Doble coset

En la teoría de grupos , un campo de las matemáticas , una clase lateral doble es una colección de elementos de grupo que son equivalentes bajo las simetrías provenientes de dos subgrupos , generalizando la noción de una clase lateral única . ^{[1] [2]}

Definición

Sea G un grupo y sean H y K subgrupos. Sea H el que actúa sobre G por multiplicación por la izquierda y sea K el que actúa sobre G por multiplicación por la derecha. Para cada x en G , la clase lateral doble ( H , K ) de x es el conjunto

${\displaystyle HxK=\{hxk\colon h\in H,k\in K\}.}$

Cuando H = K , se denomina clase colateral doble H de x . De manera equivalente, HxK es la clase de equivalencia de x según la relación de equivalencia

x ~ y si y sólo si existen h en H y k en K tales que hxk = y .

El conjunto de todas las clases laterales -dobles se denota por ${\displaystyle (H,K)}$ ${\displaystyle H\,\backslash G/K.}$

Propiedades

Supóngase que G es un grupo con subgrupos H y K que actúan por multiplicación izquierda y derecha, respectivamente. Las clases laterales dobles ( H , K ) de G pueden describirse de manera equivalente como órbitas para el grupo de productos H × K que actúa sobre G por ( h , k ) ⋅  x = hxk ⁻¹ . Muchas de las propiedades básicas de las clases laterales dobles se deducen inmediatamente del hecho de que son órbitas. Sin embargo, debido a que G es un grupo y H y K son subgrupos que actúan por multiplicación, las clases laterales dobles están más estructuradas que las órbitas de acciones de grupo arbitrarias , y tienen propiedades adicionales que son falsas para acciones más generales.

• Dos clases laterales dobles HxK y HyK son disjuntas o idénticas.
• G es la unión disjunta de sus clases laterales dobles.
• Existe una correspondencia biunívoca entre los dos espacios de clases laterales dobles H \ G / K y K \ G / H dada al identificar HxK con Kx ⁻¹ H .
• Si H = {1} , entonces H \ G / K = G / K . Si K = {1} , entonces H \ G / K = H \ G .
• Una clase lateral doble HxK es una unión de clases laterales derechas de H y clases laterales izquierdas de K ; específicamente,

  ${\displaystyle {\begin{aligned}HxK&=\bigcup _{k\in K}Hxk=\coprod _{Hxk\,\in \,H\backslash HxK}Hxk,\\HxK&=\bigcup _{h\in H}hxK=\coprod _{hxK\,\in \,HxK/K}hxK.\end{aligned}}}$

• El conjunto de clases laterales dobles ( H , K ) está en biyección con las órbitas H \ ( G / K ) , y también con las órbitas ( H \ G ) / K bajo las aplicaciones y respectivamente. ${\displaystyle HgK\to H(gK)}$ ${\displaystyle HgK\to (Hg)K}$
• Si H es normal , entonces H \ G es un grupo, y la acción correcta de K sobre este grupo se factoriza a través de la acción correcta de H \ HK . De ello se deduce que H \ G / K = G / HK . De manera similar, si K es normal, entonces H \ G / K = HK \ G.
• Si H es un subgrupo normal de G , entonces las clases laterales dobles H están en correspondencia biunívoca con las clases laterales izquierda (y derecha) H.
• Consideremos HxK como la unión de una órbita K de coconjuntos H derechos. El estabilizador del coconjunto H derecho Hxk ∈ H \ HxK con respecto a la acción derecha de K es K ∩ ( xk ) ⁻¹ Hxk . De manera similar, el estabilizador del coconjunto K izquierdo hxK ∈ HxK / K con respecto a la acción izquierda de H es H ∩ hxK ( hx ) ⁻¹ .
• De ello se deduce que el número de clases laterales derechas de H contenidas en HxK es el índice [ K  : K ∩ x ⁻¹ Hx ] y el número de clases laterales izquierdas de K contenidas en HxK es el índice [ H  : H ∩ xKx ⁻¹ ] . Por lo tanto

  ${\displaystyle {\begin{aligned}|HxK|&=[H:H\cap xKx^{-1}]|K|=|H|[K:K\cap x^{-1}Hx],\\\left[G:H\right]&=\sum _{HxK\,\in \,H\backslash G/K}[K:K\cap x^{-1}Hx],\\\left[G:K\right]&=\sum _{HxK\,\in \,H\backslash G/K}[H:H\cap xKx^{-1}].\end{aligned}}}$

• Si G , H y K son finitos, entonces también se deduce que

  ${\displaystyle {\begin{aligned}|HxK|&={\frac {|H||K|}{|H\cap xKx^{-1}|}}={\frac {|H||K|}{|K\cap x^{-1}Hx|}},\\\left[G:H\right]&=\sum _{HxK\,\in \,H\backslash G/K}{\frac {|K|}{|K\cap x^{-1}Hx|}},\\\left[G:K\right]&=\sum _{HxK\,\in \,H\backslash G/K}{\frac {|H|}{|H\cap xKx^{-1}|}}.\end{aligned}}}$

• Fijemos x en G y sea ( H × K ) _x el doble estabilizador {( h , k ) : hxk = x }. Entonces el doble estabilizador es un subgrupo de H × K .
• Como G es un grupo, para cada h en H hay precisamente un g en G tal que hxg = x , es decir g = x ⁻¹ h ⁻¹ x ; sin embargo, g puede no estar en K . De manera similar, para cada k en K hay precisamente un g ′ en G tal que g ′ xk = x , pero g ′ puede no estar en H . Por lo tanto, el estabilizador doble tiene las descripciones

  ${\displaystyle (H\times K)_{x}=\{(h,x^{-1}h^{-1}x)\colon h\in H\}\cap H\times K=\{(xk^{-1}x^{-1},k)\colon k\in K\}\cap H\times K.}$

• ( Teorema del estabilizador de órbita ) Existe una biyección entre HxK y ( H × K ) / ( H × K ) _x bajo la cual hxk corresponde a ( h , k ⁻¹ )( H × K ) _x . De ello se deduce que si G , H y K son finitos, entonces

  ${\displaystyle |HxK|=[H\times K:(H\times K)_{x}]=|H\times K|/|(H\times K)_{x}|.}$

• ( Lema de Cauchy-Frobenius ) Sea G ^{( h , k )} los elementos fijados por la acción de ( h , k ) . Entonces

  ${\displaystyle |H\,\backslash G/K|={\frac {1}{|H||K|}}\sum _{(h,k)\in H\times K}|G^{(h,k)}|.}$

• En particular, si G , H y K son finitos, entonces el número de clases laterales dobles es igual al número promedio de puntos fijos por par de elementos del grupo.

Existe una descripción equivalente de las clases laterales dobles en términos de clases laterales simples. Sea H y K ambas actúan por multiplicación derecha en G . Entonces G actúa por multiplicación izquierda en el producto de espacios de clases laterales G / H × G / K . Las órbitas de esta acción están en correspondencia uno a uno con H \ G / K . Esta correspondencia identifica ( xH , yK ) con la clase lateral doble Hx ⁻¹ yK . Brevemente, esto se debe a que cada G -órbita admite representantes de la forma ( H , xK ) , y el representante x está determinado solo hasta la multiplicación izquierda por un elemento de H . De manera similar, G actúa por multiplicación derecha en H \ G × K \ G , y las órbitas de esta acción están en correspondencia uno a uno con las clases laterales dobles H \ G / K . Conceptualmente, esto identifica el espacio de clases laterales dobles H \ G / K con el espacio de configuraciones relativas de una clase lateral H y una clase lateral K . Además, esta construcción se generaliza al caso de cualquier número de subgrupos. Dados los subgrupos H ₁ , ..., H _n , el espacio de ( H ₁ , ..., H _n ) -multicosets es el conjunto de G -órbitas de G / H ₁ × ... × G / H _n .

El análogo del teorema de Lagrange para clases laterales dobles es falso. Esto significa que el tamaño de una clase lateral doble no necesita dividir el orden de G. Por ejemplo, sea G = S ₃ el grupo simétrico de tres letras, y sean H y K los subgrupos cíclicos generados por las transposiciones (1 2) y (1 3) , respectivamente. Si e denota la permutación identidad, entonces

${\displaystyle HeK=HK=\{e,(12),(13),(132)\}.}$

Este tiene cuatro elementos, y cuatro no divide a seis, del orden de S ₃ . También es falso que diferentes clases laterales dobles tengan el mismo tamaño. Continuando con el mismo ejemplo,

${\displaystyle H(23)K=\{(23),(123)\},}$

que tiene dos elementos, no cuatro.

Sin embargo, supongamos que H es normal. Como se señaló anteriormente, en este caso el espacio de doble clase es igual al espacio de clase izquierda G / HK . De manera similar, si K es normal, entonces H \ G / K es el espacio de clase derecha HK \ G . Los resultados estándar sobre los espacios de clase izquierda y derecha implican los siguientes hechos.

• | HxK | = | HK | para todo x en G . Es decir, todas las clases laterales dobles tienen la misma cardinalidad.
• Si G es finito, entonces | G | = | HK | ⋅ | H \ G / K | . En particular, | HK | y | H \ G / K | dividen | G | .

Ejemplos

• Sea G = S _n el grupo simétrico, considerado como permutaciones del conjunto {1, ..., n }. Considérese el subgrupo H = S _{n −1} que estabiliza n . Entonces S _{n −1} \ S _n / S _{n −1} consta de dos clases laterales dobles. Una de ellas es H = S _{n −1} , y la otra es S _{n −1} γ S _{n −1} para cualquier permutación γ que no fije n . Esto contrasta con S _n / S _{n −1} , que tiene elementos , donde cada uno . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \gamma _{1}S_{n-1},\gamma _{2}S_{n-1},...,\gamma _{n}S_{n-1}}$ ${\displaystyle \gamma _{i}(n)=i}$
• Sea G el grupo GL _n ( R ) , y sea B el subgrupo de matrices triangulares superiores . El espacio de doble clase B \ G / B es la descomposición de Bruhat de G . Las clases dobles son exactamente BwB , donde w abarca todas las matrices de permutación n por n . Por ejemplo, si n = 2 , entonces

  ${\displaystyle B\,\backslash \!\operatorname {GL} _{2}(\mathbf {R} )/B=\left\{B{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}B,\ B{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}B\right\}.}$

Productos del grupo abeliano libre en el conjunto de clases laterales dobles

Supongamos que G es un grupo y que H , K y L son subgrupos. Bajo ciertas condiciones de finitud, existe un producto en el grupo abeliano libre generado por las clases laterales dobles ( H , K ) y ( K , L ) con valores en el grupo abeliano libre generado por las clases laterales dobles ( H , L ) . Esto significa que existe una función bilineal

${\displaystyle \mathbf {Z} [H\backslash G/K]\times \mathbf {Z} [K\backslash G/L]\to \mathbf {Z} [H\backslash G/L].}$

Supongamos, para simplificar, que G es finito. Para definir el producto, reinterpretemos estos grupos abelianos libres en términos del álgebra de grupos de G de la siguiente manera. Cada elemento de Z [ H \ G / K ] tiene la forma

${\displaystyle \sum _{HxK\in H\backslash G/K}f_{HxK}\cdot [HxK],}$

donde { f _HxK } es un conjunto de enteros indexados por los elementos de H \ G / K . Este elemento puede interpretarse como una función de valor Z en H \ G / K , específicamente, HxK ↦ f _HxK . Esta función puede retrotraerse a lo largo de la proyección G → H \ G / K que envía x a la clase lateral doble HxK . Esto da como resultado una función x ↦ f _HxK . Por la forma en que se construyó esta función, es invariante por la izquierda bajo H e invariante por la derecha bajo K . El elemento correspondiente del álgebra de grupo Z [ G ] es

${\displaystyle \sum _{x\in G}f_{HxK}\cdot [x],}$

y este elemento es invariante bajo la multiplicación por la izquierda por H y la multiplicación por la derecha por K. Conceptualmente, este elemento se obtiene reemplazando HxK por los elementos que contiene, y la finitud de G asegura que la suma sigue siendo finita. A la inversa, cada elemento de Z [ G ] que es invariante por la izquierda bajo H e invariante por la derecha bajo K es el pullback de una función en Z [ H \ G / K ] . Enunciados paralelos son verdaderos para Z [ K \ G / L ] y Z [ H \ G / L ] .

Cuando los elementos de Z [ H \ G / K ] , Z [ K \ G / L ] y Z [ H \ G / L ] se interpretan como elementos invariantes de Z [ G ] , entonces el producto cuya existencia se afirmó anteriormente es precisamente la multiplicación en Z [ G ] . De hecho, es trivial verificar que el producto de un elemento invariante por la izquierda en H y un elemento invariante por la derecha en L continúa siendo invariante por la izquierda en H y invariante por la derecha en L. La bilinealidad del producto se sigue inmediatamente de la bilinealidad de la multiplicación en Z [ G ] . También se sigue que si M es un cuarto subgrupo de G , entonces el producto de las clases laterales dobles ( H , K ) -, ( K , L ) -, y ( L , M ) es asociativo. Debido a que el producto en Z [ G ] corresponde a la convolución de funciones en G , este producto a veces se llama producto de convolución.

Un caso especial importante es cuando H = K = L. En este caso, el producto es una función bilineal.

${\displaystyle \mathbf {Z} [H\backslash G/H]\times \mathbf {Z} [H\backslash G/H]\to \mathbf {Z} [H\backslash G/H].}$

Este producto convierte Z [ H \ G / H ] en un anillo asociativo cuyo elemento identidad es la clase de la doble clase lateral trivial [ H ] . En general, este anillo no es conmutativo . Por ejemplo, si H = {1} , entonces el anillo es el álgebra de grupo Z [ G ] , y un álgebra de grupo es un anillo conmutativo si y solo si el grupo subyacente es abeliano .

Si H es normal, de modo que las clases laterales H -dobles son las mismas que los elementos del grupo cociente G / H , entonces el producto en Z [ H \ G / H ] es el producto en el álgebra de grupos Z [ G / H ] . En particular, es la convolución usual de funciones en G / H . En este caso, el anillo es conmutativo si y solo si G / H es abeliano, o equivalentemente, si y solo si H contiene el subgrupo conmutador de G.

Si H no es normal, entonces Z [ H \ G / H ] puede ser conmutativo incluso si G no es abeliano . Un ejemplo clásico es el producto de dos operadores de Hecke . Este es el producto en el álgebra de Hecke, que es conmutativo incluso aunque el grupo G sea el grupo modular , que no es abeliano, y el subgrupo sea un subgrupo aritmético y en particular no contenga el subgrupo conmutador. La conmutatividad del producto de convolución está estrechamente ligada a los pares de Gelfand .

Cuando el grupo G es un grupo topológico , es posible debilitar la suposición de que el número de clases laterales izquierda y derecha en cada clase lateral doble es finito. El álgebra de grupo Z [ G ] se reemplaza por un álgebra de funciones como L ² ( G ) o C ^∞ ( G ) , y las sumas se reemplazan por integrales . El producto todavía corresponde a la convolución. Por ejemplo, esto sucede para el álgebra de Hecke de un grupo localmente compacto .

Aplicaciones

Cuando un grupo tiene una acción transitiva sobre un conjunto , el cálculo de ciertas descomposiciones de doble clase lateral de revela información adicional sobre la estructura de la acción de sobre . Específicamente, si es el subgrupo estabilizador de algún elemento , entonces se descompone exactamente como dos clases laterales dobles de si y solo si actúa transitivamente sobre el conjunto de pares distintos de . Consulte grupos 2-transitivos para obtener más información sobre esta acción. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (H,H)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$

Las clases laterales dobles son importantes en relación con la teoría de la representación , cuando se utiliza una representación de H para construir una representación inducida de G , que luego se restringe a K. La estructura de clase lateral doble correspondiente contiene información sobre cómo se descompone la representación resultante. En el caso de grupos finitos, este es el teorema de descomposición de Mackey.

También son importantes en el análisis funcional , donde en algunos casos importantes las funciones invariantes a la izquierda y a la derecha por un subgrupo K pueden formar un anillo conmutativo bajo convolución : ver par Gelfand .

En geometría, una forma de Clifford-Klein es un espacio de doble clase Γ\ G / H , donde G es un grupo de Lie reductivo , H es un subgrupo cerrado y Γ es un subgrupo discreto (de G ) que actúa de manera propiamente discontinua en el espacio homogéneo G / H .

En teoría de números , el álgebra de Hecke correspondiente a un subgrupo de congruencia Γ del grupo modular está abarcado por elementos del espacio de clases laterales dobles ; la estructura del álgebra es la adquirida a partir de la multiplicación de clases laterales dobles descrita anteriormente. De particular importancia son los operadores de Hecke correspondientes a las clases laterales dobles o , donde (estos tienen diferentes propiedades dependiendo de si m y N son coprimos o no), y los operadores de diamante dados por las clases laterales dobles donde y requerimos (la elección de a , b , c no afecta la respuesta). ${\displaystyle \Gamma \backslash \mathrm {GL} _{2}^{+}(\mathbb {Q} )/\Gamma }$ ${\displaystyle T_{m}}$ ${\displaystyle \Gamma _{0}(N)g\Gamma _{0}(N)}$ ${\displaystyle \Gamma _{1}(N)g\Gamma _{1}(N)}$ ${\displaystyle g=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&m\end{smallmatrix}}\right)}$ ${\displaystyle \langle d\rangle }$ ${\displaystyle \Gamma _{1}(N)\left({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}\right)\Gamma _{1}(N)}$ ${\displaystyle d\in (\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}\right)\in \Gamma _{0}(N)}$

Referencias

1. Hall, Jr., Marshall (1959), La teoría de los grupos , Nueva York: Macmillan, págs. 14-15
2. Bechtell, Homer (1971), La teoría de los grupos , Addison-Wesley, pág. 101