Distancia euclidiana

Longitud de un segmento de línea

Utilizando el teorema de Pitágoras para calcular la distancia euclidiana bidimensional

En matemáticas , la distancia euclidiana entre dos puntos del espacio euclidiano es la longitud del segmento de línea que los separa. Se puede calcular a partir de las coordenadas cartesianas de los puntos utilizando el teorema de Pitágoras y, por lo tanto, a veces se la denomina distancia pitagórica .

Estos nombres provienen de los antiguos matemáticos griegos Euclides y Pitágoras . En la geometría deductiva griega ejemplificada por los Elementos de Euclides , las distancias no se representaban como números sino como segmentos de línea de la misma longitud, que se consideraban "iguales". La noción de distancia es inherente a la herramienta del compás utilizada para dibujar un círculo , cuyos puntos tienen todos la misma distancia desde un punto central común . La conexión del teorema de Pitágoras con el cálculo de distancias no se realizó hasta el siglo XVIII.

La distancia entre dos objetos que no son puntos se define generalmente como la distancia más pequeña entre pares de puntos de los dos objetos. Se conocen fórmulas para calcular distancias entre diferentes tipos de objetos, como la distancia de un punto a una línea . En matemáticas avanzadas, el concepto de distancia se ha generalizado a espacios métricos abstractos y se han estudiado otras distancias distintas de la euclidiana. En algunas aplicaciones en estadística y optimización , se utiliza el cuadrado de la distancia euclidiana en lugar de la distancia en sí.

Fórmulas de distancia

Una dimensión

La distancia entre dos puntos cualesquiera sobre la recta real es el valor absoluto de la diferencia numérica de sus coordenadas, su diferencia absoluta . Por lo tanto, si y son dos puntos sobre la recta real, entonces la distancia entre ellos está dada por: ^[1] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

$${\displaystyle d(p,q)=|p-q|.}$$

Una fórmula más complicada, que da el mismo valor, pero que se generaliza más fácilmente a dimensiones superiores, es: ^[1]

$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p-q)^{2}}}.}$$

En esta fórmula, al elevar al cuadrado y luego sacar la raíz cuadrada , cualquier número positivo no cambia, pero cualquier número negativo se reemplaza por su valor absoluto. ^[1]

Dos dimensiones

En el plano euclidiano , sea el punto con coordenadas cartesianas y el punto con coordenadas . Entonces la distancia entre y está dada por: ^[2] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (p_{1},p_{2})}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle (q_{1},q_{2})}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}}}.}$$

Esto se puede comprobar aplicando el teorema de Pitágoras a un triángulo rectángulo con lados horizontales y verticales, que tiene como hipotenusa el segmento de línea que va desde hasta . Las dos fórmulas cuadradas dentro de la raíz cuadrada dan las áreas de los cuadrados de los lados horizontales y verticales, y la raíz cuadrada exterior convierte el área del cuadrado de la hipotenusa en la longitud de la hipotenusa. ^[3] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

También es posible calcular la distancia de puntos dados por coordenadas polares . Si las coordenadas polares de son y las coordenadas polares de son , entonces su distancia es ^[2] dada por la ley de los cosenos : ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (r,\theta )}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle (s,\psi )}$

$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {r^{2}+s^{2}-2rs\cos(\theta -\psi )}}.}$$

Cuando y se expresan como números complejos en el plano complejo , se puede utilizar la misma fórmula para puntos unidimensionales expresados ​​como números reales, aunque aquí el signo de valor absoluto indica la norma compleja : ^[4] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

$${\displaystyle d(p,q)=|p-q|.}$$

Dimensiones superiores

Derivación de la fórmula de la distancia euclidiana en dimensión mediante la aplicación repetida del teorema de Pitágoras ${\displaystyle n}$

En tres dimensiones, para puntos dados por sus coordenadas cartesianas, la distancia es

$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+(p_{3}-q_{3})^{2}}}.}$$

En general, para puntos dados por coordenadas cartesianas en el espacio euclidiano -dimensional, la distancia es ^[5] ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}.}$$

La distancia euclidiana también puede expresarse de forma más compacta en términos de la norma euclidiana de la diferencia vectorial euclidiana :

$${\displaystyle d(p,q)=\|p-q\|.}$$

Objetos distintos de puntos

Para pares de objetos que no son ambos puntos, la distancia se puede definir de manera más simple como la distancia más pequeña entre dos puntos cualesquiera de los dos objetos, aunque también se utilizan comúnmente generalizaciones más complicadas de puntos a conjuntos, como la distancia de Hausdorff . ^[6] Las fórmulas para calcular distancias entre diferentes tipos de objetos incluyen:

• La distancia de un punto a una línea , en el plano euclidiano ^[7]
• La distancia de un punto a un plano en el espacio euclidiano tridimensional ^[7]
• La distancia entre dos líneas en el espacio euclidiano tridimensional ^[8]

La distancia de un punto a una curva se puede utilizar para definir su curva paralela , otra curva cuyos puntos tienen la misma distancia a la curva dada. ^[9]

Propiedades

La distancia euclidiana es el ejemplo prototípico de la distancia en un espacio métrico , ^[10] y obedece a todas las propiedades definitorias de un espacio métrico: ^[11]

• Es simétrica , es decir, para todos los puntos y , . Es decir (a diferencia de la distancia por carretera con calles de un solo sentido) la distancia entre dos puntos no depende de cuál de los dos puntos es el de inicio y cuál es el de destino. ^[11] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle d(p,q)=d(q,p)}$
• Es positivo , lo que significa que la distancia entre cada dos puntos distintos es un número positivo , mientras que la distancia de cualquier punto a sí mismo es cero. ^[11]
• Obedece la desigualdad triangular : para cada tres puntos , , y , . Intuitivamente, viajar de a vía no puede ser más corto que viajar directamente de a . ^[11] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle d(p,q)+d(q,r)\geq d(p,r)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$

Otra propiedad, la desigualdad de Ptolomeo , se refiere a las distancias euclidianas entre cuatro puntos , , , y . Establece que ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$

$${\displaystyle d(p,q)\cdot d(r,s)+d(q,r)\cdot d(p,s)\geq d(p,r)\cdot d(q,s).}$$

Para los puntos en el plano, esto puede reformularse como afirmando que para cada cuadrilátero , los productos de los lados opuestos del cuadrilátero suman al menos un número tan grande como el producto de sus diagonales. Sin embargo, la desigualdad de Ptolomeo se aplica de manera más general a los puntos en espacios euclidianos de cualquier dimensión, sin importar cómo estén dispuestos. ^[12] Para los puntos en espacios métricos que no son espacios euclidianos, esta desigualdad puede no ser verdadera. La geometría de la distancia euclidiana estudia las propiedades de la distancia euclidiana, como la desigualdad de Ptolomeo, y su aplicación para probar si conjuntos dados de distancias provienen de puntos en un espacio euclidiano. ^[13]

Según el teorema de Beckman-Quarles , cualquier transformación del plano euclidiano o de un espacio euclidiano de dimensión superior que preserve distancias unitarias debe ser una isometría , preservando todas las distancias. ^[14]

Distancia euclidiana al cuadrado

En muchas aplicaciones, y en particular al comparar distancias, puede ser más conveniente omitir la raíz cuadrada final en el cálculo de las distancias euclidianas, ya que la raíz cuadrada no cambia el orden ( si y solo si ). El valor resultante de esta omisión es el cuadrado de la distancia euclidiana, y se llama distancia euclidiana al cuadrado . ^[15] Por ejemplo, el árbol de expansión mínimo euclidiano se puede determinar utilizando solo el orden entre distancias, y no sus valores numéricos. Comparar distancias al cuadrado produce el mismo resultado pero evita un cálculo innecesario de raíz cuadrada y evita problemas de precisión numérica. ^[16] Como ecuación, la distancia al cuadrado se puede expresar como una suma de cuadrados : ${\displaystyle d_{1}^{2}>d_{2}^{2}}$ ${\displaystyle d_{1}>d_{2}}$

$${\displaystyle d^{2}(p,q)=(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}.}$$

Más allá de su aplicación a la comparación de distancias, la distancia euclidiana al cuadrado es de importancia central en estadística , donde se utiliza en el método de mínimos cuadrados , un método estándar para ajustar estimaciones estadísticas a los datos minimizando el promedio de las distancias al cuadrado entre los valores observados y estimados, ^[17] y como la forma más simple de divergencia para comparar distribuciones de probabilidad . ^[18] La suma de distancias al cuadrado entre sí, como se hace en el ajuste de mínimos cuadrados, corresponde a una operación sobre distancias (no cuadradas) llamada suma pitagórica . ^[19] En el análisis de conglomerados , las distancias al cuadrado se pueden utilizar para fortalecer el efecto de distancias más largas. ^[15]

La distancia euclidiana al cuadrado no forma un espacio métrico, ya que no satisface la desigualdad triangular. ^[20] Sin embargo, es una función suave y estrictamente convexa de los dos puntos, a diferencia de la distancia, que no es suave (pares cercanos de puntos iguales) y es convexa pero no estrictamente convexa. Por lo tanto, la distancia al cuadrado es preferida en la teoría de optimización , ya que permite utilizar el análisis convexo . Dado que elevar al cuadrado es una función monótona de valores no negativos, minimizar la distancia al cuadrado es equivalente a minimizar la distancia euclidiana, por lo que el problema de optimización es equivalente en términos de cualquiera de los dos, pero más fácil de resolver utilizando la distancia al cuadrado. ^[21]

La colección de todas las distancias al cuadrado entre pares de puntos de un conjunto finito se puede almacenar en una matriz de distancia euclidiana y se utiliza de esta forma en la geometría de distancias. ^[22]

Generalizaciones

En áreas más avanzadas de las matemáticas, al ver el espacio euclidiano como un espacio vectorial , su distancia se asocia con una norma llamada norma euclidiana , definida como la distancia de cada vector desde el origen . Una de las propiedades importantes de esta norma, en relación con otras normas, es que permanece inalterada bajo rotaciones arbitrarias del espacio alrededor del origen. ^[23] Por el teorema de Dvoretzky , cada espacio vectorial normado de dimensión finita tiene un subespacio de alta dimensión en el que la norma es aproximadamente euclidiana; la norma euclidiana es la única norma con esta propiedad. ^[24] Puede extenderse a espacios vectoriales de dimensión infinita como la norma L 2 o la distancia L ² . ^[25] La distancia euclidiana da al espacio euclidiano la estructura de un espacio topológico , la topología euclidiana , con las bolas abiertas (subconjuntos de puntos a menos de una distancia dada de un punto dado) como sus vecindades . ^[26]

Comparación de las distancias de Chebyshev, euclidiana y de taxi para la hipotenusa de un triángulo 3-4-5 en un tablero de ajedrez

Otras distancias comunes en espacios de coordenadas reales y espacios funcionales : ^[27]

• Distancia de Chebyshev ( distancia L ^∞ ), que mide la distancia como el máximo de las distancias en cada coordenada.
• Distancia en taxi ⁽ distancia L1 ), también llamada distancia de Manhattan, que mide la distancia como la suma de las distancias en cada coordenada.
• Distancia de Minkowski ( distancia L ^p ), una generalización que unifica la distancia euclidiana, la distancia del taxi y la distancia de Chebyshev.

Para los puntos de superficies tridimensionales, la distancia euclidiana debe distinguirse de la distancia geodésica , la longitud de la curva más corta que pertenece a la superficie. En particular, para medir distancias de círculo máximo en la Tierra u otras superficies esféricas o casi esféricas, las distancias que se han utilizado incluyen la distancia de Haversine, que proporciona distancias de círculo máximo entre dos puntos de una esfera a partir de sus longitudes y latitudes, y las fórmulas de Vincenty, también conocidas como "distancia de Vincent", para la distancia en un esferoide. ^[28]

Historia

La distancia euclidiana es la distancia en el espacio euclidiano . Ambos conceptos reciben su nombre del matemático griego Euclides , cuyos Elementos se convirtieron en un libro de texto estándar de geometría durante muchos siglos. ^[29] Los conceptos de longitud y distancia están muy extendidos en todas las culturas, se pueden fechar en los primeros documentos burocráticos "protoliterarios" supervivientes de Sumeria en el cuarto milenio a. C. (mucho antes de Euclides), ^[30] y se ha planteado la hipótesis de que se desarrollaron en los niños antes que los conceptos relacionados de velocidad y tiempo. ^[31] Pero la noción de distancia, como un número definido a partir de dos puntos, en realidad no aparece en los Elementos de Euclides . En cambio, Euclides aborda este concepto de manera implícita, a través de la congruencia de segmentos de línea, a través de la comparación de longitudes de segmentos de línea y a través del concepto de proporcionalidad . ^[32]

El teorema de Pitágoras también es antiguo, pero solo pudo tomar su papel central en la medición de distancias después de la invención de las coordenadas cartesianas por René Descartes en 1637. La fórmula de la distancia en sí fue publicada por primera vez en 1731 por Alexis Clairaut . ^[33] Debido a esta fórmula, la distancia euclidiana también se llama a veces distancia pitagórica. ^[34] Aunque las mediciones precisas de largas distancias en la superficie de la Tierra, que no son euclidianas, habían sido nuevamente estudiadas en muchas culturas desde la antigüedad (ver historia de la geodesia ), la idea de que la distancia euclidiana podría no ser la única forma de medir distancias entre puntos en espacios matemáticos llegó incluso más tarde, con la formulación del siglo XIX de la geometría no euclidiana . ^[35] La definición de la norma euclidiana y la distancia euclidiana para geometrías de más de tres dimensiones también apareció por primera vez en el siglo XIX, en la obra de Augustin-Louis Cauchy . ^[36]

Referencias

1. Smith, Karl (2013), Precálculo: un enfoque funcional para la representación gráfica y la resolución de problemas, Jones & Bartlett Publishers, pág. 8, ISBN 978-0-7637-5177-7
2. Cohen, David (2004), Precálculo: un enfoque orientado a problemas (6ª ed.), Cengage Learning, p. 698, ISBN 978-0-534-40212-9
3. Aufmann, Richard N.; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D. (2007), Trigonometría universitaria (6.ª ed.), Cengage Learning, pág. 17, ISBN 978-1-111-80864-8
4. Andreescu, Titu; Andrica, Dorin (2014), "3.1.1 La distancia entre dos puntos", Números complejos de la A a la Z (2.ª ed.), Birkhäuser, págs. 57-58, ISBN 978-0-8176-8415-0
5. Tabak, John (2014), Geometría: el lenguaje del espacio y la forma, Facts on File math library, Infobase Publishing, pág. 150, ISBN 978-0-8160-6876-0
6. Ó Searcóid, Mícheál (2006), "2.7 Distancias de conjuntos a conjuntos", Espacios métricos, Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer, págs. 29-30, ISBN 978-1-84628-627-8
7. Ballantine, JP; Jerbert, AR (abril de 1952), "Distancia desde una línea o plano hasta un punto", Notas para el aula, American Mathematical Monthly , 59 (4): 242–243, doi :10.2307/2306514, JSTOR  2306514
8. Bell, Robert JT (1914), "49. La distancia más corta entre dos líneas", Tratado elemental sobre geometría de coordenadas en tres dimensiones (2.ª ed.), Macmillan, págs. 57-61
9. Maekawa, Takashi (marzo de 1999), "Una descripción general de las curvas y superficies desplazadas", Computer-Aided Design , 31 (3): 165–173, doi :10.1016/s0010-4485(99)00013-5
10. Ivanov, Oleg A. (2013), ¿Tan fácil como π?: Una introducción a las matemáticas superiores, Springer, pág. 140, ISBN 978-1-4612-0553-1
11. Strichartz, Robert S. (2000), El camino del análisis, Jones & Bartlett Learning, pág. 357, ISBN 978-0-7637-1497-0
12. Adam, John A. (2017), "Capítulo 2. Introducción a la "física" de los rayos", Rayos, ondas y dispersión: temas de física matemática clásica , Princeton Series in Applied Mathematics, Princeton University Press, págs. 26-27, doi :10.1515/9781400885404-004, ISBN 978-1-4008-8540-4
13. Liberti, Leo; Lavor, Carlile (2017), Geometría de distancia euclidiana: una introducción, Springer Undergraduate Texts in Mathematics and Technology, Springer, pág. xi, ISBN 978-3-319-60792-4
14. Beckman, FS; Quarles, DA Jr. (1953), "Sobre isometrías de espacios euclidianos", Actas de la American Mathematical Society , 4 (5): 810–815, doi : 10.2307/2032415 , JSTOR  2032415, MR  0058193
15. Spencer, Neil H. (2013), "5.4.5 Distancias euclidianas al cuadrado", Fundamentos del análisis de datos multivariados , CRC Press, pág. 95, ISBN 978-1-4665-8479-2
16. Yao, Andrew Chi Chih (1982), "Sobre la construcción de árboles de expansión mínima en espacios de dimensión k y problemas relacionados", SIAM Journal on Computing , 11 (4): 721–736, doi :10.1137/0211059, MR  0677663
17. Randolph, Karen A. ; Myers, Laura L. (2013), Estadísticas básicas en análisis multivariante, Guía de bolsillo para métodos de investigación en trabajo social, Oxford University Press, pág. 116, ISBN 978-0-19-976404-4
18. Csiszár, I. (1975), " Geometría de divergencia I de distribuciones de probabilidad y problemas de minimización", Annals of Probability , 3 (1): 146–158, doi : 10.1214/aop/1176996454 , JSTOR  2959270, MR  0365798
19. Moler, Cleve y Donald Morrison (1983), "Reemplazo de raíces cuadradas por sumas pitagóricas" (PDF) , IBM Journal of Research and Development , 27 (6): 577–581, CiteSeerX 10.1.1.90.5651 , doi :10.1147/rd.276.0577 
20. Mielke, Paul W.; Berry, Kenneth J. (2000), "Métodos de permutación basados ​​en la distancia euclidiana en la ciencia atmosférica", en Brown, Timothy J.; Mielke, Paul W. Jr. (eds.), Minería estadística y visualización de datos en ciencias atmosféricas , Springer, págs. 7-27, doi :10.1007/978-1-4757-6581-6_2
21. Kaplan, Wilfred (2011), Máximos y mínimos con aplicaciones: optimización práctica y dualidad, Wiley Series in Discrete Mathematics and Optimization, vol. 51, John Wiley & Sons, pág. 61, ISBN 978-1-118-03104-9
22. Alfakih, Abdo Y. (2018), Matrices de distancia euclidianas y sus aplicaciones en la teoría de la rigidez, Springer, pág. 51, ISBN 978-3-319-97846-8
23. Kopeikin, Sergei; Efroimsky, Michael; Kaplan, George (2011), Mecánica celeste relativista del sistema solar, John Wiley & Sons, pág. 106, ISBN 978-3-527-63457-6
24. Matoušek, Jiří (2002), Conferencias sobre geometría discreta, textos de posgrado en matemáticas , Springer, p. 349, ISBN 978-0-387-95373-1
25. Ciarlet, Philippe G. (2013), Análisis funcional lineal y no lineal con aplicaciones, Society for Industrial and Applied Mathematics, pág. 173, ISBN 978-1-61197-258-0
26. Richmond, Tom (2020), Topología general: introducción, De Gruyter, p. 32, ISBN 978-3-11-068657-9
27. Klamroth, Kathrin (2002), "Sección 1.1: Normas y métricas", Problemas de ubicación de instalaciones individuales con barreras , Springer Series in Operations Research, Springer, págs. 4-6, doi :10.1007/0-387-22707-5_1
28. Panigrahi, Narayan (2014), "12.2.4 Fórmula de Haversine y 12.2.5 Fórmula de Vincenty", Computación en sistemas de información geográfica, CRC Press, págs. 212-214, ISBN 978-1-4822-2314-9
29. Zhang, Jin (2007), Visualización para la recuperación de información , Springer, ISBN 978-3-540-75148-9
30. Høyrup, Jens (2018), «Matemáticas mesopotámicas» (PDF) , en Jones, Alexander; Taub, Liba (eds.), The Cambridge History of Science, Volume 1: Ancient Science , Cambridge University Press, pp. 58–72, archivado desde el original (PDF) el 17 de mayo de 2021 , consultado el 21 de octubre de 2020
31. Acredolo, Curt; Schmid, Jeannine (1981), "La comprensión de las velocidades relativas, distancias y duraciones del movimiento", Psicología del desarrollo , 17 (4): 490–493, doi :10.1037/0012-1649.17.4.490
32. Henderson, David W. (2002), "Revisión de Geometría: Euclides y más allá por Robin Hartshorne", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 39 : 563–571, ​​doi : 10.1090/S0273-0979-02-00949-7
33. Maor, Eli (2019), El teorema de Pitágoras: una historia de 4000 años, Princeton University Press, págs. 133-134, ISBN 978-0-691-19688-6
34. Rankin, William C.; Markley, Robert P.; Evans, Selby H. (marzo de 1970), "Distancia pitagórica y la similitud juzgada de estímulos esquemáticos", Perception & Psychophysics , 7 (2): 103–107, doi : 10.3758/bf03210143
35. Milnor, John (1982), "Geometría hiperbólica: los primeros 150 años" (PDF) , Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 6 (1): 9–24, doi : 10.1090/S0273-0979-1982-14958-8 , MR  0634431
36. Ratcliffe, John G. (2019), Fundamentos de variedades hiperbólicas, Textos de posgrado en matemáticas , vol. 149 (3.ª ed.), Springer, pág. 32, ISBN 978-3-030-31597-9