Ordinal admisible

En la teoría de conjuntos , un número ordinal α es un ordinal admisible si L α es un conjunto admisible (es decir, un modelo transitivo de la teoría de conjuntos de Kripke-Platek ); en otras palabras, α es admisible cuando α es un ordinal límite y L _α ⊧ Σ ₀ -colección. ^{[1] [2]} El término fue acuñado por Richard Platek en 1966. ^[3]

Los dos primeros ordinales admisibles son ω y (el ordinal menos no recursivo , también llamado ordinal de Church-Kleene ). ^[2] Cualquier cardinal regular incontable es un ordinal admisible. ${\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}$

Por un teorema de Sacks , los ordinales admisibles contables son exactamente aquellos construidos de manera similar al ordinal de Church-Kleene, pero para máquinas de Turing con oráculos . ^[1] A veces se escribe para el -ésimo ordinal que es admisible o un límite de admisibles; un ordinal que es ambas cosas se llama recursivamente inaccesible . ^[4] Existe una teoría de ordinales grandes de esta manera que es altamente paralela a la de los cardinales grandes (pequeños) (uno puede definir recursivamente los ordinales de Mahlo , por ejemplo). ^[5] Pero todos estos ordinales siguen siendo contables. Por lo tanto, los ordinales admisibles parecen ser el análogo recursivo de los números cardinales regulares . ${\displaystyle \omega _{\alpha }^{\mathrm {CK} }}$ ${\displaystyle \alpha }$

Nótese que α es un ordinal admisible si y sólo si α es un ordinal límite y no existe un γ < α para el cual haya una aplicación Σ ₁ (L _α ) de γ sobre α . ^[6] es un ordinal admisible si y sólo si existe un modelo estándar de KP cuyo conjunto de ordinales es , de hecho esto puede tomarse como la definición de admisibilidad. ^{[7] [8]} El ordinal admisible n es a veces denotado por ^{[9] [8] p. 174} o . ^[10] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \tau _{\alpha }}$ ${\displaystyle \tau _{\alpha }^{0}}$

El teorema de Friedman-Jensen-Sacks establece que un numerable es admisible si y solo si existe algún tal que sea el menor ordinal no recursivo en . ^[11] De manera equivalente, para cualquier numerable admisible , existe un haciendo mínimo tal que sea una estructura admisible. ^{[12] p. 264} ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A\subseteq \omega }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \langle L_{\alpha },\in ,A\rangle }$

Véase también

• Teoría de la recursión α
• Ordinales contables grandes
• Universo construible
• Cardenal regular

Referencias

1. Friedman, Sy D. (1985), "Teoría de la estructura fina y sus aplicaciones", Teoría de la recursión (Ithaca, NY, 1982) , Proc. Sympos. Pure Math., vol. 42, Amer. Math. Soc., Providence, RI, págs. 259–269, doi :10.1090/pspum/042/791062, MR  0791062. Véase en particular la pág. 265.
2. Fitting, Melvin (1981), Fundamentos de la teoría de la recursión generalizada, Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas, vol. 105, North-Holland Publishing Co., Ámsterdam-Nueva York, pág. 238, ISBN 0-444-86171-8, Sr.  0644315.
3. GE Sacks, Teoría de la recursión superior (p. 151). Asociación de lógica simbólica, Perspectivas en lógica
4. Friedman, Sy D. (2010), "Constructibilidad y forzamiento de clases", Manual de teoría de conjuntos. Vols. 1, 2, 3 , Springer, Dordrecht, págs. 557–604, doi :10.1007/978-1-4020-5764-9_9, MR  2768687. Véase en particular la pág. 560.
5. Kahle, Reinhard; Setzer, Anton (2010), "Una definición predicativa extendida del universo de Mahlo", Ways of proof theory , Ontos Math. Log., vol. 2, Ontos Verlag, Heusenstamm, págs. 315–340, MR  2883363.
6. K. Devlin, Introducción a la estructura fina de la jerarquía construible (1974) (p.38). Consultado el 6 de mayo de 2021.
7. KJ Devlin, Constructibilidad (1984), cap. 2, "El universo construible", pág. 95. Perspectivas en lógica matemática, Springer-Verlag.
8. J. Barwise, Conjuntos y estructuras admisibles (1976). Cambridge University Press
9. PG Hinman, Recursion-Theoretic Hierarchies (1978), págs. 419-420. Perspectivas en lógica matemática, ISBN 3-540-07904-1.
10. S. Kripke, "Recursión transfinita, conjuntos construibles y análogos de los cardinales" (1967), pág. 11. Consultado el 15 de julio de 2023.
11. W. Marek, M. Srebrny, "Brechas en el universo construible" (1973), págs. 361-362. Anales de lógica matemática 6
12. AS Kechris, "La teoría de los conjuntos analíticos contables"