haz gaussiano

Haz de luz monocromático cuya envolvente de amplitud es una función gaussiana

Valor absoluto instantáneo de la parte real de la amplitud del campo eléctrico de un haz gaussiano TEM ₀₀ , región focal. Mostrándose así con dos picos por cada frente de onda positivo . ${\displaystyle |{\mathcal {Re}}(E(t_{1}))|}$

Arriba: perfil de intensidad transversal de un haz gaussiano que se propaga fuera de la página. Curva azul: amplitud del campo eléctrico (o magnético) versus posición radial desde el eje del haz. La curva negra es la intensidad correspondiente.

Un rayo de puntero láser verde de 5 mW que muestra el perfil del TEM ₀₀

En óptica , un haz gaussiano es un haz ideal de radiación electromagnética con alta monocromaticidad cuya amplitud envolvente en el plano transversal viene dada por una función gaussiana ; esto también implica un perfil de intensidad (irradiancia) gaussiano. Este modo gaussiano transversal fundamental (o TEM ₀₀ ) describe la salida prevista de la mayoría (pero no de todos) los láseres , ya que dicho haz se puede enfocar en el punto más concentrado. Cuando dicho haz es reenfocado mediante una lente , se altera la dependencia de fase transversal; esto da como resultado un haz gaussiano diferente . Los perfiles de amplitud del campo eléctrico y magnético a lo largo de cualquier haz circular gaussiano (para una longitud de onda y polarización dadas ) están determinados por un único parámetro: la llamada cintura w ₀ . En cualquier posición z con respecto a la cintura (foco) a lo largo de un haz que tiene un w ₀ específico , las amplitudes y fases del campo se determinan ^[1] como se detalla a continuación.

Dado que la función gaussiana es de extensión infinita, los haces gaussianos perfectos no existen en la naturaleza, y los bordes de cualquier haz de este tipo serían cortados por cualquier lente o espejo finito. Sin embargo, el gaussiano es una aproximación útil a un haz del mundo real para casos en los que las lentes o espejos del haz son significativamente más grandes que el tamaño del punto w(z) del haz.

Fundamentalmente, la gaussiana es una solución de la ecuación axial de Helmholtz , la ecuación de onda para un campo electromagnético. Aunque existen otras soluciones, las familias de soluciones gaussianas son útiles para problemas que involucran vigas compactas.

forma matemática

Las siguientes ecuaciones suponen una viga con una sección transversal circular en todos los valores de z ; Esto se puede ver observando que aparece una única dimensión transversal, r . Las vigas con secciones transversales elípticas , o con cinturas en diferentes posiciones en z para las dos dimensiones transversales ( vigas astigmáticas ) también pueden describirse como vigas gaussianas, pero con valores distintos de w ₀ y de la ubicación z = 0 para las dos dimensiones transversales. dimensiones x e y .

Perfil de intensidad del haz gaussiano con w ₀ = 2 λ .

El haz gaussiano es un modo electromagnético transversal (TEM) . ^[2] La expresión matemática para la amplitud del campo eléctrico es una solución a la ecuación paraxial de Helmholtz . ^[1] Suponiendo polarización en la dirección x y propagación en la dirección + z , el campo eléctrico en notación fasorial (compleja) viene dado por:

$${\displaystyle {\mathbf {E} (r,z)}=E_{0}\,{\hat {\mathbf {x} }}\,{\frac {w_{0}}{w(z)}}\exp \left({\frac {-r^{2}}{w(z)^{2}}}\right)\exp \left(\!-i\left(kz+k{\frac {r^{2}}{2R(z)}}-\psi (z)\right)\!\right)}$$

donde ^{[1] [3]}

• r es la distancia radial desde el eje central de la viga,
• z es la distancia axial desde el foco del haz (o "cintura"),
• i es la unidad imaginaria ,
• k = 2 πn / λ es el número de onda (en radianes por metro) para una longitud de onda en el espacio libre λ , y n es el índice de refracción del medio en el que se propaga el haz,
• E ₀ = E (0, 0) , la amplitud (y fase) del campo eléctrico en el origen ( r = 0 , z = 0 ),
• w ( z ) es el radio en el que las amplitudes de campo caen a 1/ e de sus valores axiales (es decir, donde los valores de intensidad caen a 1/ e ² de sus valores axiales), en el plano z a lo largo del haz,
• w ₀ = w (0) es el radio de la cintura,
• R ( z ) es el radio de curvatura de los frentes de onda del haz en z , y
• ψ ( z ) es la fase de Gouy en z , un término de fase adicional más allá del atribuible a la velocidad de fase de la luz.

El campo eléctrico físico se obtiene a partir de la amplitud del campo fasor dada anteriormente tomando la parte real de la amplitud multiplicada por un factor de tiempo:

$${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{phys}}(r,z,t)=\operatorname {Re} (\mathbf {E} (r,z)\cdot e^{i\omega t}),}$$

frecuencia angulartconvención de signosDescripciones matemáticas de la opacidad § Ambigüedad conjugada compleja ${\textstyle \omega }$

Dado que esta solución se basa en la aproximación paraxial, no es precisa para vigas muy divergentes. La forma anterior es válida en la mayoría de los casos prácticos, donde w ₀ ≫ λ / n .

La distribución de intensidad (o irradiancia ) correspondiente viene dada por

$${\displaystyle I(r,z)={|E(r,z)|^{2} \over 2\eta }=I_{0}\left({\frac {w_{0}}{w(z)}}\right)^{2}\exp \left({\frac {-2r^{2}}{w(z)^{2}}}\right),}$$

donde la constante η es la impedancia de onda del medio en el que se propaga el haz. Para espacio libre, η = η 0 ≈ 377 Ω. Yo ₀ = | mi ₀ | ^2/2 η es la intensidad en el centro del haz en su cintura.

Si P ₀ es la potencia total del haz,

$${\displaystyle I_{0}={2P_{0} \over \pi w_{0}^{2}}.}$$

Ancho de haz en evolución

La función gaussiana tiene un diámetro 1/ e ² ( 2 w como se usa en el texto) aproximadamente 1,7 veces el FWHM .

En una posición z a lo largo del haz (medida desde el foco), el parámetro de tamaño del punto w viene dado por una relación hiperbólica : ^[1]

$${\displaystyle w(z)=w_{0}\,{\sqrt {1+{\left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right)}^{2}}},}$$

^[1]

$${\displaystyle z_{\mathrm {R} }={\frac {\pi w_{0}^{2}n}{\lambda }}}$$

rango de Rayleigh ${\displaystyle n}$

El radio del haz w ( z ) , en cualquier posición z a lo largo del haz, está relacionado con el ancho total a la mitad del máximo (FWHM) de la distribución de intensidad en esa posición de acuerdo con: ^[4]

$${\displaystyle w(z)={\frac {{\text{FWHM}}(z)}{\sqrt {2\ln 2}}}.}$$

Curvatura del frente de onda

La curvatura de los frentes de onda es mayor en la distancia de Rayleigh, z = ± z _R , a cada lado de la cintura, cruzando el cero en la cintura misma. Más allá de la distancia de Rayleigh, | z | > z _R , nuevamente disminuye en magnitud, acercándose a cero cuando z → ±∞ . La curvatura se expresa a menudo en términos de su recíproco, R , el radio de curvatura ; para un haz gaussiano fundamental, la curvatura en la posición z viene dada por:

$${\displaystyle {\frac {1}{R(z)}}={\frac {z}{z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}},}$$

entonces el radio de curvatura R ( z ) es ^[1]

$${\displaystyle R(z)=z\left[{1+{\left({\frac {z_{\mathrm {R} }}{z}}\right)}^{2}}\right].}$$

Haces elípticos y astigmáticos.

Muchos rayos láser tienen una sección transversal elíptica. También son comunes las vigas con posiciones de cintura diferentes para las dos dimensiones transversales, llamadas vigas astigmáticas. Estas vigas se pueden abordar utilizando las dos ecuaciones de evolución anteriores, pero con valores distintos de cada parámetro para xey y definiciones distintas del punto z = 0 . La fase de Gouy es un valor único calculado correctamente sumando la contribución de cada dimensión, con una fase de Gouy dentro del rango ± π /4 aportada por cada dimensión.

Un haz elíptico invertirá su relación de elipticidad a medida que se propaga desde el campo lejano hasta la cintura. La dimensión que era mayor lejos de la cintura, será menor cerca de la cintura.

Gaussiano como descomposición en modos

Las soluciones arbitrarias de la ecuación paraxial de Helmholtz se pueden descomponer como la suma de los modos Hermite-Gaussianos (cuyos perfiles de amplitud son separables en xey usando coordenadas cartesianas ), modos Laguerre-Gaussianos (cuyos perfiles de amplitud son separables en r y θ usando coordenadas cilíndricas ) o de manera similar como combinaciones de modos Ince-Gaussianos (cuyos perfiles de amplitud son separables en ξ y η usando coordenadas elípticas ). ^{[5] [6] [7]} En cualquier punto a lo largo del haz z , estos modos incluyen el mismo factor gaussiano que el modo gaussiano fundamental multiplicando los factores geométricos adicionales para el modo especificado. Sin embargo, diferentes modos se propagan con una fase de Gouy diferente, razón por la cual el perfil transversal neto debido a una superposición de modos evoluciona en z , mientras que la propagación de cualquier modo Hermite-Gaussiano (o Laguerre-Gaussiano) conserva la misma forma a lo largo de una viga.

Aunque existen otras descomposiciones modales , las gaussianas son útiles para problemas que involucran haces compactos, es decir, donde la potencia óptica está bastante confinada a lo largo de un eje. Incluso cuando un láser no funciona en el modo gaussiano fundamental, su potencia generalmente se encontrará entre los modos de orden más bajo utilizando estas descomposiciones, ya que la extensión espacial de los modos de orden superior tenderá a exceder los límites del resonador ( cavidad) de un láser. . "Haz gaussiano" normalmente implica radiación confinada al modo gaussiano fundamental (TEM ₀₀ ).

Parámetros del haz

La dependencia geométrica de los campos de un haz gaussiano se rige por la longitud de onda de la luz λ ( en el medio dieléctrico, si no en el espacio libre) y los siguientes parámetros del haz , todos los cuales están conectados como se detalla en las siguientes secciones.

Cintura del haz

Ancho del haz gaussiano w ( z ) en función de la distancia z a lo largo del haz, que forma una hipérbola . w ₀ : cintura de la viga; b : profundidad de enfoque; zR : rango de _Rayleigh ; Θ : dispersión angular total

La forma de un haz gaussiano de una longitud de onda dada λ se rige únicamente por un parámetro, la cintura del haz w ₀ . Esta es una medida del tamaño del haz en el punto de su foco ( z = 0 en las ecuaciones anteriores) donde el ancho del haz w ( z ) (como se define arriba) es el más pequeño (y también donde la intensidad en el eje ( r = 0 ) es el mayor). A partir de este parámetro se determinan los demás parámetros que describen la geometría de la viga. Esto incluye el rango de Rayleigh z _R y la divergencia asintótica del haz θ , como se detalla a continuación.

Rango de Rayleigh y parámetro confocal.

La distancia de Rayleigh o rango de Rayleigh z _R se determina dado el tamaño de cintura de un haz gaussiano:

$${\displaystyle z_{\mathrm {R} }={\frac {\pi w_{0}^{2}n}{\lambda }}.}$$

Aquí λ es la longitud de onda de la luz, n es el índice de refracción. A una distancia de la cintura igual al rango de Rayleigh z _R , el ancho w del haz es √ 2 mayor que en el foco donde w = w ₀ , la cintura del haz. Eso también implica que la intensidad en el eje ( r = 0 ) es la mitad de la intensidad máxima (en z = 0 ). Ese punto a lo largo del haz también es donde la curvatura del frente de onda ( 1/ R ) es mayor. ^[1]

La distancia entre los dos puntos z = ± z _R se denomina parámetro confocal o profundidad de enfoque del haz. ^[8]

Divergencia del haz

Aunque las colas de una función gaussiana nunca llegan a cero, para los propósitos de la siguiente discusión, se considera que el "borde" de una viga es el radio donde r = w ( z ) . Ahí es donde la intensidad ha bajado a 1/ e ² de su valor en el eje. Ahora, para z ≫ z _R el parámetro w ( z ) aumenta linealmente con z . Esto significa que lejos de la cintura, el "borde" de la viga (en el sentido anterior) tiene forma de cono. El ángulo entre ese cono (cuyo r = w ( z ) ) y el eje del haz ( r = 0 ) define la divergencia del haz:

$${\displaystyle \theta =\lim _{z\to \infty }\arctan \left({\frac {w(z)}{z}}\right).}$$

En el caso paraxial, como hemos estado considerando, θ (en radianes) es entonces aproximadamente ^[1]

$${\displaystyle \theta ={\frac {\lambda }{\pi nw_{0}}}}$$

donde n es el índice de refracción del medio a través del cual se propaga el haz y λ es la longitud de onda en el espacio libre. La extensión angular total del haz divergente, o ángulo del vértice del cono descrito anteriormente, viene dada por

$${\displaystyle \Theta =2\theta \,.}$$

Ese cono contiene entonces el 86% de la potencia total del haz gaussiano.

Debido a que la divergencia es inversamente proporcional al tamaño del punto, para una longitud de onda dada λ , un haz gaussiano enfocado en un punto pequeño diverge rápidamente a medida que se propaga lejos del foco. Por el contrario, para minimizar la divergencia de un rayo láser en el campo lejano (y aumentar su intensidad máxima a grandes distancias) debe tener una sección transversal grande ( w ₀ ) en la cintura (y por lo tanto un diámetro grande donde se lanza). ya que w ( z ) nunca es menor que w ₀ ). Esta relación entre el ancho del haz y la divergencia es una característica fundamental de la difracción y de la transformada de Fourier que describe la difracción de Fraunhofer . Un haz con cualquier perfil de amplitud especificado también obedece a esta relación inversa, pero el modo gaussiano fundamental es un caso especial en el que el producto del tamaño del haz en el foco y la divergencia en el campo lejano es menor que en cualquier otro caso.

Dado que el modelo de haz gaussiano utiliza la aproximación paraxial, falla cuando los frentes de onda están inclinados más de aproximadamente 30° con respecto al eje del haz. ^[9] De la expresión anterior para divergencia, esto significa que el modelo de haz gaussiano solo es preciso para haces con cinturas mayores que aproximadamente 2 λ / π .

La calidad del rayo láser se cuantifica mediante el producto del parámetro del haz (BPP). Para un haz gaussiano, el BPP es el producto de la divergencia del haz y el tamaño de cintura w ₀ . El BPP de un haz real se obtiene midiendo el diámetro mínimo del haz y la divergencia en el campo lejano, y tomando su producto. La relación entre el BPP del haz real y el de un haz gaussiano ideal en la misma longitud de onda se conoce como M ² (" M al cuadrado "). El M ² para un haz gaussiano es uno. Todos los rayos láser reales tienen valores de M ² superiores a uno, aunque los rayos de muy alta calidad pueden tener valores muy cercanos a uno.

La apertura numérica de un haz gaussiano se define como NA = n sen θ , donde n es el índice de refracción del medio a través del cual se propaga el haz. Esto significa que el rango de Rayleigh está relacionado con la apertura numérica por

$${\displaystyle z_{\mathrm {R} }={\frac {nw_{0}}{\mathrm {NA} }}.}$$

fase gouy

La fase de Gouy es un cambio de fase adquirido gradualmente por un haz alrededor de la región focal. En la posición z, la fase de Gouy de un haz gaussiano fundamental viene dada por ^[1]

$${\displaystyle \psi (z)=\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right).}$$

Fase Gouy.

La fase de Gouy da como resultado un aumento en la longitud de onda aparente cerca de la cintura ( z ≈ 0 ). Por tanto, la velocidad de fase en esa región excede formalmente la velocidad de la luz. Este comportamiento paradójico debe entenderse como un fenómeno de campo cercano en el que la desviación de la velocidad de fase de la luz (como se aplicaría exactamente a una onda plana) es muy pequeña, excepto en el caso de un haz con una gran apertura numérica , en cuyo caso el La curvatura de los frentes de onda (ver sección anterior) cambia sustancialmente a lo largo de la distancia de una sola longitud de onda. En todos los casos, la ecuación de onda se satisface en todas las posiciones.

El signo de la fase de Gouy depende de la convención de signos elegida para el fasor del campo eléctrico. ^[10] Con dependencia e ^iωt , la fase de Gouy cambia de - π /2 a + π /2 , mientras que con e ^{- iωt} dependencia cambia de + π /2 a - π /2 a lo largo del eje.

Para un haz gaussiano fundamental, la fase de Gouy da como resultado una discrepancia de fase neta con respecto a la velocidad de la luz que asciende a π radianes (por lo tanto, una inversión de fase) a medida que uno se mueve desde el campo lejano en un lado de la cintura hasta el campo lejano en el otro lado. Esta variación de fase no es observable en la mayoría de los experimentos. Sin embargo, es de importancia teórica y adquiere un alcance mayor para los modos gaussianos de orden superior. ^[10]

Potencia e intensidad

Energía a través de una apertura

Con un haz centrado en una abertura , la potencia P que pasa a través de un círculo de radio r en el plano transversal en la posición z es ^[11]

$${\displaystyle P(r,z)=P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right],}$$

$${\displaystyle P_{0}={\frac {1}{2}}\pi I_{0}w_{0}^{2}}$$

Para un círculo de radio r = w ( z ) , la fracción de potencia transmitida a través del círculo es

$${\displaystyle {\frac {P(z)}{P_{0}}}=1-e^{-2}\approx 0.865.}$$

De manera similar, aproximadamente el 90% de la potencia del haz fluirá a través de un círculo de radio r = 1,07 × w ( z ) , el 95% a través de un círculo de radio r = 1,224 × w ( z ) , y el 99% a través de un círculo de radio r. = 1,52 × w ( z ) . ^[11]

Intensidad máxima

La intensidad máxima a una distancia axial z desde la cintura del haz se puede calcular como el límite de la potencia encerrada dentro de un círculo de radio r , dividido por el área del círculo πr ² a medida que el círculo se contrae:

$${\displaystyle I(0,z)=\lim _{r\to 0}{\frac {P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{\pi r^{2}}}.}$$

El límite se puede evaluar utilizando la regla de L'Hôpital :

$${\displaystyle I(0,z)={\frac {P_{0}}{\pi }}\lim _{r\to 0}{\frac {\left[-(-2)(2r)e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{w^{2}(z)(2r)}}={2P_{0} \over \pi w^{2}(z)}.}$$

Parámetro de haz complejo

El tamaño del punto y la curvatura de un haz gaussiano en función de z a lo largo del haz también se pueden codificar en el parámetro de haz complejo q ( z ) ^{[12] [13]} dado por:

$${\displaystyle q(z)=z+iz_{\mathrm {R} }.}$$

La introducción de esta complicación conduce a una simplificación de la ecuación de campo del haz gaussiano como se muestra a continuación. Se puede observar que el recíproco de q ( z ) contiene la curvatura del frente de onda y la intensidad relativa en el eje en sus partes real e imaginaria, respectivamente: ^[12]

$${\displaystyle {1 \over q(z)}={1 \over z+iz_{\mathrm {R} }}={z \over z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}-i{z_{\mathrm {R} } \over z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}={1 \over R(z)}-i{\lambda \over n\pi w^{2}(z)}.}$$

El parámetro de haz complejo simplifica el análisis matemático de la propagación del haz gaussiano, y especialmente en el análisis de las cavidades de resonadores ópticos utilizando matrices de transferencia de rayos .

Luego, al utilizar esta forma, la ecuación anterior para el campo eléctrico (o magnético) se simplifica enormemente. Si llamamos a u la intensidad de campo relativa de un haz gaussiano elíptico (con los ejes elípticos en las direcciones x e y ), entonces se puede separar en x e y de acuerdo con:

$${\displaystyle u(x,y,z)=u_{x}(x,z)\,u_{y}(y,z),}$$

dónde

$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{x}(x,z)&={\frac {1}{\sqrt {{q}_{x}(z)}}}\exp \left(-ik{\frac {x^{2}}{2{q}_{x}(z)}}\right),\\u_{y}(y,z)&={\frac {1}{\sqrt {{q}_{y}(z)}}}\exp \left(-ik{\frac {y^{2}}{2{q}_{y}(z)}}\right),\end{aligned}}}$$

donde q _x ( z ) y q _y ( z ) son los parámetros complejos del haz en las direcciones x e y .

Para el caso común de un perfil de viga circular , q _x ( z ) = q _y ( z ) = q ( z ) y x ² + y ² = r ² , lo que produce ^[14]

$${\displaystyle u(r,z)={\frac {1}{q(z)}}\exp \left(-ik{\frac {r^{2}}{2q(z)}}\right).}$$

Óptica de haz

Un diagrama de un haz gaussiano que pasa a través de una lente.

Cuando un haz gaussiano se propaga a través de una lente delgada , el haz saliente también es un haz gaussiano (diferente), siempre que el haz viaje a lo largo del eje de simetría cilíndrico de la lente y que la lente sea más grande que el ancho del haz. La longitud focal de la lente , el radio de cintura del haz y la posición de cintura del haz entrante se pueden utilizar para determinar el radio de cintura del haz y la posición del haz saliente. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle w_{0}}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle w_{0}'}$ ${\displaystyle z_{0}'}$

Ecuación de lentes

Según lo obtenido por Saleh y Teich, la relación entre los haces entrantes y salientes se puede encontrar considerando la fase que se agrega a cada punto del haz gaussiano a medida que viaja a través de la lente. ^[15] Un enfoque alternativo debido a Self es considerar el efecto de una lente delgada en los frentes de onda del haz gaussiano . ^[dieciséis] ${\displaystyle (x,y)}$

La solución exacta al problema anterior se expresa simplemente en términos de aumento ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{0}'&=Mw_{0}\\[1.2ex](z_{0}'-f)&=M^{2}(z_{0}-f).\end{aligned}}}$

La ampliación, que depende de y , viene dada por ${\displaystyle w_{0}}$ ${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle M={\frac {M_{r}}{\sqrt {1+r^{2}}}}}$

dónde

${\displaystyle r={\frac {z_{R}}{z_{0}-f}},\quad M_{r}=\left|{\frac {f}{z_{0}-f}}\right|.}$

Una expresión equivalente para la posición del haz es ${\displaystyle z_{0}'}$

${\displaystyle {\frac {1}{z_{0}+{\frac {z_{R}^{2}}{(z_{0}-f)}}}}+{\frac {1}{z_{0}'}}={\frac {1}{f}}.}$

Esta última expresión deja claro que la ecuación de la lente delgada de la óptica de rayos se recupera en el límite de que . También se puede observar que si entonces el haz entrante está "bien colimado", de modo que . ${\displaystyle \left|\left({\tfrac {z_{R}}{z_{0}}}\right)\left({\tfrac {z_{R}}{z_{0}-f}}\right)\right|\ll 1}$ ${\displaystyle \left|z_{0}+{\frac {z_{R}^{2}}{z_{0}-f}}\right|\gg f}$ ${\displaystyle z_{0}'\approx f}$

Enfoque del haz

En algunas aplicaciones es deseable utilizar una lente convergente para enfocar un rayo láser en un punto muy pequeño. Matemáticamente, esto implica minimizar la ampliación . Si el tamaño del haz está limitado por el tamaño de la óptica disponible, esto generalmente se logra mejor enviando el haz colimado más grande posible a través de una lente de distancia focal pequeña, es decir, maximizando y minimizando . En esta situación, es justificable hacer la aproximación , implicando eso y arrojando el resultado . Este resultado se presenta a menudo en la forma ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle z_{R}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{R}^{2}/(z_{0}-f)^{2}\gg 1}$ ${\displaystyle M\approx f/z_{R}}$ ${\displaystyle w_{0}'\approx fw_{0}/z_{R}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2w_{0}'&\approx {\frac {4}{\pi }}\lambda F_{\#}\\[1.2ex]z_{0}'&\approx f\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle F_{\#}={\frac {f}{2w_{0}}},}$

que se encuentra después de asumir que el medio tiene índice de refracción y sustituir . Los factores de 2 se introducen debido a una preferencia común de representar el tamaño de la viga mediante los diámetros de cintura de la viga y , en lugar de los radios de cintura y . ${\displaystyle n\approx 1}$ ${\displaystyle z_{R}=\pi w_{0}^{2}/\lambda }$ ${\displaystyle 2w_{0}'}$ ${\displaystyle 2w_{0}}$ ${\displaystyle w_{0}'}$ ${\displaystyle w_{0}}$

Ecuación de onda

Como caso especial de radiación electromagnética , los haces gaussianos (y los modos gaussianos de orden superior que se detallan a continuación) son soluciones a la ecuación de onda para un campo electromagnético en el espacio libre o en un medio dieléctrico homogéneo, ^[17] obtenida combinando las ecuaciones de Maxwell para el rizo de E y el rizo de H , dando como resultado:

$${\displaystyle \nabla ^{2}U={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}},}$$

cen el medioUparaxial+ zUunúmero de onda. kz^[17]

$${\displaystyle U(x,y,z,t)=u(x,y,z)e^{-i(kz-\omega t)}\,{\hat {\mathbf {x} }}\,.}$$

Usando esta forma junto con la aproximación paraxial, ∂ ² u /∂ z ² puede despreciarse esencialmente. Dado que las soluciones de la ecuación de la onda electromagnética solo son válidas para polarizaciones que son ortogonales a la dirección de propagación ( z ), hemos considerado sin pérdida de generalidad que la polarización está en la dirección x , por lo que ahora resolvemos una ecuación escalar para u ( x , y , z ) .

Sustituyendo esta solución en la ecuación de onda anterior se obtiene la aproximación paraxial a la ecuación de onda escalar: ^[17]

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=2ik{\frac {\partial u}{\partial z}}.}$$

coordenadas del cono de luz^[18]w ₀zq ( z )sistema linealno

Modos de orden superior

Modos Hermite-Gaussianos

Doce modos Hermite-Gaussianos

Es posible descomponer un haz paraxial coherente utilizando el conjunto ortogonal de los llamados modos Hermite-Gaussianos , cualquiera de los cuales viene dado por el producto de un factor en x y un factor en y . Tal solución es posible debido a la separabilidad en xey en la ecuación paraxial de Helmholtz escrita en coordenadas cartesianas . ^[19] Así, dado un modo de orden ( l , m ) referido a las direcciones x e y , la amplitud del campo eléctrico en x , y , z puede venir dada por:

$${\displaystyle E(x,y,z)=u_{l}(x,z)\,u_{m}(y,z)\,\exp(-ikz),}$$

donde losxey

$${\displaystyle u_{J}(x,z)=\left({\frac {\sqrt {2/\pi }}{2^{J}\,J!\;w_{0}}}\right)^{\!\!1/2}\!\!\left({\frac {{q}_{0}}{{q}(z)}}\right)^{\!\!1/2}\!\!\left(-{\frac {{q}^{\ast }(z)}{{q}(z)}}\right)^{\!\!J/2}\!\!H_{J}\!\left({\frac {{\sqrt {2}}x}{w(z)}}\right)\,\exp \left(\!-i{\frac {kx^{2}}{2{q}(z)}}\right),}$$

q ( z )w ₀zu _J sea ortonormalzw ( z )/ w ₀J.

Los dos últimos factores explican la variación espacial sobre x (o y ). El cuarto factor es el polinomio de Hermite de orden J ("forma de los físicos", es decir, H ₁ ( x ) = 2 x ), mientras que el quinto explica la caída de la amplitud gaussiana exp(− x ² / w ( z ) ² ) , aunque esto no es obvio usando el complejo q en el exponente. La expansión de ese exponencial también produce un factor de fase en x que explica la curvatura del frente de onda ( 1/ R ( z ) ) en z a lo largo del haz.

Los modos Hermite-Gaussianos suelen denominarse "TEM _lm "; Por tanto, el haz gaussiano fundamental puede denominarse TEM ₀₀ (donde TEM es electromagnético transversal ). Multiplicando u _l ( x , z ) y u _m ( y , z ) para obtener el perfil del modo 2-D, y eliminando la normalización para que el factor principal se llame simplemente E ₀ , podemos escribir el modo ( l , m ) en la forma más accesible:

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{l,m}(x,y,z)={}&E_{0}{\frac {w_{0}}{w(z)}}\,H_{l}\!{\Bigg (}{\frac {{\sqrt {2}}\,x}{w(z)}}{\Bigg )}\,H_{m}\!{\Bigg (}{\frac {{\sqrt {2}}\,y}{w(z)}}{\Bigg )}\times {}\\&\exp \left({-{\frac {x^{2}+y^{2}}{w^{2}(z)}}}\right)\exp \left({-i{\frac {k(x^{2}+y^{2})}{2R(z)}}}\right)\times {}\\&\exp {\big (}i\psi (z){\big )}\exp(-ikz).\end{aligned}}}$$

De esta forma, el parámetro w ₀ , como antes, determina la familia de modos, en particular escalando la extensión espacial de la cintura del modo fundamental y todos los demás patrones de modo en z = 0 . Dado que w ₀ , w ( z ) y R ( z ) tienen las mismas definiciones que para el haz gaussiano fundamental descrito anteriormente. Se puede ver que con l = m = 0 obtenemos el haz gaussiano fundamental descrito anteriormente (ya que H ₀ = 1 ). La única diferencia específica en los perfiles xey en cualquier z se debe a los factores polinomiales de Hermite para los números de orden l y m . Sin embargo, hay un cambio en la evolución de la fase Gouy de los modos a lo largo de z :

$${\displaystyle \psi (z)=(N+1)\,\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right),}$$

donde el orden combinado del modo N se define como N = l + m . Mientras que el cambio de fase de Gouy para el modo gaussiano fundamental (0,0) solo cambia en ± π /2 radianes en todo z (y solo en ± π /4 radianes entre ± z _R ), esto aumenta en el factor N + 1 para los modos de orden superior. ^[10]

Los modos gaussianos de Hermite, con su simetría rectangular, son especialmente adecuados para el análisis modal de radiación procedente de láseres cuyo diseño de cavidad es asimétrico de forma rectangular. Por otro lado, los láseres y los sistemas con simetría circular se pueden manejar mejor utilizando el conjunto de modos Laguerre-Gaussianos que se presentan en la siguiente sección.

Modos Laguerre-Gaussianos

Perfiles de intensidad de los primeros 12 modos Laguerre-Gaussianos.

Los perfiles de haz que son circularmente simétricos (o láseres con cavidades que son cilíndricamente simétricas) suelen resolverse mejor utilizando la descomposición modal de Laguerre-Gauss. ^[6] Estas funciones están escritas en coordenadas cilíndricas utilizando polinomios de Laguerre generalizados . Cada modo transversal se etiqueta nuevamente utilizando dos números enteros, en este caso el índice radial p ≥ 0 y el índice azimutal l que puede ser positivo o negativo (o cero): ^[20]

Una viga Laguerre-Gaussiana con l=1 y p=0

$${\displaystyle {\begin{aligned}u(r,\phi ,z)={}&C_{lp}^{LG}{\frac {w_{0}}{w(z)}}\left({\frac {r{\sqrt {2}}}{w(z)}}\right)^{\!|l|}\exp \!\left(\!-{\frac {r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)L_{p}^{|l|}\!\left({\frac {2r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\times {}\\&\exp \!\left(\!-ik{\frac {r^{2}}{2R(z)}}\right)\exp(-il\phi )\,\exp(i\psi (z)),\end{aligned}}}$$

donde L _p ^l son los polinomios de Laguerre generalizados . C^LG
_LPes una constante de normalización requerida:

$${\displaystyle C_{lp}^{LG}={\sqrt {\frac {2p!}{\pi (p+|l|)!}}}\Rightarrow \int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\infty }rdr|u(r,\phi ,z)|^{2}=1}$$

w ( z ) y R ( z ) tienen las mismas definiciones que las anteriores. Al igual que con los modos Hermite-Gaussianos de orden superior, la magnitud del cambio de fase Gouy de los modos Laguerre-Gaussianos está exagerada por el factor N + 1 :

$${\displaystyle \psi (z)=(N+1)\,\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right),}$$

N = | l | + 2 prde modo rotacional lfase exp(− ilφ )l2 fases πφvórtice ópticolmomento angular orbital de la luz

Modos Ince-Gaussianos

Perfil de amplitud transversal del orden más bajo, incluso en modos Ince-Gaussianos.

En coordenadas elípticas , se pueden escribir los modos de orden superior utilizando polinomios de Ince . Los modos Ince-Gaussianos pares e impares vienen dados por ^[7]

$${\displaystyle u_{\varepsilon }\left(\xi ,\eta ,z\right)={\frac {w_{0}}{w\left(z\right)}}\mathrm {C} _{p}^{m}\left(i\xi ,\varepsilon \right)\mathrm {C} _{p}^{m}\left(\eta ,\varepsilon \right)\exp \left[-ik{\frac {r^{2}}{2q\left(z\right)}}-\left(p+1\right)\zeta \left(z\right)\right],}$$

ξη

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\sqrt {\varepsilon /2}}\;w(z)\cosh \xi \cos \eta ,\\y&={\sqrt {\varepsilon /2}}\;w(z)\sinh \xi \sin \eta .\end{aligned}}}$$

C^m
_p( η , ε )pmεε = ∞ε = 0^[7]

Modos hipergeométricos-gaussianos

Existe otra clase importante de modos de onda paraxiales en coordenadas cilíndricas en las que la amplitud compleja es proporcional a una función hipergeométrica confluente .

Estos modos tienen un perfil de fase singular y son funciones propias del momento angular orbital del fotón . Sus perfiles de intensidad se caracterizan por un único anillo brillante; al igual que los modos Laguerre-Gaussianos, sus intensidades caen a cero en el centro (en el eje óptico) excepto en el modo fundamental (0,0). La amplitud compleja de un modo se puede escribir en términos de la coordenada radial normalizada (adimensional) ρ = r / w ₀ y la coordenada longitudinal normalizada Ζ = z / z _R de la siguiente manera: ^[21]

$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{{\mathsf {p}}m}(\rho ,\phi ,\mathrm {Z} ){}={}&{\sqrt {\frac {2^{{\mathsf {p}}+|m|+1}}{\pi \Gamma ({\mathsf {p}}+|m|+1)}}}\;{\frac {\Gamma \left({\frac {\mathsf {p}}{2}}+|m|+1\right)}{\Gamma (|m|+1)}}\,i^{|m|+1}\times {}\\&\mathrm {Z} ^{\frac {\mathsf {p}}{2}}\,(\mathrm {Z} +i)^{-\left({\frac {\mathsf {p}}{2}}+|m|+1\right)}\,\rho ^{|m|}\times {}\\&\exp \left(-{\frac {i\rho ^{2}}{\mathrm {Z} +i}}\right)\,e^{im\phi }\,{}_{1}F_{1}\left(-{\frac {\mathsf {p}}{2}},|m|+1;{\frac {\rho ^{2}}{\mathrm {Z} (\mathrm {Z} +i)}}\right)\end{aligned}}}$$

donde el índice de rotación m es un número entero y tiene un valor real, Γ( x ) es la función gamma y ₁ F ₁ ( a , b ; x ) es una función hipergeométrica confluente. ${\displaystyle {\mathsf {p}}\geq -|m|}$

Algunas subfamilias de modos hipergeométricos-gaussianos (HyGG) se pueden enumerar como los modos Bessel-Gaussianos modificados, los modos gaussianos exponenciales modificados ^[21] y los modos Laguerre-Gaussianos modificados.

El conjunto de modos hipergeométricos-gaussianos es demasiado completo y no es un conjunto de modos ortogonal. A pesar de su complicado perfil de campo, los modos HyGG tienen un perfil muy simple en la cintura del haz ( z = 0 ):

$${\displaystyle u(\rho ,\phi ,0)\propto \rho ^{{\mathsf {p}}+|m|}e^{-\rho ^{2}+im\phi }.}$$

Ver también

• Haz de Bessel
• Haz de sombrero de copa
• perfilador de rayo láser
• Cuasióptica

Notas

1. Svelto, págs. 153–5.
2. Svelto, pag. 158.
3. Yariv, Amnón; Sí, Albert Pochi (2003). Ondas ópticas en cristales: propagación y control de la radiación láser . J. Wiley e hijos. ISBN 0-471-43081-1. OCLC  492184223.
4. Hill, Dan (4 de abril de 2007). "Cómo convertir medidas FWHM a medios anchos de 1/e-cuadrado". Base de conocimientos de Radiant Zemax . Consultado el 7 de junio de 2016 .
5. Siegman, pág. 642.
6. probablemente considerado por primera vez por Goubau y Schwering (1961).
7. Bandres y Gutiérrez-Vega (2004)
8. Brorson, SD (1988). "¿Qué es el parámetro confocal?". Revista IEEE de Electrónica Cuántica . 24 (3): 512–515. Código bibliográfico : 1988IJQE...24..512B. doi :10.1109/3.155.
9. Siegman (1986) pág. 630.
10. Paschotta, Rüdiger. "Cambio de fase de Gouy". Enciclopedia de Física y Tecnología Láser . Fotónica RP . Consultado el 2 de mayo de 2014 .
11. Melles Griot. Óptica de haz gaussiano
12. Siegman, págs. 638–40.
13. Garg, págs. 165-168.
14. Véase Siegman (1986) p. 639. Ec. 29
15. Saleh, Bahaa EA; Teich, Malvin Carl (1991). Fundamentos de Fotónica . Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-83965-5.Capítulo 3, "Óptica del haz"
16. Yo, Sidney (1 de marzo de 1983). "Enfoque de haces esféricos gaussianos". Óptica Aplicada . 22 (5): 658–661. Código Bib : 1983ApOpt..22..658S. doi :10.1364/AO.22.000658. PMID  18195851.
17. Svelto, págs.
18. Esarey, E.; Sprangle, P.; Pilloff, M.; Krall, J. (1 de septiembre de 1995). "Teoría y velocidad de grupo de pulsos láser ultracortos y muy enfocados". JOSE B. 12 (9): 1695-1703. Código Bib :1995JOSAB..12.1695E. doi :10.1364/JOSAB.12.001695. ISSN  1520-8540.
19. Siegman (1986), p645, ec. 54
20. Vallone, G. (8 de abril de 2015). "Sobre las propiedades de las vigas circulares: normalización, expansión de Laguerre-Gauss y divergencia en el espacio libre". Letras de Óptica . 40 (8): 1717-1720. arXiv : 1501.07062 . Código Bib : 2015OptL...40.1717V. doi :10.1364/OL.40.001717. PMID  25872056. S2CID  36312938.
21. Karimi et al. (2007)

Referencias

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• Garg, Anupam (2012). Electromagnetismo clásico en pocas palabras . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 978-0691130187.
• Goubau, G.; Schwering, F. (1961). "Sobre la propagación guiada de haces de ondas electromagnéticas". IRE Trans . 9 (3): 248–256. Código Bib : 1961ITAP....9..248G. doi :10.1109/TAP.1961.1144999. SEÑOR  0134166.
• Karimi, E.; Zito, G.; Piccirillo, B.; Marrucci, L.; Santamato, E. (2007). "Vigas hipergeométricas-gaussianas". Optar. Lett . AOS. 32 (21): 3053–3055. arXiv : 0712.0782 . Código Bib : 2007OptL...32.3053K. doi :10.1364/OL.32.003053. PMID  17975594. S2CID  46526713.
• Mandel, Leonardo; Lobo, Emil (1995). Coherencia óptica y óptica cuántica . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-41711-2.Capítulo 5, "Haces ópticos", págs. 267.
• Pampaloni, F.; Enderlein, J. (2004). "Vigas gaussianas, Hermite-Gaussianas y Laguerre-Gaussianas: introducción". arXiv : física/0410021 .
• Sakpal, S.; Milione, G.; Li, M.; Nouri, M.; Shahoei, H.; LaFave, T.; Ashrafi, S.; MacFarlane, D. (2018). "Estabilidad de haces Ince-Gaussianos en fibras monomodo de núcleo elíptico". Optar. Lett . 43 (11): 2656–2659. Código Bib : 2018OptL...43.2656S. doi :10.1364/OL.43.002656. PMID  29856389. S2CID  46921059.
• Saleh, Bahía EA; Teich, Malvin Carl (1991). Fundamentos de Fotónica . Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-83965-5.Capítulo 3, "Óptica del haz", págs. 80-107.
• Siegman, Anthony E. (1986). Láseres . Libros de ciencias universitarias. ISBN 0-935702-11-3.Capítulo 16.
• Svelto, Orazio (2010). Principios de los láseres (5ª ed.).
• Yariv, Amnón (1989). Electrónica cuántica (3ª ed.). Wiley. ISBN 0-471-60997-8.

enlaces externos

• Tutorial de óptica de haz gaussiano, Newport