Fase mínima

En la teoría del control, cuando un sistema LTI y su inverso son causales y estables

En teoría de control y procesamiento de señales , se dice que un sistema lineal invariante en el tiempo es de fase mínima si el sistema y su inverso son causales y estables . ^{[1] [2]}

La función de transferencia LTI causal más general se puede factorizar de forma única en una serie de sistemas de paso total y de fase mínima. La función del sistema es entonces el producto de las dos partes, y en el dominio del tiempo la respuesta del sistema es la convolución de las respuestas de las dos partes. La diferencia entre una función de transferencia de fase mínima y una función de transferencia general es que un sistema de fase mínima tiene todos los polos y ceros de su función de transferencia en la mitad izquierda de la representación del plano s (en tiempo discreto, respectivamente, dentro de la unidad círculo del plano z  ). Dado que invertir una función del sistema conduce a que los polos se conviertan en ceros y viceversa, y los polos en el lado derecho ( línea imaginaria del plano s ) o afuera ( círculo unitario del plano z ) del plano complejo conducen a sistemas inestables , solo la clase de mínimo Los sistemas de fase están cerrados bajo inversión. Intuitivamente, la parte de fase mínima de un sistema causal general implementa su respuesta de amplitud con un retraso de grupo mínimo , mientras que su parte de paso total corrige su respuesta de fase sola para corresponder con la función original del sistema.

El análisis en términos de polos y ceros es exacto sólo en el caso de funciones de transferencia que pueden expresarse como razones de polinomios. En el caso del tiempo continuo, dichos sistemas se traducen en redes de redes LCR ideales y convencionales . En tiempo discreto, se traducen convenientemente en aproximaciones del mismo, mediante suma, multiplicación y retraso unitario. Se puede demostrar que en ambos casos, las funciones del sistema de forma racional con orden creciente pueden usarse para aproximarse eficientemente a cualquier otra función del sistema; por lo tanto, incluso las funciones del sistema que carecen de una forma racional y, por lo tanto, poseen una infinidad de polos y/o ceros, pueden implementarse en la práctica tan eficientemente como cualquier otra.

En el contexto de sistemas causales estables, en teoría seríamos libres de elegir si los ceros de la función del sistema están fuera del rango estable (hacia la derecha o hacia afuera) si la condición de cierre no fuera un problema. Sin embargo, la inversión es de gran importancia práctica, al igual que las factorizaciones teóricamente perfectas lo son por derecho propio. (Cf. la descomposición espectral simétrica/antisimétrica como otro ejemplo importante, que conduce, por ejemplo, a las técnicas de transformada de Hilbert ). Muchos sistemas físicos también tienden naturalmente hacia una respuesta de fase mínima y, a veces, tienen que invertirse utilizando otros sistemas físicos que obedezcan a la misma restricción.

A continuación se explica por qué este sistema se llama fase mínima y por qué la idea básica se aplica incluso cuando la función del sistema no puede adoptar una forma racional que pueda implementarse.

Sistema inverso

Un sistema es invertible si podemos determinar de forma única su entrada a partir de su salida. Es decir, podemos encontrar un sistema tal que si aplicamos seguido de , obtenemos el sistema de identidad . (Ver Matriz inversa para un análogo de dimensión finita). Eso es, ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}}$ ${\displaystyle \mathbb {I} }$

$${\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}\mathbb {H} =\mathbb {I} .}$$

Supongamos que es entrada al sistema y da salida : ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle {\tilde {y}}}$

$${\displaystyle \mathbb {H} {\tilde {x}}={\tilde {y}}.}$$

Aplicando el sistema inverso a da ${\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}}$ ${\displaystyle {\tilde {y}}}$

$${\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}{\tilde {y}}=\mathbb {H} _{\text{inv}}\mathbb {H} {\tilde {x}}=\mathbb {I} {\tilde {x}}={\tilde {x}}.}$$

Entonces vemos que el sistema inverso nos permite determinar de forma única la entrada a partir de la salida . ${\displaystyle \mathbb {H} _{inv}}$ ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ ${\displaystyle {\tilde {y}}}$

Ejemplo de tiempo discreto

Supongamos que el sistema es un sistema discreto, lineal e invariante en el tiempo (LTI) descrito por la respuesta al impulso para n en Z. Además, supongamos que tiene respuesta de impulso . La cascada de dos sistemas LTI es una convolución . En este caso, la relación anterior es la siguiente: ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle h(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}}$ ${\displaystyle h_{\text{inv}}(n)}$

$${\displaystyle (h_{\text{inv}}*h)(n)=(h*h_{\text{inv}})(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(k)h_{\text{inv}}(n-k)=\delta (n),}$$

delta de Kroneckerde identidad ${\displaystyle \delta (n)}$ ${\displaystyle h_{\text{inv}}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}}$

Sistema de fase mínima

Cuando imponemos las restricciones de causalidad y estabilidad , el sistema inverso es único; y el sistema y su inversa se llaman fase mínima . Las restricciones de causalidad y estabilidad en el caso del tiempo discreto son las siguientes (para sistemas invariantes en el tiempo donde h es la respuesta al impulso del sistema y es la norma ℓ 1 ): ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}}$ ${\displaystyle \|{\cdot }\|_{1}}$

Causalidad

$${\displaystyle h(n)=0\ \forall n<0}$$

$${\displaystyle h_{\text{inv}}(n)=0\ \forall n<0.}$$

Estabilidad

$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h(n)|=\|h\|_{1}<\infty }$$

$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h_{\text{inv}}(n)|=\|h_{\text{inv}}\|_{1}<\infty .}$$

Consulte el artículo sobre estabilidad para conocer condiciones análogas para el caso de tiempo continuo.

Análisis de frecuencia

Análisis de frecuencia en tiempo discreto.

Realizar un análisis de frecuencia para el caso de tiempo discreto proporcionará algunas ideas. La ecuación en el dominio del tiempo es

$${\displaystyle (h*h_{\text{inv}})(n)=\delta (n).}$$

La aplicación de la transformada Z da la siguiente relación en el  dominio z :

$${\displaystyle H(z)H_{\text{inv}}(z)=1.}$$

De esta relación nos damos cuenta de que

$${\displaystyle H_{\text{inv}}(z)={\frac {1}{H(z)}}.}$$

Por simplicidad, consideramos sólo el caso de una función de transferencia racional H ( z ) . La causalidad y la estabilidad implican que todos los polos de H ( z ) deben estar estrictamente dentro del círculo unitario (ver estabilidad ). Suponer

$${\displaystyle H(z)={\frac {A(z)}{D(z)}},}$$

A ( z )D ( z )polinomioszpolosraícesD ( z )círculo unitario

$${\displaystyle H_{\text{inv}}(z)={\frac {D(z)}{A(z)}},}$$

polosA ( z )círculo unitario ${\displaystyle H_{\text{inv}}(z)}$

Análisis de frecuencia en tiempo continuo.

El análisis para el caso de tiempo continuo procede de manera similar, excepto que utilizamos la transformada de Laplace para el análisis de frecuencia. La ecuación en el dominio del tiempo es

$${\displaystyle (h*h_{\text{inv}})(t)=\delta (t),}$$

función delta de Diracx ( t ) ${\displaystyle \delta (t)}$

$${\displaystyle (\delta *x)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t-\tau )x(\tau )\,d\tau =x(t).}$$

Al aplicar la transformada de Laplace se obtiene la siguiente relación en el plano s :

$${\displaystyle H(s),H_{\text{inv}}(s)=1,}$$

$${\displaystyle H_{\text{inv}}(s)={\frac {1}{H(s)}}.}$$

Nuevamente, por simplicidad, consideramos sólo el caso de una función de transferencia racional H ( s ) . La causalidad y la estabilidad implican que todos los polos de H ( s ) deben estar estrictamente dentro del semiplano s izquierdo (ver estabilidad ). Suponer

$${\displaystyle H(s)={\frac {A(s)}{D(s)}},}$$

A ( s )D ( s )polinomiosspolosraícesD ( s ) ) deben estar dentro del semiplano s

$${\displaystyle H_{\text{inv}}(s)={\frac {D(s)}{A(s)}},}$$

polosA ( s ) ) deben estar estrictamente dentro del plano splano s ${\displaystyle H_{\text{inv}}(s)}$

Relación de respuesta de magnitud a respuesta de fase

Un sistema de fase mínima, ya sea de tiempo discreto o de tiempo continuo, tiene una propiedad útil adicional: el logaritmo natural de la magnitud de la respuesta de frecuencia (la "ganancia" medida en nepers , que es proporcional a dB ) está relacionada con la Ángulo de fase de la respuesta en frecuencia (medido en radianes ) mediante la transformada de Hilbert . Es decir, en el caso de tiempo continuo, sea

$${\displaystyle H(j\omega )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ H(s){\Big |}_{s=j\omega }}$$

H ( s )H ( s )

$${\displaystyle \arg[H(j\omega )]=-{\mathcal {H}}{\big \{}\log {\big (}|H(j\omega )|{\big )}{\big \}},}$$

${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

$${\displaystyle \log {\big (}|H(j\omega )|{\big )}=\log {\big (}|H(j\infty )|{\big )}+{\mathcal {H}}{\big \{}\arg[H(j\omega )]{\big \}}.}$$

Dicho de manera más compacta, dejemos

$${\displaystyle H(j\omega )=|H(j\omega )|e^{j\arg[H(j\omega )]}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ e^{\alpha (\omega )}e^{j\phi (\omega )}=e^{\alpha (\omega )+j\phi (\omega )},}$$

${\displaystyle \alpha (\omega )}$ ${\displaystyle \phi (\omega )}$

$${\displaystyle \phi (\omega )=-{\mathcal {H}}\{\alpha (\omega )\}}$$

$${\displaystyle \alpha (\omega )=\alpha (\infty )+{\mathcal {H}}\{\phi (\omega )\}.}$$

El operador de transformada de Hilbert se define como

$${\displaystyle {\mathcal {H}}\{x(t)\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\hat {x}}(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau .}$$

Una relación correspondiente equivalente también es válida para sistemas de fase mínima de tiempo discreto.

Fase mínima en el dominio del tiempo.

Para todos los sistemas causales y estables que tienen la misma magnitud de respuesta , el sistema de fase mínima tiene su energía concentrada cerca del inicio de la respuesta al impulso . es decir, minimiza la siguiente función, que podemos considerar como el retraso de la energía en la respuesta al impulso :

$${\displaystyle \sum _{n=m}^{\infty }|h(n)|^{2}\quad \forall m\in \mathbb {Z} ^{+}.}$$

Fase mínima como retardo mínimo de grupo

Para todos los sistemas causales y estables que tienen la misma magnitud de respuesta , el sistema de fase mínima tiene el retraso de grupo mínimo . La siguiente prueba ilustra esta idea de retraso grupal mínimo .

Supongamos que consideramos un cero de la función de transferencia . Coloquemos este cero dentro del círculo unitario ( ) y veamos cómo se ve afectado el retraso del grupo . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle H(z)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \left|a\right|<1}$

$${\displaystyle a=\left|a\right|e^{i\theta _{a}}\,{\text{ where }}\,\theta _{a}=\operatorname {Arg} (a)}$$

Dado que el cero aporta el factor a la función de transferencia , la fase aportada por este término es la siguiente. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 1-az^{-1}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{a}\left(\omega \right)&=\operatorname {Arg} \left(1-ae^{-i\omega }\right)\\&=\operatorname {Arg} \left(1-\left|a\right|e^{i\theta _{a}}e^{-i\omega }\right)\\&=\operatorname {Arg} \left(1-\left|a\right|e^{-i(\omega -\theta _{a})}\right)\\&=\operatorname {Arg} \left(\left\{1-\left|a\right|\cos(\omega -\theta _{a})\right\}+i\left\{\left|a\right|\sin(\omega -\theta _{a})\right\}\right)\\&=\operatorname {Arg} \left(\left\{\left|a\right|^{-1}-\cos(\omega -\theta _{a})\right\}+i\left\{\sin(\omega -\theta _{a})\right\}\right)\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \phi _{a}(\omega )}$contribuye lo siguiente al retraso del grupo .

$${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {d\phi _{a}(\omega )}{d\omega }}&={\frac {\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})+\cos ^{2}(\omega -\theta _{a})-\left|a\right|^{-1}\cos(\omega -\theta _{a})}{\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})+\cos ^{2}(\omega -\theta _{a})+\left|a\right|^{-2}-2\left|a\right|^{-1}\cos(\omega -\theta _{a})}}\\&={\frac {\left|a\right|-\cos(\omega -\theta _{a})}{\left|a\right|+\left|a\right|^{-1}-2\cos(\omega -\theta _{a})}}\end{aligned}}}$$

El denominador y son invariantes para reflejar el cero fuera del círculo unitario , es decir, reemplazarlo con . Sin embargo, al reflejar fuera del círculo unitario, aumentamos la magnitud de en el numerador. Por lo tanto, tener dentro del círculo unitario minimiza el retraso del grupo aportado por el factor . Podemos extender este resultado al caso general de más de un cero ya que la fase de los factores multiplicativos de la forma es aditiva. Es decir, para una función de transferencia con ceros , ${\displaystyle \theta _{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (a^{-1})^{*}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \left|a\right|}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 1-az^{-1}}$ ${\displaystyle 1-a_{i}z^{-1}}$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle \operatorname {Arg} \left(\prod _{i=1}^{N}\left(1-a_{i}z^{-1}\right)\right)=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Arg} \left(1-a_{i}z^{-1}\right)}$$

Entonces, un sistema de fase mínima con todos los ceros dentro del círculo unitario minimiza el retraso del grupo ya que se minimiza el retraso del grupo de cada cero individual.

Ilustración del cálculo anterior. Arriba y abajo hay filtros con la misma respuesta de ganancia (a la izquierda: los diagramas de Nyquist , a la derecha: respuestas de fase), pero el filtro de arriba tiene la amplitud más pequeña en respuesta de fase. ${\displaystyle a=0.8<1}$

Fase no mínima

Los sistemas que son causales y estables cuyas inversas son causales e inestables se conocen como sistemas de fase no mínima . Un sistema de fase no mínima dado tendrá una contribución de fase mayor que el sistema de fase mínima con la respuesta de magnitud equivalente.

Fase máxima

Un sistema de fase máxima es lo opuesto a un sistema de fase mínima. Un sistema LTI causal y estable es un sistema de fase máxima si su inverso es causal e inestable. ^{[ dudoso ]} Es decir,

• Los ceros del sistema de tiempo discreto están fuera del círculo unitario .
• Los ceros del sistema de tiempo continuo están en el lado derecho del plano complejo .

Un sistema de este tipo se denomina sistema de fase máxima porque tiene el retardo de grupo máximo del conjunto de sistemas que tienen la misma magnitud de respuesta. En este conjunto de sistemas de respuesta de igual magnitud, el sistema de fase máxima tendrá un retraso de energía máximo.

Por ejemplo, los dos sistemas LTI de tiempo continuo descritos por las funciones de transferencia

$${\displaystyle {\frac {s+10}{s+5}}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {s-10}{s+5}}}$$

tener respuestas de magnitud equivalente; sin embargo, el segundo sistema tiene una contribución mucho mayor al cambio de fase. Por lo tanto, en este conjunto, el segundo sistema es el sistema de fase máxima y el primer sistema es el sistema de fase mínima. Estos sistemas también se conocen como sistemas de fase no mínima que plantean muchos problemas de estabilidad en el control. Una solución reciente a estos sistemas es mover los ceros del RHP al LHP utilizando el método PFCD. ^[3]

Fase mixta

Un sistema de fases mixtas tiene algunos de sus ceros dentro del círculo unitario y otros fuera del círculo unitario . Por lo tanto, su retardo de grupo no es mínimo ni máximo, sino en algún lugar entre el retardo de grupo del sistema equivalente de fase mínimo y máximo.

Por ejemplo, el sistema LTI de tiempo continuo descrito por la función de transferencia

$${\displaystyle {\frac {(s+1)(s-5)(s+10)}{(s+2)(s+4)(s+6)}}}$$

plano complejode fases mixtas^{[4][5][6] .}

Fase lineal

Un sistema de fase lineal tiene un retardo de grupo constante . Los sistemas de fase lineal no trivial o de fase casi lineal también son de fase mixta.

Ver también

• Filtro de paso total  : un caso especial sin fase mínima.
• Relación Kramers-Kronig  - Sistema de fase mínima en física

Referencias

1. Hassibi, Babak; Kailath, Thomas; Sayed, Ali H. (2000). Estimación lineal . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice Hall. pag. 193.ISBN​ 0-13-022464-2.
2. JO Smith III, Introducción a los filtros digitales con aplicaciones de audio (edición de septiembre de 2007).
3. Noury, K. (2019). "Estudio estadístico analítico de compensadores de avance lineal paralelo para sistemas de fase no mínima". Estudio estadístico analítico de compensadores feedforward lineales paralelos para sistemas de fase no mínima . doi :10.1115/DSCC2019-9126. ISBN 978-0-7918-5914-8. S2CID  214446227.
4. Morari, Manfred (2002). Control de procesos robusto . PTR Prentice Hall. ISBN 0137821530. OCLC  263718708.
5. Ramanathan, S.; Rizo, RL; Kravaris, C. (1989). "Dinámica y control de sistemas cuasirracionales". Revista AIChE . 35 (6): 1017-1028. doi :10.1002/aic.690350615. hdl : 2027.42/37408 . ISSN  1547-5905. S2CID  20116797.
6. Noury, K. (2019). "Clase de compensadores estabilizadores de avance paralelo para sistemas de fase no mínima". Clase de compensadores estabilizadores de avance paralelo para sistemas de fase no mínima . doi :10.1115/DSCC2019-9240. ISBN 978-0-7918-5914-8. S2CID  214440404.

Otras lecturas

• Dimitris G. Manolakis, Vinay K. Ingle, Stephen M. Kogon: procesamiento de señales estadístico y adaptativo , págs. 54–56, McGraw-Hill, ISBN 0-07-040051-2 
• Boaz Porat: un curso de procesamiento de señales digitales , págs. 261–263, John Wiley and Sons, ISBN 0-471-14961-6