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Por Martin-Löf

Per Erik Rutger Martin-Löf ( nacido el 8 de mayo de 1942) es un lógico , filósofo y estadístico matemático sueco . Es reconocido internacionalmente por su trabajo sobre los fundamentos de la probabilidad , la estadística , la lógica matemática y la informática . Desde finales de la década de 1970, las publicaciones de Martin-Löf han sido principalmente sobre lógica . En lógica filosófica , Martin-Löf ha luchado con la filosofía de la consecuencia lógica y el juicio , en parte inspirado por el trabajo de Brentano , Frege y Husserl . En lógica matemática , Martin-Löf ha estado activo en el desarrollo de la teoría de tipos intuicionista como una base constructiva de las matemáticas; el trabajo de Martin-Löf sobre la teoría de tipos ha influido en la informática . [4]

Hasta su jubilación en 2009, [5] Per Martin-Löf ocupó una cátedra conjunta de Matemáticas y Filosofía en la Universidad de Estocolmo . [6]

Su hermano Anders Martin-Löf es ahora profesor emérito de estadística matemática en la Universidad de Estocolmo; los dos hermanos han colaborado en la investigación sobre probabilidad y estadística. La investigación de Anders y Per Martin-Löf ha influido en la teoría estadística, especialmente en lo relativo a las familias exponenciales , el método de expectativa-maximización para datos faltantes y la selección de modelos . [7]

Per Martin-Löf recibió su doctorado en 1970 en la Universidad de Estocolmo , bajo la dirección de Andrey Kolmogorov . [8]

Martin-Löf es un entusiasta observador de aves ; su primera publicación científica fue sobre las tasas de mortalidad de las aves anilladas . [9]

Aleatoriedad y complejidad de Kolmogorov

En 1964 y 1965, Martin-Löf estudió en Moscú bajo la supervisión de Andrei N. Kolmogorov . En 1966 escribió un artículo titulado The definition of random sequences (La definición de secuencias aleatorias) , que proporcionó la primera definición adecuada de una secuencia aleatoria. [10]

Investigadores anteriores, como Richard von Mises , habían intentado formalizar la noción de una prueba de aleatoriedad para definir una secuencia aleatoria como aquella que pasaba todas las pruebas de aleatoriedad; sin embargo, la noción precisa de una prueba de aleatoriedad quedó vaga. La idea clave de Martin-Löf fue utilizar la teoría de la computación para definir formalmente la noción de una prueba de aleatoriedad. Esto contrasta con la idea de aleatoriedad en la probabilidad ; en esa teoría, no se puede decir que ningún elemento particular de un espacio muestral sea aleatorio.

Desde entonces se ha demostrado que la aleatoriedad de Martin-Löf admite muchas caracterizaciones equivalentes —en términos de compresión , pruebas de aleatoriedad y juego— que tienen poco parecido exterior con la definición original, pero cada una de las cuales satisface nuestra noción intuitiva de propiedades que deben tener las secuencias aleatorias: las secuencias aleatorias deben ser incompresibles, deben pasar pruebas estadísticas de aleatoriedad y debe ser imposible ganar dinero apostando en ellas. La existencia de estas múltiples definiciones de aleatoriedad de Martin-Löf, y la estabilidad de estas definiciones bajo diferentes modelos de computación, dan evidencia de que la aleatoriedad de Martin-Löf es una propiedad fundamental de las matemáticas y no un accidente del modelo particular de Martin-Löf. La tesis de que la definición de aleatoriedad de Martin-Löf captura "correctamente" la noción intuitiva de aleatoriedad se ha llamado la "Tesis de Martin-Löf -Chaitin "; es algo similar a la tesis de Church-Turing . [11]

Siguiendo el trabajo de Martin-Löf, la teoría de la información algorítmica define una cadena aleatoria como aquella que no puede ser producida por ningún programa de computadora que sea más corta que la cadena ( aleatoriedad de Chaitin-Kolmogorov ); es decir, una cadena cuya complejidad de Kolmogorov es al menos la longitud de la cadena. Este es un significado diferente del uso del término en estadística. Mientras que la aleatoriedad estadística se refiere al proceso que produce la cadena (por ejemplo, lanzar una moneda para producir cada bit producirá aleatoriamente una cadena), la aleatoriedad algorítmica se refiere a la cadena en sí . La teoría de la información algorítmica separa las cadenas aleatorias de las no aleatorias de una manera que es relativamente invariante al modelo de cálculo que se esté utilizando.

Una secuencia algorítmicamente aleatoria es una secuencia infinita de caracteres, cuyos prefijos (excepto posiblemente un número finito de excepciones) son cadenas que están "cerca de" ser algorítmicamente aleatorias (su longitud está dentro de una constante de su complejidad de Kolmogorov).

Estadística matemática

Per Martin-Löf ha realizado importantes investigaciones en estadística matemática , que (en la tradición sueca) incluye la teoría de la probabilidad y la estadística .

Observación de aves y determinación del sexo

El correlimos común (Calidris alpina)

Per Martin-Löf comenzó a observar aves en su juventud y sigue siendo un entusiasta observador de aves. [12] Cuando era adolescente, publicó un artículo sobre la estimación de las tasas de mortalidad de las aves, utilizando datos del anillamiento de aves , en una revista zoológica sueca: Este artículo pronto fue citado en importantes revistas internacionales y sigue siendo citado. [9] [13]

En la biología y estadística de las aves , existen varios problemas de datos faltantes . El primer artículo de Martin-Löf abordó el problema de estimar las tasas de mortalidad de la especie Correlimos común , utilizando métodos de captura y recaptura . El problema de determinar el sexo biológico de un ave, que es extremadamente difícil para los humanos, es uno de los primeros ejemplos en las conferencias de Martin-Löf sobre modelos estadísticos .

Probabilidad en estructuras algebraicas

Martin-Löf escribió una tesis de licenciatura sobre probabilidad en estructuras algebraicas, particularmente semigrupos, mientras era estudiante de Ulf Grenander en la Universidad de Estocolmo. [14] [15] [16]

Modelos estadísticos

Martin-Löf desarrolló enfoques innovadores para la teoría estadística . En su artículo "Sobre las tablas de números aleatorios", Kolmogorov observó que la noción de probabilidad de frecuencia de las propiedades limitantes de las secuencias infinitas no proporcionaba una base para la estadística, que solo considera muestras finitas. [17] Gran parte del trabajo de Martin-Löf en estadística consistió en proporcionar una base de muestras finitas para la estadística.

Selección de modelos y prueba de hipótesis

Los pasos del algoritmo EM en un modelo de mezcla gaussiana de dos componentes en el conjunto de datos Old Faithful

En la década de 1970, Per Martin-Löf realizó importantes contribuciones a la teoría estadística e inspiró investigaciones posteriores, especialmente por parte de estadísticos escandinavos como Rolf Sundberg, Thomas Höglund y Steffan Lauritzen. En este trabajo, la investigación previa de Martin-Löf sobre medidas de probabilidad en semigrupos condujo a una noción de "estructura repetitiva" y un tratamiento novedoso de las estadísticas suficientes, en el que se caracterizaron las familias exponenciales de un parámetro . Proporcionó un enfoque de teoría de categorías para los modelos estadísticos anidados , utilizando principios de muestra finita. Antes (y después) de Martin-Löf, dichos modelos anidados a menudo se han probado utilizando pruebas de hipótesis de chi-cuadrado, cuyas justificaciones son solo asintóticas (y, por lo tanto, irrelevantes para los problemas reales, que siempre tienen muestras finitas). [17]

Método de expectativa-maximización para familias exponenciales

El estudiante de Martin-Löf, Rolf Sundberg, desarrolló un análisis detallado del método de expectativa-maximización (EM) para la estimación utilizando datos de familias exponenciales, especialmente con datos faltantes . Sundberg atribuye una fórmula, más tarde conocida como la fórmula de Sundberg, a manuscritos anteriores de los hermanos Martin-Löf, Per y Anders . [18] [19] [20] [21] Muchos de estos resultados llegaron a la comunidad científica internacional a través del artículo de 1976 sobre el método de expectativa-maximización (EM) de Arthur P. Dempster , Nan Laird y Donald Rubin , que se publicó en una revista internacional líder, patrocinada por la Royal Statistical Society . [22]

Lógica

Franz Brentano

Lógica filosófica

En lógica filosófica , Per Martin-Löf ha publicado artículos sobre la teoría de la consecuencia lógica , sobre los juicios , etc. Se ha interesado por las tradiciones filosóficas de Europa Central , especialmente por los escritos en lengua alemana de Franz Brentano , Gottlob Frege y Edmund Husserl .

Teoría de tipos

Martin-Löf ha trabajado en lógica matemática durante muchas décadas.

De 1968 a '69 trabajó como profesor asistente en la Universidad de Chicago , donde conoció a William Alvin Howard, con quien discutió cuestiones relacionadas con la correspondencia Curry-Howard . El primer borrador del artículo de Martin-Löf sobre la teoría de tipos data de 1971. Esta teoría impredicativa generalizó el Sistema F de Girard . Sin embargo, este sistema resultó ser inconsistente debido a la paradoja de Girard que fue descubierta por Girard al estudiar el Sistema U, una extensión inconsistente del Sistema F. Esta experiencia llevó a Per Martin-Löf a desarrollar los fundamentos filosóficos de la teoría de tipos , su explicación del significado , una forma de semántica de teoría de pruebas , que justifica la teoría de tipos predicativa como se presenta en su libro Bibliopolis de 1984, y se extendió en una serie de textos cada vez más filosóficos, como su influyente Sobre los significados de las constantes lógicas y las justificaciones de las leyes lógicas .

La teoría de tipos de 1984 era extensional, mientras que la teoría de tipos presentada en el libro de Nordström et al. en 1990, que estuvo fuertemente influenciada por sus ideas posteriores, era intensional y más susceptible de ser implementada en una computadora.

La teoría de tipos intuicionista de Martin-Löf desarrolló la noción de tipos dependientes e influyó directamente en el desarrollo del cálculo de construcciones y el marco lógico LF . Varios sistemas de prueba basados ​​en computadora populares se basan en la teoría de tipos, por ejemplo, NuPRL , LEGO, Coq , ALF, Agda , Twelf , Epigram e Idris .

Premios

Martin-Löf es miembro de la Real Academia Sueca de Ciencias [23] (elegido en 1990) y de la Academia Europaea (elegido en 1989). [6]

Véase también

Notas

  1. ^ El Quién es Quién Internacional: 1996-97 , Europa Publications, 1996, pág. 1020: "Martin-Löf, Per Erik Rutger".
  2. ^ ¿HoTT proporciona una base para las matemáticas? por James Ladyman (Universidad de Bristol, Reino Unido)
  3. ^ Peter Dybjer sobre tipos y pruebas – The Type Theory Podcast
  4. ^ Véase, por ejemplo, Nordström, Bengt; Petersson, Kent; Smith, Jan M. (1990), Programación en la teoría de tipos de Martin-Löf: una introducción (PDF) , Oxford University Press.
  5. ^ Filosofía y fundamentos de las matemáticas: aspectos epistemológicos y ontológicos. Conferencia dedicada a Per Martin-Löf con motivo de su jubilación Archivado el 2 de febrero de 2014 en Wayback Machine . Swedish Collegium for Advanced Study, Uppsala, 5-8 de mayo de 2009. Consultado el 26 de enero de 2014.
  6. ^ ab Perfil de miembro, Academia Europaea , consultado el 26 de enero de 2014.
  7. ^ Para obtener más detalles, consulte la sección #Modelos estadísticos de este artículo.
  8. ^ "Per Martin-Löf". Proyecto de genealogía matemática . Consultado el 4 de octubre de 2022 .
  9. ^ por Martin-Löf (1961).
  10. ^ Martin-Löf, Per (1966). "La definición de secuencias aleatorias". Información y Control . 9 (6): 602–619. doi :10.1016/S0019-9958(66)80018-9.
  11. ^ Jean-Paul Delahaye , Aleatoriedad, imprevisibilidad y ausencia de orden, en Filosofía de la probabilidad , pág. 145-167, Springer 1993.
  12. ^ George A. Barnard , "Gone Birdwatching", New Scientist , 4 de diciembre de 1999, número de revista 2215.
  13. ^ SM Taylor (1966). "Trabajo cuantitativo reciente sobre las poblaciones de aves británicas. Una revisión". Revista de la Royal Statistical Society, Serie D . 16 (2): 119–170. doi :10.2307/2986734. JSTOR  2986734.
  14. ^ Martin-Löf, P. El teorema de continuidad en un grupo localmente compacto. Teor. Verojatnost. i Primenen. 10 1965 367–371.
  15. ^ Martin-Löf, Teoría por probabilidad de semigrupos discretos. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete 4 1965 78–102
  16. ^ Nitis Mukhopadhyay. Una conversación con Ulf Grenander. Statist. Sci. Volumen 21, Número 3 (2006), 404–426.
  17. ^ ab Kolmogorov, Andrei N. (1963). "Sobre las tablas de números aleatorios". Sankhyā Ser. A. 25 : 369–375.
  18. ^ Rolf Sundberg. 1971. Teoría de máxima verosimilitud y aplicaciones para distribuciones generadas al observar una función de una variable de la familia exponencial . Tesis doctoral, Instituto de Estadística Matemática, Universidad de Estocolmo.
  19. ^ Anders Martin-Löf . 1963. "Utvärdering av livslängder i subnanosekundsområdet" ("Evaluación de vidas en períodos de tiempo inferiores a un nanosegundo"). ("fórmula de Sundberg")
  20. ^ Per Martin-Löf. 1966. Estadísticas desde el punto de vista de la mecánica estadística . Apuntes de clase, Instituto de Matemáticas, Universidad de Aarhus. ("Fórmula de Sundberg" atribuida a Anders Martin-Löf).
  21. ^ Según Martin-Löf. 1970. Statistika Modeller (Modelos estadísticos): Anteckningar fran seminarier läsåret 1969–1970 (Notas de seminarios del año académico 1969–1970), con la ayuda de Rolf Sundberg. Universidad de Estocolmo. ("fórmula de Sundberg")
  22. ^ Dempster, AP ; Laird, NM ; Rubin, DB (1977). "Máxima verosimilitud a partir de datos incompletos mediante el algoritmo EM". Revista de la Royal Statistical Society, Serie B. 39 ( 1): 1–38. doi :10.1111/j.2517-6161.1977.tb01600.x. JSTOR  2984875. MR  0501537.
  23. ^ "Per Martin-Løf". Miembros . Real Academia Sueca de Ciencias . Consultado el 12 de abril de 2024 .

Referencias

Observación de aves y datos faltantes

Fundamentos de probabilidad

Probabilidad en estructuras algebraicas, siguiendo a Ulf Grenander

Fundamentos de estadística

Fundamentos de matemáticas, lógica y informática.

Enlaces externos