Multiplicador de Schur

En teoría matemática de grupos , el multiplicador de Schur o multiplicador de Schur es el segundo grupo de homología de un grupo G. Fue introducido por Issai Schur  (1904) en su trabajo sobre representaciones proyectivas . ${\displaystyle H_{2}(G,\mathbb {Z} )}$

Ejemplos y propiedades

El multiplicador de Schur de un grupo finito G es un grupo abeliano finito cuyo exponente divide el orden de G . Si un p -subgrupo de Sylow de G es cíclico para algún p , entonces el orden de no es divisible por p . En particular, si todos los p -subgrupos de Sylow de G son cíclicos, entonces es trivial. ${\displaystyle \operatorname {M} (G)}$ ${\displaystyle \operatorname {M} (G)}$ ${\displaystyle \operatorname {M} (G)}$

Por ejemplo, el multiplicador de Schur del grupo no abeliano de orden 6 es el grupo trivial, ya que cada subgrupo de Sylow es cíclico. El multiplicador de Schur del grupo abeliano elemental de orden 16 es un grupo abeliano elemental de orden 64, lo que demuestra que el multiplicador puede ser estrictamente mayor que el propio grupo. El multiplicador de Schur del grupo de cuaterniones es trivial, pero el multiplicador de Schur de los 2-grupos diedros tiene orden 2.

Los multiplicadores de Schur de los grupos finitos simples se dan en la lista de grupos finitos simples . Los grupos de recubrimiento de los grupos alternantes y simétricos son de considerable interés reciente.

Relación con las representaciones proyectivas

Una representación proyectiva de G puede retrotraerse a una representación lineal de una extensión central C de G.

La motivación original de Schur para estudiar el multiplicador fue clasificar las representaciones proyectivas de un grupo, y la formulación moderna de su definición es el segundo grupo de cohomología . Una representación proyectiva es muy similar a una representación de grupo , excepto que en lugar de un homomorfismo en el grupo lineal general , se toma un homomorfismo en el grupo lineal general proyectivo . En otras palabras, una representación proyectiva es una representación módulo el centro . ${\displaystyle H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times })}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \operatorname {PGL} (n,\mathbb {C} )}$

Schur  (1904, 1907) demostró que cada grupo finito G tiene asociado al menos un grupo finito C , llamado cubierta de Schur , con la propiedad de que cada representación proyectiva de G puede ser elevada a una representación ordinaria de C . La cubierta de Schur también se conoce como grupo de recubrimiento o Darstellungsgruppe . Las cubiertas de Schur de los grupos finitos simples son conocidas, y cada una es un ejemplo de un grupo cuasisimple . La cubierta de Schur de un grupo perfecto está unívocamente determinada hasta el isomorfismo, pero la cubierta de Schur de un grupo finito general solo está determinada hasta el isoclinismo .

Relación con las extensiones centrales

El estudio de dichos grupos de cobertura condujo naturalmente al estudio de las extensiones centrales y del tallo .

Una extensión central de un grupo G es una extensión

${\displaystyle 1\to K\to C\to G\to 1}$

donde es un subgrupo del centro de C . ${\displaystyle K\leq Z(C)}$

Una extensión del tallo de un grupo G es una extensión

${\displaystyle 1\to K\to C\to G\to 1}$

donde es un subgrupo de la intersección del centro de C y el subgrupo derivado de C ; esto es más restrictivo que central. ^[1] ${\displaystyle K\leq Z(C)\cap C'}$

Si el grupo G es finito y se consideran solo extensiones de raíz, entonces hay un tamaño máximo para dicho grupo C , y para cada C de ese tamaño el subgrupo K es isomorfo al multiplicador de Schur de G . Si el grupo finito G es además perfecto , entonces C es único hasta el isomorfismo y es en sí mismo perfecto. Tales C a menudo se denominan extensiones centrales perfectas universales de G , o grupo de recubrimiento (ya que es un análogo discreto del espacio de recubrimiento universal en topología). Si el grupo finito G no es perfecto, entonces sus grupos de recubrimiento de Schur (todos esos C de orden máximo) son solo isoclínicos .

También se le llama más brevemente extensión central universal , pero tenga en cuenta que no existe una extensión central más grande, ya que el producto directo de G y un grupo abeliano forman una extensión central de G de tamaño arbitrario.

Las extensiones de tallo tienen la agradable propiedad de que cualquier elevación de un conjunto generador de G es un conjunto generador de C . Si el grupo G se presenta en términos de un grupo libre F en un conjunto de generadores, y un subgrupo normal R generado por un conjunto de relaciones en los generadores, de modo que , entonces el grupo de recubrimiento en sí puede presentarse en términos de F pero con un subgrupo normal más pequeño S , es decir, . Dado que las relaciones de G especifican elementos de K cuando se consideran como parte de C , uno debe tener . ${\displaystyle G\cong F/R}$ ${\displaystyle C\cong F/S}$ ${\displaystyle S\leq [F,R]}$

De hecho, si G es perfecto, esto es todo lo que se necesita: C ≅ [ F , F ]/[ F , R ] y M( G ) ≅ K ≅ R /[ F , R ]. Debido a esta simplicidad, exposiciones como (Aschbacher 2000, §33) manejan primero el caso perfecto. El caso general para el multiplicador de Schur es similar pero asegura que la extensión es una extensión de raíz restringiendo al subgrupo derivado de F : M( G ) ≅ ( R ∩ [ F , F ])/[ F , R ]. Todos estos son resultados ligeramente posteriores de Schur, quien también dio una serie de criterios útiles para calcularlos de manera más explícita.

Relación con presentaciones eficientes

En la teoría de grupos combinatorios , un grupo a menudo se origina a partir de una presentación . Un tema importante en esta área de las matemáticas es estudiar presentaciones con la menor cantidad posible de relaciones, como grupos de un solo relator como los grupos de Baumslag-Solitar . Estos grupos son grupos infinitos con dos generadores y una relación, y un antiguo resultado de Schreier muestra que en cualquier presentación con más generadores que relaciones, el grupo resultante es infinito. El caso límite es, por lo tanto, bastante interesante: se dice que los grupos finitos con el mismo número de generadores que relaciones tienen una deficiencia cero. Para que un grupo tenga deficiencia cero, el grupo debe tener un multiplicador de Schur trivial porque el número mínimo de generadores del multiplicador de Schur siempre es menor o igual a la diferencia entre el número de relaciones y el número de generadores, que es la deficiencia negativa. Un grupo eficiente es uno en el que el multiplicador de Schur requiere este número de generadores. ^[2]

Un tema de investigación bastante reciente es encontrar presentaciones eficientes para todos los grupos finitos simples con multiplicadores de Schur triviales. Estas presentaciones son, en cierto sentido, agradables porque suelen ser breves, pero son difíciles de encontrar y de trabajar con ellas porque no son adecuadas para métodos estándar como la enumeración de clases laterales .

Relación con la topología

En topología , los grupos se pueden describir a menudo como grupos finitamente presentados y una cuestión fundamental es calcular su homología integral . En particular, la segunda homología juega un papel especial y esto llevó a Heinz Hopf a encontrar un método eficaz para calcularla. El método de (Hopf 1942) también se conoce como fórmula de homología integral de Hopf y es idéntico a la fórmula de Schur para el multiplicador de Schur de un grupo finito: ${\displaystyle H_{n}(G,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle H_{2}(G,\mathbb {Z} )\cong (R\cap [F,F])/[F,R]}$

donde y F es un grupo libre. La misma fórmula también se cumple cuando G es un grupo perfecto. ^[3] ${\displaystyle G\cong F/R}$

El reconocimiento de que estas fórmulas eran las mismas llevó a Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane a la creación de la cohomología de grupos . En general,

${\displaystyle H_{2}(G,\mathbb {Z} )\cong {\bigl (}H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times }){\bigr )}^{*}}$

donde la estrella denota el grupo dual algebraico. Además, cuando G es finito, hay un isomorfismo antinatural .

${\displaystyle {\bigl (}H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times }){\bigr )}^{*}\cong H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times }).}$

La fórmula de Hopf se ha generalizado a dimensiones superiores. Para consultar un enfoque y referencias, consulte el artículo de Everaert, Gran y Van der Linden que se incluye a continuación. ${\displaystyle H_{2}(G)}$

Un grupo perfecto es aquel cuya primera homología integral se anula. Un grupo superperfecto es aquel cuyos dos primeros grupos de homología integral se anulan. Las coberturas de Schur de los grupos perfectos finitos son superperfectas. Un grupo acíclico es un grupo cuya homología integral reducida se anula por completo.

Aplicaciones

El segundo grupo K algebraico K ₂ ( R ) de un anillo conmutativo R puede identificarse con el segundo grupo de homología H ₂ ( E ( R ), Z ) del grupo E ( R ) de matrices elementales (infinitas) con entradas en R . ^[4]

Véase también

• Grupo cuasisimplificado

Las referencias de Clair Miller dan otra visión del Multiplicador de Schur como el núcleo de un morfismo κ: G ∧ G → G inducido por el mapa del conmutador.

Notas

1. Rotman 1994, pág. 553
2. Johnson y Robertson 1979, págs. 275-289
3. Rosenberg 1994, Teoremas 4.1.3, 4.1.19
4. Rosenberg 1994, Corolario 4.2.10

Referencias

• Aschbacher, Michael (2000), Teoría de grupos finitos , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 10 (2.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-78145-9, MR  1777008, Zbl  0997.20001
• Hopf, Heinz (1942), "Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe", Commentarii Mathematici Helvetici , 14 : 257–309, doi :10.1007/BF02565622, ISSN  0010-2571, MR  0006510, Zbl  0027.09503
• Johnson, David Lawrence; Robertson, Edmund Frederick (1979), "Grupos finitos de deficiencia cero", en Wall, CTC (ed.), Homological Group Theory , London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 36, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-22729-2, Zbl  0423.20029
• Kuzmin, Leonid Viktorovich (2001) [1994], "Multiplicador de Schur", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Rosenberg, Jonathan (1994), Teoría K algebraica y sus aplicaciones, Textos de posgrado en matemáticas , vol. 147, Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94248-3, MR  1282290, Zbl  0801.19001Errata
• Rotman, Joseph J. (1994), Introducción a la teoría de grupos , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94285-8
• Schur, Issai (1904), "Über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen.", Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán), 127 : 20–50, ISSN  0075-4102, JFM  35.0155.01
• Schur, Issai (1907), "Untersuchungen über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen.", Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán), 1907 (132): 85–137, doi :10.1515/crll.1907.132 .85, ISSN  0075-4102, JFM  38.0174.02
• Van der Kallen, Wilberd (1984), "Revisión: F. Rudolf Beyl y Jürgen Tappe, Extensiones de grupo, representaciones y el multiplicador de Schur", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 10 (2): 330–3, doi : 10.1090/s0273-0979-1984-15273-x
• Wiegold, James (1982), "El multiplicador de Schur: un enfoque elemental", Groups–St. Andrews 1981 (St. Andrews, 1981) , London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 71, Cambridge University Press , págs. 137–154, MR  0679156, Zbl  0502.20003
• Miller, Clair (1952), "La segunda homología de un grupo", Actas de la American Mathematical Society , 3 (4): 588–595, doi : 10.1090/s0002-9939-1952-0049191-5 , Zbl  0047.25703
• Dennis, RK (1976), En busca de nuevos funtores de "homología" que tengan una relación cercana con la teoría K , Universidad de Cornell
• Brown, R.; Johnson, DL; Robertson, EF (1987), "Algunos cálculos de productos tensoriales no abelianos de grupos", Journal of Algebra , 111 : 177–202, doi : 10.1016/0021-8693(87)90248-1 , Zbl  0626.20038
• Ellis, GJ; Leonard, F. (1995), "Cálculo de multiplicadores de Schur y productos tensoriales de grupos finitos", Actas de la Real Academia Irlandesa , 95A (2): 137–147, ISSN  0035-8975, JSTOR  20490165, Zbl  0863.20010
• Ellis, Graham J. (1998), "El multiplicador de Schur de un par de grupos", Applied Categorical Structures , 6 (3): 355–371, doi :10.1023/A:1008652316165, Zbl  0948.20026
• Eick, Bettina; Nickel, Werner (2008), "Cálculo del multiplicador de Schur y del cuadrado tensorial no abeliano de un grupo policíclico", Journal of Algebra , 320 (2): 927–944, doi : 10.1016/j.jalgebra.2008.02.041 , Zbl  1163.20022
• Everaert, Tomás; Gran, Marino; Van der Linden, Tim (2008), "Fórmulas de Hopf superiores para la homología mediante la teoría de Galois", Avances en Matemáticas , 217 (5): 2231–67, arXiv : math/0701815 , doi : 10.1016/j.aim.2007.11.001 , Zbl  1140.18012