Función Tau (sistemas integrables)

Las funciones Tau son un ingrediente importante en la teoría matemática moderna de sistemas integrables y tienen numerosas aplicaciones en una variedad de otros dominios. Fueron introducidos originalmente por Ryogo Hirota ^[1] en su método directo de ecuaciones de solitones , basado en expresarlas en una forma bilineal equivalente.

El término función tau , o función, fue utilizado sistemáticamente por primera vez por Mikio Sato ^[2] y sus estudiantes ^{[3] [4]} en el contexto específico de la ecuación de Kadomtsev-Petviashvili (o KP) y las jerarquías integrables relacionadas . Es un ingrediente central en la teoría de los solitones . En este contexto, dada cualquier función que satisfaga un sistema de ecuaciones bilineales tipo Hirota (ver § Relación de residuos bilineales de Hirota para funciones tau de KP a continuación), las soluciones correspondientes de las ecuaciones de la jerarquía integrable son explícitamente expresables en términos de ella y su derivadas logarítmicas hasta un orden finito. Las funciones Tau también aparecen como funciones de partición del modelo matricial en la teoría espectral de matrices aleatorias , ^{[5] [6] [7]} y también pueden servir como funciones generadoras , en el sentido de combinatoria y geometría enumerativa , especialmente en relación con espacios de módulos de Superficies de Riemann y enumeración de cubiertas ramificadas , o los llamados números de Hurwitz . ^{[8] [9] [10]} ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$

Hay dos nociones de funciones, ambas introducidas por la escuela Sato . La primera son funciones isoespectrales del tipo Sato – Segal ^{–Wilson [2] [11]} para jerarquías integrables, como la jerarquía KP, que están parametrizadas por operadores lineales que satisfacen ecuaciones de deformación isoespectrales de tipo Lax . La segunda son las funciones isomonodrómicas . ^[12] ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$

Dependiendo de la aplicación específica, una función puede ser: 1) una función analítica de un número finito o infinito de variables de flujo conmutantes independientes o parámetros de deformación; 2) una función discreta de un número finito o infinito de variables numerables; 3) una expansión formal en serie de potencias en un número finito o infinito de variables de expansión, que no necesitan tener dominio de convergencia, pero sirven como función generadora de ciertos invariantes enumerativos que aparecen como coeficientes de la serie; 4) un determinante finito o infinito (Fredholm) cuyas entradas son funciones polinómicas o cuasipolinomiales específicas, o integrales paramétricas y sus derivadas; 5) el Pfaffiano de una matriz simétrica sesgada (ya sea de dimensión finita o infinita) con entradas similares de tipo polinómico o cuasipolinomial. A continuación se dan ejemplos de todos estos tipos. ${\displaystyle \tau }$

En el enfoque de Hamilton-Jacobi a los sistemas hamiltonianos integrables de Liouville , la función principal de Hamilton , evaluada en las superficies niveladas de un conjunto completo de invariantes de conmutación de Poisson , desempeña un papel similar a la función -, sirviendo a la vez como función generadora para la transformación canónica a linealizar coordenadas canónicas y, cuando se evalúa en conjuntos de niveles simultáneos de un conjunto completo de invariantes de conmutación de Poisson, como una solución completa de la ecuación de Hamilton-Jacobi . ${\displaystyle \tau }$

Funciones Tau: isoespectrales e isomonodrómicas

Una función de tipo isoespectral se define como una solución de las ecuaciones bilineales de Hirota (ver § Relación de residuos bilineales de Hirota para funciones tau de KP a continuación), a partir de la cual se puede reconstruir de manera única el operador lineal que experimenta evolución isoespectral. Geométricamente, en el sentido de Sato ^[2] y Segal -Wilson ^[11] , es el valor del determinante de un operador integral de Fredholm , interpretado como la proyección ortogonal de un elemento de una variedad de Grassmann adecuadamente definida (de dimensión infinita) sobre la origen , ya que ese elemento evoluciona bajo la acción exponencial lineal de un subgrupo abeliano máximo del grupo lineal general. Normalmente surge como una función de partición , en el sentido de la mecánica estadística , la mecánica cuántica de muchos cuerpos o la teoría cuántica de campos , cuando la medida subyacente sufre una deformación exponencial lineal. ${\displaystyle \tau }$

Las funciones isomonodrómicas ${\displaystyle \tau }$ para sistemas lineales de tipo fucsiano se definen a continuación en § Sistemas isomonodrómicos fucsianos. Ecuaciones de Schlesinger. Para el caso más general de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes racionales, incluidas singularidades irregulares, se desarrollan como referencia. ^[12]

Relación de residuos bilineal de Hirota para funciones tau de KP

Una función KP ( Kadomtsev-Petviashvili ) es una función de una colección infinita de variables (llamadas variables de flujo de KP ) que satisface la ecuación de residuo formal bilineal ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau (\mathbf {t} )}$ ${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots )}$

idénticamente en las variables, donde es el coeficiente en la expansión formal de Laurent resultante de expandir todos los factores como la serie de Laurent en , y ${\displaystyle \delta t_{j}}$ ${\displaystyle \mathrm {res} _{z=0}}$ ${\displaystyle z^{-1}}$ ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle {\bf {s}}:={\bf {t}}+(\delta t_{1},\delta t_{2},\cdots ),\quad [z^{-1}]:=(z^{-1},{\tfrac {z^{-2}}{2}},\cdots {\tfrac {z^{-j}}{j}},\cdots ).}$$

Como se explica más adelante en la sección § Función formal de Baker-Akhiezer y jerarquía de KP, cada una de estas funciones determina un conjunto de soluciones a las ecuaciones de la jerarquía de KP. ${\displaystyle \tau }$

Ecuación de Kadomtsev-Petviashvili

Si es una función KP que satisface la ecuación del residuo de Hirota ( 1 ) e identificamos las tres primeras variables de flujo como ${\displaystyle \tau (t_{1},t_{2},t_{3},\dots \dots )}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle t_{1}=x,\quad t_{2}=y,\quad t_{3}=t,}$

se deduce que la función

${\displaystyle u(x,y,t):=2{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\log \left(\tau (x,y,t,t_{4},\dots )\right)}$

satisface la ecuación diferencial parcial no lineal dimensional (espacial) (temporal) ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle +1}$

conocida como ecuación de Kadomtsev-Petviashvili (KP) . Esta ecuación juega un papel destacado en la física del plasma y en las olas oceánicas de aguas poco profundas.

Al tomar más derivadas logarítmicas se obtiene una secuencia infinita de funciones que satisfacen más sistemas de PDE autónomas no lineales, cada una de las cuales involucra derivadas parciales de orden finito con respecto a un número finito de parámetros de flujo de KP . Estos se conocen colectivamente como la jerarquía del KP . ${\displaystyle \tau (t_{1},t_{2},t_{3},\dots \dots )}$ ${\displaystyle {\bf {t}}=(t_{1},t_{2},\dots )}$

Función formal de Baker-Akhiezer y la jerarquía del KP

Si definimos la función (formal) de Baker-Akhiezer mediante la fórmula de Sato ^{[2] [3]} ${\displaystyle \psi (z,\mathbf {t} )}$

${\displaystyle \psi (z,\mathbf {t} ):=e^{\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}z^{i}}{\frac {\tau (\mathbf {t} -[z^{-1}])}{\tau (\mathbf {t} )}}}$

y expandirlo como una serie formal en las potencias de la variable ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \psi (z,\mathbf {t} )=e^{\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}z^{i}}(1+\sum _{j=1}^{\infty }w_{j}(\mathbf {t} )z^{-j}),}$

esto satisface una secuencia infinita de ecuaciones de evolución compatibles

donde es un operador diferencial ordinario lineal de grado en la variable , con coeficientes que son funciones de las variables de flujo , definido de la siguiente manera ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x:=t_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots )}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{i}:={\big (}{\mathcal {L}}^{i}{\big )}_{+}}$

¿Dónde está el operador pseudodiferencial formal? ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\partial +\sum _{j=1}^{\infty }u_{j}(\mathbf {t} )\partial ^{-j}={\mathcal {W}}\circ \partial \circ {\mathcal {W}}^{-1}}$

con , ${\displaystyle \partial :={\frac {\partial }{\partial x}}}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}:=1+\sum _{j=1}^{\infty }w_{j}(\mathbf {t} )\partial ^{-j}}$

es el operador de onda y denota la proyección a la parte que contiene potencias puramente no negativas de ; es decir, la parte del operador diferencial de . ${\displaystyle {\big (}{\mathcal {L}}^{i}{\big )}_{+}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{i}}$ ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{i}}$

El operador pseudodiferencial satisface el sistema infinito de ecuaciones de deformación isoespectrales. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

y las condiciones de compatibilidad tanto para el sistema ( 3 ) como para ( 4 ) son

Este es un sistema infinito compatible de ecuaciones diferenciales parciales no lineales, conocido como jerarquía KP (Kadomtsev-Petviashvili) , para las funciones , con respecto al conjunto de variables independientes, cada una de las cuales contiene solo un número finito de y derivadas. sólo con respecto a las tres variables independientes . El primer caso no trivial de estos es la ecuación de Kadomtsev-Petviashvili ( 2 ). ${\displaystyle \{u_{j}(\mathbf {t} )\}_{j\in \mathbf {N} }}$ ${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots )}$ ${\displaystyle u_{j}}$ ${\displaystyle (x,t_{i},t_{j})}$

Por tanto, cada función KP proporciona una solución, al menos en el sentido formal, de este sistema infinito de ecuaciones diferenciales parciales no lineales. ${\displaystyle \tau }$

Sistemas isomonodrómicos. Funciones tau isomonodrómicas

Sistemas isomonodrómicos fucsianos. Ecuaciones de Schlesinger

Considere el sistema sobredeterminado de ecuaciones diferenciales parciales matriciales de primer orden.

donde hay un conjunto de matrices sin rastro, un conjunto de parámetros complejos, una variable compleja y es una función con valores de matriz invertible de y . Estas son las condiciones necesarias y suficientes para la representación monodromía basada del grupo fundamental de la esfera de Riemann perforado en los puntos correspondientes al operador derivado covariante racional. ${\displaystyle \{N_{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r\times r}$ ${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Psi (z,\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m})}$ ${\displaystyle r\times r}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$ ${\displaystyle \pi _{1}({\bf {P}}^{1}\backslash \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n})}$ ${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$

${\displaystyle {\partial \over \partial z}-\sum _{i=1}^{n}{N_{i} \over z-\alpha _{i}}}$

ser independiente de los parámetros ; es decir, que los cambios en estos parámetros inducen una deformación isomonodrómica . Las condiciones de compatibilidad para este sistema son las ecuaciones de Schlesinger ^[12] ${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$

Función isomonodrómica τ {\displaystyle \tau }

Definiendo funciones ${\displaystyle n}$

las ecuaciones de Schlesinger ( 8 ) implican que la forma diferencial

${\displaystyle \omega :=\sum _{i=1}^{n}H_{i}d\alpha _{i}}$

en el espacio de parámetros está cerrado:

${\displaystyle d\omega =0}$

y por tanto, localmente exacto. Por lo tanto, al menos localmente, existe una función de los parámetros, definida dentro de una constante multiplicativa, tal que ${\displaystyle \tau (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$

${\displaystyle \omega =d\mathrm {ln} \tau }$

La función se llama función isomonodrómica asociada a la solución fundamental del sistema ( 6 ), ( 7 ). ${\displaystyle \tau (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \Psi }$

Estructura hamiltoniana de las ecuaciones de Schlesinger

Definición de los corchetes de Lie Poisson en el espacio de tuplas de matrices: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{N_{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$ ${\displaystyle r\times r}$

${\displaystyle \{(N_{i})_{ab},(N_{j})_{c,d}\}=\delta _{ij}\left((N_{i})_{ad}\delta _{bc}-(N_{i})_{cb}\delta _{ad}\right)}$

${\displaystyle 1\leq i,j\leq n,\quad 1\leq a,b,c,d\leq r,}$

y viendo las funciones definidas en ( 9 ) como funciones hamiltonianas en este espacio de Poisson, las ecuaciones de Schlesinger ( 8 ) pueden expresarse en forma hamiltoniana como ^{[13] [14]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{H_{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$

${\displaystyle {\frac {\partial f(N_{1},\dots ,N_{n})}{\partial \alpha _{i}}}=\{f,H_{i}\},\quad 1\leq i\leq n}$

para cualquier función diferenciable . ${\displaystyle f(N_{1},\dots ,N_{n})}$

Reducción de , caso a r = 2 {\displaystyle r=2} n = 3 {\displaystyle n=3} P V I {\displaystyle P_{VI}}

El caso no trivial más simple de las ecuaciones de Schlesinger es cuando y . Al aplicar una transformación de Möbius a la variable , se puede elegir que dos de los polos finitos estén en y , y el tercero se considere la variable independiente. Igualando a una constante la suma de las matrices que aparecen en ( 6 ), que es una invariante de las ecuaciones de Schlesinger, y cocientes por su estabilizador bajo conjugación, obtenemos un sistema equivalente al caso más genérico de las seis ecuaciones trascendentes de Painlevé. , para el cual se conocen muchas clases detalladas de soluciones explícitas . ^{[15] [16] [17]} ${\displaystyle r=2}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}N_{i}}$ ${\displaystyle Gl(2)}$ ${\displaystyle P_{VI}}$

Sistemas isomonodrómicos no fucsianos

Para sistemas no fucsianos, con polos de orden superior, los datos de monodromía generalizados incluyen matrices de Stokes y matrices de conexión , y existen más parámetros de deformación isomonodrómica asociados con las asintóticas locales, pero las funciones isomonodrómicas ${\displaystyle \tau }$ se pueden definir de manera similar, usando diferenciales. en el espacio de parámetros extendido. ^[12] De manera similar, existe una estructura de corchetes de Poisson en el espacio de funciones de valores matriciales racionales del parámetro espectral y los hamiltonianos invariantes espectrales correspondientes que generan la dinámica de deformación isomonodrómica. ^{[13] [14]} ${\displaystyle z}$

Tomando todas las posibles confluencias de los polos que aparecen en ( 6 ) para el caso y , incluido el de , y haciendo las reducciones correspondientes, obtenemos todos los demás casos de los trascendentes de Painlevé , para los cuales también se conocen numerosas soluciones especiales . ^{[15] [16]} ${\displaystyle r=2}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle z=\infty }$ ${\displaystyle P_{I}\cdots P_{V}}$

Representaciones fermiónicas VEV (valor esperado de vacío)

El espacio fermiónico de Fock , es un espacio de producto exterior semiinfinito ^[18] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\Lambda ^{\infty /2}{\mathcal {H}}=\oplus _{n\in \mathbf {Z} }{\mathcal {F}}_{n}}$

definido en un espacio de Hilbert (separable) con elementos base y elementos de base duales para . ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i\in \mathbf {Z} }}$ ${\displaystyle \{e^{i}\}_{i\in \mathbf {Z} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}}$

Los operadores fermiónicos libres de creación y aniquilación actúan como endomorfismos mediante la multiplicación exterior e interior por los elementos base. ${\displaystyle \{\psi _{j},\psi _{j}^{\dagger }\}_{j\in \mathbf {Z} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \psi _{i}:=e_{i}\wedge ,\quad \psi _{i}^{\dagger }:=i_{e^{i}},\quad i\in \mathbf {Z} ,}$

y satisfacer las relaciones canónicas anti-conmutación

${\displaystyle [\psi _{i},\psi _{k}]_{+}=[\psi _{i}^{\dagger },\psi _{k}^{\dagger }]_{+}=0,\quad [\psi _{i},\psi _{k}^{\dagger }]_{+}=\delta _{ij}.}$

Estos generan la representación fermiónica estándar del álgebra de Clifford en la suma directa , correspondiente al producto escalar. ${\displaystyle {\mathcal {H}}+{\mathcal {H}}^{*}}$

${\displaystyle Q(u+\mu ,w+\nu ):=\nu (u)+\mu (v),\quad u,v\in {\mathcal {H}},\ \mu ,\nu \in {\mathcal {H}}^{*}}$

con el espacio de Fock como módulo irreducible. Denota el estado de vacío, en el sector de carga fermiónica cero , como ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$

${\displaystyle |0\rangle :=e_{-1}\wedge e_{-2}\wedge \cdots }$,

que corresponde al mar de estados de Dirac a lo largo de la red de enteros reales en el que todas las ubicaciones de enteros negativos están ocupadas y todas las no negativas están vacías.

Esto es aniquilado por los siguientes operadores

${\displaystyle \psi _{-j}|0\rangle =0,\quad \psi _{j-1}^{\dagger }|0\rangle =0,\quad j=0,1,\dots }$

El estado de vacío espacial fermiónico dual de Fock, denotado , es aniquilado por los operadores adjuntos, que actúan hacia la izquierda. ${\displaystyle \langle 0|}$

${\displaystyle \langle 0|\psi _{-j}^{\dagger }=0,\quad \langle 0|\psi _{j-1}|0=0,\quad j=0,1,\dots }$

El orden normal de un producto de operadores lineales (es decir, combinaciones lineales finitas o infinitas de operadores de creación y aniquilación) se define de modo que su valor esperado de vacío (VEV) desaparezca. ${\displaystyle :L_{1},\cdots L_{m}:}$

${\displaystyle \langle 0|:L_{1},\cdots L_{m}:|0\rangle =0.}$

En particular, para un producto de un par de operadores lineales, se tiene ${\displaystyle L_{1}L_{2}}$ ${\displaystyle (L_{1},L_{2})}$

${\displaystyle {:L_{1}L_{2}:}=L_{1}L_{2}-\langle 0|L_{1}L_{2}|0\rangle .}$

El operador de carga fermiónica se define como ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C=\sum _{i\in \mathbf {Z} }:\psi _{i}\psi _{i}^{\dagger }:}$

El subespacio es el espacio propio que consta de todos los vectores propios con valor propio. ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}\subset {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle C|v;n\rangle =n|v;n\rangle ,\quad \forall |v;n\rangle \in {\mathcal {F}}_{n}}$.

La base ortonormal estándar para el sector de carga fermiónica cero está etiquetada por particiones enteras , donde hay una secuencia débilmente decreciente de enteros positivos, que puede representarse de manera equivalente mediante un diagrama de Young , como se muestra aquí para la partición . ${\displaystyle \{|\lambda \rangle \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{\ell (\lambda )})}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{\ell (\lambda )}}$ ${\displaystyle \ell (\lambda )}$ ${\displaystyle (5,4,1)}$

Diagrama joven de la partición (5, 4, 1)

Una notación alternativa para una partición consiste en los índices de Frobenius , donde denota la longitud del brazo ; es decir, el número de cuadros en el diagrama de Young a la derecha del 'ésimo cuadro diagonal, denota la longitud del cateto , es decir, el número de cuadros en el diagrama de Young debajo del 'ésimo cuadro diagonal, para , donde está el rango de Frobenius , que es el número de elementos a lo largo de la diagonal principal. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle (\alpha _{1},\dots \alpha _{r}|\beta _{1},\dots \beta _{r})}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}-i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,r}$ ${\displaystyle r}$

El elemento base se obtiene entonces actuando sobre el vacío con un producto de pares de operadores de creación y aniquilación, denominados por los índices de Frobenius. ${\displaystyle |\lambda \rangle }$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle |\lambda \rangle =(-1)^{\sum _{j=1}^{r}\beta _{j}}\prod _{k=1}^{r}{\big (}\psi _{\alpha _{k}}\psi _{-\beta _{k}-1}^{\dagger }{\big )}|0\rangle .}$

Los números enteros indican, en relación con el mar de Dirac, los sitios ocupados no negativos en la red de enteros, mientras que indican los sitios enteros negativos desocupados. El diagrama correspondiente, que consta de infinitos sitios ocupados y desocupados en la red de números enteros que son una perturbación finita del mar de Dirac, se denomina diagrama maya . ^[2] ${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,r}}$ ${\displaystyle \{-\beta _{i}-1\}_{i=1,\dots ,r}}$

El caso de la partición nula (conjunto vacío) da el estado de vacío, y la base dual está definida por ${\displaystyle |\emptyset \rangle =|0\rangle }$ ${\displaystyle \{\langle \mu |\}}$

${\displaystyle \langle \mu |\lambda \rangle =\delta _{\lambda ,\mu }}$

Cualquier función KP se puede expresar como una suma. ${\displaystyle \tau }$

donde están las variables de flujo de KP, es la función de Schur correspondiente a la partición , vista como una función de las variables de suma de potencias normalizadas ${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots ,\dots )}$ ${\displaystyle s_{\lambda }(\mathbf {t} )}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle t_{i}:=[\mathbf {x} ]_{i}:={\frac {1}{i}}\sum _{a=1}^{n}x_{a}^{i}\quad i=1,2,\dots }$

en términos de una secuencia auxiliar (finita o infinita) de variables y los coeficientes constantes pueden verse como las coordenadas de Plücker de un elemento de dimensión infinita Grassmanniana que consiste en la órbita, bajo la acción del grupo lineal general , del subespacio de el espacio de Hilbert . ${\displaystyle \mathbf {x} :=(x_{1},\dots ,x_{N})}$ ${\displaystyle \pi _{\lambda }(w)}$ ${\displaystyle w\in \mathrm {Gr} _{{\mathcal {H}}_{+}}({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle \mathrm {Gl} ({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{+}=\mathrm {span} \{e_{-i}\}_{i\in \mathbf {N} }\subset {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Esto corresponde, según la correspondencia de Bose-Fermi , a un elemento descomponible

${\displaystyle |\tau _{w}\rangle =\sum _{\lambda }\pi _{\lambda }(w)|\lambda \rangle }$

del espacio de Fock que, hasta la proyectivización, es la imagen del elemento Grassmanniano bajo el mapa de Plücker ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ ${\displaystyle w\in \mathrm {Gr} _{{\mathcal {H}}_{+}}({\mathcal {H}})}$

${\displaystyle {\mathcal {Pl}}:\mathrm {span} (w_{1},w_{2},\dots )\longrightarrow [w_{1}\wedge w_{2}\wedge \cdots ]=[|\tau _{w}\rangle ],}$

donde es una base para el subespacio y denota proyectivización de un elemento de . ${\displaystyle (w_{1},w_{2},\dots )}$ ${\displaystyle w\subset {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle [\cdots ]}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Las coordenadas de Plücker satisfacen un conjunto infinito de relaciones bilineales, las relaciones de Plücker , que definen la imagen del Plücker incrustado en la proyectivización del espacio fermiónico de Fock, que son equivalentes a la relación de residuo bilineal de Hirota ( 1 ). ${\displaystyle \{\pi _{\lambda }(w)\}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ({\mathcal {F}})}$

Si se trata de un elemento de grupo con representación fermiónica , entonces la función se puede expresar como el valor esperado del estado de vacío fermiónico (VEV): ${\displaystyle w=g({\mathcal {H}}_{+})}$ ${\displaystyle g\in \mathrm {Gl} ({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle {\hat {g}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau _{w}(\mathbf {t} )}$

${\displaystyle \tau _{w}(\mathbf {t} )=\langle 0|{\hat {\gamma }}_{+}(\mathbf {t} ){\hat {g}}|0\rangle ,}$

dónde

${\displaystyle \Gamma _{+}=\{{\hat {\gamma }}_{+}(\mathbf {t} )=e^{\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}J_{i}}\}\subset \mathrm {Gl} ({\mathcal {H}})}$

es el subgrupo abeliano de que genera los flujos de KP, y ${\displaystyle \mathrm {Gl} ({\mathcal {H}})}$

${\displaystyle J_{i}:=\sum _{j\in \mathbf {Z} }\psi _{j}\psi _{j+i}^{\dagger },\quad i=1,2\dots }$

son los componentes "actuales".

Ejemplos de soluciones a las ecuaciones de la jerarquía KP.

funciones de Schur

Como se ve en la ecuación ( 9 ), cada función KP se puede representar (al menos formalmente) como una combinación lineal de funciones de Schur , en la que los coeficientes satisfacen el conjunto bilineal de relaciones de Plucker correspondientes a un elemento de un infinito (o finito) Colector de Grassmann. De hecho, la clase más simple de funciones tau (polinomiales) consiste en las propias funciones de Schur , que corresponden al elemento especial de la variedad de Grassmann cuya imagen bajo el mapa de Plücker es . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \pi _{\lambda }(w)}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle s_{\lambda }(\mathbf {t} )}$ ${\displaystyle |\lambda >}$

Soluciones multisolitones

Si elegimos constantes complejas con todas distintas, y definimos las funciones ${\displaystyle 3N}$ ${\displaystyle \{\alpha _{k},\beta _{k},\gamma _{k}\}_{k=1,\dots ,N}}$ ${\displaystyle \alpha _{k},\beta _{k}}$ ${\displaystyle \gamma _{k}\neq 0}$

${\displaystyle y_{k}({\bf {t}}):=e^{\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}\alpha _{k}^{i}}+\gamma _{k}e^{\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}\beta _{k}^{i}}\quad k=1,\dots ,N,}$

llegamos a la fórmula determinante de Wronskian

${\displaystyle \tau _{{\vec {\alpha }},{\vec {\beta }},{\vec {\gamma }}}^{(N)}({\bf {t}}):={\begin{vmatrix}y_{1}({\bf {t}})&y_{2}({\bf {t}})&\cdots &y_{N}({\bf {t}})\\y_{1}'({\bf {t}})&y_{2}'({\bf {t}})&\cdots &y_{N}'({\bf {t}})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(N-1)}({\bf {t}})&y_{2}^{(N-1)}({\bf {t}})&\cdots &y_{N}^{(N-1)}({\bf {t}})\\\end{vmatrix}},}$

lo que da la función general -soliton . ^{[3] [4] [19]} ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \tau }$

Soluciones de funciones theta asociadas a curvas algebraicas.

Sea una superficie compacta de Riemann de género y fije una base de homología canónica con números de intersección ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{g},b_{1},\dots ,b_{g}}$ ${\displaystyle H_{1}(X,\mathbf {Z} )}$

${\displaystyle a_{i}\circ a_{j}=b_{i}\circ b_{j}=0,\quad a_{i}\circ b_{j}=\delta _{ij},\quad 1\leq i,j\leq g.}$

Sea una base para el espacio de diferenciales holomorfos que satisfacen las condiciones de normalización estándar. ${\displaystyle \{\omega _{i}\}_{i=1,\dots ,g}}$ ${\displaystyle H^{1}(X)}$

${\displaystyle \oint _{a_{i}}\omega _{j}=\delta _{ij},\quad \oint _{b_{j}}\omega _{j}=B_{ij},}$

donde está la matriz de períodos de Riemann. La matriz pertenece al medio espacio superior de Siegel. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \mathbf {S} _{g}=\left\{B\in \mathrm {Mat} _{g\times g}(\mathbf {C} )\ \colon \ B^{T}=B,\ {\text{Im}}(B){\text{ is positive definite}}\right\}.}$

La función de Riemann ${\displaystyle \theta }$ correspondiente a la matriz del período se define como ${\displaystyle \mathbf {C} ^{g}}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \theta (Z|B):=\sum _{N\in \mathbb {Z} ^{g}}e^{i\pi (N,BN)+2i\pi (N,Z)}.}$

Elija un punto , un parámetro local en la vecindad de con y un divisor positivo de grado ${\displaystyle p_{\infty }\in X}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle p_{\infty }}$ ${\displaystyle \zeta (p_{\infty })=0}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}:=\sum _{i=1}^{g}p_{i},\quad p_{i}\in X.}$

Para cualquier número entero positivo, sea el diferencial meromórfico único del segundo tipo caracterizado por las siguientes condiciones: ${\displaystyle k\in \mathbf {N} ^{+}}$ ${\displaystyle \Omega _{k}}$

• La única singularidad de es un polo de orden con residuos que se desvanecen. ${\displaystyle \Omega _{k}}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle p=p_{\infty }}$
• La expansión de alrededor es ${\displaystyle \Omega _{k}}$ ${\displaystyle p=p_{\infty }}$

  ${\displaystyle \Omega _{k}=d(\zeta ^{-k})+\sum _{j=1}^{\infty }Q_{ij}\zeta ^{j}d\zeta }$.

• ${\displaystyle \Omega _{k}}$está normalizado para tener ciclos de desaparición: ${\displaystyle a}$

  ${\displaystyle \oint _{a_{i}}\Omega _{j}=0.}$

Denota por el vector de -ciclos de : ${\displaystyle \mathbf {U} _{k}\in \mathbf {C} ^{g}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \Omega _{k}}$

${\displaystyle (\mathbf {U} _{k})_{j}:=\oint _{b_{j}}\Omega _{k}.}$

Denota la imagen de debajo del mapa de Abel . ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}:{\mathcal {S}}^{g}(X)\to \mathbf {C} ^{g}}$

${\displaystyle \mathbf {E} :={\mathcal {A}}({\mathcal {D}})\in \mathbf {C} ^{g},\quad \mathbf {E} _{j}={\mathcal {A}}_{j}({\mathcal {D}}):=\sum _{j=1}^{g}\int _{p_{0}}^{p_{i}}\omega _{j}}$

con punto base arbitrario . ${\displaystyle p_{0}}$

Entonces la siguiente es una función KP: ^[20] ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau _{(X,{\mathcal {D}},p_{\infty },\zeta )}(\mathbf {t} ):=e^{-{1 \over 2}\sum _{ij}Q_{ij}t_{i}t_{j}}\theta \left(\mathbf {E} +\sum _{k=1}^{\infty }t_{k}\mathbf {U} _{k}{\Big |}B\right)}$.

La partición del modelo matricial funciona como funciones KP τ {\displaystyle \tau }

Sea la medida de Lebesgue en el espacio dimensional de matrices hermitianas complejas. Sea una función de densidad integrable invariante de conjugación ${\displaystyle d\mu _{0}(M)}$ ${\displaystyle N^{2}}$ ${\displaystyle {\mathbf {H} }^{N\times N}}$ ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle \rho (M)}$

${\displaystyle \rho (UMU^{\dagger })=\rho (M),\quad U\in U(N).}$

Definir una familia de medidas de deformación.

${\displaystyle d\mu _{N,\rho }(\mathbf {t} ):=e^{{\text{ Tr }}(\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}M^{i})}\rho (M)d\mu _{0}(M)}$

para pequeños y dejar ${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\cdots )}$

${\displaystyle \tau _{N,\rho }({\bf {t}}):=\int _{{\mathbf {H} }^{N\times N}}d\mu _{N,\rho }({\bf {t}}).}$

Sea la función de partición para este modelo de matriz aleatoria . ^{[21] [5]} Luego satisface la ecuación bilineal del residuo de Hirota ( 1 ) y, por lo tanto, es una función de la jerarquía KP. ^[22] ${\displaystyle \tau _{N,\rho }(\mathbf {t} )}$ ${\displaystyle \tau }$

τ {\displaystyle \tau } -funciones de tipo hipergeométrico. Función generadora de números de Hurwitz

Sea una secuencia (doblemente) infinita de números complejos. Para cualquier partición entera, defina el coeficiente del producto de contenido. ${\displaystyle \{r_{i}\}_{i\in \mathbf {Z} }}$ ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{\ell (\lambda )})}$

${\displaystyle r_{\lambda }:=\prod _{(i,j)\in \lambda }r_{j-i}}$,

donde el producto es sobre todos los pares de enteros positivos que corresponden a cajas del diagrama de Young de la partición , vistos como posiciones de elementos de la matriz correspondiente. Luego, para cada par de secuencias infinitas y de variables complejas, vistas como sumas de potencias (normalizadas) de la secuencia infinita de variables auxiliares ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \ell (\lambda )\times \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots )}$ ${\displaystyle \mathbf {s} =(s_{1},s_{2},\dots )}$ ${\displaystyle \mathbf {t} =[\mathbf {x} ],\ \mathbf {s} =[\mathbf {y} ]}$

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\dots )}$y , ${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},y_{2},\dots )}$

definido por:

${\displaystyle t_{j}:={\tfrac {1}{j}}\sum _{a=1}^{\infty }x_{a}^{j},\quad s_{j}:={\tfrac {1}{j}}\sum _{j=1}^{\infty }y_{a}^{j}}$,

la función

Es una función KP doble , tanto en el como en las variables, conocida como función de tipo hipergeométrico . ^[23] ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \mathbf {t} }$ ${\displaystyle \mathbf {s} }$ ${\displaystyle \tau }$

En particular, elegir

${\displaystyle r_{j}=r_{j}^{\beta }:=e^{j\beta }}$

para algún parámetro pequeño , que denota el coeficiente del producto de contenido correspondiente como y configuración ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle r_{\lambda }^{\beta }}$

${\displaystyle \mathbf {s} =(1,0,\dots )=:\mathbf {t} _{0}}$,

la función resultante se puede expandir de manera equivalente como ${\displaystyle \tau }$

¿Dónde están los números simples de Hurwitz , que son multiplicados por el número de formas en que un elemento del grupo simétrico en elementos, con longitudes de ciclo iguales a las partes de la partición , se puede factorizar como producto de -ciclos ? ${\displaystyle \{H_{d}(\lambda )\}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{n!}}}$ ${\displaystyle k_{\lambda }\in {\mathcal {S}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}$ ${\displaystyle n=|\lambda |}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle k_{\lambda }=(a_{1}b_{1})\dots (a_{d}b_{d})}$,

y

${\displaystyle p_{\lambda }(\mathbf {t} )=\prod _{i=1}^{\ell (\lambda )}p_{\lambda _{i}}(\mathbf {t} ),\ {\text{with}}\ p_{i}(\mathbf {t} ):=\sum _{a=1}^{\infty }x_{a}^{i}=it_{i}}$

es la función simétrica de suma de potencias. La ecuación ( 12 ) muestra así que la función hipergeométrica (formal) KP ( 11 ) correspondiente a los coeficientes del producto de contenido es una función generadora, en el sentido combinatorio, para números de Hurwitz simples. ^{[8] [9] [10]} ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle r_{\lambda }^{\beta }}$

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