Teoría de conjuntos de Kripke-Platek

Sistema de teoría de conjuntos matemáticos

La teoría de conjuntos de Kripke-Platek ( KP ) , pronunciada /ˈkrɪpkiˈplɑːtɛk / , es una teoría de conjuntos axiomática desarrollada por Saul Kripke y Richard Platek . La teoría puede considerarse aproximadamente como la parte predicativa de ZFC y es considerablemente más débil que esta .

Axiomas

En su formulación, una fórmula Δ ₀ es aquella cuyos cuantificadores están todos acotados . Esto significa que cualquier cuantificación tiene la forma o (véase la jerarquía de Lévy ). ${\displaystyle \forall u\in v}$ ${\displaystyle \exists u\in v.}$

• Axioma de extensionalidad : Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos.
• Axioma de inducción : siendo φ( a ) una fórmula , si para todos los conjuntos x se supone que φ( y ) se cumple para todos los elementos y de x implica que φ( x ) se cumple, entonces φ( x ) se cumple para todos los conjuntos x .
• Axioma del conjunto vacío : Existe un conjunto sin miembros, llamado conjunto vacío y denotado {}.
• Axioma de emparejamiento : Si x , y son conjuntos, entonces también lo es { x , y }, un conjunto que contiene a x e y como sus únicos elementos.
• Axioma de unión : Para cualquier conjunto x , existe un conjunto y tal que los elementos de y son precisamente los elementos de los elementos de x .
• Axioma de separación de Δ ₀ : Dado cualquier conjunto y cualquier fórmula de Δ _{0 φ(} x ), existe un subconjunto del conjunto original que contiene precisamente aquellos elementos x para los cuales se cumple φ( x ). (Este es un esquema de axioma ).
• Axioma de Δ ₀ -colección : Dada cualquier fórmula Δ _{0 φ(} x , y ), si para cada conjunto x existe un conjunto y tal que φ( x , y ) se cumple, entonces para todos los conjuntos X existe un conjunto Y tal que para cada x en X hay una y en Y tal que φ( x , y ) se cumple.

Algunos autores, pero no todos, incluyen una

• Axioma del infinito

La KP con infinito se denota por KPω. Estos axiomas conducen a conexiones estrechas entre KP, la teoría de recursión generalizada y la teoría de ordinales admisibles . KP se puede estudiar como una teoría de conjuntos constructiva al descartar la ley del medio excluido , sin cambiar ningún axioma.

Conjunto vacío

Si se postula la existencia de cualquier conjunto , como en el axioma de infinito, entonces el axioma de conjunto vacío es redundante porque es igual al subconjunto . Además, la existencia de un miembro en el universo del discurso, es decir, ∃x(x=x), está implícita en ciertas formulaciones ^[1] de la lógica de primer orden , en cuyo caso el axioma de conjunto vacío se sigue del axioma de Δ ₀ -separación y, por lo tanto, es redundante. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \{x\in c\mid x\neq x\}}$

Comparación con la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel

Como se señaló, los anteriores son más débiles que ZFC ya que excluyen el axioma de conjunto potencia , la elección y, a veces, el infinito. Además, los axiomas de separación y colección aquí son más débiles que los axiomas correspondientes en ZFC porque las fórmulas φ utilizadas en estos se limitan solo a cuantificadores acotados.

El axioma de inducción en el contexto de KP es más fuerte que el axioma de regularidad habitual , que equivale a aplicar la inducción al complemento de un conjunto (la clase de todos los conjuntos que no están en el conjunto dado).

Definiciones relacionadas

• Un conjunto se denomina admisible si es transitivo y es un modelo de la teoría de conjuntos de Kripke-Platek. ${\displaystyle A\,}$ ${\displaystyle \langle A,\in \rangle }$
• Un número ordinal se denomina ordinal admisible si es un conjunto admisible. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$
• ${\displaystyle L_{\alpha }}$Se denomina conjunto susceptible si es un modelo estándar de la teoría de conjuntos KP sin el axioma de Δ ₀ -colección.

Teoremas

Conjuntos admisibles

El ordinal α es un ordinal admisible si y solo si α es un ordinal límite y no existe un γ  <  α para el cual exista una aplicación Σ ₁ (L _α ) de γ sobre α . Si M es un modelo estándar de KP, entonces el conjunto de ordinales en M es un ordinal admisible.

Existen productos cartesianos

Teorema: Si A y B son conjuntos, entonces existe un conjunto A × B que consiste en todos los pares ordenados ( a , b ) de elementos a de A y b de B .

Prueba:

El conjunto singleton con miembro a , escrito { a }, es el mismo que el par desordenado { a , a }, por el axioma de extensionalidad .

El singleton, el conjunto { a , b }, y luego también el par ordenado

${\displaystyle (a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}}$

todos existen por emparejamiento . Una posible fórmula Δ ₀ que expresa que p representa el par ( a , b ) está dada por la larga ${\displaystyle \psi (a,b,p)}$

${\displaystyle \exists r\in p\,{\big (}a\in r\,\land \,\forall x\in r\,(x=a){\big )}}$

${\displaystyle \land \,\exists s\in p\,{\big (}a\in s\,\land \,b\in s\,\land \,\forall x\in s\,(x=a\,\lor \,x=b){\big )}}$

${\displaystyle \land \,\forall t\in p\,{\Big (}{\big (}a\in t\,\land \,\forall x\in t\,(x=a){\big )}\,\lor \,{\big (}a\in t\land b\in t\land \forall x\in t\,(x=a\,\lor \,x=b){\big )}{\Big )}.}$

A continuación se presentan dos pasos de recopilación de conjuntos, seguidos de una restricción mediante separación. Todos los resultados se expresan también mediante la notación de creación de conjuntos.

En primer lugar, dado y recolectando con respecto a , existe algún superconjunto de por colección . ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\times \{b\}=\{(a,b)\mid a\in A\}}$

La fórmula Δ ₀

${\displaystyle \exists a\in A\,\psi (a,b,p)}$

concede que simplemente él mismo existe por separación . ${\displaystyle A\times \{b\}}$

Si debe representar esta colección de pares , entonces una fórmula Δ ₀ que la caracteriza es ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A\times \{b\}}$

${\displaystyle \forall a\in A\,\exists p\in P\,\psi (a,b,p)\,\land \,\forall p\in P\,\exists a\in A\,\psi (a,b,p)\,.}$

Dado y recolectando con respecto a , existe algún superconjunto de por colección . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \{A\times \{b\}\mid b\in B\}}$

Poniendo delante esa última fórmula se encuentra que el conjunto mismo existe por separación . ${\displaystyle \exists b\in B}$ ${\displaystyle \{A\times \{b\}\mid b\in B\}}$

Por fin, lo deseado

${\displaystyle A\times B:=\bigcup \{A\times \{b\}\mid b\in B\}}$

existe por union . QED

Metalógica

La fuerza de consistencia de KPω está dada por el ordinal de Bachmann–Howard . KP no logra demostrar algunos teoremas comunes en la teoría de conjuntos, como el lema del colapso de Mostowski . ^[2]

Véase también

• Universo construible
• Ordinario admisible
• Conjunto contable hereditario
• Teoría de conjuntos de Kripke-Platek con urelementos

Referencias

1. Poizat, Bruno (2000). Un curso de teoría de modelos: una introducción a la lógica matemática contemporánea . Springer. ISBN 0-387-98655-3., nota al final del §2.3 en la página 27: "Aquellos que no permiten relaciones en un universo vacío consideran (∃x)x=x y sus consecuencias como tesis; nosotros, sin embargo, no compartimos esta aversión, con tan poco fundamento lógico, hacia el vacío".
2. P. Odifreddi, Teoría de la recursión clásica (1989) p. 421. Holanda del Norte, 0-444-87295-7

Bibliografía

• Devlin, Keith J. (1984). Constructibilidad . Berlín: Springer-Verlag . ISBN. 0-387-13258-9.
• Gostanian, Richard (1980). "Modelos construibles de subsistemas de ZF". Revista de lógica simbólica . 45 (2). Asociación de lógica simbólica : 237. doi :10.2307/2273185. JSTOR  2273185.
• Kripke, S. (1964), "Recursión transfinita en ordinales admisibles", Journal of Symbolic Logic , 29 : 161–162, doi :10.2307/2271646, JSTOR  2271646
• Platek, Richard Alan (1966), Fundamentos de la teoría de la recursión , Tesis (Ph.D.)– Universidad de Stanford , MR  2615453