Estructura compleja generalizada

En el campo de las matemáticas conocido como geometría diferencial , una estructura compleja generalizada es una propiedad de una variedad diferencial que incluye como casos especiales una estructura compleja y una estructura simpléctica . Nigel Hitchin introdujo las estructuras complejas generalizadas en 2002 y las desarrolló aún más sus alumnos Marco Gualtieri y Gil Cavalcanti.

Estas estructuras surgieron por primera vez en el programa de Hitchin de caracterizar estructuras geométricas mediante funcionales de formas diferenciales , una conexión que formó la base de la propuesta de Robbert Dijkgraaf , Sergei Gukov , Andrew Neitzke y Cumrun Vafa de 2004 de que las teorías topológicas de cuerdas son casos especiales de una M topológica. -teoría . Hoy en día, las estructuras complejas generalizadas también desempeñan un papel destacado en la teoría física de cuerdas , ya que las compactaciones de flujo supersimétricas , que relacionan la física de 10 dimensiones con mundos de 4 dimensiones como el nuestro, requieren estructuras complejas generalizadas (posiblemente retorcidas).

Definición

El paquete tangente generalizado

Considere una N -colector M . El fibrado tangente de M , que se denotará como T , es el fibrado vectorial sobre M cuyas fibras constan de todos los vectores tangentes a M. Una sección de T es un campo vectorial en M. El fibrado cotangente de M , denotado T ^* , es el fibrado vectorial sobre M cuyas secciones son uniformas en M.

En geometría compleja se consideran estructuras en haces tangentes de variedades. En cambio, en geometría simpléctica uno está interesado en las potencias exteriores del paquete cotangente. La geometría generalizada une estos dos campos al tratar secciones del paquete tangente generalizado , que es la suma directa de los paquetes tangente y cotangente, que son sumas formales de un campo vectorial y una forma única. ${\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$

Las fibras están dotadas de un producto interior natural con firma ( N ,  N ). Si X e Y son campos vectoriales y ξ y η son formas uniformes, entonces el producto interno de X+ξ e Y+η se define como

${\displaystyle \langle X+\xi ,Y+\eta \rangle ={\frac {1}{2}}(\xi (Y)+\eta (X)).}$

Una estructura casi compleja generalizada es simplemente una estructura casi compleja del paquete tangente generalizado que preserva el producto interno natural:

${\displaystyle {\mathcal {J}}:\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}\to \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$

tal que y ${\displaystyle {\mathcal {J}}^{2}=-{\rm {Id}},}$

${\displaystyle \langle {\mathcal {J}}(X+\xi ),{\mathcal {J}}(Y+\eta )\rangle =\langle X+\xi ,Y+\eta \rangle .}$

Como en el caso de una estructura casi compleja ordinaria , una estructura casi compleja generalizada está determinada únicamente por su paquete propio , es decir, un subconjunto del paquete tangente generalizado complexificado dado por ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$

${\displaystyle L=\{X+\xi \in (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} \ :\ {\mathcal {J}}(X+\xi )={\sqrt {-1}}(X+\xi )\}}$

Dicho subpaquete L satisface las siguientes propiedades:

1. la intersección con su conjugado complejo es la sección cero: ; ${\displaystyle L\cap {\overline {L}}=0}$
2. L es isotrópico máximo , es decir, su rango complejo es igual a N y para todos ${\displaystyle \langle \ell ,\ell '\rangle =0}$ ${\displaystyle \ell ,\ell '\in L.}$

Viceversa, cualquier subconjunto L que satisfaga (i), (ii) es el conjunto propio de una estructura casi compleja generalizada única, de modo que las propiedades (i), (ii) pueden considerarse como una definición alternativa de estructura casi compleja generalizada. ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

soporte de corriente

En geometría compleja ordinaria, una estructura casi compleja es integrable a una estructura compleja si y sólo si el soporte de Lie de dos secciones del subconjunto holomórfico es otra sección del subconjunto holomórfico.

En geometría compleja generalizada uno no está interesado en los campos vectoriales, sino más bien en las sumas formales de los campos vectoriales y las formas uniformes. En 1990 se introdujo una especie de grupo de Lie para tales sumas formales y se llama grupo de Courant , que se define por

${\displaystyle [X+\xi ,Y+\eta ]=[X,Y]+{\mathcal {L}}_{X}\eta -{\mathcal {L}}_{Y}\xi -{\frac {1}{2}}d(i(X)\eta -i(Y)\xi )}$

donde es la derivada de Lie a lo largo del campo vectorial X , d es la derivada exterior e i es el producto interior . ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$

Definición

Una estructura compleja generalizada es una estructura casi compleja generalizada tal que el espacio de secciones suaves de L está cerrado bajo el corchete de Courant.

Subhaces isotrópicos máximos

Clasificación

Existe una correspondencia uno a uno entre el subconjunto isotrópico máximo de y los pares donde E es un subconjunto de T y es una forma 2. Esta correspondencia se extiende directamente al caso complejo. ${\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$ ${\displaystyle (\mathbf {E} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Dado un par, se puede construir un subconjunto máximamente isotrópico de la siguiente manera. Los elementos del subconjunto son las sumas formales donde el campo vectorial X es una sección de E y la forma única ξ restringida al espacio dual es igual a la forma única ${\displaystyle (\mathbf {E} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$ ${\displaystyle X+\xi }$ ${\displaystyle \mathbf {E} ^{*}}$ ${\displaystyle \varepsilon (X).}$

Para ver que es isotrópico, observe que si Y es una sección de E y restringida a es entonces como parte de ortogonal a aniquila Y. Por lo tanto, si y son secciones de entonces ${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \mathbf {E} ^{*}}$ ${\displaystyle \varepsilon (X)}$ ${\displaystyle \xi (Y)=\varepsilon (X,Y),}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \mathbf {E} ^{*}}$ ${\displaystyle X+\xi }$ ${\displaystyle Y+\eta }$ ${\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$

${\displaystyle \langle X+\xi ,Y+\eta \rangle ={\frac {1}{2}}(\xi (Y)+\eta (X))={\frac {1}{2}}(\varepsilon (Y,X)+\varepsilon (X,Y))=0}$

y también lo es isotrópico. Además, es máximo porque hay dimensiones (complejas) de opciones y no tiene restricciones cuyo complemento es de dimensión (compleja). Por lo tanto, la dimensión total (compleja) en n . Gualtieri ha demostrado que todos los subhaces isotrópicos máximos tienen la forma para algunos y ${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \dim(\mathbf {E} )}$ ${\displaystyle \mathbf {E} ,}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mathbf {E} ^{*},}$ ${\displaystyle n-\dim(\mathbf {E} ).}$ ${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \varepsilon .}$

Tipo

El tipo de subconjunto isotrópico máximo es la dimensión real del subconjunto que aniquila E . De manera equivalente , es 2 N menos la dimensión real de la proyección de sobre el paquete tangente T. En otras palabras, el tipo de subconjunto isotrópico máximo es la codimensión de su proyección sobre el conjunto tangente. En el caso complejo se utiliza la dimensión compleja y el tipo a veces se denomina tipo complejo . Si bien el tipo de un subpaquete puede en principio ser cualquier número entero entre 0 y 2 N , las estructuras generalizadas casi complejas no pueden tener un tipo mayor que N porque la suma del subpaquete y su complejo conjugado debe ser todo de ${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$

El tipo de subconjunto isotrópico máximo es invariante bajo difeomorfismos y también bajo cambios del campo B , que son isometrías de la forma ${\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$

${\displaystyle X+\xi \longrightarrow X+\xi +i_{X}B}$

donde B es una forma 2 cerrada arbitraria llamada campo B en la literatura de teoría de cuerdas .

El tipo de estructura generalizada casi compleja en general no es constante, puede saltar en cualquier número entero par . Sin embargo, es semicontinuo superior , lo que significa que cada punto tiene una vecindad abierta en la que el tipo no aumenta. En la práctica, esto significa que subconjuntos de tipo mayor que el tipo ambiental ocurren en subvariedades con codimensión positiva .

índice real

El índice real r de un subespacio isotrópico máximo L es la dimensión compleja de la intersección de L con su conjugado complejo. Un subespacio isotrópico máximo de es una estructura casi compleja generalizada si y sólo si r = 0. ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$

Paquete canónico

Como en el caso de la geometría compleja ordinaria, existe una correspondencia entre estructuras casi complejas generalizadas y haces de líneas complejos . El paquete de líneas complejo correspondiente a una estructura casi compleja generalizada particular a menudo se denomina paquete canónico , ya que generaliza el paquete canónico en el caso ordinario. A veces también se le llama haz de espinores puros, ya que sus secciones son espinores puros .

Estructuras generalizadas casi complejas.

El paquete canónico es un subpaquete unidimensional complejo del paquete de formas diferenciales complejas en M . Recuerde que las matrices gamma definen un isomorfismo entre formas diferenciales y espinores. En particular, las formas pares e impares se corresponden con las dos quiralidades de los espinores de Weyl . Los vectores actúan sobre las formas diferenciales dadas por el producto interior. Las formas únicas tienen acción sobre las formas dadas por el producto de cuña. Así, las secciones del paquete actúan sobre formas diferenciales. Esta acción es una representación de la acción del álgebra de Clifford sobre los espinores. ${\displaystyle \mathbf {\Lambda } ^{*}\mathbf {T} \otimes \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$

Se dice que un espinor es puro si es aniquilado por la mitad de un conjunto de generadores del álgebra de Clifford. Los espinores son secciones de nuestro haz y los generadores del álgebra de Clifford son las fibras de nuestro otro haz. Por lo tanto, un espinor puro dado es aniquilado por un subhaz semidimensional E de Tales subhazs son siempre isotrópicos, por lo que para definir una estructura casi compleja hay que sólo impone que la suma de E y su conjugado complejo es todo de Esto es cierto siempre que el producto de cuña del espinor puro y su conjugado complejo contiene un componente de dimensión superior. Estos espinores puros determinan estructuras generalizadas casi complejas. ${\displaystyle \mathbf {\Lambda } ^{*}\mathbf {T} ,}$ ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$

Dada una estructura generalizada casi compleja, también se puede determinar un espinor puro hasta la multiplicación por una función compleja arbitraria . Estas elecciones de espinores puros se definen como las secciones del paquete canónico.

Integrabilidad y otras estructuras.

Si un espinor puro que determina una estructura compleja particular es cerrado , o más generalmente si su derivada exterior es igual a la acción de una matriz gamma sobre sí misma, entonces la estructura casi compleja es integrable y, por lo tanto, dichos espinores puros corresponden a estructuras complejas generalizadas.

Si se impone además que el paquete canónico es holomórficamente trivial, lo que significa que son las secciones globales las que son formas cerradas, entonces se define una estructura de Calabi-Yau generalizada y se dice que M es una variedad de Calabi-Yau generalizada .

Clasificación local

Paquete canónico

Localmente, todos los espinores puros se pueden escribir en la misma forma, dependiendo de un número entero k , la forma B del campo B , una forma simpléctica no degenerada ω y una forma k Ω. En una vecindad local de cualquier punto, un espinor puro Φ que genera el paquete canónico siempre se puede poner en la forma

${\displaystyle \Phi =e^{B+i\omega }\Omega }$

donde Ω se puede descomponer como producto de cuña de formas únicas.

punto regular

Defina el subconjunto E del conjunto tangente complejado como la proyección del subconjunto holomorfo L de to. En la definición de una estructura generalizada casi compleja hemos impuesto que la intersección de L y su conjugado contiene sólo el origen, de lo contrario no serían capaces para abarcar la totalidad de Sin embargo, la intersección de sus proyecciones no tiene por qué ser trivial. En general esta intersección es de la forma ${\displaystyle \mathbf {T} \otimes \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {T} \otimes \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$

${\displaystyle E\cap {\overline {E}}=\Delta \otimes \mathbb {C} }$

para algún subpaquete Δ. Un punto que tiene una vecindad abierta en la que la dimensión de las fibras de Δ es constante se dice que es un punto regular .

teorema de darboux

Cada punto regular en una variedad compleja generalizada tiene una vecindad abierta que, después de un difeomorfismo y un desplazamiento del campo B, tiene la misma estructura compleja generalizada que el producto cartesiano del espacio vectorial complejo y el espacio simpléctico estándar con la forma simpléctica estándar. , que es la suma directa de las matrices fuera de la diagonal dos por dos con entradas 1 y −1. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n-2k}}$

Holomorfidad local

Cerca de puntos no regulares, el teorema de clasificación anterior no se aplica. Sin embargo, en cualquier punto, una variedad compleja generalizada es, hasta el difeomorfismo y el campo B, un producto de una variedad simpléctica con una variedad compleja generalizada que es de tipo complejo en el punto, muy parecido al teorema de Weinstein para la estructura local de Poisson. colectores . La pregunta restante de la estructura local es: ¿cómo se ve una estructura compleja generalizada cerca de un punto de tipo complejo? De hecho, será inducida por una estructura holomorfa de Poisson .

Ejemplos

Colectores complejos

El espacio de formas diferenciales complejas tiene una operación de conjugación compleja dada por la conjugación compleja en Esto permite definir formas uniholomórficas y antiholomórficas y formas ( m , n ), que son polinomios homogéneos en estas formas uniformes con m factores holomórficos y n factores antiholomórficos. En particular, todas las formas ( n , 0) están relacionadas localmente mediante la multiplicación por una función compleja y, por lo tanto, forman un paquete de líneas complejo. ${\displaystyle \mathbf {\Lambda } ^{*}\mathbf {T} \otimes \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

( n , 0) -las formas son espinores puros, ya que son aniquilados por vectores tangentes antiholomórficos y por formas uni holomorfas. Por tanto, este paquete de líneas se puede utilizar como un paquete canónico para definir una estructura compleja generalizada. Al restringir el aniquilador al haz tangente complejado, se obtiene el subespacio de campos vectoriales antiholomórficos. Por lo tanto, esta estructura compleja generalizada define una estructura compleja ordinaria en el paquete tangente. ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$

Como sólo la mitad de una base de campos vectoriales es holomorfa, estas estructuras complejas son de tipo N. De hecho, las variedades complejas, y las variedades obtenidas multiplicando el haz de espinores puro que define una variedad compleja por una forma compleja cerrada (2,0), son las únicas variedades complejas generalizadas de tipo N. ${\displaystyle \partial }$

Variedades simplécticas

El haz de espinor puro generado por

${\displaystyle \phi =e^{i\omega }}$

porque una ω de dos formas no degenerada define una estructura simpléctica en el espacio tangente. Por tanto, las variedades simplécticas también son variedades complejas generalizadas.

El espinor puro anterior está definido globalmente, por lo que el paquete canónico es trivial. Esto significa que las variedades simplécticas no son sólo variedades complejas generalizadas sino que, de hecho, son variedades de Calabi-Yau generalizadas.

El espinor puro está relacionado con un espinor puro que es solo un número por un desplazamiento imaginario del campo B, que es un desplazamiento de la forma de Kähler . Por tanto, estas estructuras complejas generalizadas son del mismo tipo que las correspondientes a un espinor puro escalar . Un escalar es aniquilado por todo el espacio tangente, por lo que estas estructuras son de tipo 0 . ${\displaystyle \phi }$

Hasta un desplazamiento del campo B, que corresponde a multiplicar el espinor puro por la exponencial de una variedad simpléctica cerrada y real de 2 formas, son las únicas variedades complejas generalizadas de tipo 0. Las variedades que son simplécticas hasta un desplazamiento del campo B a veces se denominan B-simplécticas .

Relación con las estructuras G

Algunas de las casi estructuras en la geometría compleja generalizada pueden reformularse en el lenguaje de las estructuras G. La palabra "casi" se elimina si la estructura es integrable.

El paquete con el producto interno anterior es una estructura O(2 n , 2 n ) . Una estructura casi compleja generalizada es una reducción de esta estructura a una estructura U ( n , n ) . Por tanto, el espacio de estructuras complejas generalizadas es la clase lateral. ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\frac {O(2n,2n)}{U(n,n)}}.}$

Una estructura casi Kähler generalizada es un par de estructuras complejas generalizadas conmutantes tales que menos el producto de los tensores correspondientes es una métrica definida positiva. Las estructuras Kähler generalizadas son reducciones del grupo de estructuras a variedades Kähler generalizadas, y sus contrapartes retorcidas, son equivalentes a las variedades bihermitianas descubiertas por Sylvester James Gates , Chris Hull y Martin Roček en el contexto de las teorías de campos cuánticos supersimétricos bidimensionales en 1984. ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle U(n)\times U(n).}$

Finalmente, una estructura métrica generalizada casi de Calabi-Yau es una reducción adicional del grupo de estructuras a ${\displaystyle SU(n)\times SU(n).}$

Métrica de Calabi versus Calabi-Yau

Observe que una estructura métrica de Calabi generalizada, que fue introducida por Marco Gualtieri, es una condición más fuerte que una estructura generalizada de Calabi-Yau, que fue introducida por Nigel Hitchin . En particular, una estructura métrica generalizada de Calabi-Yau implica la existencia de dos estructuras casi complejas generalizadas de conmutación.

Referencias

• Hitchin, Nigel (2003). "Múltiples generalizadas de Calabi-Yau". Revista Trimestral de Matemáticas . 54 (3): 281–308. doi : 10.1093/qmath/hag025.
• Gualtieri, Marco (2004). Geometría compleja generalizada (Tesis Doctoral). arXiv : math.DG/0401221 .
• Gualtieri, Marco (2011). "Geometría compleja generalizada". Anales de Matemáticas . (2). 174 (1): 75-123. arXiv : 0911.0993 . doi : 10.4007/anales.2011.174.1.3 .
• Graña, Mariana (2006). "Compactificaciones de flujo en teoría de cuerdas: una revisión exhaustiva". Física. Representante . 423 (3): 91-158. arXiv : hep-th/0509003 . doi :10.1016/j.physrep.2005.10.008. S2CID  119508517.
• Dijkgraaf, Robbert ; Gukov, Serguéi ; Neitzke, Andrés; Vafa, Cumrún (2005). "La teoría M topológica como unificación de las teorías formales de la gravedad". Avances en Física Teórica y Matemática . 9 (4): 603–665. arXiv : hep-th/0411073 . doi : 10.4310/ATMP.2005.v9.n4.a5 .