Marco Darboux

En la geometría diferencial de superficies , un marco Darboux es un marco móvil natural construido sobre una superficie. Es el análogo del marco de Frenet-Serret aplicado a la geometría de superficies. Un marco Darboux existe en cualquier punto no umbilical de una superficie incrustado en el espacio euclidiano . Recibe su nombre del matemático francés Jean Gaston Darboux .

Marco Darboux de una curva incrustada

Sea S una superficie orientada en el espacio euclidiano tridimensional E ³ . La construcción de marcos Darboux en S considera primero marcos que se mueven a lo largo de una curva en S , y luego se especializa cuando las curvas se mueven en la dirección de las curvaturas principales .

Definición

En cada punto p de una superficie orientada, se puede unir un vector normal unitario u ( p ) de manera única, tan pronto como se haya elegido una orientación para la normal en cualquier punto fijo particular. Si γ ( s ) es una curva en S , parametrizada por la longitud del arco, entonces el marco Darboux de γ se define por

${\displaystyle \mathbf {T} (s)=\gamma '(s),}$    (la tangente unitaria )

${\displaystyle \mathbf {u} (s)=\mathbf {u} (\gamma (s)),}$    (la unidad normal )

${\displaystyle \mathbf {t} (s)=\mathbf {u} (s)\times \mathbf {T} (s),}$    (la tangente normal )

La triple T , t , u define una base ortonormal orientada positivamente unida a cada punto de la curva: un marco móvil natural a lo largo de la curva incrustada.

Curvatura geodésica, curvatura normal y torsión relativa

Una curva sobre una superficie. El marco de Frenet-Serret: tangente en rojo, la normal (de Frenet) en cian y binormal en violeta. El marco de Darboux: la tangente en rojo, la normal de superficie en azul y la normal de tangente en verde. Las proyecciones a lo largo de la normal de superficie y la normal de tangente muestran curvas planas cuyas curvaturas son la curvatura geodésica y la curvatura normal respectivamente.

Nótese que un marco Darboux para una curva no produce un marco móvil natural en la superficie, ya que aún depende de una elección inicial del vector tangente. Para obtener un marco móvil en la superficie, primero comparamos el marco Darboux de γ con su marco Frenet-Serret. Sea

• ${\displaystyle \mathbf {T} (s)=\gamma '(s),}$    (la tangente unitaria , como se indica arriba)
• ${\displaystyle \mathbf {N} (s)={\frac {\mathbf {T} '(s)}{\|\mathbf {T} '(s)\|}},}$    (el vector normal de Frenet )
• ${\displaystyle \mathbf {B} (s)=\mathbf {T} (s)\times \mathbf {N} (s),}$    (el vector binormal de Frenet ).

Como los vectores tangentes son los mismos en ambos casos, existe un único ángulo α tal que una rotación en el plano de N y B produce el par t y u :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &\sin \alpha \\0&-\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}.}$

Tomando una diferencial y aplicando las fórmulas de Frenet-Serret obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} {\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}0&\kappa \cos \alpha \,\mathrm {d} s&-\kappa \sin \alpha \,\mathrm {d} s\\-\kappa \cos \alpha \,\mathrm {d} s&0&\tau \,\mathrm {d} s+\mathrm {d} \alpha \\\kappa \sin \alpha \,\mathrm {d} s&-\tau \,\mathrm {d} s-\mathrm {d} \alpha &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&\kappa _{g}\,\mathrm {d} s&\kappa _{n}\,\mathrm {d} s\\-\kappa _{g}\,\mathrm {d} s&0&\tau _{r}\,\mathrm {d} s\\-\kappa _{n}\,\mathrm {d} s&-\tau _{r}\,\mathrm {d} s&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

dónde:

• κ _g es la curvatura geodésica de la curva,
• κ _n es la curvatura normal de la curva, y
• τ _r es la torsión relativa (también llamada torsión geodésica ) de la curva.

Marco Darboux sobre una superficie

Esta sección especializa el caso del marco Darboux sobre una curva en el caso en que la curva es una curva principal de la superficie (una línea de curvatura ). En ese caso, dado que las curvas principales están asociadas canónicamente a una superficie en todos los puntos no umbilicales , el marco Darboux es un marco móvil canónico .

El triedro

Un triedro de Darboux que consta de un punto P y tres vectores ortonormales e ₁ , e ₂ , e ₃ basados ​​en P .

La introducción del triedro (o trièdre ), una invención de Darboux, permite una simplificación conceptual del problema de los sistemas móviles sobre curvas y superficies al tratar las coordenadas del punto en la curva y los vectores del sistema de una manera uniforme. Un triedro consiste en un punto P en el espacio euclidiano y tres vectores ortonormales e ₁ , e ₂ y e ₃ basados ​​en el punto P . Un triedro móvil es un triedro cuyos componentes dependen de uno o más parámetros. Por ejemplo, un triedro se mueve a lo largo de una curva si el punto P depende de un único parámetro s , y P ( s ) traza la curva. De manera similar, si P ( s , t ) depende de un par de parámetros, entonces esto traza una superficie.

Se dice que un triedro está adaptado a una superficie si P siempre se encuentra en la superficie y e ₃ es la unidad orientada normal a la superficie en P . En el caso del marco Darboux a lo largo de una curva incrustada, la cuádruple

( P ( s ) = γ ( s ), e ₁ ( s ) = T ( s ), e ₂ ( s ) = t ( s ), e ₃ ( s ) = u ( s ))

define un tetraedro adaptado a la superficie en la que está incrustada la curva.

En términos de este triedro, las ecuaciones estructurales se leen

${\displaystyle \mathrm {d} {\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\mathrm {d} s&0&0\\0&0&\kappa _{g}\,\mathrm {d} s&\kappa _{n}\,\mathrm {d} s\\0&-\kappa _{g}\,\mathrm {d} s&0&\tau _{r}\,\mathrm {d} s\\0&-\kappa _{n}\,\mathrm {d} s&-\tau _{r}\,\mathrm {d} s&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}.}$

Cambio de marco

Supongamos que cualquier otro triedro adaptado

( P , e ₁ , e ₂ , e ₃ )

se da para la curva incrustada. Dado que, por definición, P sigue siendo el mismo punto en la curva que para el triedro de Darboux, y e ₃ = u es la normal unitaria, este nuevo triedro está relacionado con el triedro de Darboux mediante una rotación de la forma

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\\mathbf {e} _{1}\\\mathbf {e} _{2}\\\mathbf {e} _{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \theta &\sin \theta &0\\0&-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}}$

donde θ = θ( s ) es una función de s . Tomando una diferencial y aplicando la ecuación de Darboux se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \mathbf {P} &=\mathbf {T} \mathrm {d} s=\omega ^{1}\mathbf {e} _{1}+\omega ^{2}\mathbf {e} _{2}\\\mathrm {d} \mathbf {e} _{i}&=\sum _{j}\omega _{i}^{j}\mathbf {e} _{j}\end{aligned}}}$

donde (ω ⁱ ,ω _i ^j ) son funciones de s , que satisfacen

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega ^{1}&=\cos \theta \,\mathrm {d} s,\quad \omega ^{2}=-\sin \theta \,\mathrm {d} s\\\omega _{i}^{j}&=-\omega _{j}^{i}\\\omega _{1}^{2}&=\kappa _{g}\,\mathrm {d} s+\mathrm {d} \theta \\\omega _{1}^{3}&=(\kappa _{n}\cos \theta +\tau _{r}\sin \theta )\,\mathrm {d} s\\\omega _{2}^{3}&=-(\kappa _{n}\sin \theta +\tau _{r}\cos \theta )\,\mathrm {d} s\end{aligned}}}$

Ecuaciones de estructura

El lema de Poincaré , aplicado a cada diferencial doble dd P , dd e _i , produce las siguientes ecuaciones de estructura de Cartan . A partir de dd P = 0,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \omega ^{1}&=\omega ^{2}\wedge \omega _{2}^{1}\\\mathrm {d} \omega ^{2}&=\omega ^{1}\wedge \omega _{1}^{2}\\0&=\omega ^{1}\wedge \omega _{1}^{3}+\omega ^{2}\wedge \omega _{2}^{3}\end{aligned}}}$

Desde dd e _i = 0,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \omega _{1}^{2}&=\omega _{1}^{3}\wedge \omega _{3}^{2}\\\mathrm {d} \omega _{1}^{3}&=\omega _{1}^{2}\wedge \omega _{2}^{3}\\\mathrm {d} \omega _{2}^{3}&=\omega _{2}^{1}\wedge \omega _{1}^{3}\end{aligned}}}$

Las últimas son las ecuaciones de Gauss-Codazzi para la superficie, expresadas en el lenguaje de las formas diferenciales.

Curvas principales

Consideremos la segunda forma fundamental de S. Esta es la 2-forma simétrica en S dada por

${\displaystyle \mathrm {I\!I} =-\mathrm {d} \mathbf {N} \cdot \mathrm {d} \mathbf {P} =\omega _{1}^{3}\odot \omega ^{1}+\omega _{2}^{3}\odot \omega ^{2}={\begin{pmatrix}\omega ^{1}&\omega ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ii_{11}&ii_{12}\\ii_{21}&ii_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega ^{1}\\\omega ^{2}\end{pmatrix}}.}$

Por el teorema espectral , existe una elección de marco ( e _i ) en el que ( ii _ij ) es una matriz diagonal . Los valores propios son las curvaturas principales de la superficie. Un marco diagonalizante a ₁ , a ₂ , a ₃ consta del vector normal a ₃ y dos direcciones principales a ₁ y a ₂ . Esto se llama marco Darboux en la superficie. El marco se define canónicamente (por un ordenamiento en los valores propios, por ejemplo) lejos de los umbilicales de la superficie.

Marcos móviles

El marco de Darboux es un ejemplo de un marco móvil natural definido sobre una superficie. Con ligeras modificaciones, la noción de un marco móvil se puede generalizar a una hipersuperficie en un espacio euclidiano n -dimensional , o incluso a cualquier subvariedad incrustada . Esta generalización se encuentra entre las muchas contribuciones de Élie Cartan al método de los marcos móviles.

Marcos en el espacio euclidiano

Un marco (euclidiano) en el espacio euclidiano E ⁿ es un análogo de dimensión superior del triedro. Se define como una ( n  + 1)-tupla de vectores extraídos de E ⁿ , ( v ; f ₁ , ..., f _n ), donde:

• v es una elección de origen de E ⁿ , y
• ( f ₁ , ..., f _n ) es una base ortonormal del espacio vectorial basado en v .

Sea F ( n ) el conjunto de todos los sistemas euclidianos. El grupo euclidiano actúa sobre F ( n ) de la siguiente manera. Sea φ ∈ Euc( n ) un elemento del grupo euclidiano que se descompone como

${\displaystyle \phi (x)=Ax+x_{0}}$

donde A es una transformación ortogonal y x ₀ es una traslación. Entonces, en un marco,

${\displaystyle \phi (v;f_{1},\dots ,f_{n}):=(\phi (v);Af_{1},\dots ,Af_{n}).}$

Geométricamente, el grupo afín mueve el origen de la forma habitual y actúa mediante una rotación sobre los vectores base ortogonales, ya que estos están "ligados" a la elección particular del origen. Esta es una acción de grupo efectiva y transitiva , por lo que F ( n ) es un espacio homogéneo principal de Euc( n ).

Ecuaciones de estructura

Defina el siguiente sistema de funciones F ( n ) → E ⁿ : ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}P(v;f_{1},\dots ,f_{n})&=v\\e_{i}(v;f_{1},\dots ,f_{n})&=f_{i},\qquad i=1,2,\dots ,n.\end{aligned}}}$

El operador de proyección P es de especial importancia. La imagen inversa de un punto P ⁻¹ ( v ) consta de todas las bases ortonormales con punto base en v . En particular, P  : F ( n ) → E ⁿ presenta a F ( n ) como un fibrado principal cuyo grupo de estructura es el grupo ortogonal O( n ). (De hecho, este fibrado principal es simplemente el fibrado tautológico del espacio homogéneo F ( n ) → F ( n )/O( n ) = E ⁿ .)

La derivada exterior de P (considerada como una forma diferencial con valores vectoriales ) se descompone de manera única como

${\displaystyle \mathrm {d} P=\sum _{i}\omega ^{i}e_{i},\,}$

para algún sistema de formas unitarias de valor escalar ω ⁱ . De manera similar, existe una matriz n × n de formas unitarias (ω _i ^j ) tal que

${\displaystyle \mathrm {d} e_{i}=\sum _{j}\omega _{i}^{j}e_{j}.}$

Como las e _i son ortonormales bajo el producto interno del espacio euclidiano, la matriz de 1-formas ω _i ^j es antisimétrica . En particular, está determinada únicamente por su parte triangular superior (ω _j ⁱ | i  <  j ). El sistema de n ( n  + 1)/2 uni-formas (ω ⁱ , ω _j ⁱ ( i < j )) da un paralelismo absoluto de F ( n ), ya que las diferenciales de coordenadas pueden expresarse cada una en términos de ellas. Bajo la acción del grupo euclidiano, estas formas se transforman de la siguiente manera. Sea φ la transformación euclidiana que consiste en una matriz de traslación v ⁱ y rotación ( A _j ⁱ ). Entonces, lo siguiente se verifica fácilmente por la invariancia de la derivada exterior bajo pullback :

${\displaystyle \phi ^{*}(\omega ^{i})=(A^{-1})_{j}^{i}\omega ^{j}}$

${\displaystyle \phi ^{*}(\omega _{j}^{i})=(A^{-1})_{p}^{i}\,\omega _{q}^{p}\,A_{j}^{q}.}$

Además, por el lema de Poincaré , se tienen las siguientes ecuaciones de estructura

${\displaystyle \mathrm {d} \omega ^{i}=-\omega _{j}^{i}\wedge \omega ^{j}}$

${\displaystyle \mathrm {d} \omega _{j}^{i}=-\omega _{k}^{i}\wedge \omega _{j}^{k}.}$

Marcos adaptados y ecuaciones de Gauss-Codazzi

Sea φ : M → E ⁿ una incrustación de una variedad suave p -dimensional en un espacio euclidiano. El espacio de marcos adaptados en M , denotado aquí por F _φ ( M ) es la colección de tuplas ( x ; f ₁ ,..., f _n ) donde x ∈ M , y f _i forman una base ortonormal de E ⁿ tal que f ₁ ,..., f _p son tangentes a φ( M ) en φ( x ). ^[2]

Ya se han considerado varios ejemplos de sistemas de referencia adaptados. El primer vector T del sistema de referencia de Frenet-Serret ( T , N , B ) es tangente a una curva, y los tres vectores son mutuamente ortonormales. De manera similar, el sistema de referencia de Darboux sobre una superficie es un sistema ortonormal cuyos dos primeros vectores son tangentes a la superficie. Los sistemas de referencia adaptados son útiles porque las formas invariantes (ω ⁱ ,ω _j ⁱ ) retroceden a lo largo de φ, y las ecuaciones estructurales se conservan bajo este retroceso. En consecuencia, el sistema de formas resultante proporciona información estructural sobre cómo se sitúa M dentro del espacio euclidiano. En el caso del sistema de referencia de Frenet-Serret, las ecuaciones estructurales son precisamente las fórmulas de Frenet-Serret, y estas sirven para clasificar curvas completamente hasta movimientos euclidianos. El caso general es análogo: las ecuaciones estructurales para un sistema de sistemas de referencia adaptado clasifican subvariedades incrustadas arbitrarias hasta un movimiento euclidiano.

En detalle, la proyección π : F ( M ) → M dada por π( x ; f _i ) = x da a F ( M ) la estructura de un fibrado principal en M (el grupo de estructura para el fibrado es O( p ) × O( n  −  p ).) Este fibrado principal se incrusta en el fibrado de marcos euclidianos F ( n ) por φ( v ; f _i ) := (φ( v ); f _i ) ∈ F ( n ). Por lo tanto, es posible definir los pullbacks de las formas invariantes a partir de F ( n ):

${\displaystyle \theta ^{i}=\phi ^{*}\omega ^{i},\quad \theta _{j}^{i}=\phi ^{*}\omega _{j}^{i}.}$

Dado que la derivada exterior es equivariante bajo retrocesos, se cumplen las siguientes ecuaciones estructurales

${\displaystyle \mathrm {d} \theta ^{i}=-\theta _{j}^{i}\wedge \theta ^{j},\quad \mathrm {d} \theta _{j}^{i}=-\theta _{k}^{i}\wedge \theta _{j}^{k}.}$

Además, debido a que algunos de los vectores de marco f ₁ ... f _p son tangentes a M mientras que los otros son normales, las ecuaciones de estructura se dividen naturalmente en sus contribuciones tangencial y normal. ^[3] Sea que los índices latinos en minúscula a , b , c van desde 1 hasta p (es decir, los índices tangenciales) y los índices griegos μ, γ van desde p +1 hasta n (es decir, los índices normales). La primera observación es que

${\displaystyle \theta ^{\mu }=0,\quad \mu =p+1,\dots ,n}$

ya que estas formas generan la subvariedad φ( M ) (en el sentido del teorema de integración de Frobenius ).

El primer conjunto de ecuaciones estructurales ahora se convierte en

${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}\mathrm {d} \theta ^{a}=-\sum _{b=1}^{p}\theta _{b}^{a}\wedge \theta ^{b}\\\\0=\mathrm {d} \theta ^{\mu }=-\sum _{b=1}^{p}\theta _{b}^{\mu }\wedge \theta ^{b}\end{array}}\right\}\,\,\,(1)}$

De éstos, el último implica mediante el lema de Cartan que

${\displaystyle \theta _{b}^{\mu }=s_{ab}^{\mu }\theta ^{a}}$

donde s ^μ _ab es simétrico en a y b (las segundas formas fundamentales de φ( M )). Por lo tanto, las ecuaciones (1) son las fórmulas de Gauss (ver ecuaciones de Gauss-Codazzi ). En particular, θ _b ^a es la forma de conexión para la conexión de Levi-Civita en M .

Las segundas ecuaciones estructurales también se dividen en las siguientes

${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}\mathrm {d} \theta _{b}^{a}+\sum _{c=1}^{p}\theta _{c}^{a}\wedge \theta _{b}^{c}=\Omega _{b}^{a}=-\sum _{\mu =p+1}^{n}\theta _{\mu }^{a}\wedge \theta _{b}^{\mu }\\\\\mathrm {d} \theta _{b}^{\gamma }=-\sum _{c=1}^{p}\theta _{c}^{\gamma }\wedge \theta _{b}^{c}-\sum _{\mu =p+1}^{n}\theta _{\mu }^{\gamma }\wedge \theta _{b}^{\mu }\\\\\mathrm {d} \theta _{\mu }^{\gamma }=-\sum _{c=1}^{p}\theta _{c}^{\gamma }\wedge \theta _{\mu }^{c}-\sum _{\delta =p+1}^{n}\theta _{\delta }^{\gamma }\wedge \theta _{\mu }^{\delta }\end{array}}\right\}\,\,\,(2)}$

La primera ecuación es la ecuación de Gauss , que expresa la forma de curvatura Ω de M en términos de la segunda forma fundamental. La segunda es la ecuación de Codazzi-Mainardi , que expresa las derivadas covariantes de la segunda forma fundamental en términos de la conexión normal. La tercera es la ecuación de Ricci .

Véase también

• Derivado de Darboux
• Forma Maurer-Cartan

Notas

1. Tratamiento basado en el Apéndice II de Hermann a Cartan (1983), aunque él adopta este enfoque para el grupo afín . El caso del grupo euclidiano se puede encontrar, en términos equivalentes pero ligeramente más avanzados, en Sternberg (1967), Capítulo VI. Nótese que hemos abusado ligeramente de la notación (siguiendo a Hermann y también a Cartan) al considerar f _i como elementos del espacio euclidiano E ⁿ en lugar del espacio vectorial R ⁿ basado en v . Esta sutil distinción no importa, ya que en última instancia solo se utilizan las diferenciales de estas funciones.
2. Este tratamiento es de Sternberg (1964), Capítulo VI, Teorema 3.1, p. 251.
3. Aunque fue tratado por Sternberg (1964), esta descripción explícita proviene de Spivak (1999) capítulos III.1 y IV.7.C.

Referencias

• Cartan, Élie (1937). La teoría de los grupos finalizados y continuos y la geometría diferente tratada por el método del soporte móvil . Gauthier-Villars.
• Cartan, É; Hermann, R. (1983). Geometría de los espacios de Riemann . Math Sci Press, Massachusetts.
• Darboux, Gastón (1896) [1887]. Leçons sur la théorie génerale des Surfaces (en francés). vol. I-IV. Gauthier-Villars.
  • —— (1887). Leçons sur la théorie génerale des Surfaces (en francés). vol. I. París: Gauthier-Villars - a través de la Colección de Matemáticas Históricas de la Universidad de Michigan.
  • —— (1915). Leçons sur la théorie génerale des Surfaces (en francés). vol. II. París: Gauthier-Villars - a través de la Colección de Matemáticas Históricas de la Universidad de Michigan.
  • —— (1894). Leçons sur la théorie génerale des Surfaces (en francés). vol. III. París: Gauthier-Villars - a través de la Colección de Matemáticas Históricas de la Universidad de Michigan.
  • —— (1896). Leçons sur la théorie génerale des Surfaces (en francés). vol. IV. París: Gauthier-Villars - a través de la Colección de Matemáticas Históricas de la Universidad de Michigan.
• Guggenheimer, Heinrich (1977). "Capítulo 10. Superficies". Geometría diferencial . Dover. ISBN 0-486-63433-7.
• Spivak, Michael (1999). Introducción completa a la geometría diferencial (volumen 3) . Publicar o perecer. ISBN 0-914098-72-1.
• Spivak, Michael (1999). Introducción completa a la geometría diferencial (volumen 4) . Publicar o perecer. ISBN 0-914098-73-X.
• Sternberg, Shlomo (1964). Lecciones sobre geometría diferencial . Prentice-Hall.