girobifastigio

26º Johnson sólido (8 caras)

Modelo 3D de un girobifastigium

En geometría , el girobifastigium es un poliedro que se construye uniendo un prisma triangular a la cara cuadrada de otro. Es un ejemplo de sólido de Johnson . Es el único sólido de Johnson que puede enlosar un espacio tridimensional . ^{[1] [2]}

Construcción y su denominación.

El girobifastigium se puede construir uniendo dos prismas triangulares a lo largo de las caras cuadradas correspondientes, dando un cuarto de vuelta a un prisma. ^[3] Estos prismas cubren las caras cuadradas por lo que el poliedro resultante tiene cuatro triángulos equiláteros y cuatro cuadrados , haciendo ocho caras en total, un octaedro . ^[4] Debido a que todas sus caras son polígonos regulares y es convexo , el girobifastigium se clasifica como el sólido de Johnson que se enumera como vigésimo sexto sólido de Johnson . ^[5] ${\displaystyle J_{26}}$

El nombre de gyrobifastigium proviene del latín fastigium , que significa techo inclinado. ^[6] En la convención de nomenclatura estándar de los sólidos de Johnson, bi- significa dos sólidos conectados en sus bases, y gyro- significa que las dos mitades están torcidas entre sí. ^[4]

Las coordenadas cartesianas para el girobifastigium con caras regulares y longitudes de borde unitarias se pueden derivar fácilmente de la fórmula de la altura de la longitud de borde unitaria de la siguiente manera: ${\textstyle h={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ $${\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},0\right),\left(0,\pm {\frac {1}{2}},{\frac {{\sqrt {3}}+1}{2}}\right),\left(\pm {\frac {1}{2}},0,-{\frac {{\sqrt {3}}+1}{2}}\right).}$$

Propiedades

Para calcular la fórmula para el área superficial y el volumen de un girobifastigium de caras regulares y con longitud de arista , se pueden adaptar las fórmulas correspondientes al prisma triangular. Su área de superficie se puede obtener sumando el área de cuatro triángulos equiláteros y cuatro cuadrados, mientras que su volumen se puede obtener cortándolo en dos prismas triangulares y sumando su volumen. Es decir: ^[4] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left(4+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 5.73205a^{2},\\V&=\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)a^{3}\approx 0.86603a^{3}.\end{aligned}}}$$

Figuras relacionadas

El biprisma de Schmitt-Conway-Danzer (también llamado prototilo SCD ^[7] ) es un poliedro topológicamente equivalente al girobifastigium, pero con caras de paralelogramo y triángulo irregular en lugar de cuadrados y triángulos equiláteros. Al igual que el girobifastigium, puede llenar el espacio, pero sólo de forma aperiódica o con una simetría de tornillo , no con un grupo tridimensional completo de simetrías. Por tanto, proporciona una solución parcial al problema de Einstein tridimensional . ^[8]

El panal prismático triangular giratorio se puede construir juntando un gran número de girobifastigios idénticos. El girobifastigium es uno de los cinco poliedros convexos con caras regulares capaces de llenar el espacio (los otros son el cubo , el octaedro truncado , el prisma triangular y el prisma hexagonal ) y es el único sólido de Johnson capaz de hacerlo. ^{[1] [2]}

Ver también

• Girobifastigium alargado , un poliedro relacionado que llena el espacio

Referencias

1. Alam, SM Nazrul; Haas, Zygmunt J. (2006), "Coverage and Connectivity in Three-dimensional Networks", Actas de la 12ª Conferencia Internacional Anual sobre Computación y Redes Móviles (MobiCom '06) , Nueva York, NY, EE. UU.: ACM, págs. 346 –357, arXiv : cs/0609069 , doi : 10.1145/1161089.1161128, ISBN 1-59593-286-0, S2CID  3205780.
2. Kepler, Johannes (2010), El copo de nieve de seis puntas , Paul Dry Books, nota al pie 18, p. 146, ISBN 9781589882850.
3. Darling, David (2004), El libro universal de las matemáticas: de Abracadabra a las paradojas de Zenón, John Wiley & Sons , p. 169, ISBN 9780471667001.
4. Berman, Martin (1971), "Poliedros convexos de caras regulares", Journal of the Franklin Institute , 291 (5): 329–352, doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8, MR  0290245.
5. Francis, Darryl (2013), "Sólidos de Johnson y sus siglas", Word Ways , 46 (3): 177.
6. Rich, Anthony (1875), "Fastigium", en Smith, William (ed.), Diccionario de antigüedades griegas y romanas , Londres: John Murray, págs..
7. Forzar la no periodicidad con un solo mosaico Joshua ES Socolar y Joan M. Taylor, 2011
8. Senechal, Marjorie (1996), "7.2 El mosaico SCD (Schmitt-Conway-Danzer)", Cuasicristales y geometría , Cambridge University Press , págs. 209-213, ISBN 9780521575416.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Gyrobifastigium" ("Sólido de Johnson") en MathWorld .