En geometría , una cuadrisecante o recta cuadrisecante de una curva espacial es una recta que pasa por cuatro puntos de la curva. Este es el mayor número posible de intersecciones que una curva espacial genérica puede tener con una recta, y para tales curvas las cuadrisecantes forman un conjunto discreto de rectas. Las cuadrisecantes se han estudiado para curvas de varios tipos:
Una cuadrisecante es una línea que interseca una curva, superficie u otro conjunto en cuatro puntos distintos. Es análoga a una línea secante , una línea que interseca una curva o superficie en dos puntos; y a una trisecante , una línea que interseca una curva o superficie en tres puntos. [2]
En comparación con las secantes y trisecantes, las cuadrisecantes son especialmente relevantes para las curvas espaciales , porque tienen el mayor número posible de puntos de intersección de una línea con una curva genérica . En el plano, una curva genérica puede ser cruzada arbitrariamente muchas veces por una línea; por ejemplo, pequeñas perturbaciones genéricas de la curva sinusoidal son cruzadas infinitamente a menudo por el eje horizontal. Por el contrario, si una curva espacial arbitraria se perturba una pequeña distancia para hacerla genérica, no habrá líneas a través de cinco o más puntos de la curva perturbada. Sin embargo, cualquier cuadrisecante de la curva espacial original permanecerá presente cerca en su perturbación. [3] Para las curvas espaciales genéricas, las cuadrisecantes forman un conjunto discreto de líneas. Por el contrario, cuando aparecen trisecantes, forman familias continuas de líneas. [4]
Una explicación de este fenómeno es visual: si se observa una curva espacial desde lejos, el espacio de dichos puntos de vista puede describirse como una esfera bidimensional, en la que cada dirección tiene un punto correspondiente. Los pares de hebras de la curva pueden parecer que se cruzan desde todos estos puntos de vista, o desde un subconjunto bidimensional de ellos. Tres hebras formarán un triple cruce cuando el punto de vista se encuentre sobre una trisecante, y cuatro hebras formarán un cuádruple cruce desde un punto de vista sobre una cuadrisecante. Cada restricción de que el cruce de un par de hebras se encuentre sobre otra hebra reduce el número de grados de libertad en uno (para una curva genérica), de modo que los puntos de vista sobre las trisecantes forman un subconjunto unidimensional (continuamente infinito) de la esfera, mientras que los puntos de vista sobre las cuadrisecantes forman un subconjunto de dimensión cero (discreto). CTC Wall escribe que el hecho de que las curvas espaciales genéricas sean cruzadas como máximo cuatro veces por líneas es "uno de los teoremas más simples de su tipo", un caso modelo para teoremas análogos sobre transversales de dimensiones superiores. [3]
Dependiendo de las propiedades de la curva, puede no tener cuadrisecantes, tener un número finito o un número infinito. Estas consideraciones hacen que resulte interesante determinar las condiciones para la existencia de cuadrisecantes o encontrar límites para su número en varios casos especiales, como curvas anudadas, [5] [6] curvas algebraicas, [7] o disposiciones de líneas . [8]
En el espacio euclidiano tridimensional , cada nudo o enlace no trivial tiene una cuadrisecante. Originalmente establecido en el caso de polígonos anudados y nudos lisos por Erika Pannwitz [5] , este resultado se extendió a nudos en posición adecuadamente general y enlaces con número de enlace distinto de cero [ 6] y, más tarde, a todos los nudos y enlaces no triviales. [9]
Pannwitz demostró con más fuerza que, para un disco localmente plano que tiene el nudo como su límite, el número de singularidades del disco se puede utilizar para construir un límite inferior en el número de cuadrisecantes distintas. La existencia de al menos una cuadrisecante se deduce del hecho de que cualquier disco de este tipo debe tener al menos una singularidad. [5] [10] Morton y Mond (1982) conjeturaron que el número de cuadrisecantes distintas de un nudo dado es siempre al menos , donde es el número de cruce del nudo. [6] [10] Desde entonces se han descubierto contraejemplos de esta conjetura. [10]
Los enlaces de dos componentes tienen cuadrisecantes en las que los puntos de la cuadrisecante aparecen en orden alterno entre los dos componentes, [6] y los nudos no triviales tienen cuadrisecantes en las que los cuatro puntos, ordenados cíclicamente como en el nudo, aparecen en orden a lo largo de la cuadrisecante. [11] La existencia de estas cuadrisecantes alternas se puede utilizar para derivar el teorema de Fáry-Milnor , un límite inferior en la curvatura total de un nudo no trivial. [11] Las cuadrisecantes también se han utilizado para encontrar límites inferiores en la longitud de la cuerda de los nudos. [12]
GT Jin y HS Kim conjeturaron que, cuando una curva anudada tiene un número finito de cuadrisecantes, se puede aproximar con un nudo poligonal equivalente con sus vértices en los puntos donde las cuadrisecantes se intersecan , en el mismo orden en que aparecen en . Sin embargo, su conjetura es falsa: de hecho, para cada tipo de nudo, hay una realización para la cual esta construcción conduce a un polígono autointersecante, y otra realización donde esta construcción produce un nudo de un tipo diferente. [13]
Se ha conjeturado que cada nudo salvaje tiene un número infinito de cuadrisecantes. [9]
Arthur Cayley derivó una fórmula para el número de cuadrisecantes de una curva algebraica en un espacio proyectivo complejo tridimensional , como función de su grado y género . [7] Para una curva de grado y género , el número de cuadrisecantes es [14] Esta fórmula supone que la curva dada no es singular ; pueden ser necesarios ajustes si tiene puntos singulares. [15] [16]
En el espacio euclidiano tridimensional , cada conjunto de cuatro rectas oblicuas en posición general tiene dos cuadrisecantes (también llamadas en este contexto transversales ) o ninguna. Tres de las cuatro rectas determinan un hiperboloide , una superficie doblemente reglada en la que uno de los dos conjuntos de rectas regladas contiene las tres rectas dadas, y la otra regla consiste en trisecantes de las rectas dadas. Si la cuarta de las rectas dadas atraviesa esta superficie, tiene dos puntos de intersección, porque el hiperboloide está definido por una ecuación cuadrática . Las dos trisecantes de la superficie reglada, a través de estos dos puntos, forman dos cuadrisecantes de las cuatro rectas dadas. Por otro lado, si la cuarta recta es disjunta del hiperboloide, entonces no hay cuadrisecantes. [17] En espacios con coordenadas de números complejos en lugar de coordenadas reales, cuatro rectas oblicuas siempre tienen exactamente dos cuadrisecantes. [8]
Las cuadrisecantes de conjuntos de líneas juegan un papel importante en la construcción del doble seis de Schläfli , una configuración de doce líneas que se intersecan entre sí en 30 cruces. Si se dan cinco líneas (para ) en el espacio tridimensional, de modo que las cinco sean intersecadas por una línea común pero que estén en posición general, entonces cada uno de los cinco cuádruplos de las líneas tiene una segunda cuadrisecante , y las cinco líneas formadas de esta manera son todas intersecadas por una línea común . Estas doce líneas y los 30 puntos de intersección forman el doble seis. [18] [19]
Una disposición de líneas complejas con un número dado de intersecciones por pares y que en cualquier otro caso estén sesgadas puede interpretarse como una curva algebraica con grado y género determinados a partir de su número de intersecciones, y la fórmula de Cayley antes mencionada puede utilizarse para contar sus cuadrisecantes. El mismo resultado que esta fórmula también puede obtenerse clasificando los cuádruplos de líneas por sus intersecciones, contando el número de cuadrisecantes para cada tipo de cuádruplo y sumando todos los cuádruplos de líneas en el conjunto dado. [8]
