Formalismo ADM

Formulación hamiltoniana de la relatividad general

Richard Arnowitt , Stanley Deser y Charles Misner en la conferencia ADM-50: Una celebración de la innovación actual en GR celebrada en noviembre de 2009 ^[1] para honrar el 50.° aniversario de su artículo.

El formalismo Arnowitt-Deser-Misner ( ADM ) (llamado así por sus autores Richard Arnowitt , Stanley Deser y Charles W. Misner ) es una formulación hamiltoniana de la relatividad general que desempeña un papel importante en la gravedad cuántica canónica y la relatividad numérica . Se publicó por primera vez en 1959. ^[2]

La revisión exhaustiva del formalismo que los autores publicaron en 1962 ^[3] ha sido reimpresa en la revista General Relativity and Gravitation , ^[4] mientras que los artículos originales se pueden encontrar en los archivos de Physical Review . ^{[2] [5]}

Descripción general

El formalismo supone que el espacio-tiempo está dividido en una familia de superficies espaciales , etiquetadas por su coordenada temporal y con coordenadas en cada porción dadas por . Las variables dinámicas de esta teoría se toman como el tensor métrico de las porciones espaciales tridimensionales y sus momentos conjugados . Usando estas variables es posible definir un hamiltoniano y, por lo tanto, escribir las ecuaciones de movimiento para la relatividad general en forma de ecuaciones de Hamilton . ${\displaystyle \Sigma _{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle \gamma _{ij}(t,x^{k})}$ ${\displaystyle \pi ^{ij}(t,x^{k})}$

Además de las doce variables y , hay cuatro multiplicadores de Lagrange : la función de lapso, , y los componentes del campo vectorial de desplazamiento, . Estos describen cómo se sueldan entre sí cada una de las "hojas" de la foliación del espacio-tiempo. Las ecuaciones de movimiento para estas variables se pueden especificar libremente; esta libertad corresponde a la libertad de especificar cómo disponer el sistema de coordenadas en el espacio y el tiempo. ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ ${\displaystyle \pi ^{ij}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N_{i}}$ ${\displaystyle \Sigma _{t}}$

Notación

La mayoría de las referencias adoptan una notación en la que los tensores de cuatro dimensiones se escriben en notación de índice abstracto, y que los índices griegos son índices de espacio-tiempo que toman valores (0, 1, 2, 3) y los índices latinos son índices espaciales que toman valores (1, 2, 3). En la derivación aquí, se antepone un superíndice (4) a las cantidades que normalmente tienen una versión tridimensional y una tetradimensional, como el tensor métrico para cortes tridimensionales y el tensor métrico para el espacio-tiempo tetradimensional completo . ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle {^{(4)}}g_{\mu \nu }}$

El texto aquí utiliza la notación de Einstein en la que se supone la suma de índices repetidos.

Se utilizan dos tipos de derivadas: las derivadas parciales se denotan mediante el operador o mediante subíndices precedidos por una coma. Las derivadas covariantes se denotan mediante el operador o mediante subíndices precedidos por un punto y coma. ${\displaystyle \partial _{i}}$ ${\displaystyle \nabla _{i}}$

El valor absoluto del determinante de la matriz de coeficientes tensoriales métricos se representa mediante (sin índices). Otros símbolos tensoriales escritos sin índices representan la traza del tensor correspondiente, como . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \pi =g^{ij}\pi _{ij}}$

División de ADM

La división ADM denota la separación de la métrica del espacio-tiempo en tres componentes espaciales y un componente temporal (foliación). Separa la métrica del espacio-tiempo en sus partes espacial y temporal, lo que facilita el estudio de la evolución de los campos gravitacionales. La idea básica es expresar la métrica del espacio-tiempo en términos de una función de lapso que representa la evolución temporal entre hipersuperficies y un vector de desplazamiento que representa los cambios de coordenadas espaciales entre estas hipersuperficies) junto con una métrica espacial 3D. Matemáticamente, esta separación se escribe como:

${\displaystyle ds^{2}=-N^{2}dt^{2}+g_{ij}(dx^{i}+N^{i}dt)(dx^{j}+N^{j}dt)}$

donde es la función de lapso que codifica la evolución temporal propia, es el vector de desplazamiento, que codifica cómo cambian las coordenadas espaciales entre hipersuperficies. es la métrica espacial 3D emergente en cada hipersuperficie. Esta descomposición permite una separación de las ecuaciones de evolución del espacio-tiempo en restricciones (que relacionan los datos iniciales en una hipersuperficie espacial) y ecuaciones de evolución (que describen cómo cambia la geometría del espacio-tiempo de una hipersuperficie a otra). ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N_{i}}$ ${\displaystyle g_{ij}}$

Derivación del formalismo ADM

Formulación lagrangiana

El punto de partida para la formulación del ADM es el Lagrangiano

${\displaystyle {\mathcal {L}}={^{(4)}R}{\sqrt {-^{(4)}g}},}$

que es un producto de la raíz cuadrada del determinante del tensor métrico de cuatro dimensiones para todo el espacio-tiempo y su escalar de Ricci . Este es el lagrangiano de la acción de Einstein-Hilbert .

El resultado deseado de la derivación es definir una incrustación de porciones espaciales tridimensionales en el espacio-tiempo cuatridimensional. La métrica de las porciones tridimensionales

${\displaystyle g_{ij}={^{(4)}}g_{ij}}$

serán las coordenadas generalizadas para una formulación hamiltoniana. Los momentos conjugados pueden calcularse entonces como

${\displaystyle \pi ^{ij}={\sqrt {-^{(4)}g}}\left({^{(4)}}\Gamma _{pq}^{0}-g_{pq}{^{(4)}}\Gamma _{rs}^{0}g^{rs}\right)g^{ip}g^{jq},}$

utilizando técnicas y definiciones estándar. Los símbolos son símbolos de Christoffel asociados con la métrica del espacio-tiempo completo de cuatro dimensiones. El lapso ${\displaystyle {^{(4)}}\Gamma _{ij}^{0}}$

${\displaystyle N=\left(-{^{(4)}g^{00}}\right)^{-1/2}}$

y el vector de desplazamiento

${\displaystyle N_{i}={^{(4)}g_{0i}}}$

son los elementos restantes del tensor cuatrimétrico.

Una vez identificadas las cantidades para la formulación, el siguiente paso es reescribir el lagrangiano en términos de estas variables. La nueva expresión para el lagrangiano

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-g_{ij}\partial _{t}\pi ^{ij}-NH-N_{i}P^{i}-2\partial _{i}\left(\pi ^{ij}N_{j}-{\frac {1}{2}}\pi N^{i}+\nabla ^{i}N{\sqrt {g}}\right)}$

se escribe convenientemente en términos de las dos nuevas cantidades

${\displaystyle H=-{\sqrt {g}}\left[^{(3)}R+g^{-1}\left({\frac {1}{2}}\pi ^{2}-\pi ^{ij}\pi _{ij}\right)\right]}$

y

${\displaystyle P^{i}=-2\pi ^{ij}{}_{;j},}$

que se conocen como restricción hamiltoniana y restricción de momento respectivamente. El lapso y el desplazamiento aparecen en el lagrangiano como multiplicadores de Lagrange .

Ecuaciones de movimiento

Aunque las variables en el lagrangiano representan el tensor métrico en espacios tridimensionales insertos en el espacio-tiempo cuatridimensional , es posible y deseable utilizar los procedimientos habituales de la mecánica lagrangiana para derivar "ecuaciones de movimiento" que describan la evolución temporal tanto de la métrica como de su momento conjugado . El resultado ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle \pi ^{ij}}$

${\displaystyle \partial _{t}g_{ij}={\frac {2N}{\sqrt {g}}}\left(\pi _{ij}-{\tfrac {1}{2}}\pi g_{ij}\right)+N_{i;j}+N_{j;i}}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}\pi ^{ij}=&-N{\sqrt {g}}\left(R^{ij}-{\tfrac {1}{2}}Rg^{ij}\right)+{\frac {N}{2{\sqrt {g}}}}g^{ij}\left(\pi ^{mn}\pi _{mn}-{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}\right)-{\frac {2N}{\sqrt {g}}}\left(\pi ^{in}{\pi _{n}}^{j}-{\tfrac {1}{2}}\pi \pi ^{ij}\right)\\&+{\sqrt {g}}\left(\nabla ^{i}\nabla ^{j}N-g^{ij}\nabla ^{n}\nabla _{n}N\right)+\nabla _{n}\left(\pi ^{ij}N^{n}\right)-{N^{i}}_{;n}\pi ^{nj}-{N^{j}}_{;n}\pi ^{ni}\end{aligned}}}$

es un conjunto no lineal de ecuaciones diferenciales parciales .

Al tomar variaciones con respecto al lapso y al desplazamiento se obtienen ecuaciones de restricción.

${\displaystyle H=0}$

y

${\displaystyle P^{i}=0,}$

y el lapso y el desplazamiento en sí pueden especificarse libremente, lo que refleja el hecho de que los sistemas de coordenadas pueden especificarse libremente tanto en el espacio como en el tiempo.

Aplicaciones

Aplicación a la gravedad cuántica

Utilizando la formulación ADM, es posible intentar construir una teoría cuántica de la gravedad de la misma manera que se construye la ecuación de Schrödinger correspondiente a un hamiltoniano dado en mecánica cuántica . Es decir, reemplazar los momentos canónicos y las funciones métricas espaciales por operadores diferenciales funcionales lineales. ${\displaystyle \pi ^{ij}(t,x^{k})}$

${\displaystyle {\hat {g}}_{ij}(t,x^{k})\mapsto g_{ij}(t,x^{k}),}$

${\displaystyle {\hat {\pi }}^{ij}(t,x^{k})\mapsto -i{\frac {\delta }{\delta g_{ij}(t,x^{k})}}.}$

Más precisamente, la sustitución de variables clásicas por operadores está restringida por las relaciones de conmutación . Los sombreros representan operadores en la teoría cuántica. Esto conduce a la ecuación de Wheeler-DeWitt .

Aplicación a soluciones numéricas de las ecuaciones de Einstein

Existen relativamente pocas soluciones exactas conocidas para las ecuaciones de campo de Einstein . Para encontrar otras soluciones, existe un campo de estudio activo conocido como relatividad numérica en el que se utilizan supercomputadoras para encontrar soluciones aproximadas a las ecuaciones. Para construir dichas soluciones numéricamente, la mayoría de los investigadores comienzan con una formulación de las ecuaciones de Einstein estrechamente relacionada con la formulación ADM. Los enfoques más comunes comienzan con un problema de valor inicial basado en el formalismo ADM.

En las formulaciones hamiltonianas, el punto básico es reemplazar un conjunto de ecuaciones de segundo orden por otro conjunto de ecuaciones de primer orden. Podemos obtener este segundo conjunto de ecuaciones mediante la formulación hamiltoniana de una manera sencilla. Por supuesto, esto es muy útil para la física numérica, porque reducir el orden de las ecuaciones diferenciales suele ser conveniente si queremos preparar ecuaciones para una computadora.

Energía y masa del ADM

La energía ADM es una forma especial de definir la energía en la relatividad general , que solo es aplicable a algunas geometrías especiales del espacio-tiempo que se aproximan asintóticamente a un tensor métrico bien definido en el infinito; por ejemplo, un espacio-tiempo que se aproxima asintóticamente al espacio de Minkowski . La energía ADM en estos casos se define como una función de la desviación del tensor métrico de su forma asintótica prescrita. En otras palabras, la energía ADM se calcula como la fuerza del campo gravitacional en el infinito.

Si la forma asintótica requerida es independiente del tiempo (como el propio espacio de Minkowski), entonces respeta la simetría traslacional temporal . El teorema de Noether implica entonces que la energía ADM se conserva. Según la relatividad general, la ley de conservación de la energía total no se cumple en contextos más generales dependientes del tiempo; por ejemplo, se viola completamente en la cosmología física . La inflación cósmica en particular es capaz de producir energía (y masa) de la "nada" porque la densidad de energía del vacío es aproximadamente constante, pero el volumen del Universo crece exponencialmente .

Aplicación a la gravedad modificada

En 2009, Deruelle et al. utilizaron la descomposición ADM e introdujeron campos auxiliares adicionales para encontrar el término límite de Gibbons-Hawking-York para teorías de gravedad modificadas "cuyo lagrangiano es una función arbitraria del tensor de Riemann". ^[6]

Véase también

• Vinculación de la formulación ADM con otras formulaciones hamiltonianas de la relatividad general

Esto se hace en M. Montesinos y J. Romero, Vinculación de la formulación ADM con otras formulaciones hamiltonianas de la relatividad general, Phys. Rev. D 107, 044052 (2023). DOI 10.1103/PhysRevD.107.044052

• Coordenadas canónicas
• Ecuación de Hamilton-Jacobi-Einstein
• Métrica de Peres
• Dinámica de formas

Notas

1. "ADM-50: una celebración de la innovación actual en materia de relaciones con los recursos". Archivado desde el original el 20 de julio de 2011. Consultado el 25 de marzo de 2021 .
2. Arnowitt, R.; Deser, S.; Misner, C. (1959). "Estructura dinámica y definición de energía en la relatividad general" (PDF) . Physical Review . 116 (5): 1322–1330. Bibcode :1959PhRv..116.1322A. doi :10.1103/PhysRev.116.1322.
3. Capítulo 7 (págs. 227–265) de Louis Witten (ed.), Gravitación: una introducción a la investigación actual , Wiley: Nueva York, 1962.
4. Arnowitt, R.; Deser, S.; Misner, C. (2008). "Republicación de: La dinámica de la relatividad general". Relatividad general y gravitación . 40 (9): 1997–2027. arXiv : gr-qc/0405109 . Código Bibliográfico :2008GReGr..40.1997A. doi :10.1007/s10714-008-0661-1. S2CID  14054267.
5. Los artículos son:
   • Arnowitt, R.; Deser, S. (1959). "Teoría cuántica de la gravitación: formulación general y teoría linealizada" (PDF) . Physical Review . 113 (2): 745–750. Bibcode :1959PhRv..113..745A. doi :10.1103/PhysRev.113.745.
   • Arnowitt, R.; Deser, S.; Misner, C. (1960). "Variables canónicas para la relatividad general" (PDF) . Physical Review . 117 (6): 1595–1602. Bibcode :1960PhRv..117.1595A. doi :10.1103/PhysRev.117.1595. S2CID  120715041.
   • Arnowitt, R.; Deser, S.; Misner, C. (1960). "Autoenergía finita de partículas puntuales clásicas" (PDF) . Physical Review Letters . 4 (7): 375–377. Bibcode :1960PhRvL...4..375A. doi :10.1103/PhysRevLett.4.375.
   • Arnowitt, R.; Deser, S.; Misner, C. (1960). "Energía y criterios para la radiación en la relatividad general" (PDF) . Physical Review . 118 (4): 1100–1104. Bibcode :1960PhRv..118.1100A. doi :10.1103/PhysRev.118.1100. S2CID  120947085.
   • Arnowitt, R.; Deser, S.; Misner, C. (1960). "Acoplamiento gravitacional-electromagnético y el problema clásico de la autoenergía" (PDF) . Physical Review . 120 (1): 313–320. Bibcode :1960PhRv..120..313A. doi :10.1103/PhysRev.120.313. S2CID  122767689.
   • Arnowitt, R.; Deser, S.; Misner, C. (1960). "Soluciones interiores de Schwarzschild e interpretación de términos fuente" (PDF) . Physical Review . 120 (1): 321–324. Bibcode :1960PhRv..120..321A. doi :10.1103/PhysRev.120.321. S2CID  121420368.
   • Arnowitt, R.; Deser, S.; Misner, C. (1961). "Zona de ondas en la relatividad general" (PDF) . Physical Review . 121 (5): 1556–1566. Bibcode :1961PhRv..121.1556A. doi :10.1103/PhysRev.121.1556. S2CID  123381338.
   • Arnowitt, R.; Deser, S.; Misner, C. (1961). "Invariancia de coordenadas y expresiones de energía en la relatividad general" (PDF) . Physical Review . 122 (3): 997–1006. Bibcode :1961PhRv..122..997A. doi :10.1103/PhysRev.122.997.
6. Deruelle, Nathalie ; Sasaki, Misao; Sendouda, Yuuiti; Yamauchi, Daisuke (2010). "Formulación hamiltoniana de las teorías f(Riemann) de la gravedad". Progreso de la física teórica . 123 (1): 169–185. arXiv : 0908.0679 . Código Bibliográfico :2010PThPh.123..169D. doi :10.1143/PTP.123.169. S2CID  118570242.

Referencias

• Kiefer, Claus (2007). Gravedad cuántica . Oxford, Nueva York: Oxford University Press . ISBN 978-0-19-921252-1.