Longitud de la cuerda

Nudo invariante

En la teoría de nudos físicos , cada realización de un eslabón o nudo tiene asociada una longitud de cuerda . Intuitivamente, esta es la longitud mínima de una cuerda idealmente flexible que se necesita para atar un eslabón o nudo determinado. Los nudos y eslabones que minimizan la longitud de la cuerda se denominan nudos ideales y eslabones ideales , respectivamente.

Una aproximación numérica de un trébol ideal .

Definición

La longitud de la cuerda de una curva anudada se define como la relación , donde es la longitud de y es el grosor del nudo de . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle L(C)=\operatorname {Len} (C)/\tau (C)}$ ${\displaystyle \operatorname {Len} (C)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \tau (C)}$ ${\displaystyle C}$

La longitud de la cuerda se puede convertir en una invariante del nudo definiendo la longitud de la cuerda de un nudo como la longitud de cuerda mínima en todas las curvas que realizan . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Minimizadores de longitud de cuerda

Una de las primeras preguntas sobre la teoría de nudos se planteó en los siguientes términos:

¿Puedo hacer un nudo en una cuerda de un pie de largo y una pulgada de espesor?

En términos de longitud de cuerda, esto pregunta si hay un nudo con longitud de cuerda . La respuesta es no: un argumento que utiliza cuadrisecantes muestra que la longitud de cuerda de cualquier nudo no trivial tiene que ser al menos . ^[1] Sin embargo, la búsqueda de la respuesta ha estimulado la investigación tanto en el terreno teórico como en el computacional. Se ha demostrado que para cada tipo de enlace hay un minimizador de longitud de cuerda, aunque solo puede ser de clase de diferenciabilidad . ^{[2] [3]} Para el nudo no trivial más simple, el nudo trébol, las simulaciones por computadora han demostrado que su longitud de cuerda mínima es como máximo 16.372. ^[1] ${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle 15.66}$ ${\displaystyle C^{1}}$

Dependencia del número de cruces

Se ha dedicado una extensa búsqueda a mostrar relaciones entre la longitud de la cuerda y otras invariantes de nudos, como el número de cruces de un nudo. Para cada nudo , la longitud de la cuerda de es al menos proporcional a , donde denota el número de cruces. ^[4] Existen nudos y enlaces, a saber, los nudos de toro y los enlaces de Hopf , para los que este límite inferior es estricto. Es decir, para estos nudos (en notación O mayúscula ), ^[3] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {Cr} (K)^{3/4}}$ ${\displaystyle \operatorname {Cr} (K)}$ ${\displaystyle (k,k-1)}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle L(K)=O(\operatorname {Cr} (K)^{3/4}).}$$

Por otra parte, también existen nudos cuya longitud de cuerda es mayor, proporcional al número de cruces en sí mismo en lugar de a una potencia menor de este. ^[5] Esto es casi estricto, ya que para cada nudo, La prueba de este límite superior casi lineal utiliza un argumento de divide y vencerás para mostrar que las proyecciones mínimas de nudos se pueden incrustar como gráficos planares en la red cúbica. ^[6] Sin embargo, nadie ha observado aún una familia de nudos con una dependencia superlineal de la longitud en el número de cruces y se conjetura que el límite superior estricto debería ser lineal. ^[7] $${\displaystyle L(K)=O(\operatorname {Cr} (K)\log ^{5}(\operatorname {Cr} (K))).}$$

Referencias

1. Denne, Elizabeth; Diao, Yuanan; Sullivan, John M. (2006), "Las cuadrisecantes dan nuevos límites inferiores para la longitud de cuerda de un nudo", Geometry & Topology , 10 : 1–26, arXiv : math/0408026 , doi :10.2140/gt.2006.10.1, MR  2207788
2. Gonzalez, O.; Maddocks, JH; Schuricht, F.; von der Mosel, H. (2002), "Curvatura global y autocontacto de curvas y varillas elásticas no lineales", Cálculo de variaciones y ecuaciones diferenciales parciales , 14 (1): 29–68, doi :10.1007/s005260100089, MR  1883599
3. Cantarella, Jason; Kusner, Robert B.; Sullivan, John M. (2002), "Sobre la longitud mínima de cuerda de nudos y eslabones" (PDF) , Inventiones Mathematicae , 150 (2): 257–286, arXiv : math/0103224 , Bibcode :2002InMat.150..257C, doi :10.1007/s00222-002-0234-y, MR  1933586
4. Buck, Gregory; Simon, Jonathan (1999), "Espesor y número de cruces de nudos", Topología y sus aplicaciones , 91 (3): 245–257, doi :10.1016/S0166-8641(97)00211-3, MR  1666650
5. Diao, Y.; Ernst, C.; Thistlethwaite, M. (2003), "El crecimiento lineal en las longitudes de una familia de nudos gruesos", Journal of Knot Theory and its Ramifications , 12 (5): 709–715, doi :10.1142/S0218216503002615, MR  1999639
6. Diao, Yuanan; Ernst, Claus; Por, Attila; Ziegler, Uta (2019), "Las longitudes de cuerda de los nudos son casi lineales en términos de sus números de cruces", Journal of Knot Theory and its Ramifications , 28 (14): 1950085, doi :10.1142/S0218216519500858
7. Diao, Yuanan; Ernst, Claus (2004), "Potencias realizables de longitudes de cuerdas por familias de nudos no triviales" (PDF) , JP Journal of Geometry and Topology , 4 (2): 197–208, MR  2105812, archivado desde el original (PDF) el 2005-02-15