determinación de órbita

Diagrama que muestra cómo se manejaron los datos de determinación de órbitas en una misión de la NASA de 1962. (Sólo de interés histórico.)

La determinación de órbitas es la estimación de las órbitas de objetos como lunas, planetas y naves espaciales. Una aplicación importante es permitir el seguimiento de asteroides recién observados y verificar que no hayan sido descubiertos previamente. Los métodos básicos fueron descubiertos en el siglo XVII y han sido perfeccionados continuamente.

Las observaciones son los datos sin procesar que se introducen en los algoritmos de determinación de la órbita. Las observaciones realizadas por un observador terrestre generalmente consisten en valores de acimut , elevación , alcance y/o tasa de alcance con etiquetas de tiempo . Se utilizan telescopios o aparatos de radar , porque las observaciones a simple vista no son suficientes para determinar la órbita con precisión. Con más o mejores observaciones, la precisión del proceso de determinación de la órbita también mejora y se producen menos " falsas alarmas ".

Una vez determinadas las órbitas, se pueden utilizar técnicas de propagación matemática para predecir las posiciones futuras de los objetos en órbita. A medida que pasa el tiempo, la trayectoria real de un objeto en órbita tiende a divergir de la trayectoria prevista (especialmente si el objeto está sujeto a perturbaciones difíciles de predecir, como la resistencia atmosférica ), y una nueva determinación de la órbita utilizando nuevas observaciones sirve para volver a determinar la órbita. -calibrar el conocimiento de la órbita.

El seguimiento por satélite es otra aplicación importante. Para Estados Unidos y los países socios, en la medida que lo permitan los recursos ópticos y de radar , el Centro Conjunto de Operaciones Espaciales recopila observaciones de todos los objetos en la órbita terrestre. Las observaciones se utilizan en nuevos cálculos de determinación de órbitas que mantienen la precisión general del catálogo de satélites . Los cálculos para evitar colisiones pueden utilizar estos datos para calcular la probabilidad de que un objeto en órbita colisione con otro. El operador de un satélite puede decidir ajustar la órbita si el riesgo de colisión en la órbita actual es inaceptable. (No es posible ajustar la órbita para eventos de muy baja probabilidad; pronto se consumiría el propulsor que lleva el satélite para el mantenimiento de la posición orbital ). Otros países, incluidos Rusia y China , tienen recursos de seguimiento similares.

Historia

La determinación de la órbita tiene una larga historia, comenzando con el descubrimiento prehistórico de los planetas y los intentos posteriores de predecir sus movimientos. Johannes Kepler utilizó las cuidadosas observaciones de Marte realizadas por Tycho Brahe para deducir la forma elíptica de su órbita y su orientación en el espacio, derivando en el proceso sus tres leyes del movimiento planetario .

Los métodos matemáticos para la determinación de la órbita se originaron con la publicación en 1687 de la primera edición de los Principia de Newton , que proporcionaba un método para encontrar la órbita de un cuerpo que seguía una trayectoria parabólica a partir de tres observaciones. ^[1] Este fue utilizado por Edmund Halley para establecer las órbitas de varios cometas , incluido el que lleva su nombre. El método de aproximación sucesiva de Newton fue formalizado en un método analítico por Euler en 1744, cuyo trabajo fue a su vez generalizado a órbitas elípticas e hiperbólicas por Lambert en 1761-1777.

Otro hito en la determinación de la órbita fue la ayuda de Carl Friedrich Gauss en la "recuperación" del planeta enano Ceres en 1801. El método de Gauss pudo utilizar sólo tres observaciones (en forma de coordenadas celestes ) para encontrar los seis elementos orbitales que describen completamente una órbita. La teoría de la determinación de la órbita se ha desarrollado posteriormente hasta el punto de que hoy se aplica en receptores GPS , así como en el seguimiento y catalogación de planetas menores recientemente observados .

Datos observacionales

Para determinar la órbita desconocida de un cuerpo, se requieren algunas observaciones de su movimiento en el tiempo. En la astronomía moderna temprana, los únicos datos de observación disponibles para los objetos celestes eran la ascensión recta y la declinación , obtenidas al observar el cuerpo mientras se movía en su arco de observación , en relación con las estrellas fijas , utilizando un telescopio óptico . Esto equivale a conocer la dirección relativa del objeto en el espacio, medida por el observador, pero sin conocer la distancia del objeto, es decir, la medición resultante contiene sólo información de dirección, como un vector unitario .

Con el radar , las mediciones de distancia relativa (medindo el tiempo del eco del radar) y las mediciones de velocidad relativa (medindo el efecto Doppler del eco del radar) son posibles utilizando radiotelescopios . Sin embargo, la intensidad de la señal devuelta por el radar disminuye rápidamente, como la cuarta potencia inversa del alcance hasta el objeto. Esto generalmente limita las observaciones de radar a objetos relativamente cercanos a la Tierra, como satélites artificiales y objetos cercanos a la Tierra . Las aperturas más grandes permiten el seguimiento de transpondedores de naves espaciales interplanetarias en todo el sistema solar y la astronomía por radar de los cuerpos naturales.

Varias agencias espaciales y proveedores comerciales operan redes de seguimiento para proporcionar estas observaciones. Consulte Categoría: Red del espacio profundo para obtener una lista parcial. También se realiza periódicamente el seguimiento de satélites desde el espacio. Ver Lista de radiotelescopios # Red espacial y espacial .

Métodos

La determinación de la órbita debe tener en cuenta que el movimiento celeste aparente del cuerpo está influenciado por el propio movimiento del observador. Por ejemplo, un observador en la Tierra que sigue un asteroide debe tener en cuenta el movimiento de la Tierra alrededor del Sol , la rotación de la Tierra y la latitud y longitud locales del observador, ya que afectan la posición aparente del cuerpo.

Una observación clave es que (en una aproximación cercana) todos los objetos se mueven en órbitas que son secciones cónicas , con el cuerpo atractivo (como el Sol o la Tierra) en el foco principal , y que la órbita se encuentra en un plano fijo. Los vectores dibujados desde el cuerpo que se atrae hacia el cuerpo en diferentes momentos del tiempo estarán todos en el plano orbital .

Si la posición y la velocidad relativas al observador están disponibles (como es el caso de las observaciones por radar), estos datos de observación pueden ajustarse mediante la posición y la velocidad conocidas del observador en relación con el cuerpo que atrae en el momento de la observación. Esto produce la posición y la velocidad con respecto al cuerpo que se atrae. Si se dispone de dos de estas observaciones, junto con la diferencia horaria entre ellas, la órbita se puede determinar utilizando el método de Lambert, inventado en el siglo XVIII. Consulte el problema de Lambert para obtener más detalles.

Incluso si no se dispone de información sobre la distancia, aún se puede determinar una órbita si se han realizado tres o más observaciones de la ascensión recta y la declinación del cuerpo. El método de Gauss , que se hizo famoso por su "recuperación" en 1801 del primer planeta menor perdido , Ceres , ha sido pulido posteriormente.

Un uso es la determinación de masas de asteroides mediante el método dinámico . En este procedimiento, el método de Gauss se utiliza dos veces, antes y después de una interacción estrecha entre dos asteroides. Una vez determinadas ambas órbitas, se puede calcular la masa de uno o ambos asteroides. ^{[ cita necesaria ]}

Determinación de órbita a partir de un vector de estado.

La tarea básica de determinación de la órbita es determinar los elementos orbitales clásicos o elementos keplerianos , a partir de los vectores de estado orbital [ ], de un cuerpo en órbita con respecto al sistema de referencia de su cuerpo central. Los cuerpos centrales son la fuente de las fuerzas gravitacionales, como el Sol, la Tierra, la Luna y otros planetas. Los cuerpos en órbita, por otro lado, incluyen planetas alrededor del Sol, satélites artificiales alrededor de la Tierra y naves espaciales alrededor de planetas. Las leyes del movimiento de Newton explicarán la trayectoria de un cuerpo en órbita, conocida como órbita kepleriana . ${\displaystyle a,e,i,\Omega ,\omega ,\nu }$ ${\displaystyle {\vec {r}},{\vec {v}}}$

Los pasos de la determinación de la órbita a partir de un vector de estado se resumen a continuación:

• Calcule el momento angular específico del cuerpo en órbita a partir de su vector de estado: ${\displaystyle {\vec {h}}}$
  $${\displaystyle {\vec {h}}={\vec {r}}\times {\vec {v}}=\left|{\vec {h}}\right|{\vec {k}}=h{\vec {k}},}$$
  donde es el vector unitario del eje z del plano orbital. El momento angular específico es un vector constante para un cuerpo en órbita, con su dirección perpendicular al plano orbital del cuerpo en órbita. ${\displaystyle {\vec {k}}}$
• Calcule el vector del nodo ascendente a partir de , representando el vector unitario del eje Z del plano de referencia, que es perpendicular al plano de referencia del cuerpo central: ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle {\vec {h}}}$ ${\displaystyle {\vec {K}}}$
  $${\displaystyle {\vec {n}}={\vec {K}}\times {\vec {h}}.}$$
  El vector del nodo ascendente es un vector que apunta desde el cuerpo central al nodo ascendente del plano orbital del cuerpo en órbita. Dado que la línea del nodo ascendente es la línea de intersección entre el plano orbital y el plano de referencia, es perpendicular tanto a los vectores normales del plano de referencia ( ) como al plano orbital ( o ). Por lo tanto, el vector del nodo ascendente puede definirse mediante el producto cruzado de estos dos vectores. ${\displaystyle {\vec {K}}}$ ${\displaystyle {\vec {k}}}$ ${\displaystyle {\vec {h}}}$
• Calcule el vector de excentricidad de la órbita. El vector de excentricidad tiene la magnitud de la excentricidad , , de la órbita y apunta a la dirección del periapsis de la órbita. Esta dirección a menudo se define como el eje x del plano orbital y tiene un vector unitario . Según la ley del movimiento, se puede expresar como: ${\displaystyle {\vec {e}}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {\vec {i}}}$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {e}}&={{\vec {v}}\times {\vec {h}} \over {\mu }}-{{\vec {r}} \over {\left|{\vec {r}}\right|}}=e{\vec {i}}\\&=\left({{\left|{\vec {v}}\right|}^{2} \over {\mu }}-{1 \over {\left|{\vec {r}}\right|}}\right){\vec {r}}-{{\vec {r}}\cdot {\vec {v}} \over {\mu }}{\vec {v}}\\&={\frac {1}{\mu }}\left[\left({{\left|{\vec {v}}\right|}^{2}}-{\mu \over {\left|{\vec {r}}\right|}}\right){\vec {r}}-{({\vec {r}}\cdot {\vec {v}})}{\vec {v}}\right]\end{aligned}}}$$
  $${\displaystyle e=\left|{\vec {e}}\right|}$$
  donde es el parámetro gravitacional estándar para el cuerpo central de masa y es la constante gravitacional universal . ${\displaystyle \mu =GM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$
• Calcule el semilatus recto de la órbita y su semieje mayor (si no es una órbita parabólica , donde y no está definido o se define como infinito): ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle a}$
  $${\displaystyle p={\frac {h^{2}}{\mu }}=a(1-e^{2})}$$
  $${\displaystyle a={\frac {p}{1-e^{2}}},}$$
  (si ). ${\displaystyle e\neq 1}$
• Calcule la inclinación del plano orbital con respecto al plano de referencia: ${\displaystyle i}$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(i)&={\frac {{\vec {K}}\cdot {\vec {h}}}{h}}={\frac {h_{K}}{h}}\\\Rightarrow i&=\arccos \left({\frac {{\vec {K}}\cdot {\vec {h}}}{h}}\right),&i\in [0,180^{\circ }],\end{aligned}}}$$
  ¿Dónde está la coordenada Z de cuando se proyecta al marco de referencia? ${\displaystyle h_{K}}$ ${\displaystyle {\vec {h}}}$
• Calcule la longitud del nodo ascendente , que es el ángulo entre la línea ascendente y el eje X del sistema de referencia: ${\displaystyle \Omega }$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\Omega )&={\frac {{\vec {I}}\cdot {\vec {n}}}{n}}={\frac {n_{I}}{n}}=\cos(360-\Omega )\\\Rightarrow \Omega &=\arccos \left({\frac {{\vec {I}}\cdot {\vec {n}}}{n}}\right)=\Omega _{0},{\text{ or }}\\\Rightarrow \Omega &=360^{\circ }-\Omega _{0},{\text{ if }}n_{J}<0,\\\end{aligned}}}$$
  donde y son las coordenadas X e Y, respectivamente, de , en el sistema de referencia. ${\displaystyle n_{I}}$ ${\displaystyle n_{J}}$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$
  Observe que , pero está definido solo en [0,180] grados. Entonces es ambiguo en que hay dos ángulos, y en [0,360], que tienen el mismo valor. De hecho, podría devolver el ángulo o . Por lo tanto, tenemos que juzgar basándonos en el signo de la coordenada Y del vector en el plano donde se mide el ángulo. En este caso, se puede utilizar para tal juicio. ${\displaystyle \cos(A)=\cos(-A)=\cos(360-A)=C}$ ${\displaystyle \arccos(C)}$ ${\displaystyle \arccos(C)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 360-A}$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 360-A}$ ${\displaystyle n_{J}}$
• Calcula el argumento del periapsis , que es el ángulo entre el periapsis y la línea ascendente: ${\displaystyle \omega }$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\omega )&={\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {e}}}{ne}}=\cos(360-\omega )\\\Rightarrow \omega &=\arccos \left({\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {e}}}{ne}}\right)=\omega _{0},{\text{ or }}\\\Rightarrow \omega &=360^{\circ }-\omega _{0},{\text{ if }}e_{K}<0,\\\end{aligned}}}$$
  ¿Dónde está la coordenada Z en el sistema de referencia? ${\displaystyle e_{K}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}}$
• Calcule la verdadera anomalía en la época, que es el ángulo entre el vector de posición y la periapsis en el momento particular ('época') de observación: ${\displaystyle \nu }$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\nu )&={\frac {{\vec {e}}\cdot {\vec {r}}}{er}}=\cos(360-\nu )\\\Rightarrow \nu &=\arccos \left({\frac {{\vec {e}}\cdot {\vec {r}}}{er}}\right)=\nu _{0},{\text{ or }}\\\Rightarrow \nu &=360^{\circ }-\nu _{0},{\text{ if }}{\vec {r}}\cdot {\vec {v}}<0.\\\end{aligned}}}$$
  El signo de se puede utilizar para comprobar el cuadrante de y corregir el ángulo, porque tiene el mismo signo que el ángulo de trayectoria de vuelo . Y el signo del ángulo de la trayectoria de vuelo siempre es positivo cuando y negativo cuando . ^[1] Ambos están relacionados por y . ${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {v}}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \arccos }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \nu \in [0,180^{\circ }]}$ ${\displaystyle \nu \in [180^{\circ },360^{\circ }]}$ ${\displaystyle h=rv\sin(90-\phi )}$ ${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {v}}=rv\cos(90-\phi )=h\tan(\phi )}$
• Opcionalmente, podemos calcular el argumento de latitud en la época, que es el ángulo entre el vector de posición y la línea ascendente en un momento particular: ${\displaystyle u=\omega +\nu }$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(u)&={\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {r}}}{nr}}=\cos(360-u)\\\Rightarrow u&=\arccos \left({\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {r}}}{nr}}\right)=u_{0},{\text{ or }}\\\Rightarrow u&=360^{\circ }-u_{0},{\text{ if }}r_{K}<0,\\\end{aligned}}}$$
  ¿Dónde está la coordenada Z en el sistema de referencia? ${\displaystyle r_{K}}$ ${\displaystyle {\vec {r}}}$

Referencias

1. Bate RR, Mueller DD, White JE. Fundamentos de la astrodinámica. Corporación de mensajería; 1971. Capítulo 2 p 51 y siguientes.

Otras lecturas

• Curtis, H.; Mecánica Orbital para Estudiantes de Ingeniería , Capítulo 5; Elsevier (2005) ISBN  0-7506-6169-0 .
• Taff, L.; Mecánica Celeste , Capítulos 7, 8; Wiley-Interscience (1985) ISBN 0-471-89316-1 . 
• Bate, Müller, White; Fundamentos de Astrodinámica , Capítulos 2, 5; Dover (1971) ISBN 0-486-60061-0 . 
• Virgen, R.; Mecánica Orbital , Capítulo 3; Krieger (1997) ISBN 0-89464-010-0 . 
• Schutz, Tapley, Nacido; Determinación estadística de la órbita , Academic Press. ISBN 978-0126836301 
• Determinación de la órbita del satélite, Coastal Bend College, Texas