Cuantificación universal

Uso matemático de "para todos"

En lógica matemática , una cuantificación universal es un tipo de cuantificador , una constante lógica que se interpreta como " dado cualquiera ", " para todos " o " para cualquiera ". Expresa que un predicado puede ser satisfecho por cada miembro de un dominio del discurso . En otras palabras, es la predicación de una propiedad o relación con cada miembro del dominio. Afirma que un predicado dentro del alcance de un cuantificador universal es verdadero para cada valor de una variable predicada .

Por lo general, se denota mediante el símbolo del operador lógico A (∀) convertido , que, cuando se usa junto con una variable predicada, se denomina cuantificador universal (" ∀ x ", " ∀ ( x ) " o, a veces, por " ( x ) " solo). La cuantificación universal es distinta de la cuantificación existencial ("existe"), que sólo afirma que la propiedad o relación es válida para al menos un miembro del dominio.

La cuantificación en general se trata en el artículo sobre cuantificación (lógica) . El cuantificador universal está codificado como U+2200 ∀ FOR ALL en Unicode , y como \forallen LaTeX y editores de fórmulas relacionados.

Lo esencial

Supongamos que se da que

2·0 = 0 + 0, y 2·1 = 1 + 1, y 2·2 = 2 + 2 , etc.

Esta parecería ser una conjunción lógica debido al uso repetido de "y". Sin embargo, el "etc." no puede interpretarse como una conjunción en lógica formal . En cambio, la declaración debe reformularse:

Para todos los números naturales n , se tiene 2· n = n + n .

Esta es una declaración única que utiliza cuantificación universal.

Se puede decir que esta declaración es más precisa que la original. Mientras que el "etc." incluye informalmente números naturales y nada más, esto no se dio de manera rigurosa. En la cuantificación universal, en cambio, se mencionan explícitamente los números naturales.

Este ejemplo particular es verdadero , porque cualquier número natural podría sustituirse por n y la afirmación "2· n = n + n " sería verdadera. A diferencia de,

Para todos los números naturales n , se tiene 2· n > 2 + n

es falso , porque si n se sustituye por, por ejemplo, 1, la afirmación "2·1 > 2 + 1" es falsa. Es irrelevante que "2· n > 2 + n " sea cierto para la mayoría de los números naturales n : incluso la existencia de un solo contraejemplo es suficiente para demostrar que la cuantificación universal es falsa.

Por otro lado, para todos los números compuestos n , uno tiene 2· n > 2 + n es cierto, porque ninguno de los contraejemplos son números compuestos. Esto indica la importancia del dominio del discurso , que especifica qué valores n puede tomar. ^{[nota 1]} En particular, tenga en cuenta que si el dominio del discurso se restringe a consistir únicamente en aquellos objetos que satisfacen un determinado predicado, entonces para la cuantificación universal esto requiere un condicional lógico . Por ejemplo,

Para todos los números compuestos n , se tiene 2· n > 2 + n

es lógicamente equivalente a

Para todos los números naturales n , si n es compuesto, entonces 2· n > 2 + n .

Aquí la construcción "si... entonces" indica el condicional lógico.

Notación

En lógica simbólica , el símbolo cuantificador universal (una " A " convertida en una fuente sans-serif , Unicode U+2200) se utiliza para indicar la cuantificación universal. Fue utilizado por primera vez de esta manera por Gerhard Gentzen en 1935, por analogía con la notación de Giuseppe Peano (convertida en E) para la cuantificación existencial y el uso posterior de la notación de Peano por parte de Bertrand Russell . ^[1] ${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle \exists }$

Por ejemplo, si P ( n ) es el predicado "2· n > 2 + n " y N es el conjunto de los números naturales, entonces

${\displaystyle \forall n\!\in \!\mathbb {N} \;P(n)}$

es la afirmación (falsa)

"para todos los números naturales n , uno tiene 2· n > 2 + n ".

De manera similar, si Q ( n ) es el predicado " n es compuesto", entonces

${\displaystyle \forall n\!\in \!\mathbb {N} \;{\bigl (}Q(n)\rightarrow P(n){\bigr )}}$

es la declaración (verdadera)

"para todos los números naturales n , si n es compuesto, entonces 2· n > 2 + n ".

En el artículo Quantifier se pueden encontrar varias variaciones en la notación para la cuantificación (que se aplican a todas las formas) .

Propiedades

Negación

La negación de una función universalmente cuantificada se obtiene cambiando el cuantificador universal por un cuantificador existencial y negando la fórmula cuantificada. Eso es,

${\displaystyle \lnot \forall x\;P(x)\quad {\text{is equivalent to}}\quad \exists x\;\lnot P(x)}$

donde denota negación . ${\displaystyle \lnot }$

Por ejemplo, si P ( x ) es la función proposicional " x está casado", entonces, para el conjunto X de todos los seres humanos vivos, la cuantificación universal

Dada cualquier persona viva x , esa persona está casada

está escrito

${\displaystyle \forall x\in X\,P(x)}$

Esta afirmación es falsa. Lo cierto es que se afirma que

No se da el caso de que, dada una persona viva x , esa persona esté casada

o, simbólicamente:

${\displaystyle \lnot \ \forall x\in X\,P(x)}$.

Si la función P ( x ) no es verdadera para cada elemento de X , entonces debe haber al menos un elemento para el cual la afirmación es falsa. Es decir, la negación de es lógicamente equivalente a "Existe una persona viva x que no está casada", o: ${\displaystyle \forall x\in X\,P(x)}$

${\displaystyle \exists x\in X\,\lnot P(x)}$

Es erróneo confundir "no todas las personas están casadas" (es decir, "no existe ninguna persona que esté casada") con "no todas las personas están casadas" (es decir, "existe una persona que no está casada"):

${\displaystyle \lnot \ \exists x\in X\,P(x)\equiv \ \forall x\in X\,\lnot P(x)\not \equiv \ \lnot \ \forall x\in X\,P(x)\equiv \ \exists x\in X\,\lnot P(x)}$

Otros conectivos

El cuantificador universal (y existencial) se mueve sin cambios a través de los conectivos lógicos ∧ , ∨ , → y ↚ , siempre que el otro operando no se vea afectado; eso es:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(x)\land (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\land Q(y))\\P(x)\lor (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\lor Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\to (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\to Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\nleftarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nleftarrow Q(y))\\P(x)\land (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\land Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\lor (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\lor Q(y))\\P(x)\to (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\to Q(y))\\P(x)\nleftarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nleftarrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \end{aligned}}}$

Por el contrario, para los conectivos lógicos ↑ , ↓ , ↛ y ← , los cuantificadores se invierten:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(x)\uparrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\uparrow Q(y))\\P(x)\downarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\downarrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\nrightarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nrightarrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\gets (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\gets Q(y))\\P(x)\uparrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\uparrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\downarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\downarrow Q(y))\\P(x)\nrightarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nrightarrow Q(y))\\P(x)\gets (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\gets Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\\end{aligned}}}$

Reglas de inferencia

Una regla de inferencia es una regla que justifica un paso lógico desde la hipótesis hasta la conclusión. Existen varias reglas de inferencia que utilizan el cuantificador universal.

La instanciación universal concluye que, si se sabe que la función proposicional es universalmente verdadera, entonces debe ser verdadera para cualquier elemento arbitrario del universo del discurso. Simbólicamente, esto se representa como

${\displaystyle \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\to P(c)}$

donde c es un elemento completamente arbitrario del universo del discurso.

La generalización universal concluye que la función proposicional debe ser universalmente verdadera si lo es para cualquier elemento arbitrario del universo del discurso. Simbólicamente, para una c arbitraria ,

${\displaystyle P(c)\to \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x).}$

El elemento  c debe ser completamente arbitrario; de lo contrario, la lógica no se sigue: si c no es arbitrario, sino que es un elemento específico del universo del discurso, entonces P( c ) sólo implica una cuantificación existencial de la función proposicional.

el conjunto vacio

Por convención, la fórmula siempre es verdadera, independientemente de la fórmula P ( x ); Ver verdad vacía . ${\displaystyle \forall {x}{\in }\emptyset \,P(x)}$

Cierre universal

La clausura universal de una fórmula φ es la fórmula sin variables libres que se obtiene sumando un cuantificador universal para cada variable libre en φ. Por ejemplo, el cierre universal de

${\displaystyle P(y)\land \exists xQ(x,z)}$

es

${\displaystyle \forall y\forall z(P(y)\land \exists xQ(x,z))}$.

como adjunto

En la teoría de categorías y la teoría de topoi elementales , el cuantificador universal puede entenderse como el adjunto derecho de un funtor entre conjuntos de potencias , el funtor de imagen inversa de una función entre conjuntos; Asimismo, el cuantificador existencial es el adjunto izquierdo . ^[2]

Para un conjunto , denotemos su conjunto de poderes . Para cualquier función entre conjuntos y , existe un funtor de imagen inversa entre conjuntos de potencias, que lleva subconjuntos del codominio de f a subconjuntos de su dominio. El adjunto izquierdo de este functor es el cuantificador existencial y el adjunto derecho es el cuantificador universal . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}X}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{*}:{\mathcal {P}}Y\to {\mathcal {P}}X}$ ${\displaystyle \exists _{f}}$ ${\displaystyle \forall _{f}}$

Es decir, es un functor que, para cada subconjunto , da el subconjunto dado por ${\displaystyle \exists _{f}\colon {\mathcal {P}}X\to {\mathcal {P}}Y}$ ${\displaystyle S\subset X}$ ${\displaystyle \exists _{f}S\subset Y}$

${\displaystyle \exists _{f}S=\{y\in Y\;|\;\exists x\in X.\ f(x)=y\quad \land \quad x\in S\},}$

los de la imagen de debajo . De manera similar, el cuantificador universal es un funtor que, para cada subconjunto , da el subconjunto dado por ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \forall _{f}\colon {\mathcal {P}}X\to {\mathcal {P}}Y}$ ${\displaystyle S\subset X}$ ${\displaystyle \forall _{f}S\subset Y}$

${\displaystyle \forall _{f}S=\{y\in Y\;|\;\forall x\in X.\ f(x)=y\quad \implies \quad x\in S\},}$

aquellos cuya preimagen debajo está contenida en . ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$

La forma más familiar de los cuantificadores, tal como se usa en la lógica de primer orden, se obtiene tomando la función f como la función única, de modo que es el conjunto de dos elementos que contiene los valores verdadero y falso, un subconjunto S es aquel subconjunto para el cual el predicado se mantiene, y ${\displaystyle !:X\to 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(1)=\{T,F\}}$ ${\displaystyle S(x)}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}{\mathcal {P}}(!)\colon {\mathcal {P}}(1)&\to {\mathcal {P}}(X)\\T&\mapsto X\\F&\mapsto \{\}\end{array}}}$

${\displaystyle \exists _{!}S=\exists x.S(x),}$

lo cual es cierto si no está vacío, y ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \forall _{!}S=\forall x.S(x),}$

lo cual es falso si S no es X.

Los cuantificadores universales y existenciales dados anteriormente se generalizan a la categoría prehaz .

Ver también

• Cuantificación existencial
• Lógica de primer orden
• Lista de símbolos lógicos : para el símbolo Unicode ∀

Notas

1. Puede encontrar más información sobre el uso de dominios del discurso con declaraciones cuantificadas en el artículo Cuantificación (lógica) .

Referencias

1. Molinero, Jeff. "Primeros usos de los símbolos de la teoría y la lógica de conjuntos". Primeros usos de varios símbolos matemáticos .
2. Saunders Mac Lane , Ieke Moerdijk, (1992) Gavillas en geometría y lógica Springer-Verlag. ISBN 0-387-97710-4 Consulte la página 58 

• Hinman, P. (2005). Fundamentos de Lógica Matemática . AK Peters . ISBN 1-56881-262-0.
• Franklin, J. y Daoud, A. (2011). Prueba en matemáticas: una introducción. Libros de Kew. ISBN 978-0-646-54509-7.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)(cap. 2)

enlaces externos

• La definición del diccionario de cada en Wikcionario.