definición. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle A}$

Observación

Como se ha visto, la existencia de suprema e ínfima de conjuntos acotados es una consecuencia de la completitud de . En efecto, ambos son equivalentes, es decir, cualquiera de los dos puede introducirse axiomáticamente. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Demostración: Sea con una secuencia de intervalos anidados. Entonces el conjunto está acotado desde arriba, donde cada es un límite superior. Esto implica que el límite superior mínimo se cumple para todos . Por lo tanto , para todos , respectivamente . ${\displaystyle (I_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle I_{n}=[a_{n},b_{n}]}$ ${\displaystyle A:=\{a_{1},a_{2},\dots \}}$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle s=\sup(A)}$ ${\displaystyle a_{n}\leq s\leq b_{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle s\in I_{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle s\in \cap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}}$

Otras consecuencias

Después de definir formalmente la convergencia de sucesiones y los puntos de acumulación de sucesiones , también se puede demostrar el teorema de Bolzano-Weierstrass utilizando intervalos anidados. En un seguimiento, se puede demostrar el hecho de que las sucesiones de Cauchy son convergentes (y que todas las sucesiones convergentes son sucesiones de Cauchy). Esto, a su vez, permite una prueba de la propiedad de completitud anterior, mostrando su equivalencia.

Más discusión sobre aspectos relacionados

Sin especificar qué se entiende por intervalo, todo lo que se puede decir sobre la intersección de todos los naturales (es decir, el conjunto de todos los puntos comunes a cada intervalo) es que es el conjunto vacío , un punto en la recta numérica (llamado singleton ) o algún intervalo. ${\displaystyle \cap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}}$ ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle \{x\}}$

La posibilidad de una intersección vacía se puede ilustrar observando una secuencia de intervalos abiertos . ${\displaystyle I_{n}=\left(0,{\frac {1}{n}}\right)=\left\{x\in \mathbb {R} :0<x<{\frac {1}{n}}\right\}}$

En este caso, el conjunto vacío resulta de la intersección . Este resultado proviene del hecho de que, para cualquier número existe algún valor de (a saber, cualquier ), tal que . Esto viene dado por la propiedad arquimediana de los números reales. Por lo tanto, no importa cuán pequeño sea , siempre se pueden encontrar intervalos en la secuencia, tales que , lo que implica que la intersección tiene que estar vacía. ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle \cap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n>1/x}$ ${\displaystyle 1/n<x}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle x\notin I_{n},}$

La situación es diferente para los intervalos cerrados . Si uno cambia la situación anterior al observar intervalos cerrados del tipo , puede verlo muy claramente. Ahora bien, para cada uno todavía se pueden encontrar intervalos que no contengan dicho , pero para , la propiedad es válida para cualquier . Se puede concluir que, en este caso, . ${\displaystyle I_{n}=\left[0,{\frac {1}{n}}\right]=\left\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq {\frac {1}{n}}\right\}}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle 0\leq x\leq 1/n}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \cap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}=\{0\}}$

También se puede considerar el complemento de cada intervalo, escrito como - que, en nuestro último ejemplo, es . Por las leyes de De Morgan , el complemento de la intersección es una unión de dos conjuntos abiertos disjuntos . Por la conexidad de la línea real debe haber algo entre ellos. Esto demuestra que la intersección de (incluso un número incontable de) intervalos anidados, cerrados y acotados no es vacía. ${\displaystyle (-\infty ,a_{n})\cup (b_{n},\infty )}$ ${\displaystyle (-\infty ,0)\cup (1/n,\infty )}$

Dimensiones superiores

En dos dimensiones se obtiene un resultado similar: los discos cerrados anidados en el plano deben tener una intersección común. Este resultado fue demostrado por Hermann Weyl para clasificar el comportamiento singular de ciertas ecuaciones diferenciales .

Véase también

• Bisección
• Teorema de intersección de Cantor

Referencias

1. Königsberger, Konrad (2004). Análisis 1 . Saltador. pag. 11.ISBN​ 354040371X.

• Fridy, JA (2000), "3.3 El teorema de intervalos anidados", Análisis introductorio: la teoría del cálculo, Academic Press, pág. 29, ISBN 9780122676550.
• Shilov, Georgi E. (2012), "1.8 El principio de intervalos anidados", Análisis real y complejo elemental, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, págs. 21-22, ISBN 9780486135007.
• Sohrab, Houshang H. (2003), "Teorema 2.1.5 (Teorema de intervalos anidados)", Análisis real básico, Springer, pág. 45, ISBN 9780817642112.
• Königsberger, Konrad (2003), "2.3 Die Vollständigkeit von R (la integridad de los números reales)", Análisis 1, 6. Auflage (6ª edición), Springer-Lehrbuch, Springer, p. 10-15, doi :10.1007/978-3-642-18490-1, ISBN 9783642184901