Los ángulos de Euler son tres ángulos introducidos por Leonhard Euler para describir la orientación de un cuerpo rígido con respecto a un sistema de coordenadas fijo . [1]
También pueden representar la orientación de un marco de referencia móvil en física o la orientación de una base general en álgebra lineal tridimensional .
Los ángulos de Euler clásicos suelen tomar el ángulo de inclinación de tal forma que cero grados representan la orientación vertical. Más tarde, Peter Guthrie Tait y George H. Bryan introdujeron formas alternativas para su uso en aeronáutica e ingeniería, en las que cero grados representan la posición horizontal.
Los ángulos de Euler pueden definirse por geometría elemental o por composición de rotaciones (es decir, rotaciones encadenadas ). La definición geométrica demuestra que tres rotaciones elementales compuestas (rotaciones sobre los ejes de un sistema de coordenadas ) son siempre suficientes para alcanzar cualquier marco de destino.
Las tres rotaciones elementales pueden ser extrínsecas (rotaciones sobre los ejes xyz del sistema de coordenadas original, que se supone permanece inmóvil) o intrínsecas (rotaciones sobre los ejes del sistema de coordenadas rotatorio XYZ , solidario con el cuerpo en movimiento, que cambia su orientación con respecto al marco extrínseco después de cada rotación elemental).
En las secciones siguientes, una designación de eje con un superíndice de marca prima (por ejemplo, z ″) denota el nuevo eje después de una rotación elemental.
Los ángulos de Euler se suelen denotar como α , β , γ o ψ , θ , φ . Diferentes autores pueden utilizar diferentes conjuntos de ejes de rotación para definir los ángulos de Euler, o diferentes nombres para los mismos ángulos. Por lo tanto, cualquier discusión que utilice ángulos de Euler siempre debe ir precedida de su definición.
Sin considerar la posibilidad de utilizar dos convenciones diferentes para la definición de los ejes de rotación (intrínsecos o extrínsecos), existen doce posibles secuencias de ejes de rotación, divididas en dos grupos:
Los ángulos de Tait-Bryan también se denominan ángulos de Cardan ; ángulos náuticos ; de rumbo , elevación e inclinación ; o de guiñada, cabeceo y balanceo . A veces, ambos tipos de secuencias se denominan "ángulos de Euler". En ese caso, las secuencias del primer grupo se denominan ángulos de Euler propios o clásicos .
Los ángulos de Euler son tres ángulos introducidos por el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) para describir la orientación de un cuerpo rígido con respecto a un sistema de coordenadas fijo . [1]
Los ejes del marco original se denotan como x , y , z y los ejes del marco rotado como X , Y , Z . La definición geométrica (a veces denominada estática) comienza definiendo la línea de nodos (N) como la intersección de los planos xy y XY (también se puede definir como la perpendicular común a los ejes z y Z y luego escribirse como el producto vectorial N = z × Z ). Utilizándola, los tres ángulos de Euler se pueden definir de la siguiente manera:
Los ángulos de Euler entre dos marcos de referencia se definen solo si ambos marcos tienen la misma lateralidad .
Las rotaciones intrínsecas son rotaciones elementales que ocurren sobre los ejes de un sistema de coordenadas XYZ unido a un cuerpo en movimiento. Por lo tanto, cambian su orientación después de cada rotación elemental. El sistema XYZ gira, mientras que xyz es fijo. Comenzando con XYZ superpuesto a xyz , se puede utilizar una composición de tres rotaciones intrínsecas para alcanzar cualquier orientación objetivo para XYZ .
Los ángulos de Euler se pueden definir mediante rotaciones intrínsecas. Se puede imaginar que el sistema rotado XYZ está inicialmente alineado con xyz , antes de sufrir las tres rotaciones elementales representadas por los ángulos de Euler. Sus orientaciones sucesivas se pueden denotar de la siguiente manera:
Para la secuencia de rotaciones mencionada anteriormente, la línea de nodos N puede definirse simplemente como la orientación de X después de la primera rotación elemental. Por lo tanto, N puede denotarse simplemente como x ′. Además, dado que la tercera rotación elemental ocurre alrededor de Z , no cambia la orientación de Z . Por lo tanto, Z coincide con z ″. Esto nos permite simplificar la definición de los ángulos de Euler de la siguiente manera:
Las rotaciones extrínsecas son rotaciones elementales que ocurren alrededor de los ejes del sistema de coordenadas fijo xyz . El sistema XYZ rota, mientras que xyz es fijo. Comenzando con XYZ superponiéndose a xyz , se puede utilizar una composición de tres rotaciones extrínsecas para alcanzar cualquier orientación objetivo para XYZ . Los ángulos de Euler o Tait–Bryan ( α , β , γ ) son las amplitudes de estas rotaciones elementales. Por ejemplo, la orientación objetivo se puede alcanzar de la siguiente manera (observe el orden inverso de la aplicación del ángulo de Euler):
En suma, las tres rotaciones elementales ocurren alrededor de z , x y z . De hecho, esta secuencia a menudo se denota z - x - z (o 3-1-3). Los conjuntos de ejes de rotación asociados con ángulos de Euler propios y ángulos de Tait-Bryan se nombran comúnmente utilizando esta notación (ver arriba para más detalles).
Si cada paso de la rotación actúa sobre el sistema de coordenadas rotatorio XYZ, la rotación es intrínseca ( ZX'-Z'' ). La rotación intrínseca también se puede denotar 3-1-3.
Los ángulos se definen comúnmente según la regla de la mano derecha . Es decir, tienen valores positivos cuando representan una rotación que parece en el sentido de las agujas del reloj cuando se mira en la dirección positiva del eje, y valores negativos cuando la rotación parece en el sentido contrario a las agujas del reloj. La convención opuesta (regla de la mano izquierda) se adopta con menos frecuencia.
Acerca de los rangos (usando notación de intervalo ):
Los ángulos α , β y γ están determinados de forma única excepto en el caso singular de que los planos xy y XY sean idénticos, es decir, cuando el eje z y el eje Z tienen direcciones iguales u opuestas. De hecho, si el eje z y el eje Z son iguales, β = 0 y solo ( α + γ ) está definido de forma única (no los valores individuales) y, de forma similar, si el eje z y el eje Z son opuestos, β = π y solo ( α − γ ) está definido de forma única (no los valores individuales). Estas ambigüedades se conocen como bloqueo de cardán en las aplicaciones.
Existen seis posibilidades de elección de los ejes de rotación para ángulos de Euler propios. En todas ellas, el primer y tercer eje de rotación son los mismos. Las seis secuencias posibles son:
La precesión , la nutación y la rotación intrínseca (espín) se definen como los movimientos que se obtienen al cambiar uno de los ángulos de Euler mientras se dejan los otros dos constantes. Estos movimientos no se expresan en términos del marco externo, ni en términos del marco del cuerpo rotado que se mueve junto con él, sino en una mezcla. Constituyen un sistema de ejes de rotación mixtos , donde el primer ángulo mueve la línea de nodos alrededor del eje externo z , el segundo gira alrededor de la línea de nodos N y el tercero es una rotación intrínseca alrededor de Z , un eje fijo en el cuerpo que se mueve.
La definición estática implica que:
Si β es cero, no hay rotación alrededor de N. En consecuencia, Z coincide con z , α y γ representan rotaciones alrededor del mismo eje ( z ), y la orientación final se puede obtener con una única rotación alrededor de z , mediante un ángulo igual a α + γ .
Como ejemplo, pensemos en un trompo . El trompo gira sobre su propio eje de simetría, lo que corresponde a su rotación intrínseca. También gira sobre su eje pivote, con su centro de masa orbitando alrededor del eje pivote; esta rotación es una precesión. Por último, el trompo puede tambalearse hacia arriba y hacia abajo; el ángulo de inclinación es el ángulo de nutación. El mismo ejemplo se puede ver con los movimientos de la Tierra.
Aunque los tres movimientos pueden representarse mediante un operador de rotación con coeficientes constantes en algún sistema de referencia, no pueden representarse mediante todos estos operadores al mismo tiempo. Dado un sistema de referencia, como máximo uno de ellos estará libre de coeficientes. Sólo la precesión puede expresarse en general como una matriz en la base del espacio sin dependencias de los otros ángulos.
Estos movimientos también se comportan como un conjunto de cardán. Dado un conjunto de cuadros, capaces de moverse cada uno respecto del anterior según un único ángulo, como un cardán, existirá un cuadro fijo externo, un cuadro final y dos cuadros intermedios, que se denominan "cuadros intermedios". Los dos del medio funcionan como dos anillos de cardán que permiten que el último cuadro alcance cualquier orientación en el espacio.
El segundo tipo de formalismo se denomina ángulos de Tait-Bryan , en honor al físico matemático escocés Peter Guthrie Tait (1831-1901) y al matemático inglés George H. Bryan (1864-1928). Es la convención que se utiliza normalmente para aplicaciones aeroespaciales, de modo que la elevación de cero grados representa la actitud horizontal. Los ángulos de Tait-Bryan representan la orientación de la aeronave con respecto al marco del mundo. Cuando se trata de otros vehículos, son posibles diferentes convenciones de ejes .
Las definiciones y notaciones utilizadas para los ángulos de Tait-Bryan son similares a las descritas anteriormente para los ángulos de Euler propios (definición geométrica, definición de rotación intrínseca, definición de rotación extrínseca). La única diferencia es que los ángulos de Tait-Bryan representan rotaciones sobre tres ejes distintos (por ejemplo, x - y - z o x - y ′ - z ″), mientras que los ángulos de Euler propios utilizan el mismo eje para la primera y la tercera rotación elemental (por ejemplo, z - x - z o z - x ′ - z ″).
Esto implica una definición diferente para la línea de nodos en la construcción geométrica. En el caso de los ángulos de Euler propiamente dichos, se definió como la intersección entre dos planos cartesianos homólogos (paralelos cuando los ángulos de Euler son cero; p. ej., xy y XY ). En el caso de los ángulos de Tait-Bryan, se define como la intersección de dos planos no homólogos (perpendiculares cuando los ángulos de Euler son cero; p. ej., xy e YZ ).
Las tres rotaciones elementales pueden ocurrir alrededor de los ejes del sistema de coordenadas original, que permanece inmóvil (rotaciones extrínsecas), o alrededor de los ejes del sistema de coordenadas giratorio, que cambia su orientación después de cada rotación elemental (rotaciones intrínsecas).
Existen seis posibilidades para elegir los ejes de rotación de los ángulos de Tait-Bryan. Las seis secuencias posibles son:
La convención de Tait-Bryan se utiliza ampliamente en ingeniería con diferentes propósitos. En la práctica, existen varias convenciones de ejes para elegir los ejes móviles y fijos, y estas convenciones determinan los signos de los ángulos. Por lo tanto, los signos deben estudiarse en cada caso con cuidado.
El rango de los ángulos ψ y φ abarca 2 π radianes. Para θ el rango abarca π radianes.
Estos ángulos normalmente se toman como uno en el marco de referencia externo ( rumbo , rumbo ), uno en el marco de movimiento intrínseco ( inclinación ) y uno en un marco medio, representando una elevación o inclinación respecto del plano horizontal, que equivale a la línea de nodos para este propósito.
Para un avión, se pueden obtener con tres rotaciones alrededor de sus ejes principales si se realizan en el orden adecuado y partiendo de un marco coincidente con el marco de referencia.
Por lo tanto, en la industria aeroespacial, a veces se los llama guiñada, cabeceo y alabeo . Tenga en cuenta que esto no funcionará si las rotaciones se aplican en cualquier otro orden o si los ejes del avión comienzan en cualquier posición no equivalente al marco de referencia.
Los ángulos de Tait-Bryan, siguiendo la convención z - y ′ - x ″ (rotaciones intrínsecas), también se conocen como ángulos náuticos , porque se pueden usar para describir la orientación de un barco o una aeronave, o ángulos de Cardan , en honor al matemático y físico italiano Gerolamo Cardano , quien describió por primera vez en detalle la suspensión Cardan y la articulación Cardan .
Un problema común es encontrar los ángulos de Euler de un sistema dado. La forma más rápida de obtenerlos es escribir los tres vectores dados como columnas de una matriz y compararla con la expresión de la matriz teórica (ver la tabla de matrices más adelante). De esta manera se pueden calcular los tres ángulos de Euler. Sin embargo, se puede llegar al mismo resultado evitando el álgebra matricial y utilizando solo geometría elemental. Aquí presentamos los resultados para las dos convenciones más utilizadas: ZXZ para ángulos de Euler propios y ZYX para Tait–Bryan. Nótese que cualquier otra convención se puede obtener simplemente cambiando el nombre de los ejes.
Suponiendo un marco con vectores unitarios ( X , Y , Z ) dados por sus coordenadas como en el diagrama principal, se puede ver que:
Y, desde entonces
porque tenemos
Como es la doble proyección de un vector unitario,
Existe una construcción similar para , proyectándola primero sobre el plano definido por el eje z y la línea de nodos. Como el ángulo entre los planos es y , esto lleva a:
y finalmente, utilizando la función coseno inversa ,
Suponiendo un marco con vectores unitarios ( X , Y , Z ) dados por sus coordenadas como en este nuevo diagrama (observe que el ángulo theta es negativo), se puede ver que:
Como antes,
porque tenemos
de manera análoga al anterior:
Buscando expresiones similares a las anteriores:
Nótese que las funciones seno y coseno inversos producen dos valores posibles para el argumento. En esta descripción geométrica, solo una de las soluciones es válida. Cuando los ángulos de Euler se definen como una secuencia de rotaciones, todas las soluciones pueden ser válidas, pero solo habrá una dentro de los rangos de los ángulos. Esto se debe a que la secuencia de rotaciones para alcanzar el marco de destino no es única si los rangos no están definidos previamente. [2]
Para fines computacionales, puede ser útil representar los ángulos utilizando atan2 ( y , x ) . Por ejemplo, en el caso de los ángulos propios de Euler:
Los ángulos de Euler son una forma de representar las orientaciones. Existen otras, y es posible cambiar de una convención a otra. Para describir las orientaciones en un espacio euclidiano tridimensional , siempre se requieren tres parámetros . Se pueden dar de varias formas, siendo una de ellas los ángulos de Euler; consulte los gráficos de SO(3) para obtener más información.
Las representaciones de orientación más comunes son las matrices de rotación , el eje-ángulo y los cuaterniones , también conocidos como parámetros de Euler-Rodrigues , que proporcionan otro mecanismo para representar rotaciones 3D. Esto es equivalente a la descripción de grupo unitario especial.
Expresar rotaciones en 3D como cuaterniones unitarios en lugar de matrices tiene algunas ventajas:
De todos modos, el cálculo de la matriz de rotación es el primer paso para obtener las otras dos representaciones.
Cualquier orientación puede lograrse componiendo tres rotaciones elementales, a partir de una orientación estándar conocida. De manera equivalente, cualquier matriz de rotación R puede descomponerse como un producto de tres matrices de rotación elementales. Por ejemplo: es una matriz de rotación que puede usarse para representar una composición de rotaciones extrínsecas sobre los ejes z , y , x , (en ese orden), o una composición de rotaciones intrínsecas sobre los ejes x - y ′ - z ″ (en ese orden). Sin embargo, tanto la definición de las matrices de rotación elementales X , Y , Z , como su orden de multiplicación dependen de las elecciones que haga el usuario sobre la definición de las matrices de rotación y los ángulos de Euler (consulte, por ejemplo, Ambigüedades en la definición de matrices de rotación ). Desafortunadamente, los usuarios adoptan diferentes conjuntos de convenciones en diferentes contextos. La siguiente tabla se construyó de acuerdo con este conjunto de convenciones:
Para simplificar, la siguiente tabla de productos matriciales utiliza la siguiente nomenclatura:
Estos resultados tabulares están disponibles en numerosos libros de texto. [3] Para cada columna, la última fila constituye la convención más comúnmente utilizada.
Para cambiar las fórmulas de las rotaciones pasivas (o encontrar la rotación activa inversa), transponga las matrices (luego cada matriz transforma las coordenadas iniciales de un vector que permanece fijo en las coordenadas del mismo vector medido en el sistema de referencia rotado; mismo eje de rotación, mismos ángulos, pero ahora el sistema de coordenadas rota, en lugar del vector).
La siguiente tabla contiene fórmulas para los ángulos α , β y γ a partir de elementos de una matriz de rotación . [4]
Los ángulos de Euler forman un gráfico sobre SO(3) , el grupo ortogonal especial de rotaciones en el espacio 3D. El gráfico es uniforme, excepto por una singularidad de estilo de coordenadas polares a lo largo de β = 0. Consulte los gráficos sobre SO(3) para obtener un tratamiento más completo.
El espacio de rotaciones se denomina en general " Hiperesfera de rotaciones ", aunque este es un nombre inapropiado: el grupo Spin(3) es isométrico a la hiperesfera S 3 , pero el espacio de rotación SO(3) es isométrico al espacio proyectivo real RP 3 que es un espacio cociente de 2 a 1 de la hiperesfera. Esta ambigüedad de 2 a 1 es el origen matemático del espín en física .
Una descomposición similar en tres ángulos se aplica a SU(2) , el grupo unitario especial de rotaciones en el espacio 2D complejo, con la diferencia de que β varía de 0 a 2 π . Estos también se denominan ángulos de Euler.
La medida de Haar para SO(3) en ángulos de Euler está dada por la parametrización del ángulo de Hopf de SO(3), , [5] donde parametriza , el espacio de los ejes de rotación.
Por ejemplo, para generar orientaciones aleatorias uniformes, sea α y γ uniformes de 0 a 2 π , sea z uniforme de −1 a 1, y sea β = arccos( z ) .
Otras propiedades de los ángulos de Euler y de las rotaciones en general se pueden encontrar en el álgebra geométrica , una abstracción de nivel superior, en la que los cuaterniones son una subálgebra par. La herramienta principal en el álgebra geométrica es el rotor donde el ángulo de rotación , es el eje de rotación (vector unitario) y es el pseudoescalar (trivector en )
Es posible definir parámetros análogos a los ángulos de Euler en dimensiones mayores que tres. [6] [7] [ ¿ fuente poco confiable? ] En cuatro dimensiones y más, el concepto de "rotación sobre un eje" pierde significado y en su lugar se convierte en "rotación en un plano". El número de ángulos de Euler necesarios para representar el grupo SO( n ) es n ( n − 1)/2 , igual al número de planos que contienen dos ejes de coordenadas distintos en el espacio euclidiano de n dimensiones.
En SO(4) una matriz de rotación está definida por dos cuaterniones unitarios y, por lo tanto, tiene seis grados de libertad, tres de cada cuaternión.
Su principal ventaja sobre otras descripciones de orientación es que se pueden medir directamente desde un cardán montado en un vehículo. Como los giroscopios mantienen constante su eje de rotación, los ángulos medidos en un marco de giro son equivalentes a los ángulos medidos en el marco de laboratorio. Por lo tanto, los giroscopios se utilizan para conocer la orientación real de las naves espaciales en movimiento, y los ángulos de Euler se pueden medir directamente. El ángulo de rotación intrínseco no se puede leer desde un solo cardán, por lo que tiene que haber más de un cardán en una nave espacial. Normalmente hay al menos tres para redundancia. También existe una relación con el conocido problema de bloqueo del cardán de la ingeniería mecánica . [8]
Al estudiar cuerpos rígidos en general, se denomina al sistema xyz coordenadas espaciales y al sistema XYZ coordenadas del cuerpo . Las coordenadas espaciales se tratan como inmóviles, mientras que las coordenadas del cuerpo se consideran incrustadas en el cuerpo en movimiento. Los cálculos que involucran aceleración , aceleración angular , velocidad angular , momento angular y energía cinética suelen ser más fáciles en coordenadas del cuerpo, porque entonces el tensor del momento de inercia no cambia en el tiempo. Si también se diagonaliza el tensor del momento de inercia del cuerpo rígido (con nueve componentes, seis de los cuales son independientes), entonces se tiene un conjunto de coordenadas (llamados ejes principales) en el que el tensor del momento de inercia tiene solo tres componentes.
La velocidad angular de un cuerpo rígido adopta una forma sencilla utilizando ángulos de Euler en el marco móvil. Además, las ecuaciones de Euler para cuerpos rígidos son más sencillas porque el tensor de inercia es constante en ese marco.
En la ciencia de los materiales, la textura cristalográfica (u orientación preferida) se puede describir utilizando ángulos de Euler. En el análisis de textura, los ángulos de Euler proporcionan una representación matemática de la orientación de los cristalitos individuales dentro de un material policristalino, lo que permite la descripción cuantitativa del material macroscópico. [10] La definición más común de los ángulos se debe a Bunge y corresponde a la convención ZXZ . Sin embargo, es importante señalar que la aplicación generalmente implica transformaciones de ejes de cantidades tensoriales, es decir, rotaciones pasivas. Por lo tanto, la matriz que corresponde a los ángulos de Euler de Bunge es la transpuesta de la que se muestra en la tabla anterior. [11]
Los ángulos de Euler, normalmente en la convención Tait-Bryan, también se utilizan en robótica para hablar de los grados de libertad de una muñeca . También se utilizan en el control electrónico de estabilidad de forma similar.
Los sistemas de control de fuego de los cañones requieren correcciones en los ángulos de las órdenes de los cañones (rumbo y elevación) para compensar la inclinación de la cubierta (cabeceo y balanceo). En los sistemas tradicionales, un giroscopio estabilizador con un eje de giro vertical corrige la inclinación de la cubierta y estabiliza las miras ópticas y la antena del radar. Sin embargo, los cañones apuntan en una dirección diferente a la línea de visión del objetivo, para anticipar el movimiento del objetivo y la caída del proyectil debido a la gravedad, entre otros factores. Los montajes de los cañones se inclinan y balancean con el plano de la cubierta, pero también requieren estabilización. Las órdenes de los cañones incluyen ángulos calculados a partir de los datos del giroscopio vertical, y esos cálculos involucran ángulos de Euler.
Los ángulos de Euler también se utilizan ampliamente en la mecánica cuántica del momento angular. En mecánica cuántica, las descripciones explícitas de las representaciones de SO(3) son muy importantes para los cálculos, y casi todo el trabajo se ha realizado utilizando ángulos de Euler. En la historia temprana de la mecánica cuántica, cuando los físicos y químicos tuvieron una reacción marcadamente negativa hacia los métodos abstractos de teoría de grupos (llamada Gruppenpest ), la confianza en los ángulos de Euler también fue esencial para el trabajo teórico básico.
Muchos dispositivos informáticos móviles contienen acelerómetros que pueden determinar los ángulos de Euler de estos dispositivos con respecto a la atracción gravitatoria de la Tierra. Estos se utilizan en aplicaciones como juegos, simulaciones de nivel de burbuja y caleidoscopios . [ cita requerida ]
Las bibliotecas de gráficos de computadora como three.js las utilizan para apuntar la cámara.
![{\displaystyle \mathbf {R} =[\cos(\theta /2)-Iu\sin(\theta /2)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccaf9643d65a54a5bd1b4d962d07f605c9c67648)
