lente delgada

Lente con un espesor insignificante

Una lente puede considerarse delgada si su espesor es mucho menor que los radios de curvatura de sus superficies ( d ≪ | R ₁ | y d ≪ | R ₂ | ).

En óptica , una lente delgada es una lente con un espesor (distancia a lo largo del eje óptico entre las dos superficies de la lente) que es insignificante en comparación con los radios de curvatura de las superficies de la lente. Las lentes cuyo espesor no es despreciable a veces se denominan lentes gruesas .

La aproximación de lentes delgadas ignora los efectos ópticos debido al grosor de las lentes y simplifica los cálculos de trazado de rayos . A menudo se combina con la aproximación paraxial en técnicas como el análisis matricial de transferencia de rayos .

Longitud focal

La distancia focal, f , de una lente en el aire viene dada por la ecuación del fabricante de lentes :

${\displaystyle {\frac {1}{f}}=(n-1)\left[{\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {(n-1)d}{nR_{1}R_{2}}}\right],}$

donde n es el índice de refracción del material de la lente y R ₁ y R ₂ son los radios de curvatura de las dos superficies. Para una lente delgada, d es mucho menor que uno de los radios de curvatura (ya sea R ₁ o R ₂ ). En estas condiciones, el último término de la ecuación de Lensmaker se vuelve insignificante y la distancia focal de una lente delgada en el aire se puede aproximar mediante ^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{f}}\approx \left(n-1\right)\left[{\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right].}$

Aquí R ₁ se considera positivo si la primera superficie es convexa y negativo si la superficie es cóncava. Los signos se invierten para la superficie posterior de la lente: R ₂ es positivo si la superficie es cóncava y negativo si es convexa. Ésta es una convención de signos arbitraria ; algunos autores eligen signos diferentes para los radios, lo que cambia la ecuación de la distancia focal.

Derivación utilizando la ley de Snell

Refracción de una lente planoconvexa delgada

Considere una lente delgada con una primera superficie de radio y una superficie posterior plana, hecha de material con índice de refracción . ${\textstyle R}$ ${\textstyle n}$

Aplicando la ley de Snell , la luz que ingresa a la primera superficie se refracta según , donde es el ángulo de incidencia sobre la interfaz y es el ángulo de refracción. ${\displaystyle \sin i=n\sin r_{1}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle r_{1}}$

Para la segunda superficie, donde es el ángulo de incidencia y es el ángulo de refracción. ${\displaystyle n\sin r_{2}=\sin e}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle e}$

Para ángulos pequeños, . La geometría del problema entonces da: ${\textstyle \sin x\approx x}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e&\approx nr_{2}\\&=n(i-r_{1})\\&\approx n(i-{\frac {i}{n}})\end{aligned}}}$$

Enfoque mediante una lente planoconvexa delgada

Si el rayo entrante es paralelo al eje óptico y está a una distancia de él, entonces ${\textstyle h}$

$${\displaystyle \sin i={\frac {h}{R}}\implies i\approx {\frac {h}{R}}.}$$

Sustituyendo en la expresión anterior, se obtiene

$${\displaystyle e\approx {\frac {h}{R}}(n-1).}$$

Este rayo cruza el eje óptico a una distancia dada por ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \tan e={\frac {h}{f}}\implies e\approx {\frac {h}{f}}}$$

Combinando las dos expresiones se obtiene . ${\textstyle {\frac {1}{f}}={\frac {1}{R}}(n-1)}$

Se puede demostrar que si dos lentes de radios se colocan muy juntas, las distancias focales se pueden sumar dando la fórmula de la lente delgada: ${\textstyle R_{1}}$ ${\textstyle -R_{2}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{f}}=\left(n-1\right)\left({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)}$$

Formación de imágenes

Ciertos rayos siguen reglas simples al pasar a través de una lente delgada, en la aproximación del rayo paraxial :

• Cualquier rayo que entre paralelo al eje por un lado de la lente avanza hacia el punto focal del otro lado. ${\displaystyle f_{2}}$
• Cualquier rayo que llega a la lente después de pasar por el punto focal del lado frontal, sale paralelo al eje del otro lado. ${\displaystyle f_{1}}$
• Cualquier rayo que pase por el centro de la lente no cambiará su dirección.

Si se trazan tres de estos rayos desde el mismo punto de un objeto frente a la lente (como la parte superior), su intersección marcará la ubicación del punto correspondiente en la imagen del objeto. Siguiendo las trayectorias de estos rayos, se puede demostrar que la relación entre la distancia del objeto s y la distancia de la imagen s′ es

${\displaystyle {1 \over s}+{1 \over s'}={1 \over f}}$

que se conoce como ecuación de la lente delgada .

Óptica física

En óptica de ondas escalares, una lente es una parte que cambia la fase del frente de onda. Matemáticamente esto puede entenderse como una multiplicación del frente de onda con la siguiente función: ^[2]

${\displaystyle \exp \left({\frac {2\pi i}{\lambda }}{\frac {r^{2}}{2f}}\right)}$.

Referencias

1. Hecht, Eugenio (1987). Óptica (2ª ed.). Addison Wesley . § 5.2.3. ISBN 0-201-11609-X.
2. Saleh, BEA (2007). Fundamentos de fotónica (2ª ed.). Wiley .