En la teoría de nudos , una rama de la topología , un enlace brunniano es un enlace no trivial que se convierte en un conjunto de círculos triviales no enlazados si se elimina cualquier componente. En otras palabras, al cortar cualquier bucle se liberan todos los demás bucles (de modo que no se pueden enlazar directamente dos bucles ).
El nombre Brunnian proviene de Hermann Brunn . El artículo de Brunn de 1892, Über Verkettung, incluía ejemplos de tales vínculos.
El vínculo Brunniano más conocido y más simple posible es el de los anillos borromeos , un vínculo de tres nudos . Sin embargo, por cada número tres o superior, existe un número infinito de vínculos con la propiedad Brunniana que contienen ese número de bucles. A continuación se presentan algunos vínculos Brunnianos de tres componentes relativamente simples que no son los mismos que los anillos borromeos:
El enlace brunniano más simple, aparte de los anillos borromeos de 6 cruces, es presumiblemente el enlace L10a140 de 10 cruces . [1]
Un ejemplo de un enlace Brunniano de n componentes lo dan los enlaces Brunnianos de "banda elástica", donde cada componente está enlazado al siguiente como aba −1 b −1 , y el último enlaza al primero, formando un círculo. [2]
En 2020, se descubrieron vínculos Brunnianos nuevos y mucho más complejos en [3] utilizando métodos de topología geométrica altamente flexibles. Consulte la Sección 6. [3]
Es imposible construir un vínculo brunniano a partir de círculos geométricos. De manera más general, si un vínculo tiene la propiedad de que cada componente es un círculo y no hay dos componentes vinculados, entonces es trivial. La prueba, de Michael Freedman y Richard Skora, incorpora el espacio tridimensional que contiene el vínculo como el límite de un modelo de bola de Poincaré del espacio hiperbólico de cuatro dimensiones , y considera las envolturas convexas hiperbólicas de los círculos. Estos son subespacios bidimensionales del espacio hiperbólico, y sus patrones de intersección reflejan la vinculación por pares de los círculos: si dos círculos están vinculados, entonces sus envolturas tienen un punto de intersección, pero con el supuesto de que los pares de círculos no están vinculados, las envolturas son disjuntas. Tomando secciones transversales de la bola de Poincaré mediante esferas tridimensionales concéntricas, la intersección de cada esfera con las envolturas de los círculos es nuevamente un vínculo hecho de círculos, y esta familia de secciones transversales proporciona un movimiento continuo de todos los círculos que encoge cada uno de ellos hasta un punto sin cruzar ninguno de los otros. [4]
Los enlaces brunnianos fueron clasificados hasta la homotopía de enlace por John Milnor en (Milnor 1954), y los invariantes que introdujo ahora se denominan invariantes de Milnor.
Un enlace Brunniano de ( n + 1) componentes puede ser considerado como un elemento del grupo de enlace – que en este caso (pero no en general) es el grupo fundamental del complemento de enlace – del desenlace de n componentes, ya que por Brunnianidad eliminar el último enlace desenlaza los otros. El grupo de enlace del desenlace de n componentes es el grupo libre en n generadores, F n , ya que el grupo de enlace de un enlace simple es el grupo de nudos del desenlazado , que son los enteros, y el grupo de enlace de una unión desenlazada es el producto libre de los grupos de enlace de los componentes.
No todos los elementos del grupo de enlace dan un enlace Brunniano, ya que al eliminar cualquier otro componente también se deben desvincular los n elementos restantes. Milnor demostró que los elementos del grupo que sí corresponden a enlaces Brunnianos están relacionados con el álgebra de Lie graduada de la serie central inferior del grupo libre, lo que puede interpretarse como "relaciones" en el álgebra de Lie libre .
En 2021, se investigaron dos operaciones satelitales especiales para enlaces Brunnian en 3-esferas, llamadas "suma satelital" y "empate satelital", las cuales pueden usarse para construir infinitos enlaces Brunnian distintos a partir de casi todos los enlaces Brunnian. [5] Se dio un teorema de clasificación geométrica para enlaces Brunnian. [5] Más interesante aún, se desarrolló una descomposición geométrica canónica en términos de suma satelital y empate satelital, que es más simple que la descomposición JSJ, para enlaces Brunnian. Los bloques de construcción de enlaces Brunnian allí resultan ser enlaces de Hopf, enlaces Brunnian hiperbólicos y enlaces Brunnian hiperbólicos en complementos de desenlace, el último de los cuales puede reducirse aún más a un enlace Brunnian en 3-esferas. [5]
Los enlaces Brunnianos pueden entenderse en topología algebraica a través de productos Massey : un producto Massey es un producto n -fold que solo se define si todos los productos ( n − 1)-fold de sus términos se anulan. Esto corresponde a la propiedad Brunniana de que todos los subenlaces ( n − 1)-componentes no están enlazados, pero el enlace general de n -componentes está enlazado de manera no trivial.
Una trenza brunniana es una trenza que se vuelve trivial al eliminar cualquiera de sus cuerdas. Las trenzas brunnianas forman un subgrupo del grupo de trenzas . Las trenzas brunnianas sobre la 2- esfera que no son brunnianas sobre el 2- disco dan lugar a elementos no triviales en los grupos de homotopía de la 2-esfera. Por ejemplo, la trenza "estándar" correspondiente a los anillos borromeos da lugar a la fibración de Hopf S 3 → S 2 , y la iteración de esta (como en el trenzado cotidiano) es igualmente brunniana.
Muchos rompecabezas de desenredo y algunos rompecabezas mecánicos son variantes de Brunnian Links, cuyo objetivo es liberar una sola pieza solo parcialmente unida al resto, desmantelando así la estructura.
Las cadenas Brunnian también se utilizan para crear artículos decorativos y ponibles a partir de bandas elásticas utilizando dispositivos como Rainbow Loom o Wonder Loom .
