Secuencia de Lucas

Ciertas secuencias de números enteros recursivos constantes

En matemáticas , las sucesiones de Lucas y son ciertas sucesiones de números enteros recursivos constantes que satisfacen la relación de recurrencia. ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$ ${\displaystyle V_{n}(P,Q)}$

${\displaystyle x_{n}=P\cdot x_{n-1}-Q\cdot x_{n-2}}$

donde y son números enteros fijos . Cualquier secuencia que satisfaga esta relación de recurrencia puede representarse como una combinación lineal de las secuencias de Lucas y ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$ ${\displaystyle V_{n}(P,Q).}$

De manera más general, las secuencias de Lucas y representan secuencias de polinomios en y con coeficientes enteros . ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$ ${\displaystyle V_{n}(P,Q)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

Entre los ejemplos famosos de secuencias de Lucas se incluyen los números de Fibonacci , los números de Mersenne , los números de Pell , los números de Lucas , los números de Jacobsthal y un superconjunto de números de Fermat (véase más abajo). Las secuencias de Lucas reciben su nombre del matemático francés Édouard Lucas .

Relaciones de recurrencia

Dados dos parámetros enteros y , las secuencias de Lucas del primer tipo y del segundo tipo se definen mediante las relaciones de recurrencia : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$ ${\displaystyle V_{n}(P,Q)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(P,Q)&=0,\\U_{1}(P,Q)&=1,\\U_{n}(P,Q)&=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q){\mbox{ for }}n>1,\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{0}(P,Q)&=2,\\V_{1}(P,Q)&=P,\\V_{n}(P,Q)&=P\cdot V_{n-1}(P,Q)-Q\cdot V_{n-2}(P,Q){\mbox{ for }}n>1.\end{aligned}}}$

No es difícil demostrar que para , ${\displaystyle n>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{n}(P,Q)&={\frac {P\cdot U_{n-1}(P,Q)+V_{n-1}(P,Q)}{2}},\\V_{n}(P,Q)&={\frac {(P^{2}-4Q)\cdot U_{n-1}(P,Q)+P\cdot V_{n-1}(P,Q)}{2}}.\end{aligned}}}$

Las relaciones anteriores se pueden expresar en forma matricial de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}U_{n}(P,Q)\\U_{n+1}(P,Q)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-Q&P\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}U_{n-1}(P,Q)\\U_{n}(P,Q)\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{n}(P,Q)\\V_{n+1}(P,Q)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-Q&P\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}V_{n-1}(P,Q)\\V_{n}(P,Q)\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}U_{n}(P,Q)\\V_{n}(P,Q)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P/2&1/2\\(P^{2}-4Q)/2&P/2\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}U_{n-1}(P,Q)\\V_{n-1}(P,Q)\end{bmatrix}}.}$

Ejemplos

Los términos iniciales de las sucesiones de Lucas y se dan en la tabla: ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$ ${\displaystyle V_{n}(P,Q)}$

${\displaystyle {\begin{array}{r|l|l}n&U_{n}(P,Q)&V_{n}(P,Q)\\\hline 0&0&2\\1&1&P\\2&P&{P}^{2}-2Q\\3&{P}^{2}-Q&{P}^{3}-3PQ\\4&{P}^{3}-2PQ&{P}^{4}-4{P}^{2}Q+2{Q}^{2}\\5&{P}^{4}-3{P}^{2}Q+{Q}^{2}&{P}^{5}-5{P}^{3}Q+5P{Q}^{2}\\6&{P}^{5}-4{P}^{3}Q+3P{Q}^{2}&{P}^{6}-6{P}^{4}Q+9{P}^{2}{Q}^{2}-2{Q}^{3}\end{array}}}$

Expresiones explícitas

La ecuación característica de la relación de recurrencia para las secuencias de Lucas y es: ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$ ${\displaystyle V_{n}(P,Q)}$

${\displaystyle x^{2}-Px+Q=0\,}$

Tiene el discriminante y las raíces : ${\displaystyle D=P^{2}-4Q}$

${\displaystyle a={\frac {P+{\sqrt {D}}}{2}}\quad {\text{and}}\quad b={\frac {P-{\sqrt {D}}}{2}}.\,}$

De este modo:

${\displaystyle a+b=P\,,}$

${\displaystyle ab={\frac {1}{4}}(P^{2}-D)=Q\,,}$

${\displaystyle a-b={\sqrt {D}}\,.}$

Tenga en cuenta que la secuencia y la secuencia también satisfacen la relación de recurrencia. Sin embargo, es posible que no sean secuencias enteras. ${\displaystyle a^{n}}$ ${\displaystyle b^{n}}$

Raíces distintas

Cuando a y b son distintos y uno verifica rápidamente que ${\displaystyle D\neq 0}$

${\displaystyle a^{n}={\frac {V_{n}+U_{n}{\sqrt {D}}}{2}}}$

${\displaystyle b^{n}={\frac {V_{n}-U_{n}{\sqrt {D}}}{2}}.}$

De ello se deduce que los términos de las sucesiones de Lucas se pueden expresar en términos de a y b de la siguiente manera

${\displaystyle U_{n}={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}={\frac {a^{n}-b^{n}}{\sqrt {D}}}}$

${\displaystyle V_{n}=a^{n}+b^{n}\,}$

Raíz repetida

El caso ocurre exactamente cuando para algún entero S tal que . En este caso uno encuentra fácilmente que ${\displaystyle D=0}$ ${\displaystyle P=2S{\text{ and }}Q=S^{2}}$ ${\displaystyle a=b=S}$

${\displaystyle U_{n}(P,Q)=U_{n}(2S,S^{2})=nS^{n-1}\,}$

${\displaystyle V_{n}(P,Q)=V_{n}(2S,S^{2})=2S^{n}.\,}$

Propiedades

Funciones generadoras

Las funciones generadoras ordinarias son

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}U_{n}(P,Q)z^{n}={\frac {z}{1-Pz+Qz^{2}}};}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}V_{n}(P,Q)z^{n}={\frac {2-Pz}{1-Pz+Qz^{2}}}.}$

Ecuaciones de Pell

Cuando las secuencias de Lucas y satisfacen ciertas ecuaciones de Pell : ${\displaystyle Q=\pm 1}$ ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$ ${\displaystyle V_{n}(P,Q)}$

${\displaystyle V_{n}(P,1)^{2}-D\cdot U_{n}(P,1)^{2}=4,}$

${\displaystyle V_{2n}(P,-1)^{2}-D\cdot U_{2n}(P,-1)^{2}=4,}$

${\displaystyle V_{2n+1}(P,-1)^{2}-D\cdot U_{2n+1}(P,-1)^{2}=-4.}$

Relaciones entre secuencias con diferentes parámetros

• Para cualquier número c , las sucesiones y con ${\displaystyle U_{n}(P',Q')}$ ${\displaystyle V_{n}(P',Q')}$

${\displaystyle P'=P+2c}$

${\displaystyle Q'=cP+Q+c^{2}}$

tienen el mismo discriminante que y : ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$ ${\displaystyle V_{n}(P,Q)}$

${\displaystyle P'^{2}-4Q'=(P+2c)^{2}-4(cP+Q+c^{2})=P^{2}-4Q=D.}$

• Para cualquier número c , también tenemos

${\displaystyle U_{n}(cP,c^{2}Q)=c^{n-1}\cdot U_{n}(P,Q),}$

${\displaystyle V_{n}(cP,c^{2}Q)=c^{n}\cdot V_{n}(P,Q).}$

Otras relaciones

Los términos de las sucesiones de Lucas satisfacen relaciones que son generalizaciones de las existentes entre los números de Fibonacci y los números de Lucas . Por ejemplo: ${\displaystyle F_{n}=U_{n}(1,-1)}$ ${\displaystyle L_{n}=V_{n}(1,-1)}$

${\displaystyle {\begin{array}{r|l}{\text{General case}}&(P,Q)=(1,-1)\\\hline (P^{2}-4Q)U_{n}={V_{n+1}-QV_{n-1}}=2V_{n+1}-PV_{n}&5F_{n}={L_{n+1}+L_{n-1}}=2L_{n+1}-L_{n}\\V_{n}=U_{n+1}-QU_{n-1}=2U_{n+1}-PU_{n}&L_{n}=F_{n+1}+F_{n-1}=2F_{n+1}-F_{n}\\U_{2n}=U_{n}V_{n}&F_{2n}=F_{n}L_{n}\\V_{2n}=V_{n}^{2}-2Q^{n}&L_{2n}=L_{n}^{2}-2(-1)^{n}\\U_{m+n}=U_{n}U_{m+1}-QU_{m}U_{n-1}={\frac {U_{m}V_{n}+U_{n}V_{m}}{2}}&F_{m+n}=F_{n}F_{m+1}+F_{m}F_{n-1}={\frac {F_{m}L_{n}+F_{n}L_{m}}{2}}\\V_{m+n}=V_{m}V_{n}-Q^{n}V_{m-n}=DU_{m}U_{n}+Q^{n}V_{m-n}&L_{m+n}=L_{m}L_{n}-(-1)^{n}L_{m-n}=5F_{m}F_{n}+(-1)^{n}L_{m-n}\\V_{n}^{2}-DU_{n}^{2}=4Q^{n}&L_{n}^{2}-5F_{n}^{2}=4(-1)^{n}\\U_{n}^{2}-U_{n-1}U_{n+1}=Q^{n-1}&F_{n}^{2}-F_{n-1}F_{n+1}=(-1)^{n-1}\\V_{n}^{2}-V_{n-1}V_{n+1}=DQ^{n-1}&L_{n}^{2}-L_{n-1}L_{n+1}=5(-1)^{n-1}\\DU_{n}=V_{n+1}-QV_{n-1}&F_{n}={\frac {L_{n+1}+L_{n-1}}{5}}\\V_{m+n}={\frac {V_{m}V_{n}+DU_{m}U_{n}}{2}}&L_{m+n}={\frac {L_{m}L_{n}+5F_{m}F_{n}}{2}}\\U_{m+n}=U_{m}V_{n}-Q^{n}U_{m-n}&F_{n+m}=F_{m}L_{n}-(-1)^{n}F_{m-n}\\2^{n-1}U_{n}={n \choose 1}P^{n-1}+{n \choose 3}P^{n-3}D+\cdots &2^{n-1}F_{n}={n \choose 1}+5{n \choose 3}+\cdots \\2^{n-1}V_{n}=P^{n}+{n \choose 2}P^{n-2}D+{n \choose 4}P^{n-4}D^{2}+\cdots &2^{n-1}L_{n}=1+5{n \choose 2}+5^{2}{n \choose 4}+\cdots \end{array}}}$

Propiedades de divisibilidad

Entre las consecuencias está que es un múltiplo de , es decir, la sucesión es una sucesión de divisibilidad . Esto implica, en particular, que puede ser primo solo cuando n es primo. Otra consecuencia es un análogo de la exponenciación por cuadrado que permite el cálculo rápido de para valores grandes de n . Además, si , entonces es una sucesión de divisibilidad fuerte . ${\displaystyle U_{km}(P,Q)}$ ${\displaystyle U_{m}(P,Q)}$ ${\displaystyle (U_{m}(P,Q))_{m\geq 1}}$ ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$ ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$ ${\displaystyle \gcd(P,Q)=1}$ ${\displaystyle (U_{m}(P,Q))_{m\geq 1}}$

Otras propiedades de divisibilidad son las siguientes: ^[1]

• Si es impar , entonces divide . ${\displaystyle n\mid m}$ ${\displaystyle V_{m}}$ ${\displaystyle V_{n}}$
• Sea N un entero primo relativo a 2 Q . Si existe el entero positivo más pequeño r para el cual N es divisor , entonces el conjunto de n para el cual N es divisor es exactamente el conjunto de múltiplos de r . ${\displaystyle U_{r}}$ ${\displaystyle U_{n}}$
• Si P y Q son pares , entonces son siempre pares excepto . ${\displaystyle U_{n},V_{n}}$ ${\displaystyle U_{1}}$
• Si P es par y Q es impar, entonces la paridad de es la misma que n y siempre es par. ${\displaystyle U_{n}}$ ${\displaystyle V_{n}}$
• Si P es impar y Q es par, entonces siempre son impares para . ${\displaystyle U_{n},V_{n}}$ ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$
• Si P y Q son impares, entonces son pares si y sólo si n es un múltiplo de 3. ${\displaystyle U_{n},V_{n}}$
• Si p es un número primo impar, entonces (ver símbolo de Legendre ). ${\displaystyle U_{p}\equiv \left({\tfrac {D}{p}}\right),V_{p}\equiv P{\pmod {p}}}$
• Si p es un primo impar y divide a P y Q , entonces p divide para cada . ${\displaystyle U_{n}}$ ${\displaystyle n>1}$
• Si p es un primo impar y divide a P pero no a Q , entonces p divide si y sólo si n es par. ${\displaystyle U_{n}}$
• Si p es un primo impar y no divide a P sino a Q , entonces p nunca divide a Q. ${\displaystyle U_{n}}$ ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$
• Si p es un primo impar y no divide a PQ sino a D , entonces p divide si y sólo si p divide a n . ${\displaystyle U_{n}}$
• Si p es un primo impar y no divide a PQD , entonces p divide a , donde . ${\displaystyle U_{l}}$ ${\displaystyle l=p-\left({\tfrac {D}{p}}\right)}$

El último hecho generaliza el pequeño teorema de Fermat . Estos hechos se utilizan en la prueba de primalidad de Lucas-Lehmer . El inverso del último hecho no se cumple, como tampoco se cumple el inverso del pequeño teorema de Fermat. Existe un compuesto n primo relativo con D y que divide a , donde . Tal compuesto se llama pseudoprimo de Lucas . ${\displaystyle U_{l}}$ ${\displaystyle l=n-\left({\tfrac {D}{n}}\right)}$

Un factor primo de un término en una secuencia de Lucas que no divide a ningún término anterior en la secuencia se llama primitivo . El teorema de Carmichael establece que todos los términos de una secuencia de Lucas, excepto un número finito, tienen un factor primo primitivo. ^[2] De hecho, Carmichael (1913) demostró que si D es positivo y n no es 1, 2 o 6, entonces tiene un factor primo primitivo. En el caso de que D sea negativo, un resultado profundo de Bilu, Hanrot, Voutier y Mignotte ^[3] muestra que si n > 30, entonces tiene un factor primo primitivo y determina que todos los casos no tienen ningún factor primo primitivo. ${\displaystyle U_{n}}$ ${\displaystyle U_{n}}$ ${\displaystyle U_{n}}$

Nombres específicos

Las secuencias de Lucas para algunos valores de P y Q tienen nombres específicos:

U _n (1, −1)  : números de Fibonacci

V _n (1, −1)  : números de Lucas

U _n (2, −1)  : Números de Pell

V _n (2, −1)  : números de Pell–Lucas (números de Pell complementarios)

U _n (1, −2)  : Números de Jacobsthal

V _n (1, −2)  : números de Jacobsthal-Lucas

U _n (3, 2)  : Números de Mersenne 2 ⁿ  − 1

V _n (3, 2)  : Números de la forma 2 ⁿ  + 1, que incluyen los números de Fermat ^[2]

U _n (6, 1)  : Las raíces cuadradas de los números triangulares cuadrados .

U _n ( x , −1)  : polinomios de Fibonacci

V _n ( x , −1)  : polinomios de Lucas

U _n (2 x , 1)  : polinomios de Chebyshev de segundo tipo

V _n (2 x , 1)  : polinomios de Chebyshev de primer tipo multiplicados por 2

U _n ( x +1, x )  : Reuniones en base x

V _n ( x + 1, x )  : x ⁿ  + 1

Algunas secuencias de Lucas tienen entradas en la Enciclopedia en línea de secuencias de números enteros :

Aplicaciones

• Las secuencias de Lucas se utilizan en pruebas pseudoprimas probabilísticas de Lucas , que son parte de la prueba de primalidad de Baillie-PSW de uso común .
• Las secuencias de Lucas se utilizan en algunos métodos de prueba de primalidad, incluida la prueba de Lucas-Lehmer-Riesel y los métodos N+1 e híbridos N−1/N+1 como los de Brillhart-Lehmer-Selfridge 1975. ^[4]
• LUC es un criptosistema de clave pública basado en secuencias de Lucas ^[5] que implementa los análogos de ElGamal (LUCELG), Diffie–Hellman (LUCDIF) y RSA (LUCRSA). El cifrado del mensaje en LUC se calcula como un término de cierta secuencia de Lucas, en lugar de utilizar la exponenciación modular como en RSA o Diffie–Hellman. Sin embargo, un artículo de Bleichenbacher et al. ^[6] muestra que muchas de las supuestas ventajas de seguridad de LUC sobre los criptosistemas basados ​​en la exponenciación modular no están presentes o no son tan sustanciales como se afirma.

Software

Sagemath implementa y como y , respectivamente. ^[7] ${\displaystyle U_{n}}$ ${\displaystyle V_{n}}$lucas_number1()lucas_number2()

Véase también

• Lucas pseudoprime
• Pseudoprimo de Frobenius
• Pseudoprime de Somer-Lucas

Notas

1. Para tales relaciones y propiedades de divisibilidad, véase (Carmichael 1913), (Lehmer 1930) o (Ribenboim 1996, 2.IV).
2. Yabuta, M (2001). "Una prueba simple del teorema de Carmichael sobre divisores primitivos" (PDF) . Fibonacci Quarterly . 39 (5): 439–443. doi :10.1080/00150517.2001.12428701 . Consultado el 4 de octubre de 2018 .
3. Bilu, Yuri; Hanrot, Guillaume; Voutier, Paul M.; Mignotte, Maurice (2001). "Existencia de divisores primitivos de los números de Lucas y Lehmer" (PDF) . J. Reine Angew. Matemáticas . 2001 (539): 75–122. doi :10.1515/crll.2001.080. MR  1863855. S2CID  122969549.
4. John Brillhart ; Derrick Henry Lehmer ; John Selfridge (abril de 1975). "Nuevos criterios de primalidad y factorizaciones de 2m ± 1". Matemáticas de la computación . 29 (130): 620–647. doi : 10.1090/S0025-5718-1975-0384673-1 . JSTOR  2005583.
5. PJ Smith; MJJ Lennon (1993). "LUC: Un nuevo sistema de clave pública". Actas del Noveno Simposio Internacional sobre Seguridad Informática de la IFIP : 103–117. CiteSeerX 10.1.1.32.1835 . 
6. D. Bleichenbacher; W. Bosma; AK Lenstra (1995). "Algunas observaciones sobre criptosistemas basados ​​en Lucas" (PDF) . Avances en criptología — CRYPT0' 95. Apuntes de clase en informática. Vol. 963. págs. 386–396. doi : 10.1007/3-540-44750-4_31 . ISBN. 978-3-540-60221-7.
7. "Funciones combinatorias - Combinatoria". doc.sagemath.org . Consultado el 13 de julio de 2023 .

Referencias

• Carmichael, RD (1913), "Sobre los factores numéricos de las formas aritméticas α ⁿ ±β ⁿ ", Annals of Mathematics , 15 (1/4): 30–70, doi :10.2307/1967797, JSTOR  1967797
• Lehmer, DH (1930). "Una teoría extendida de las funciones de Lucas". Anales de Matemáticas . 31 (3): 419–448. Bibcode :1930AnMat..31..419L. doi :10.2307/1968235. JSTOR  1968235.
• Ward, Morgan (1954). "Divisores primos de secuencias recurrentes de segundo orden". Duke Math. J. 21 ( 4): 607–614. doi :10.1215/S0012-7094-54-02163-8. hdl : 10338.dmlcz/137477 . MR  0064073.
• Somer, Lawrence (1980). "Las propiedades de divisibilidad de las recurrencias de Lucas primarias con respecto a los números primos" (PDF) . Fibonacci Quarterly . 18 (4): 316–334. doi :10.1080/00150517.1980.12430140.
• Lagarias, JC (1985). "El conjunto de primos que dividen números de Lucas tiene densidad 2/3". Pac. J. Math . 118 (2): 449–461. CiteSeerX  10.1.1.174.660 . doi :10.2140/pjm.1985.118.449. MR  0789184.
• Hans Riesel (1994). Números primos y métodos informáticos para la factorización . Progreso en matemáticas. Vol. 126 (2.ª ed.). Birkhäuser. pp. 107–121. ISBN. 0-8176-3743-5.
• Ribenboim, Paulo; McDaniel, Wayne L. (1996). "Los términos cuadrados en secuencias de Lucas". J. Number Theory . 58 (1): 104–123. doi : 10.1006/jnth.1996.0068 .
• Joye, M.; Quisquater, J.-J. (1996). "Cálculo eficiente de secuencias Lucas completas" (PDF) . Electronics Letters . 32 (6): 537–538. Bibcode :1996ElL....32..537J. doi :10.1049/el:19960359. Archivado desde el original (PDF) el 2 de febrero de 2015.
• Ribenboim, Paulo (1996). El nuevo libro de registros de números primos (edición en formato electrónico). Springer-Verlag , Nueva York. doi :10.1007/978-1-4612-0759-7. ISBN 978-1-4612-0759-7.
• Ribenboim, Paulo (2000). Mis números, mis amigos: conferencias populares sobre teoría de números . Nueva York: Springer-Verlag . pp. 1–50. ISBN. 0-387-98911-0.
• Luca, Florian (2000). "Números perfectos de Fibonacci y Lucas". Rend. Circ Matem. Palermo . 49 (2): 313–318. doi :10.1007/BF02904236. S2CID  121789033.
• Yabuta, M. (2001). "Una prueba simple del teorema de Carmichael sobre divisores primitivos" (PDF) . Fibonacci Quarterly . 39 (5): 439–443. doi :10.1080/00150517.2001.12428701.
• Benjamin, Arthur T. ; Quinn, Jennifer J. (2003). Pruebas que realmente cuentan: el arte de la prueba combinatoria . Dolciani Mathematical Expositions. Vol. 27. Asociación Matemática de América . p. 35. ISBN 978-0-88385-333-7.
• Sucesión de Lucas en Enciclopedia de Matemáticas .
• Weisstein, Eric W. "Secuencia de Lucas". MundoMatemático .
• Wei Dai . "Secuencias de Lucas en criptografía".