Álgebra actual

Álgebra de Lie de dimensión infinita que aparece en la teoría cuántica de campos

Ciertas relaciones de conmutación entre los operadores de densidad de corriente en las teorías cuánticas de campos definen un álgebra de Lie de dimensión infinita llamada álgebra de corriente . ^[1] Matemáticamente, estas son álgebras de Lie que consisten en mapas suaves de una variedad en un álgebra de Lie de dimensión finita. ^[2]

Historia

El álgebra de corrientes original, propuesta en 1964 por Murray Gell-Mann , describía las corrientes débiles y electromagnéticas de las partículas fuertemente interactuantes, los hadrones , lo que condujo a la fórmula de Adler-Weisberger y a otros resultados físicos importantes. El concepto básico, en la era inmediatamente anterior a la cromodinámica cuántica , era que incluso sin conocer en detalle el lagrangiano que rige la dinámica de los hadrones, la información cinemática exacta (la simetría local) aún podía codificarse en un álgebra de corrientes. ^[3]

Los conmutadores involucrados en el álgebra actual equivalen a una extensión de dimensión infinita del mapa de Jordan , donde los campos cuánticos representan conjuntos infinitos de osciladores.

Las técnicas algebraicas actuales siguen siendo parte del trasfondo compartido de la física de partículas a la hora de analizar simetrías y son indispensables en las discusiones sobre el teorema de Goldstone .

Ejemplo

En una simetría de Yang-Mills no abeliana , donde V y A son los componentes 0 de la corriente de sabor y la corriente axial (densidades de carga), respectivamente, el paradigma de un álgebra de corriente es ^{[4] [5]}

${\displaystyle {\bigl [}\ V^{a}({\vec {x}}),\ V^{b}({\vec {y}})\ {\bigr ]}=i\ f_{c}^{ab}\ \delta ({\vec {x}}-{\vec {y}})\ V^{c}({\vec {x}})\ ,}$y

${\displaystyle {\bigl [}\ V^{a}({\vec {x}}),\ A^{b}({\vec {y}})\ {\bigr ]}=i\ f_{c}^{ab}\ \delta ({\vec {x}}-{\vec {y}})\ A^{c}({\vec {x}})\ ,\qquad {\bigl [}\ A^{a}({\vec {x}}),\ A^{b}({\vec {y}})\ {\bigr ]}=i\ f_{c}^{ab}\ \delta ({\vec {x}}-{\vec {y}})\ V^{c}({\vec {x}})~,}$

donde f son las constantes de estructura del álgebra de Lie . Para obtener expresiones significativas, estas deben estar ordenadas de manera normal .

El álgebra se resuelve en una suma directa de dos álgebras, L y R , al definir

${\displaystyle L^{a}({\vec {x}})\equiv {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\ V^{a}({\vec {x}})-A^{a}({\vec {x}})\ {\bigr )}\ ,\qquad R^{a}({\vec {x}})\equiv {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\ V^{a}({\vec {x}})+A^{a}({\vec {x}})\ {\bigr )}\ ,}$

después de lo cual ${\displaystyle {\bigl [}\ L^{a}({\vec {x}}),\ L^{b}({\vec {y}})\ {\bigr ]}=i\ f_{c}^{ab}\ \delta ({\vec {x}}-{\vec {y}})\ L^{c}({\vec {x}})\ ,\quad {\bigl [}\ L^{a}({\vec {x}}),\ R^{b}({\vec {y}})\ {\bigr ]}=0,\quad {\bigl [}\ R^{a}({\vec {x}}),\ R^{b}({\vec {y}})\ {\bigr ]}=i\ f_{c}^{ab}\ \delta ({\vec {x}}-{\vec {y}})\ R^{c}({\vec {x}})~.}$

Teoría de campos conforme

Para el caso en que el espacio es un círculo unidimensional, las álgebras actuales surgen naturalmente como una extensión central del álgebra de bucles , conocidas como álgebras de Kac-Moody o, más específicamente, álgebras de Lie afines . En este caso, el conmutador y el ordenamiento normal pueden recibir una definición matemática muy precisa en términos de contornos de integración en el plano complejo, evitando así algunas de las dificultades formales de divergencia que se encuentran comúnmente en la teoría cuántica de campos.

Cuando la forma de Killing del álgebra de Lie se contrae con el conmutador de corriente, se obtiene el tensor de energía-momento de una teoría de campos conforme bidimensional . Cuando este tensor se expande como una serie de Laurent , el álgebra resultante se denomina álgebra de Virasoro . ^[6] Este cálculo se conoce como la construcción de Sugawara .

El caso general se formaliza como el álgebra de operadores de vértice .

Véase también

• Álgebra de Lie afín
• Modelo quiral
• Mapa de Jordania
• Álgebra de Virasoro
• Álgebra de operadores de vértices
• Álgebra de Kac-Moody

Notas

1. Golden 2006
2. Kac, Victor (1983). Álgebras de Lie de dimensión infinita . Springer. p. x. ISBN. 978-1475713848.
3. Gell-Mann y Ne'eman 1964
4. Gell-Mann, M. (1964). "El grupo de simetría de corrientes vectoriales y axiales". Física . 1 (1): 63. doi : 10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.1.63 . PMID  17836376.
5. Treiman, Jackiw y Gross 1972
6. Fuchs, Jurgen (1992), Álgebras de Lie afines y grupos cuánticos , Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-X

Referencias

• Gell-Mann, M. (1962). "Simetrías de bariones y mesones". Physical Review . 125 (3): 1067–84. Código Bibliográfico :1962PhRv..125.1067G. doi : 10.1103/PhysRev.125.1067 .
• Gell-Mann, M. ; Ne'eman, Y. , eds. (1964). El Camino Óctuple. WA Benjamin . LCCN  65013009.
• Goldin, GA (2006). Françoise, JP.; Naber, GL; Tsun, TS (eds.). Enciclopedia de física matemática . Álgebra actual. ISBN 978-0-12-512666-3.
• Treiman, SB ; Jackiw, R. ; Gross, DJ (2015) [1972]. Lecciones sobre álgebra actual y sus aplicaciones . Princeton Series in Physics. Princeton, NJ: Princeton University Press . doi :10.1515/9781400871506. ISBN 978-1-4008-7150-6– vía De Gruyter . Muestra.