Cierre (topología)

Todos los puntos y puntos límite en un subconjunto de un espacio topológico

En topología , el cierre de un subconjunto S de puntos en un espacio topológico consiste en todos los puntos en S junto con todos los puntos límite de S. El cierre de S puede definirse de manera equivalente como la unión de S y su frontera , y también como la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen a S. Intuitivamente, el cierre puede considerarse como todos los puntos que están en S o "muy cerca" de S. Un punto que está en el cierre de S es un punto de cierre de S. La noción de cierre es en muchos sentidos dual a la noción de interior .

Definiciones

Punto de cierre

Pues como subconjunto de un espacio euclidiano , es un punto de clausura de si cada bola abierta centrada en contiene un punto de (este punto puede ser él mismo). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$

Esta definición se generaliza a cualquier subconjunto de un espacio métrico Expresado completamente, pues como un espacio métrico con métrica es un punto de cierre de si para cada existe alguno tal que la distancia ( está permitida). Otra forma de expresar esto es decir que es un punto de cierre de si la distancia donde es el ínfimo . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle d(x,s)<r}$ ${\displaystyle x=s}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d(x,S):=\inf _{s\in S}d(x,s)=0}$ ${\displaystyle \inf }$

Esta definición se generaliza a espacios topológicos reemplazando "bola abierta" o "bola" por " vecindario ". Sea un subconjunto de un espacio topológico Entonces es un punto de cierre o punto adherente de si cada vecindad de contiene un punto de (de nuevo, se permite que sea). ^[1] Nótese que esta definición no depende de si se requiere que las vecindades sean abiertas. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x=s}$ ${\displaystyle s\in S}$

Punto límite

La definición de un punto de cierre de un conjunto está estrechamente relacionada con la definición de un punto límite de un conjunto . La diferencia entre las dos definiciones es sutil pero importante: es decir, en la definición de un punto límite de un conjunto , cada vecindad de debe contener un punto de distinto de sí mismo , es decir, cada vecindad de obviamente tiene pero también debe tener un punto de que no sea igual a para que sea un punto límite de . Un punto límite de tiene una condición más estricta que un punto de cierre de en las definiciones. El conjunto de todos los puntos límite de un conjunto se denomina conjunto derivado de . Un punto límite de un conjunto también se denomina punto de agrupamiento o punto de acumulación del conjunto. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Así, todo punto límite es un punto de cierre, pero no todo punto de cierre es un punto límite . Un punto de cierre que no es un punto límite es un punto aislado . En otras palabras, un punto es un punto aislado de si es un elemento de y existe un entorno de que no contiene otros puntos de que él mismo. ^[2] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$

Para un conjunto dado y un punto es un punto de cierre de si y sólo si es un elemento de o es un punto límite de (o ambos). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$

Cierre de un conjunto

El cierre de un subconjunto de un espacio topológico denotado por o posiblemente por (si se entiende), donde si tanto como son claros a partir del contexto, entonces también puede denotarse por o (además, a veces se escribe con mayúscula .) se puede definir utilizando cualquiera de las siguientes definiciones equivalentes: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{(X,\tau )}S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} S,}$ ${\displaystyle {\overline {S}},}$ ${\displaystyle S{}^{-}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} }$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} }$

1. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$es el conjunto de todos los puntos de cierre de ${\displaystyle S.}$
2. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$es el conjunto junto con todos sus puntos límite . (Cada punto de es un punto de cierre de , y cada punto límite de es también un punto de cierre de .) ^[3] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$
3. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen ${\displaystyle S.}$
4. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$es el conjunto cerrado más pequeño que contiene ${\displaystyle S.}$
5. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$es la unión de y su límite ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \partial (S).}$
6. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$es el conjunto de todos para los cuales existe una red (valorada) en que converge a en ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

El cierre de un conjunto tiene las siguientes propiedades. ^[4]

• ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$es un superconjunto cerrado de . ${\displaystyle S}$
• El conjunto es cerrado si y sólo si . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\operatorname {cl} S}$
• Si entonces es un subconjunto de ${\displaystyle S\subseteq T}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} T.}$
• Si es un conjunto cerrado, entonces contiene si y sólo si contiene ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} S.}$

A veces, la segunda o tercera propiedad mencionada anteriormente se toma como la definición del cierre topológico, que aún tiene sentido cuando se aplica a otros tipos de cierres (ver más abajo). ^[5]

En un espacio numerable primero (como un espacio métrico ), es el conjunto de todos los límites de todas las secuencias convergentes de puntos en Para un espacio topológico general, esta afirmación sigue siendo verdadera si uno reemplaza "secuencia" por " red " o " filtro " (como se describe en el artículo sobre filtros en topología ). ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$ ${\displaystyle S.}$

Tenga en cuenta que estas propiedades también se cumplen si "clausura", "superconjunto", "intersección", "contiene/contiene", "más pequeño" y "cerrado" se reemplazan por "interior", "subconjunto", "unión", "contenido en", "más grande" y "abierto". Para obtener más información sobre este tema, consulte el operador de clausura a continuación.

Ejemplos

Consideremos una esfera en un espacio tridimensional. Implícitamente, existen dos regiones de interés creadas por esta esfera: la esfera misma y su interior (que se denomina esfera tridimensional abierta ). Es útil distinguir entre el interior y la superficie de la esfera, por lo que distinguimos entre la esfera tridimensional abierta (el interior de la esfera) y la esfera tridimensional cerrada (el cierre de la esfera tridimensional abierta, que es la esfera tridimensional abierta más la superficie (la superficie como la esfera misma).

En el espacio topológico :

• En cualquier espacio, . En otras palabras, la clausura del conjunto vacío es ella misma. ${\displaystyle \varnothing =\operatorname {cl} \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$
• En cualquier espacio ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X=\operatorname {cl} X.}$

Dando y la topología estándar (métrica) : ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

• Si es el espacio euclidiano de números reales , entonces . En otras palabras, la clausura del conjunto como subconjunto de es . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=[0,1]}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,1]}$
• Si es el espacio euclidiano , entonces la clausura del conjunto de números racionales es todo el espacio Decimos que es denso en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• Si es el plano complejo entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\left(\{z\in \mathbb {C} :|z|>1\}\right)=\{z\in \mathbb {C} :|z|\geq 1\}.}$
• Si es un subconjunto finito de un espacio euclidiano entonces (Para un espacio topológico general, esta propiedad es equivalente al axioma T 1 ). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=S.}$

En el conjunto de números reales se pueden poner otras topologías distintas a la estándar.

• Si está dotado de la topología de límite inferior , entonces ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=[0,1).}$
• Si se considera la topología discreta en la que cada conjunto está cerrado (abierto), entonces ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=(0,1).}$
• Si se considera la topología trivial en la que los únicos conjuntos cerrados (abiertos) son el conjunto vacío y él mismo, entonces ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=\mathbb {R} .}$

Estos ejemplos muestran que el cierre de un conjunto depende de la topología del espacio subyacente. Los dos últimos ejemplos son casos especiales de lo siguiente:

• En cualquier espacio discreto , como todo conjunto es cerrado (y también abierto), todo conjunto es igual a su clausura.
• En cualquier espacio indiscreto como los únicos conjuntos cerrados son el conjunto vacío y él mismo, tenemos que la clausura del conjunto vacío es el conjunto vacío, y para todo subconjunto no vacío de En otras palabras, todo subconjunto no vacío de un espacio indiscreto es denso . ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A=X.}$

El cierre de un conjunto también depende de en qué espacio estemos tomando el cierre. Por ejemplo, si es el conjunto de números racionales, con la topología relativa habitual inducida por el espacio euclidiano y si entonces es tanto cerrado como abierto en porque ni ni su complemento pueden contener a , que sería el límite inferior de , pero no puede estar en porque es irracional. Por lo tanto, no tiene un cierre bien definido debido a que los elementos de contorno no están en . Sin embargo, si en cambio definimos como el conjunto de números reales y definimos el intervalo de la misma manera, entonces el cierre de ese intervalo está bien definido y sería el conjunto de todos los números reales mayores o iguales a . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle S=\{q\in \mathbb {Q} :q^{2}>2,q>0\},}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Operador de cierre

Un operador de cierre sobre un conjunto es una aplicación del conjunto potencia de , en sí mismo que satisface los axiomas de cierre de Kuratowski . Dado un espacio topológico , el cierre topológico induce una función que se define enviando un subconjunto a donde se puede utilizar la notación o en su lugar. Por el contrario, si es un operador de cierre sobre un conjunto , entonces se obtiene un espacio topológico definiendo los conjuntos cerrados como exactamente aquellos subconjuntos que satisfacen (por lo que los complementos en de estos subconjuntos forman los conjuntos abiertos de la topología). ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}:\wp (X)\to \wp (X)}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S,}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle S^{-}}$ ${\displaystyle \mathbb {c} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle \mathbb {c} (S)=S}$ ${\displaystyle X}$

El operador de cierre es dual al operador interior , lo que se denota por en el sentido de que ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X},}$

${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=X\setminus \operatorname {int} _{X}(X\setminus S),}$

y también

${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S=X\setminus \operatorname {cl} _{X}(X\setminus S).}$

Por lo tanto, la teoría abstracta de los operadores de cierre y los axiomas de cierre de Kuratowski se pueden traducir fácilmente al lenguaje de los operadores interiores reemplazando los conjuntos con sus complementos en ${\displaystyle X.}$

En general, el operador de cierre no conmuta con intersecciones. Sin embargo, en un espacio métrico completo, se cumple el siguiente resultado:

Teorema ^[7]  (C. Ursescu)  —  Sea una secuencia de subconjuntos de un espacio métrico completo ${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X.}$

• Si cada uno está cerrado entonces ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {int} _{X}S_{i}\right)=\operatorname {cl} _{X}\left[\operatorname {int} _{X}\left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right)\right].}$$
• Si cada uno está abierto entonces ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \operatorname {int} _{X}\left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {cl} _{X}S_{i}\right)=\operatorname {int} _{X}\left[\operatorname {cl} _{X}\left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right)\right].}$$

Datos sobre los cierres

Un subconjunto es cerrado si y sólo si En particular: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=S.}$

• La clausura del conjunto vacío es el conjunto vacío;
• El cierre de sí mismo es ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• El cierre de una intersección de conjuntos es siempre un subconjunto de (pero no necesita ser igual a) la intersección de los cierres de los conjuntos.
• En una unión de un número finito de conjuntos, el cierre de la unión y la unión de los cierres son iguales; la unión de conjuntos cero es el conjunto vacío, por lo que esta afirmación contiene la afirmación anterior sobre el cierre del conjunto vacío como un caso especial.
• El cierre de la unión de infinitos conjuntos no necesita ser igual a la unión de los cierres, pero siempre es un superconjunto de la unión de los cierres.
  • Así, pues, así como la unión de dos conjuntos cerrados es cerrada, también el cierre se distribuye entre uniones binarias: es decir, Pero así como una unión de infinitos conjuntos cerrados no es necesariamente cerrada, también el cierre no necesariamente se distribuye entre infinitas uniones: es decir, es posible cuando es infinito. ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(S\cup T)=(\operatorname {cl} _{X}S)\cup (\operatorname {cl} _{X}T).}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\left(\bigcup _{i\in I}S_{i}\right)\neq \bigcup _{i\in I}\operatorname {cl} _{X}S_{i}}$ ${\displaystyle I}$

Si y si es un subespacio de (es decir, está dotado de la topología de subespacio que induce en él), entonces y el cierre de calculado en es igual a la intersección de y el cierre de calculado en : ${\displaystyle S\subseteq T\subseteq X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}S\subseteq \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}S~=~T\cap \operatorname {cl} _{X}S.}$$

De ello se deduce que es un subconjunto denso de si y solo si es un subconjunto de Es posible que sea un subconjunto propio de por ejemplo, tomemos y ${\displaystyle S\subseteq T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S.}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}S=T\cap \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S;}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle S=(0,1),}$ ${\displaystyle T=(0,\infty ).}$

Si pero no es necesariamente un subconjunto de entonces solo está siempre garantizado, donde esta contención podría ser estricta (considere por ejemplo con la topología usual, y ^{[prueba 1]} ), aunque si le sucede a un subconjunto abierto de entonces la igualdad se mantendrá (sin importar la relación entre y ). ${\displaystyle S,T\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}(S\cap T)~\subseteq ~T\cap \operatorname {cl} _{X}S}$$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle T=(-\infty ,0],}$ ${\displaystyle S=(0,\infty )}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}(S\cap T)=T\cap \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

En consecuencia, si es cualquier cubierta abierta de y si es cualquier subconjunto entonces: porque para cada (donde cada está dotado de la topología de subespacio inducida en él por ). Esta igualdad es particularmente útil cuando es una variedad y los conjuntos en la cubierta abierta son dominios de gráficos de coordenadas . En palabras, este resultado muestra que la clausura en de cualquier subconjunto se puede calcular "localmente" en los conjuntos de cualquier cubierta abierta de y luego unirlos. De esta manera, este resultado se puede ver como el análogo del hecho bien conocido de que un subconjunto es cerrado en si y solo si es " localmente cerrado en ", lo que significa que si es cualquier cubierta abierta de entonces es cerrado en si y solo si es cerrado en para cada ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=\bigcup _{U\in {\mathcal {U}}}\operatorname {cl} _{U}(U\cap S)}$$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{U}(S\cap U)=U\cap \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\cap U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}.}$

Funciones y cierre

Continuidad

Una función entre espacios topológicos es continua si y solo si la preimagen de cada subconjunto cerrado del codominio está cerrada en el dominio; explícitamente, esto significa: está cerrada en siempre que sea un subconjunto cerrado de ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(C)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle Y.}$

En términos del operador de clausura, es continua si y solo si para cada subconjunto Es decir, dado cualquier elemento que pertenece a la clausura de un subconjunto necesariamente pertenece a la clausura de en Si declaramos que un punto está cerca de un subconjunto si entonces esta terminología permite una descripción en inglés simple de la continuidad: es continua si y solo si para cada subconjunto asigna puntos que están cerca de a puntos que están cerca de Así, las funciones continuas son exactamente aquellas funciones que preservan (en la dirección hacia adelante) la relación de "cercanía" entre puntos y conjuntos: una función es continua si y solo si siempre que un punto está cerca de un conjunto entonces la imagen de ese punto está cerca de la imagen de ese conjunto. De manera similar, es continua en un punto dado fijo si y solo si siempre que está cerca de un subconjunto entonces está cerca de ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ $${\displaystyle f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)~\subseteq ~\operatorname {cl} _{Y}(f(A)).}$$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(A)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}A,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(A).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(A).}$

Mapas cerrados

Una función es una función (fuertemente) cerrada si y solo si siempre que es un subconjunto cerrado de entonces es un subconjunto cerrado de En términos del operador de cierre, es una función (fuertemente) cerrada si y solo si para cada subconjunto De manera equivalente, es una función (fuertemente) cerrada si y solo si para cada subconjunto cerrado ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(C)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}f(A)\subseteq f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)}$ ${\displaystyle A\subseteq X.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}f(C)\subseteq f(C)}$ ${\displaystyle C\subseteq X.}$

Interpretación categórica

Se puede definir el operador de cierre en términos de flechas universales, de la siguiente manera.

El conjunto potencia de un conjunto puede realizarse como una categoría de orden parcial en la que los objetos son subconjuntos y los morfismos son mapas de inclusión siempre que sea un subconjunto de Además, una topología en es una subcategoría de con functor de inclusión El conjunto de subconjuntos cerrados que contienen un subconjunto fijo se puede identificar con la categoría de coma Esta categoría —también un orden parcial— tiene entonces objeto inicial Por lo tanto, hay una flecha universal de a dada por la inclusión ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle I:T\to P.}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle (A\downarrow I).}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle A\to \operatorname {cl} A.}$

De manera similar, dado que todo conjunto cerrado que contiene corresponde a un conjunto abierto contenido en, podemos interpretar la categoría como el conjunto de subconjuntos abiertos contenidos en con objeto terminal el interior de ${\displaystyle X\setminus A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (I\downarrow X\setminus A)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \operatorname {int} (A),}$ ${\displaystyle A.}$

De esta definición se pueden derivar todas las propiedades de la clausura y algunas propiedades de las categorías anteriores. Además, esta definición precisa la analogía entre la clausura topológica y otros tipos de clausuras (por ejemplo, la clausura algebraica ), ya que todas son ejemplos de flechas universales .

Véase también

• Punto adherente  : Punto que pertenece a la clausura de algún subconjunto dado de un espacio topológico.
• Álgebra de clausura  – Estructura algebraicaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Conjunto regular cerrado , conjunto igual a la clausura de su interior.
• Conjunto derivado (matemáticas)  : conjunto de todos los puntos límite de un conjunto
• Interior (topología)  : subconjunto abierto más grande de un conjunto dado
• Punto límite de un conjunto  – Punto de agrupación en un espacio topológicoPages displaying short descriptions of redirect targets

Notas

1. De y se sigue que y lo cual implica ${\displaystyle T:=(-\infty ,0]}$ ${\displaystyle S:=(0,\infty )}$ ${\displaystyle S\cap T=\varnothing }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=[0,\infty ),}$ $${\displaystyle \varnothing ~=~\operatorname {cl} _{T}(S\cap T)~\neq ~T\cap \operatorname {cl} _{X}S~=~\{0\}.}$$

Referencias

1. Schubert 1968, pág. 20
2. Kuratowski 1966, pág. 75
3. Hocking y Young 1988, pág. 4
4. Croom 1989, pág. 104
5. Gemignani 1990, p. 55, Pervin 1965, p. 40 y Baker 1991, p. 38 utilizan la segunda propiedad como definición.
6. Pervin 1965, pág. 41
7. Zălinescu 2002, pág. 33.

Bibliografía

• Baker, Crump W. (1991), Introducción a la topología , Wm. C. Brown Publisher, ISBN 0-697-05972-3
• Croom, Fred H. (1989), Principios de topología , Saunders College Publishing, ISBN 0-03-012813-7
• Gemignani, Michael C. (1990) [1967], Topología elemental (2.ª ed.), Dover, ISBN 0-486-66522-4
• Hocking, John G.; Young, Gail S. (1988) [1961], Topología , Dover, ISBN 0-486-65676-4
• Kuratowski, K. (1966), Topología , vol. I, Academic Press
• Pervin, William J. (1965), Fundamentos de topología general , Academic Press
• Schubert, Horst (1968), Topología , Allyn y Bacon
• Zălinescu, Constantin (30 de julio de 2002). Análisis convexo en espacios vectoriales generales . River Edge, NJ Londres: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556. OCLC  285163112 – vía Internet Archive .

Enlaces externos

• "Cierre de un conjunto", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]