Polinomio de Jones

Mathematical invariant of a knot or link

En el campo matemático de la teoría de nudos , el polinomio de Jones es un polinomio de nudo descubierto por Vaughan Jones en 1984. ^{[1] [2]} Específicamente, es un invariante de un nudo o enlace orientado que asigna a cada nudo o enlace orientado un polinomio de Laurent en la variable con coeficientes enteros . ^[3] ${\displaystyle t^{1/2}}$

Definición por el corchete

Movimiento Reidemeister tipo I

Supongamos que tenemos un enlace orientado , dado como un diagrama de nudos . Definiremos el polinomio de Jones utilizando el polinomio de corchetes de Louis Kauffman , que denotamos por . Aquí el polinomio de corchetes es un polinomio de Laurent en la variable con coeficientes enteros. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V(L)}$ ${\displaystyle \langle ~\rangle }$ ${\displaystyle A}$

Primero, definimos el polinomio auxiliar (también conocido como polinomio de corchete normalizado)

${\displaystyle X(L)=(-A^{3})^{-w(L)}\langle L\rangle ,}$

donde denota la torsión de un diagrama dado. La torsión de un diagrama es el número de cruces positivos ( en la figura siguiente) menos el número de cruces negativos ( ). La torsión no es invariante de nudos. ${\displaystyle w(L)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{+}}$ ${\displaystyle L_{-}}$

${\displaystyle X(L)}$es un nudo invariante ya que es invariante bajo cambios del diagrama de por los tres movimientos Reidemeister . La invariancia bajo movimientos Reidemeister de tipo II y III se deriva de la invariancia del corchete bajo esos movimientos. Se sabe que el polinomio del corchete cambia por un factor de bajo un movimiento Reidemeister de tipo I. La definición del polinomio dada anteriormente está diseñada para anular este cambio, ya que el retorcimiento cambia apropiadamente por o bajo movimientos de tipo I. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle -A^{\pm 3}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle -1}$

Ahora, realiza la sustitución en para obtener el polinomio de Jones . Esto da como resultado un polinomio de Laurent con coeficientes enteros en la variable . ${\displaystyle A=t^{-1/4}}$ ${\displaystyle X(L)}$ ${\displaystyle V(L)}$ ${\displaystyle t^{1/2}}$

Polinomio de Jones para enredos

Esta construcción del polinomio de Jones para enredos es una generalización simple del corchete de Kauffman de un vínculo. La construcción fue desarrollada por Vladimir Turaev y publicada en 1990. ^[4]

Sea un entero no negativo y denote el conjunto de todos los tipos isotópicos de diagramas de enredos, con extremos, que no tienen puntos de cruce ni componentes cerrados (suavizados). La construcción de Turaev hace uso de la construcción anterior para el corchete de Kauffman y asocia a cada enredo orientado a los extremos un elemento del módulo libre , donde es el anillo de polinomios de Laurent con coeficientes enteros en la variable . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S_{k}}$ ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle \mathrm {R} }$ ${\displaystyle \mathrm {R} [S_{k}]}$ ${\displaystyle \mathrm {R} }$ ${\displaystyle t^{1/2}}$

Definición por representación de trenza

La formulación original de Jones de su polinomio surgió de su estudio de las álgebras de operadores. En el enfoque de Jones, resultó de una especie de "rastro" de una representación trenzada particular en un álgebra que originalmente surgió mientras se estudiaban ciertos modelos, por ejemplo, el modelo de Potts , en mecánica estadística .

Sea dado un enlace L. Un teorema de Alexander establece que es el cierre de traza de una trenza, digamos con n hebras. Ahora defina una representación del grupo de trenzas en n hebras, B _n , en el álgebra de Temperley-Lieb con coeficientes en y . El generador de trenzas estándar se envía a , donde son los generadores estándar del álgebra de Temperley-Lieb. Se puede comprobar fácilmente que esto define una representación. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \operatorname {TL} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [A,A^{-1}]}$ ${\displaystyle \delta =-A^{2}-A^{-2}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle A\cdot e_{i}+A^{-1}\cdot 1}$ ${\displaystyle 1,e_{1},\dots ,e_{n-1}}$

Tome la palabra trenzada obtenida previamente de y calcule dónde es la traza de Markov. Esto da , donde es el polinomio de corchete. Esto se puede ver considerando, como lo hizo Louis Kauffman , el álgebra de Temperley-Lieb como un álgebra de diagrama particular. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \delta ^{n-1}\operatorname {tr} \rho (\sigma )}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ ${\displaystyle \langle L\rangle }$ ${\displaystyle \langle }$ ${\displaystyle \rangle }$

Una ventaja de este enfoque es que se pueden elegir representaciones similares en otras álgebras, como las representaciones de la matriz R , lo que conduce a "invariantes de Jones generalizados".

Propiedades

El polinomio de Jones se caracteriza por tomar el valor 1 en cualquier diagrama del nudo y satisface la siguiente relación de madeja :

${\displaystyle (t^{1/2}-t^{-1/2})V(L_{0})=t^{-1}V(L_{+})-tV(L_{-})\,}$

donde , , y son tres diagramas de enlaces orientados que son idénticos excepto en una pequeña región donde difieren por los cambios de cruce o suavizado que se muestran en la siguiente figura: ${\displaystyle L_{+}}$ ${\displaystyle L_{-}}$ ${\displaystyle L_{0}}$

La definición del polinomio de Jones mediante el corchete permite demostrar de forma sencilla que, para un nudo , el polinomio de Jones de su imagen especular se obtiene sustituyendo por en . Por lo tanto, un nudo anfiquial , un nudo equivalente a su imagen especular, tiene entradas palindrómicas en su polinomio de Jones. Véase el artículo sobre la relación de madejas para ver un ejemplo de un cálculo que utiliza estas relaciones. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle t^{-1}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle V(K)}$

Otra propiedad destacable de este invariante establece que el polinomio de Jones de un enlace alterno es un polinomio alterno . Esta propiedad fue demostrada por Morwen Thistlethwaite ^[5] en 1987. Otra demostración de esta última propiedad se debe a Hernando Burgos-Soto , quien también dio una extensión a los enredos ^[6] de la propiedad.

El polinomio de Jones no es un invariante completo. Existe una cantidad infinita de nudos no equivalentes que tienen el mismo polinomio de Jones. En el libro de Murasugi se puede encontrar un ejemplo de dos nudos distintos que tienen el mismo polinomio de Jones. ^[7]

Polinomio de Jones coloreado

Para un entero positivo , el polinomio de Jones coloreado es una generalización del polinomio de Jones. Es el invariante de Reshetikhin-Turaev asociado con la representación -irreducible del grupo cuántico . En este esquema, el polinomio de Jones es el polinomio de Jones 1-coloreado, el invariante de Reshetikhin-Turaev asociado con la representación estándar (irreducible y bidimensional) de . Se piensa que las hebras de un enlace están "coloreadas" por una representación, de ahí el nombre. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V_{N}(L,t)}$ ${\displaystyle (N+1)}$ ${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {sl}}_{2})}$ ${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {sl}}_{2})}$

De manera más general, dado un vínculo de componentes y representaciones de , el polinomio de Jones coloreado es el invariante de Reshetikhin–Turaev asociado a (aquí asumimos que los componentes están ordenados). Dadas dos representaciones y , los polinomios de Jones coloreados satisfacen las dos propiedades siguientes: ^[8] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{k}}$ ${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {sl}}_{2})}$ ${\displaystyle (V_{1},\ldots ,V_{k})}$ ${\displaystyle V_{V_{1},\ldots ,V_{k}}(L,t)}$ ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{k}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

• ${\displaystyle V_{V\oplus W}(L,t)=V_{V}(L,t)+V_{W}(L,t)}$,
• ${\displaystyle V_{V\otimes W}(L,t)=V_{V,W}(L^{2},t)}$, donde denota el cableado 2- de . ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L}$

Estas propiedades se deducen del hecho de que los polinomios de Jones coloreados son invariantes de Reshetikhin-Turaev.

Sea un nudo. Recordemos que al ver un diagrama de como un elemento del álgebra de Temperley-Lieb gracias al corchete de Kauffman, se recupera el polinomio de Jones de . De manera similar, al polinomio de Jones coloreado de se le puede dar una descripción combinatoria utilizando los idempotentes de Jones-Wenzl, de la siguiente manera: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$

• considere el cableado de ; ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K^{N}}$ ${\displaystyle K}$
• considerarlo como un elemento del álgebra de Temperley-Lieb;
• Insertar los idempotentes de Jones-Wenzl en algunas hebras paralelas. ${\displaystyle N}$

El elemento resultante de es el polinomio de Jones coloreado. Véase el apéndice H de ^[9] para más detalles. ${\displaystyle \mathbb {Q} (t)}$ ${\displaystyle N}$

Relación con otras teorías

Relación con la teoría de Chern-Simons

Como lo demostró por primera vez Edward Witten , ^[10] el polinomio de Jones de un nudo dado se puede obtener considerando la teoría de Chern-Simons sobre la esfera tridimensional con grupo de calibración , y calculando el valor esperado de vacío de un bucle de Wilson , asociado a , y la representación fundamental de . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ ${\displaystyle W_{F}(\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$

Enlace con invariantes de nudos cuánticos

Sustituyendo la variable del polinomio de Jones y desarrollándola como la serie de h, cada uno de los coeficientes resulta ser el invariante de Vassiliev del nudo . Para unificar los invariantes de Vassiliev (o invariantes de tipo finito), Maxim Kontsevich construyó la integral de Kontsevich . El valor de la integral de Kontsevich, que es la suma infinita de 1, 3-valores de diagramas de cuerdas , llamados diagramas de cuerdas de Jacobi, reproduce el polinomio de Jones junto con el sistema de pesos estudiado por Dror Bar-Natan . ${\displaystyle e^{h}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$

Enlace con la conjetura del volumen

Mediante exámenes numéricos de algunos nudos hiperbólicos, Rinat Kashaev descubrió que sustituyendo la raíz n -ésima de la unidad en el parámetro del polinomio de Jones coloreado correspondiente a la representación n -dimensional, y limitándolo a medida que n crece hasta el infinito, el valor límite daría el volumen hiperbólico del complemento del nudo . (Véase Conjetura del volumen .)

Enlace con la homología de Khovanov

En 2000, Mikhail Khovanov construyó un cierto complejo de cadenas para nudos y eslabones y demostró que la homología inducida a partir de él es invariante en los nudos (véase Homología de Khovanov ). El polinomio de Jones se describe como la característica de Euler para esta homología.

Detección del nudo

Es una cuestión abierta si existe un nudo no trivial con un polinomio de Jones igual al del nudo no trivial . Se sabe que existen enlaces no triviales con un polinomio de Jones igual al de los enlaces no triviales correspondientes por el trabajo de Morwen Thistlethwaite . ^[11] Kronheimer y Mrowka demostraron que no existe un nudo no trivial con homología de Khovanov igual a la del nudo no trivial. ^[12]

Véase también

• Polinomio HOMFLY
• Polinomio de Alexander
• Conjetura del volumen
• Teoría de Chern-Simons
• Grupo cuántico

Notas

1. Jones, Vaughan FR (1985). "Un invariante polinomial para nudos mediante el álgebra de von Neumann". Boletín de la Sociedad Americana de Matemáticas . (NS). 12 : 103–111. doi : 10.1090/s0273-0979-1985-15304-2 . MR  0766964.
2. Jones, Vaughan FR (1987). "Representaciones del álgebra de Hecke de grupos trenzados y polinomios de enlace". Anales de Matemáticas . (2). 126 (2): 335–388. doi :10.2307/1971403. JSTOR  1971403. MR  0908150.
3. "Polinomios de Jones, volumen y superficies de nudos esenciales: un estudio" (PDF) .
4. Turaev, Vladimir G. (1990). "Invariantes de tipo Jones de enredos". Revista de Ciencias Matemáticas . 52 : 2806–2807. doi : 10.1007/bf01099242 . S2CID  121865582.
5. Thistlethwaite, Morwen B. (1987). "Una expansión del polinomio de Jones mediante un árbol de expansión". Topología . 26 (3): 297–309. doi : 10.1016/0040-9383(87)90003-6 .
6. Burgos-Soto, Hernando (2010). "El polinomio de Jones y el álgebra planar de enlaces alternados". Revista de teoría de nudos y sus ramificaciones . 19 (11): 1487–1505. arXiv : 0807.2600 . doi :10.1142/s0218216510008510. S2CID  13993750.
7. Murasugi, Kunio (1996). Teoría de nudos y sus aplicaciones . Birkhäuser Boston, MA. pag. 227.ISBN​ 978-0-8176-4718-6.
8. Gukov, Sergei; Saberi, Ingmar (2014). "Conferencias sobre homología de nudos y curvas cuánticas". Topología y teorías de campo . Matemáticas Contemporáneas. vol. 613, págs. 41–78. arXiv : 1211.6075 . doi :10.1090/conm/613/12235. ISBN 9781470410155. Número de identificación del sujeto  27676682.
9. Ohtsuki, Invariantes cuánticos: un estudio de nudos, variedades tridimensionales y sus conjuntos
10. Witten, Edward (1989). "Teoría cuántica de campos y el polinomio de Jones" (PDF) . Communications in Mathematical Physics . 121 (3): 351–399. Bibcode :1989CMaPh.121..351W. doi :10.1007/BF01217730. S2CID  14951363.
11. Thistlethwaite, Morwen (1 de junio de 2001). "Enlaces con polinomios triviales de Jones". Revista de teoría de nudos y sus ramificaciones . 10 (4): 641–643. doi :10.1142/S0218216501001050. ISSN  0218-2165.
12. Kronheimer, PB; Mrowka, TS (11 de febrero de 2011). "La homología de Khovanov es un detector de desanudos". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 113 (1): 97–208. arXiv : 1005.4346 . doi :10.1007/s10240-010-0030-y. ISSN  0073-8301. S2CID  119586228.

Referencias

• Adams, Colin (6 de diciembre de 2000). El libro de los nudos . Sociedad Matemática Americana . ISBN 0-8050-7380-9.
• Jones, Vaughan . "El polinomio de Jones" (PDF) .
• Jones, Vaughan (1987). "Representaciones del álgebra de Hecke de grupos trenzados y polinomios de enlace". Anales de Matemáticas . 126 (2): 335–388. doi :10.2307/1971403. JSTOR  1971403.
• Kauffman, Louis H. (1987). "Modelos de estado y el polinomio de Jones". Topología . 26 (3): 395–407. doi : 10.1016/0040-9383(87)90009-7 .(explica la definición del polinomio por corchetes y su relación con la formulación de Jones por representación de trenza)
• Lickorish, WB Raymond (1997). Introducción a la teoría de nudos. Nueva York; Berlín; Heidelberg; Barcelona; Budapest; Hong Kong; Londres; Milán; París; Santa Clara; Singapur; Tokio: Springer. pág. 175. ISBN 978-0-387-98254-0.
• Thistlethwaite, Morwen (2001). "Enlaces con el polinomio de Jones trivial". Revista de teoría de nudos y sus ramificaciones . 10 (4): 641–643. doi :10.1142/S0218216501001050.
• Eliahou, Shalom; Kauffman, Louis H. ; Thistlethwaite, Morwen B. (2003). "Familias infinitas de enlaces con polinomios de Jones triviales". Topología . 42 (1): 155–169. doi : 10.1016/S0040-9383(02)00012-5 .
• Przytycki, Józef H. (1991). "Módulos de madeja de 3-variedades". Boletín de la Academia Polaca de Ciencias . 39 (1–2): 91–100. arXiv : math/0611797 .

Enlaces externos

• "Polinomio de Jones-Conway", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Enlaces con el polinomio trivial de Jones de Morwen Thistlethwaite
• "El polinomio de Jones", Atlas de nudos .