Una curva de Lissajous / ˈ l ɪ s ə ʒ uː / , también conocida como figura de Lissajous o curva de Bowditch / ˈ b aʊ d ɪ tʃ / , es la gráfica de un sistema de ecuaciones paramétricas
que describen la superposición de dos oscilaciones perpendiculares en las direcciones xey de diferente frecuencia angular ( a y b). La familia de curvas resultante fue investigada por Nathaniel Bowditch en 1815, y posteriormente con más detalle en 1857 por Jules Antoine Lissajous (de quien recibió su nombre). Estos movimientos pueden considerarse como un tipo particular de movimiento armónico complejo .
La apariencia de la figura es sensible a la proporción.a/b. Para una relación de 1, cuando las frecuencias coinciden con a=b, la figura es una elipse , con casos especiales que incluyen círculos ( A = B , δ =π/2 radianes ) y líneas ( δ = 0 ). Un pequeño cambio en una de las frecuencias significará que la oscilación x después de un ciclo estará ligeramente desincronizada con el movimiento y y por lo tanto la elipse no podrá cerrarse y trazar una curva ligeramente adyacente durante la siguiente órbita que se muestra como una precesión de la elipse. El patrón se cierra si las frecuencias son razones de números enteros, es decira/bes racional .
Otra figura de Lissajous simple es la parábola (b/a= 2 , δ =π/4). Nuevamente, un pequeño cambio de una frecuencia desde la relación 2 dará como resultado que la traza no se cierre sino que se realicen múltiples bucles desplazados sucesivamente cerrándose solo si la relación es racional como antes. Se puede formar un patrón denso complejo (ver más abajo).
La forma visual de tales curvas a menudo sugiere un nudo tridimensional y, de hecho, muchos tipos de nudos, incluidos los conocidos como nudos de Lissajous , se proyectan en el plano como figuras de Lissajous.
Visualmente, la relacióna/bDetermina el número de "lóbulos" de la figura. Por ejemplo, una proporción de3/1o1/3produce una figura con tres lóbulos principales (ver imagen). De manera similar, una proporción de5/4produce una figura con cinco lóbulos horizontales y cuatro lóbulos verticales. Las razones racionales producen figuras cerradas (conectadas) o "inmóviles", mientras que las razones irracionales producen figuras que parecen girar. El radioA/BDetermina la relación relativa entre ancho y alto de la curva. Por ejemplo, una proporción de2/1produce una figura que es dos veces más ancha que alta. Finalmente, el valor de δ determina el ángulo de "rotación" aparente de la figura, vista como si en realidad fuera una curva tridimensional. Por ejemplo, δ = 0 produce componentes xey que están exactamente en fase, por lo que la figura resultante aparece como una aparente figura tridimensional vista de frente (0°). Por el contrario, cualquier δ distinto de cero produce una figura que parece estar rotada, ya sea como una rotación de izquierda a derecha o de arriba a abajo (dependiendo de la relacióna/b).
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Cifras de Lissajous donde a = 1 , b = N ( N es un número natural ) y
son polinomios de Chebyshev del primer tipo de grado N . Esta propiedad se aprovecha para producir un conjunto de puntos, llamados puntos de Padua , en los que se puede muestrear una función para calcular una interpolación bivariada o una cuadratura de la función en el dominio [−1,1] × [−1,1 ] .
La relación de algunas curvas de Lissajous con los polinomios de Chebyshev es más clara de entender si la curva de Lissajous que genera cada una de ellas se expresa utilizando funciones coseno en lugar de funciones seno.
La animación muestra la adaptación de la curva con un aumento continuo.a/bfracción de 0 a 1 en pasos de 0,01 ( δ = 0 ).
A continuación se muestran ejemplos de figuras de Lissajous con un número natural impar a , un número natural par b y | un - segundo | = 1 .
Antes de que existieran los equipos electrónicos modernos, las curvas de Lissajous podían generarse mecánicamente mediante un armonógrafo .
Las curvas de Lissajous también se pueden generar usando un osciloscopio (como se ilustra). Se puede utilizar un circuito pulpo para demostrar las imágenes de formas de onda en un osciloscopio. Se aplican dos entradas sinusoidales desfasadas al osciloscopio en modo XY y la relación de fase entre las señales se presenta como una figura de Lissajous.
En el mundo del audio profesional, este método se utiliza para el análisis en tiempo real de la relación de fase entre los canales izquierdo y derecho de una señal de audio estéreo. En consolas de mezcla de audio más grandes y sofisticadas, se puede incorporar un osciloscopio para este propósito.
En un osciloscopio, suponemos que x es CH1 e y es CH2, A es la amplitud de CH1 y B es la amplitud de CH2, a es la frecuencia de CH1 y b es la frecuencia de CH2, entoncesa/bes la relación de frecuencias de los dos canales, y δ es el cambio de fase del CH1.
Una aplicación puramente mecánica de una curva de Lissajous con a = 1 , b = 2 se encuentra en el mecanismo de accionamiento del tipo Mars Light de lámparas de haz oscilante populares entre los ferrocarriles a mediados del siglo XX. En algunas versiones, la viga traza un patrón en forma de 8 torcido en su costado.
Cuando la entrada a un sistema LTI es sinusoidal, la salida es sinusoidal con la misma frecuencia, pero puede tener una amplitud diferente y algún cambio de fase . El uso de un osciloscopio que puede trazar una señal frente a otra (a diferencia de una señal frente al tiempo) para trazar la salida de un sistema LTI frente a la entrada del sistema LTI produce una elipse que es una figura de Lissajous para el caso especial de a = b. . La relación de aspecto de la elipse resultante es una función del cambio de fase entre la entrada y la salida, con una relación de aspecto de 1 (círculo perfecto) correspondiente a un cambio de fase de ±90° y una relación de aspecto de ∞ (una línea) correspondiente a un cambio de fase de 0° o 180°. [ cita necesaria ]
La siguiente figura resume cómo cambia la figura de Lissajous en diferentes cambios de fase. Todos los cambios de fase son negativos, por lo que la semántica de retardo se puede utilizar con un sistema LTI causal (tenga en cuenta que −270° equivale a +90°). Las flechas muestran el sentido de rotación de la figura de Lissajous. [ cita necesaria ]
Se utiliza una curva de Lissajous en pruebas experimentales para determinar si un dispositivo puede clasificarse adecuadamente como memristor . [ cita necesaria ] También se utiliza para comparar dos señales eléctricas diferentes: una señal de referencia conocida y una señal que se va a probar. [1] [2]
Las figuras de Lissajous se utilizan a veces en diseño gráfico como logotipos . Ejemplos incluyen:
Las curvas de Lissajous se han utilizado en el pasado para representar gráficamente intervalos musicales mediante el uso del armonógrafo , [8] un dispositivo que consta de péndulos que oscilan en diferentes relaciones de frecuencia. Debido a que diferentes sistemas de sintonización emplean diferentes relaciones de frecuencia para definir intervalos, estos se pueden comparar usando curvas de Lissajous para observar sus diferencias. [9] Por lo tanto, las curvas de Lissajous tienen aplicaciones en la educación musical al representar gráficamente las diferencias entre intervalos y entre sistemas de afinación.
