Espinor puro

Clase de espinores construida utilizando álgebras de Clifford

En el dominio de las matemáticas conocido como teoría de la representación , los espinores puros (o espinores simples ) son espinores que son aniquilados, bajo la representación del álgebra de Clifford , por un subespacio isotrópico máximo de un espacio vectorial con respecto a un producto escalar . Fueron introducidos por Élie Cartan ^[1] en la década de 1930 y desarrollados por Claude Chevalley . ^[2] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Q}$

Son un ingrediente clave en el estudio de las estructuras de espín y las generalizaciones de dimensiones superiores de la teoría de los twistores , ^[3] introducida por Roger Penrose en la década de 1960. Se han aplicado al estudio de la teoría supersimétrica de Yang-Mills en 10D, ^{[4] [5]} supercuerdas , ^[6] estructuras complejas generalizadas ^{[7] [8]} y soluciones parametrizadas de jerarquías integrables . ^{[9] [10] [11]}

Álgebra de Clifford y espinores puros

Considere un espacio vectorial complejo , con dimensión par o impar , y un producto escalar complejo no degenerado , con valores en pares de vectores . El álgebra de Clifford es el cociente del álgebra tensorial completa por el ideal generado por las relaciones ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 2n+1}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q(u,v)}$ ${\displaystyle (u,v)}$ ${\displaystyle Cl(V,Q)}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle u\otimes v+v\otimes u=2Q(u,v),\quad \forall \ u,v\in V.}$

Los espinores son módulos del álgebra de Clifford, por lo que en particular existe una acción de los elementos de sobre el espacio de los espinores. El subespacio complejo que aniquila un espinor determinado distinto de cero tiene dimensión . Si entonces se dice que es un espinor puro . En términos de estratificación de módulos de espinor por órbitas del grupo de espín , los espinores puros corresponden a las órbitas más pequeñas, que son el límite de Shilov de la estratificación por los tipos de órbitas de la representación de espinor en los módulos de espinor irreducible (o medio espinor). ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{\psi }^{0}\subset V}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle m\leq n}$ ${\displaystyle m=n}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle Spin(V,Q)}$

Los espinores puros, definidos hasta la proyectivización, se denominan espinores puros proyectivos . Porque de dimensión par , el espacio de espinores proyectivos puros es el espacio homogéneo ; porque de dimensión extraña , lo es . ${\displaystyle \,V\,}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle SO(2n)/U(n)}$ ${\displaystyle \,V\,}$ ${\displaystyle 2n+1}$ ${\displaystyle SO(2n+1)/U(n)}$

Módulo irreducible de Clifford, espinores, espinores puros y el mapa de Cartan

El irreductible módulo Clifford/spinor

Siguiendo a Cartan ^[1] y Chevalley, ^[2] podemos verlo como una suma directa ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V=V_{n}\oplus V_{n}^{*}\ {\text{ or }}\ V=V_{n}\oplus V_{n}^{*}\oplus \mathbf {C} ,}$

donde es un subespacio de dimensión totalmente isotrópico , y es su espacio dual, con producto escalar definido como ${\displaystyle V_{n}\subset V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V_{n}^{*}}$

${\displaystyle Q(v_{1}+w_{1},v_{2}+w_{2}):=w_{2}(v_{1})+w_{1}(v_{2}),\quad v_{1},v_{2}\in V_{n},\ w_{1},w_{2}\in V_{n}^{*},}$

o

${\displaystyle Q(v_{1}+w_{1}+a_{1},v_{2}+w_{2}+a_{2}):=w_{2}(v_{1})+w_{1}(v_{2})+a_{1}a_{2},\quad a_{1},a_{2}\in \mathbf {C} ,}$

respectivamente.

La representación del álgebra de Clifford como endomorfismos del módulo irreducible de Clifford/spinor , es generada por los elementos lineales , que actúan como ${\displaystyle \Gamma _{X}\in \mathrm {End} (\Lambda (V_{n}))}$ ${\displaystyle \Lambda (V_{n})}$ ${\displaystyle X\in V}$

${\displaystyle \Gamma _{v}(\psi )=v\wedge \psi \ {\text{ (wedge product) }}\ {\text{for }}v\in V_{n}\ {\text{ and }}\Gamma _{w}(\psi )=\iota (w)\psi \ {\text{ (inner product) }}{\text{for}}\ w\in V_{n}^{*},}$

para cualquiera o , y ${\displaystyle V=V_{n}\oplus V_{n}^{*}}$ ${\displaystyle V=V_{n}\oplus V_{n}^{*}\oplus \mathbf {C} }$

${\displaystyle \Gamma _{a}\psi =(-1)^{p}a\ \psi ,\quad a\in \mathbf {C} ,\ \psi \in \Lambda ^{p}(V_{n}),}$

para , cuando es homogénea de grado . ${\displaystyle V=V_{n}\oplus V_{n}^{*}\oplus \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle p}$

Los espinores puros y el mapa de Cartan

Un espinor puro se define como cualquier elemento que es aniquilado por un subespacio isotrópico máximo con respecto al producto escalar . Por el contrario, dado un subespacio isotrópico máximo, es posible determinar el espinor puro que lo aniquila, hasta multiplicarlo por un número complejo, de la siguiente manera. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi \in \Lambda (V_{n})}$ ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle \,Q\,}$

Denota el Grassmanniano de subespacios isotrópicos máximos ( -dimensionales) de como . El mapa de Cartan ^{[1] [12] [13]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{n}^{0}(V,Q)}$

${\displaystyle \mathbf {Ca} :\mathbf {Gr} _{n}^{0}(V,Q)\rightarrow \mathbf {P} (\Lambda (V_{n}))}$

está definido, para que cualquier elemento , con base , tenga valor ${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} _{n}^{0}(V,Q)}$ ${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{n})}$

${\displaystyle \mathbf {Ca} (w):=\mathrm {Im} (\Gamma _{X_{1}}\cdots \Gamma _{X_{n}});}$

es decir, la imagen de bajo el endomorfismo formada a partir de tomar el producto de los endomorfismos de representación de Clifford , que es independiente de la elección de la base . Este es un subespacio de dimensiones, debido a las condiciones de isotropía, ${\displaystyle \Lambda (V_{n})}$ ${\displaystyle \{\Gamma _{X_{i}}\in \mathrm {End} (\Lambda (V_{n}))\}_{i=1,\dots ,n}}$ ${\displaystyle (X_{1},\cdots ,X_{n})}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle Q(X_{i},X_{j})=0,\quad 1\leq i,j\leq n,}$

que implican

${\displaystyle \Gamma _{X_{i}}\Gamma _{X_{j}}+\Gamma _{X_{j}}\Gamma _{X_{i}}=0,\quad 1\leq i,j\leq n,}$

y por tanto define un elemento de proyectivización del módulo Clifford irreducible . De las condiciones de isotropía se deduce que, si la clase proyectiva de un espinor está en la imagen y , entonces ${\displaystyle \mathbf {Ca} (w)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (\Lambda (V_{n}))}$ ${\displaystyle \Lambda (V_{n})}$ ${\displaystyle [\psi ]}$ ${\displaystyle \psi \in \Lambda (V_{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {Ca} (w)}$ ${\displaystyle X\in w}$

${\displaystyle \Gamma _{X}(\psi )=0.}$

De modo que cualquier espinor con es aniquilado, según la representación de Clifford, por todos los elementos de . Por el contrario, si es aniquilado por para todos , entonces . ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle [\psi ]\in \mathbf {Ca} (w)}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \Gamma _{X}}$ ${\displaystyle X\in w}$ ${\displaystyle [\psi ]\in \mathbf {Ca} (w)}$

Si es de dimensión par, hay dos componentes conectados en el isotrópico de Grassmann , que se asignan, en , a los dos subespacios de medio espinor en la descomposición de suma directa ${\displaystyle V=V_{n}\oplus V_{n}^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{n}^{0}(V,Q)}$ ${\displaystyle \mathbf {Ca} }$ ${\displaystyle \Lambda ^{+}(V_{n}),\Lambda ^{-}(V_{n})}$

${\displaystyle \Lambda (V_{n})=\Lambda ^{+}(V_{n})\oplus \Lambda ^{-}(V_{n}),}$

donde y constan, respectivamente, de los elementos de grado par e impar de . ${\displaystyle \Lambda ^{+}(V_{n})}$ ${\displaystyle \Lambda ^{-}(V_{n})}$ ${\displaystyle \Lambda ^{(}V_{n})}$

Las relaciones de Cartan

Defina un conjunto de formas bilineales en el módulo espinor , con valores en (que son isomórficos mediante el producto escalar ), por ${\displaystyle \{\beta _{m}\}_{m=0,\dots 2n}}$ ${\displaystyle \Lambda (V_{n})}$ ${\displaystyle \Lambda ^{m}(V^{*})\sim \Lambda ^{m}(V)}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \beta _{m}(\psi ,\phi )(X_{1},\dots ,X_{m}):=\beta _{0}(\psi ,\Gamma _{X_{1}}\cdots \Gamma _{X_{m}}\phi ),\quad {\text{for }}\psi ,\phi \in \Lambda (V_{n}),\ X_{1},\dots ,X_{m}\in V,}$

donde, para elementos homogéneos y forma de volumen en , ${\displaystyle \psi \in \Lambda ^{p}(V_{n})}$ ${\displaystyle \phi \in \Lambda ^{q}(V_{n})}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Lambda (V_{n})}$

${\displaystyle \beta _{0}(\psi ,\phi )\,\Omega ={\begin{cases}\psi \wedge \phi \quad {\text{if }}p+q=n\\0\quad {\text{otherwise. }}\end{cases}}}$

Como lo muestra Cartan, ^[1] los espinores puros están determinados únicamente por el hecho de que satisfacen el siguiente conjunto de ecuaciones cuadráticas homogéneas , conocidas como relaciones de Cartan : ^{[1] [12] [13]} ${\displaystyle \psi \in \Lambda (V_{n})}$

${\displaystyle \beta _{m}(\psi ,\psi )=0\quad \forall \ m\equiv n\mod (4),\quad 0\leq m<n}$

en el módulo de espinor irreducible estándar.

Estos determinan la imagen de la subvariedad de subespacios isotrópicos máximos del espacio vectorial con respecto al producto escalar , bajo el mapa de Cartan , que define una incrustación del Grassmanniano de subespacios isotrópicos en la proyectivización del módulo espinor (o medio espinor módulo, en el caso de dimensiones pares), realizándolos como variedades proyectivas. ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle V}$

Hay por tanto, en total,

${\displaystyle \sum _{0\leq m\leq n-1 \atop m\equiv n,{\text{ mod }}4}{{\text{dim}}(V) \choose m}}$

Relaciones de Cartan, que significan la desaparición de las formas bilineales con valores en los espacios exteriores para , correspondientes a estos elementos simétricos sesgados del álgebra de Clifford. Sin embargo, dado que la dimensión del Grassmanniano de los subespacios isotrópicos máximos de es cuando es de dimensión par y cuando tiene dimensión impar , y el mapa de Cartan es una incorporación de los componentes conectados de este en la proyectivización de los módulos de medio espinor cuando es de dimensión par y en el módulo de espinor irreducible si es de dimensión impar, el número de restricciones cuadráticas independientes es solo ${\displaystyle \beta _{m}}$ ${\displaystyle \,\Lambda ^{m}(V)\,}$ ${\displaystyle m\equiv n,{\text{ mod }}4}$ ${\displaystyle \,V\,}$ ${\displaystyle \,{\tfrac {1}{2}}\,n(n-1)\,}$ ${\displaystyle \,V\,}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \,{\tfrac {1}{2}}\,n(n+1)\,}$ ${\displaystyle \,V\,}$ ${\displaystyle 2n+1}$ ${\displaystyle \,V\,}$

${\displaystyle 2^{n-1}-{\tfrac {1}{2}}\,n(n-1)-1}$

en el caso dimensional, y ${\displaystyle \,2n\,}$

${\displaystyle 2^{n}-{\tfrac {1}{2}}\,n(n+1)-1}$

en el caso dimensional. ${\displaystyle \,2n+1\,}$

En 6 dimensiones o menos, todos los espinores son puros. En 7 u 8 dimensiones, existe una única restricción de espinor puro. En 10 dimensiones, hay 10 restricciones.

${\displaystyle \psi \;\Gamma _{\mu }\,\psi =0~,\quad \mu =1,\dots ,10,}$

¿Dónde están las matrices Gamma que representan los vectores que generan el álgebra de Clifford? Sin embargo, solo estos son independientes, por lo que la variedad de espinores puros proyectivizados es dimensional (compleja). ${\displaystyle \,\Gamma _{\mu }\,}$ ${\displaystyle \,\mathbb {C} ^{10}\,}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{10}}$ ${\displaystyle 10}$

Aplicaciones de espinores puros

Teoría supersimétrica de Yang Mills

Para la teoría dimensional y supersimétrica de Yang-Mills , la correspondencia del súper ambitor , ^{[4] [5]} consiste en una equivalencia entre las ecuaciones de campo supersimétricas y la desaparición de la supercurvatura a lo largo de líneas súper nulas , que son de dimensión , donde corresponden las dimensiones de Grassmann. a un espinor puro. La reducción dimensional da los resultados correspondientes para , y , o . ${\displaystyle d=10}$ ${\displaystyle N=1}$ ${\displaystyle (1|16)}$ ${\displaystyle 16}$ ${\displaystyle d=6}$ ${\displaystyle N=2}$ ${\displaystyle d=4}$ ${\displaystyle N=3}$ ${\displaystyle 4}$

Teoría de cuerdas y variedades generalizadas de Calabi-Yau

Nathan Berkovits introdujo los espinores puros en la cuantificación de cuerdas. ^[6] Nigel Hitchin ^[14] introdujo variedades de Calabi-Yau generalizadas , donde la estructura compleja generalizada está definida por un espinor puro. Estos espacios describen la geometría de las compactaciones de flujo en la teoría de cuerdas.

Sistemas integrables

En el enfoque de jerarquías integrables desarrollado por Sato , ^[15] y sus estudiantes, ^{[16] [17]} las ecuaciones de la jerarquía se consideran condiciones de compatibilidad para conmutar flujos en un Grassmanniano de dimensión infinita . Bajo el mapa de Cartan (de dimensión infinita) , los espinores puros proyectivos son equivalentes a elementos del Grassmanniano de dimensión infinita que consisten en subespacios isotrópicos máximos de un espacio de Hilbert bajo un producto escalar complejo adecuadamente definido. Por lo tanto, sirven como módulos para soluciones de la jerarquía integrable de BKP, ^{[9] [10] [11]} parametrizando las funciones BKP asociadas , que generan funciones para los flujos. Según la correspondencia del mapa de Cartan , estos pueden expresarse como Fredholm Pfaffians de dimensión infinita . ^[11] ${\displaystyle \tau }$

Referencias

1. Cartan, Élie (1981) [1938]. La teoría de los espinores. Nueva York: Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-64070-9. SEÑOR  0631850.
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Bibliografía

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• Charlton, Felipe. La geometría de los espinores puros, con aplicaciones, tesis doctoral (1997).