En geometría , una cuadratriz (del latín cuadrator 'cuadrador') es una curva que tiene ordenadas que son una medida del área (o cuadratura) de otra curva. Las dos curvas más famosas de esta clase son las de Dinostratus y EW Tschirnhaus , ambas relacionadas con el círculo .
La cuadratriz de Dinostrato (también llamada cuadratriz de Hipias ) era bien conocida por los geómetras griegos antiguos , y es mencionada por Proclo , quien atribuye la invención de la curva a un contemporáneo de Sócrates , probablemente Hipias de Elis . Dinostratus, un geómetra griego y discípulo de Platón , analizó la curva y mostró cómo efectuaba una solución mecánica para cuadrar el círculo . Pappus , en sus Colecciones , trata su historia y ofrece dos métodos mediante los cuales puede generarse.
Otra construcción es la siguiente. DAB es un cuadrante en el que la recta DA y el arco DB se dividen en el mismo número de partes iguales. Los radios se dibujan desde el centro del cuadrante hasta los puntos de división del arco, y estos radios son intersecados por las líneas trazadas paralelas a AB y que pasan por los puntos correspondientes en el radio DA . El lugar geométrico de estas intersecciones es la cuadratriz.
Sea A el origen del sistema de coordenadas cartesiano , D sea el punto ( a , 0) , a unidades del origen a lo largo del eje x , y B sea el punto (0, a ) , a unidades del origen a lo largo del eje x. Eje y , la curva en sí se puede expresar mediante la ecuación [1]
Debido a que la función cotangente es invariante bajo la negación de su argumento y tiene un polo simple en cada múltiplo de π , la cuadratriz tiene simetría de reflexión a través del eje y , y de manera similar tiene un polo para cada valor de x de la forma x = 2 na , para valores enteros de n , excepto en x = 0 donde el polo en la cotangente se cancela por el factor de x en la fórmula de la cuadratriz. Estos polos dividen la curva en una porción central flanqueada por infinitas ramas. El punto donde la curva cruza el eje y tiene y = 2 a/π ; por lo tanto, si fuera posible construir la curva con precisión, se podría construir un segmento de recta cuya longitud sea un múltiplo racional de 1/ π , lo que llevaría a una solución del problema clásico de la cuadratura del círculo . Como esto es imposible con compás y regla , la cuadratriz a su vez no se puede construir con compás y regla. Una construcción precisa de la cuadratriz también permitiría la solución de otros dos problemas clásicos que se sabe que son imposibles con compás y regla: duplicar el cubo y trisecar un ángulo .
La cuadratriz de Tschirnhaus [2] se construye dividiendo el arco y el radio de un cuadrante en el mismo número de partes iguales que antes. Las intersecciones mutuas de las líneas trazadas desde los puntos de división del arco paralelo a DA , y las líneas trazadas paralelas a AB a través de los puntos de división de DA , son puntos de la cuadratriz. La ecuación cartesiana es . La curva es periódica y corta al eje x en los puntos , siendo un número entero; los valores máximos de son . Sus propiedades son similares a las de la cuadratriz de Dinostratus.
Otras curvas que históricamente se han utilizado para cuadrar el círculo incluyen la espiral de Arquímedes y la cocleoide .
