Superficie de rendimiento

Superficies en las que los invariantes , , son constantes. Representadas gráficamente en el espacio de tensiones principales. ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle J_{3}}$

Una superficie de fluencia es una superficie de cinco dimensiones en el espacio de seis dimensiones de tensiones . La superficie de fluencia suele ser convexa y el estado de tensión del interior de la superficie de fluencia es elástico. Cuando el estado de tensión se encuentra en la superficie, se dice que el material ha alcanzado su punto de fluencia y se dice que el material se ha vuelto plástico . Una deformación adicional del material hace que el estado de tensión permanezca en la superficie de fluencia, aunque la forma y el tamaño de la superficie puedan cambiar a medida que evoluciona la deformación plástica. Esto se debe a que los estados de tensión que se encuentran fuera de la superficie de fluencia no son permisibles en la plasticidad independiente de la velocidad , aunque no en algunos modelos de viscoplasticidad . ^[1]

La superficie de fluencia se expresa habitualmente en términos de (y se visualiza en) un espacio de tensión principal tridimensional ( ), un espacio bidimensional o tridimensional abarcado por invariantes de tensión ( ) o una versión del espacio de tensión tridimensional de Haigh-Westergaard . Por lo tanto, podemos escribir la ecuación de la superficie de fluencia (es decir, la función de fluencia) en las formas: ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ ${\displaystyle I_{1},J_{2},J_{3}}$

• ${\displaystyle f(\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})=0\,}$¿Dónde están las tensiones principales? ${\displaystyle \sigma _{i}}$
• ${\displaystyle f(I_{1},J_{2},J_{3})=0\,}$donde es el primer invariante principal de la tensión de Cauchy y son el segundo y tercer invariante principal de la parte desviatoria de la tensión de Cauchy. ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle J_{2},J_{3}}$
• ${\displaystyle f(p,q,r)=0\,}$donde son versiones escaladas de y y es una función de . ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle J_{2},J_{3}}$
• ${\displaystyle f(\xi ,\rho ,\theta )=0\,}$donde son versiones escaladas de y , y es el ángulo de tensión ^[2] o el ángulo de Lode ^[3] ${\displaystyle \xi ,\rho }$ ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle \theta }$

Invariantes utilizados para describir superficies de fluencia

Superficies en las que los invariantes , , son constantes. Representadas gráficamente en el espacio de tensiones principales. ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \theta }$

El primer invariante principal ( ) de la tensión de Cauchy ( ), y el segundo y tercer invariante principal ( ) de la parte desviatoria ( ) de la tensión de Cauchy se definen como: ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle J_{2},J_{3}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {s}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&={\text{Tr}}({\boldsymbol {\sigma }})=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}\\J_{2}&={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {s}}:{\boldsymbol {s}}={\tfrac {1}{6}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]\\J_{3}&=\det({\boldsymbol {s}})={\tfrac {1}{3}}({\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {s}}):{\boldsymbol {s}}=s_{1}s_{2}s_{3}\end{aligned}}}$

donde ( ) son los valores principales de , ( ) son los valores principales de , y ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {s}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {s}}={\boldsymbol {\sigma }}-{\tfrac {I_{1}}{3}}\,{\boldsymbol {I}}}$

¿Dónde está la matriz identidad? ${\displaystyle {\boldsymbol {I}}}$

Un conjunto relacionado de cantidades, ( ), se utilizan generalmente para describir superficies de fluencia para materiales de fricción cohesivos como rocas, suelos y cerámicas. Estas se definen como ${\displaystyle p,q,r\,}$

${\displaystyle p={\tfrac {1}{3}}~I_{1}~:~~q={\sqrt {3~J_{2}}}=\sigma _{\mathrm {eq} }~;~~r=3\left({\tfrac {1}{2}}\,J_{3}\right)^{1/3}}$

donde es la tensión equivalente . Sin embargo, la posibilidad de valores negativos de y el imaginario resultante hace que el uso de estas cantidades sea problemático en la práctica. ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }}$ ${\displaystyle J_{3}}$ ${\displaystyle r}$

Otro conjunto de invariantes ampliamente utilizados es el de ( ), que describe un sistema de coordenadas cilíndricas (las coordenadas de Haigh-Westergaard ). Se definen como: ${\displaystyle \xi ,\rho ,\theta \,}$

${\displaystyle \xi ={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}~I_{1}={\sqrt {3}}~p~;~~\rho ={\sqrt {2J_{2}}}={\sqrt {\tfrac {2}{3}}}~q~;~~\cos(3\theta )=\left({\tfrac {r}{q}}\right)^{3}={\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}~{\cfrac {J_{3}}{J_{2}^{3/2}}}}$

El plano también se denomina plano rendúlico . El ángulo se denomina ángulo de tensión, el valor a veces se denomina parámetro de Lode ^{[4] [5] [6]} y la relación entre y fue dada por primera vez por Novozhilov VV en 1951, ^[7] véase también ^[8] ${\displaystyle \xi -\rho \,}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \cos(3\theta )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle J_{2},J_{3}}$

Las tensiones principales y las coordenadas de Haigh–Westergaard están relacionadas por

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\end{bmatrix}}={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}\xi \\\xi \\\xi \end{bmatrix}}+{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}~\rho ~{\begin{bmatrix}\cos \theta \\\cos \left(\theta -{\tfrac {2\pi }{3}}\right)\\\cos \left(\theta +{\tfrac {2\pi }{3}}\right)\end{bmatrix}}={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}\xi \\\xi \\\xi \end{bmatrix}}+{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}~\rho ~{\begin{bmatrix}\cos \theta \\-\sin \left({\tfrac {\pi }{6}}-\theta \right)\\-\sin \left({\tfrac {\pi }{6}}+\theta \right)\end{bmatrix}}\,.}$

También se puede encontrar en la literatura una definición diferente del ángulo de Lode: ^[9]

${\displaystyle \sin(3\theta )=~{\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}~{\cfrac {J_{3}}{J_{2}^{3/2}}}}$

en cuyo caso las tensiones principales ordenadas (donde ) están relacionadas por ^[10] ${\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\end{bmatrix}}={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}\xi \\\xi \\\xi \end{bmatrix}}+{\tfrac {\rho }{\sqrt {2}}}~{\begin{bmatrix}\cos \theta -{\tfrac {\sin \theta }{\sqrt {3}}}\\{\tfrac {2\sin \theta }{\sqrt {3}}}\\-{\tfrac {\sin \theta }{\sqrt {3}}}-\cos \theta \end{bmatrix}}\,.}$

Ejemplos de superficies de fluencia

Existen varias superficies de rendimiento diferentes conocidas en ingeniería, y las más populares se enumeran a continuación.

Superficie de rendimiento de Tresca

El criterio de fluencia de Tresca se considera obra de Henri Tresca . ^[11] También se lo conoce como teoría de esfuerzo cortante máximo (MSST) y criterio de Tresca–Guest ^[12] (TG). En términos de los esfuerzos principales, el criterio de Tresca se expresa como

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\max(|\sigma _{1}-\sigma _{2}|,|\sigma _{2}-\sigma _{3}|,|\sigma _{3}-\sigma _{1}|)=S_{sy}={\tfrac {1}{2}}S_{y}}\!}$

¿Dónde está la resistencia al rendimiento en corte y es la resistencia al rendimiento en tracción? ${\displaystyle S_{sy}}$ ${\displaystyle S_{y}}$

La figura 1 muestra la superficie de fluencia de Tresca-Guest en el espacio tridimensional de tensiones principales. Es un prisma de seis lados y de longitud infinita. Esto significa que el material permanece elástico cuando las tres tensiones principales son aproximadamente equivalentes (una presión hidrostática ), sin importar cuánto se comprima o estire. Sin embargo, cuando una de las tensiones principales se vuelve más pequeña (o más grande) que las otras, el material está sujeto a cizallamiento. En tales situaciones, si el esfuerzo cortante alcanza el límite de fluencia, entonces el material entra en el dominio plástico. La figura 2 muestra la superficie de fluencia de Tresca-Guest en el espacio de tensiones bidimensional; es una sección transversal del prisma a lo largo del plano. ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

Figura 1: Vista de la superficie de fluencia de Tresca-Guest en el espacio 3D de tensiones principales

Figura 2: Superficie de rendimiento de Tresca–Guest en el espacio 2D ( ) ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

Superficie de rendimiento de von Mises

El criterio de fluencia de von Mises se expresa en las tensiones principales como

${\displaystyle {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}=2{S_{y}}^{2}}\!}$

donde es la resistencia al rendimiento en tensión uniaxial. ${\displaystyle S_{y}}$

La figura 3 muestra la superficie de fluencia de von Mises en el espacio tridimensional de tensiones principales. Es un cilindro circular de longitud infinita con su eje inclinado en ángulos iguales a las tres tensiones principales. La figura 4 muestra la superficie de fluencia de von Mises en el espacio bidimensional comparada con el criterio de Tresca-Guest. Una sección transversal del cilindro de von Mises en el plano de produce la forma elíptica de la superficie de fluencia. ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

Figura 3: Vista de la superficie de fluencia de Huber-Mises-Hencky en el espacio 3D de tensiones principales

Figura 4: Comparación de los criterios de Tresca–Guest y Huber–Mises–Hencky en el espacio 2D ( ) ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

Criterio de Burzyński-Yagn

Este criterio ^{[13] [14]} se reformuló como función de los nodos hidrostáticos con las coordenadas y ${\displaystyle 1/\gamma _{1}}$ ${\displaystyle 1/\gamma _{2}}$

${\displaystyle 3I_{2}'={\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}I_{1}}{1-\gamma _{1}}}{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}I_{1}}{1-\gamma _{2}}}}$

representa la ecuación general de una superficie de revolución de segundo orden alrededor del eje hidrostático. Algunos casos especiales son: ^[15]

• cilindro (Maxwell (1865), Huber (1904), von Mises (1913), Hencky (1924)), ${\displaystyle \gamma _{1}=\gamma _{2}=0}$
• cono (Botkin (1940), Drucker-Prager (1952), Mirolyubov (1953)), ${\displaystyle \gamma _{1}=\gamma _{2}\in ]0,1[}$
• paraboloide (Burzyński (1928), Balandin (1937), Torre (1947)), ${\displaystyle \gamma _{1}\in ]0,1[,\gamma _{2}=0}$
• elipsoide centrado en el plano de simetría , (Beltrami (1885)), ${\displaystyle I_{1}=0}$ ${\displaystyle \gamma _{1}=-\gamma _{2}\in ]0,1[}$
• elipsoide centrado en el plano de simetría con (Schleicher (1926)), ${\displaystyle I_{1}={\frac {1}{2}}\,{\bigg (}{\frac {1}{\gamma _{1}}}+{\frac {1}{\gamma _{2}}}{\bigg )}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}\in ]0,1[,\gamma _{2}<0}$
• hiperboloide de dos láminas (Burzynski (1928), Yagn (1931)), ${\displaystyle \gamma _{1}\in ]0,1[,\gamma _{2}\in ]0,\gamma _{1}[}$
• hiperboloide de una lámina centrada en el plano de simetría , ( Kuhn (1980)) ${\displaystyle I_{1}=0}$ ${\displaystyle \gamma _{1}=-\gamma _{2}=a\,i}$ ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$
• hiperboloide de una hoja , (Filonenko-Boroditsch (1960), Gol'denblat-Kopnov (1968), Filin (1975)). ${\displaystyle \gamma _{1,2}=b\pm a\,i}$ ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

Las relaciones compresión-tensión y torsión-tensión se pueden calcular de la siguiente manera:

${\displaystyle {\frac {\sigma _{-}}{\sigma _{+}}}={\frac {1}{1-\gamma _{1}-\gamma _{2}}},\qquad {\bigg (}{\sqrt {3}}\,{\frac {\tau _{*}}{\sigma _{+}}}{\bigg )}^{2}={\frac {1}{(1-\gamma _{1})(1-\gamma _{2})}}}$

Los coeficientes de Poisson en tracción y compresión se obtienen utilizando

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }={\frac {-1+2(\gamma _{1}+\gamma _{2})-3\gamma _{1}\gamma _{2}}{-2+\gamma _{1}+\gamma _{2}}}}$

${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=-{\frac {-1+\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}-\gamma _{1}\,\gamma _{2}}{(-2+\gamma _{1}+\gamma _{2})\,(-1+\gamma _{1}+\gamma _{2})}}}$

Para materiales dúctiles la restricción

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in {\bigg [}\,0.48,\,{\frac {1}{2}}\,{\bigg ]}}$

es importante. La aplicación de criterios de simetría rotacional para falla frágil con

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in ]-1,~\nu _{+}^{\mathrm {el} }\,]}$

No se ha estudiado lo suficiente. ^[16]

El criterio de Burzyński-Yagn es adecuado para fines académicos. Para aplicaciones prácticas, se debe introducir en la ecuación el tercer invariante del desviador en la potencia par e impar, por ejemplo: ^[17]

${\displaystyle 3I_{2}'{\frac {1+c_{3}\cos 3\theta +c_{6}\cos ^{2}3\theta }{1+c_{3}+c_{6}}}={\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}I_{1}}{1-\gamma _{1}}}{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}I_{1}}{1-\gamma _{2}}}}$

Criterio de Huber

El criterio de Huber consiste en el elipsoide de Beltrami y un cilindro de von Mises escalado en el espacio de tensión principal, ^{[18] [19] [20] [21]} ver también ^{[22] [23]}

${\displaystyle 3\,I_{2}'=\left\{{\begin{array}{ll}\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }+\gamma _{1}\,I_{1}}{1+\gamma _{1}}},&I_{1}>0\\[1em]\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }}{1+\gamma _{1}}},&I_{1}\leq 0\end{array}}\right.}$

con . La transición entre las superficies en la sección transversal es continuamente diferenciable. El criterio representa la "visión clásica" con respecto al comportamiento inelástico del material: ${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,1[}$ ${\displaystyle I_{1}=0}$

• Comportamiento del material sensible a la presión para con y ${\displaystyle I_{1}>0}$ ${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in \left]-1,\,1/2\right]}$
• Comportamiento del material insensible a la presión para con ${\displaystyle I_{1}<0}$ ${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=1/2}$

El criterio de Huber se puede utilizar como una superficie de fluencia con una restricción empírica para el coeficiente de Poisson en tensión , lo que conduce a . ${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in [0.48,1/2]}$ ${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,0.1155]}$

Criterio de Huber con y modificado con y en el plano de Burzyński: ajuste según la hipótesis de tensión normal ( ). Se muestra el criterio de von Mises ( ) a modo de comparación. C - compresión uniaxial, Cc - compresión biaxial en la relación de tensiones 1:2, CC - compresión equibiaxial, CCC - compresión hidrostática, S o TC - esfuerzo cortante, T - tensión uniaxial, Tt - tensión biaxial en la relación de tensiones 1:2, TT - tensión equibiaxial, TTT - tensión hidrostática. ${\displaystyle \gamma _{1}=1/{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}=(1+{\sqrt {5}})/6}$ ${\displaystyle \gamma _{2}=(1-{\sqrt {5}})/6}$ ${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }=0}$ ${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=\nu _{+}^{\mathrm {in} }=1/2}$

El criterio de Huber modificado, ^{[24] [23]} véase también, ^[25] cf. ^[26]

${\displaystyle 3\,I_{2}'=\left\{{\begin{array}{ll}\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}\,I_{1}}{1-\gamma _{2}}},&I_{1}>-d\,\sigma _{\mathrm {+} }\\[1em]\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }^{2}}{(1-\gamma _{1}-\gamma _{2})^{2}}},&I_{1}\leq -d\,\sigma _{\mathrm {+} }\end{array}}\right.}$

consiste en el elipsoide de Schleicher con la restricción del coeficiente de Poisson en la compresión

${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=-{\frac {-1+\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}-\gamma _{1}\,\gamma _{2}}{(-2+\gamma _{1}+\gamma _{2})\,(-1+\gamma _{1}+\gamma _{2})}}={\frac {1}{2}}}$

y un cilindro con la transición en la sección transversal . El segundo ajuste para los parámetros y sigue con la relación compresión/tensión ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle I_{1}=-d\,\sigma _{\mathrm {+} }}$ ${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,1[}$ ${\displaystyle \gamma _{2}<0}$

${\displaystyle d={\frac {\sigma _{-}}{\sigma _{+}}}={\frac {1}{1-\gamma _{1}-\gamma _{2}}}\geq 1}$

El criterio de Huber modificado se puede ajustar mejor a los datos medidos como criterio de Huber. Para su configuración se sigue y . ${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }=0.48}$ ${\displaystyle \gamma _{1}=0.0880}$ ${\displaystyle \gamma _{2}=-0.0747}$

El criterio de Huber y el criterio de Huber modificado deberían preferirse al criterio de von Mises, ya que se obtienen resultados más seguros en la región . Para aplicaciones prácticas, se debería considerar en estos criterios el tercer invariante del desviador . ^[23] ${\displaystyle I_{1}>\sigma _{\mathrm {+} }}$ ${\displaystyle I_{3}'}$

Superficie de fluencia de Mohr-Coulomb

El criterio de fluencia (falla) de Mohr-Coulomb es similar al criterio de Tresca, con disposiciones adicionales para materiales con diferentes resistencias a la tracción y a la compresión. Este modelo se utiliza a menudo para modelar hormigón , suelo o materiales granulares . El criterio de fluencia de Mohr-Coulomb puede expresarse como:

${\displaystyle {\frac {m+1}{2}}\max {\Big (}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|+K(\sigma _{1}+\sigma _{2})~,~~|\sigma _{1}-\sigma _{3}|+K(\sigma _{1}+\sigma _{3})~,~~|\sigma _{2}-\sigma _{3}|+K(\sigma _{2}+\sigma _{3}){\Big )}=S_{yc}}$

dónde

${\displaystyle m={\frac {S_{yc}}{S_{yt}}};K={\frac {m-1}{m+1}}}$

y los parámetros y son las tensiones de fluencia (falla) del material en compresión uniaxial y tensión, respectivamente. La fórmula se reduce al criterio de Tresca si . ${\displaystyle S_{yc}}$ ${\displaystyle S_{yt}}$ ${\displaystyle S_{yc}=S_{yt}}$

La figura 5 muestra la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb en el espacio tridimensional de tensiones principales. Es un prisma cónico y determina el ángulo de inclinación de la superficie cónica. La figura 6 muestra la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb en el espacio de tensiones bidimensional. En la figura 6 y se utiliza para y , respectivamente, en la fórmula. Es una sección transversal de este prisma cónico en el plano de . En la figura 6, Rr y Rc se utilizan para Syc y Syt, respectivamente, en la fórmula. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle R_{r}}$ ${\displaystyle R_{c}}$ ${\displaystyle S_{yt}}$ ${\displaystyle S_{yc}}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

Figura 5: Vista de la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb en el espacio 3D de tensiones principales

Figura 6: Superficie de fluencia de Mohr-Coulomb en el espacio 2D ( ) ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

Superficie de rendimiento de Drucker-Prager

El criterio de fluencia de Drucker-Prager es similar al criterio de fluencia de von Mises, con disposiciones para el manejo de materiales con diferentes resistencias a la tracción y a la compresión. Este criterio se utiliza con mayor frecuencia para el hormigón , donde tanto las tensiones normales como las de corte pueden determinar la falla. El criterio de fluencia de Drucker-Prager puede expresarse como

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {m-1}{2}}{\bigg )}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})+{\bigg (}{\frac {m+1}{2}}{\bigg )}{\sqrt {\frac {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}{2}}}=S_{yc}}$

dónde

${\displaystyle m={\frac {S_{yc}}{S_{yt}}}}$

y , son las tensiones de fluencia uniaxiales en compresión y tensión respectivamente. La fórmula se reduce a la ecuación de von Mises si . ${\displaystyle S_{yc}}$ ${\displaystyle S_{yt}}$ ${\displaystyle S_{yc}=S_{yt}}$

La figura 7 muestra la superficie de fluencia de Drucker-Prager en el espacio tridimensional de tensiones principales. Es un cono regular . La figura 8 muestra la superficie de fluencia de Drucker-Prager en el espacio bidimensional. El dominio elástico elíptico es una sección transversal del cono en el plano de ; se puede elegir que intersecte la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb en un número diferente de vértices. Una opción es intersectar la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb en tres vértices a cada lado de la línea, pero generalmente se seleccionan por convención para que sean aquellos en el régimen de compresión. ^[27] Otra opción es intersectar la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb en cuatro vértices en ambos ejes (ajuste uniaxial) o en dos vértices en la diagonal (ajuste biaxial). ^[28] El criterio de fluencia de Drucker-Prager también se expresa comúnmente en términos de la cohesión del material y el ángulo de fricción . ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}=-\sigma _{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{2}}$

Figura 7: Vista de la superficie de fluencia de Drucker-Prager en el espacio 3D de tensiones principales

Figura 8: Vista de la superficie de fluencia de Drucker-Prager en el espacio 2D de tensiones principales

Superficie de fluencia de Bresler-Pister

El criterio de fluencia de Bresler-Pister es una extensión del criterio de fluencia de Drucker-Prager que utiliza tres parámetros y tiene términos adicionales para materiales que ceden bajo compresión hidrostática. En términos de las tensiones principales, este criterio de fluencia puede expresarse como

${\displaystyle S_{yc}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]^{1/2}-c_{0}-c_{1}~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})-c_{2}~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}}$

donde son constantes del material. El parámetro adicional le da a la superficie de fluencia una sección transversal elipsoidal cuando se observa desde una dirección perpendicular a su eje. Si es la tensión de fluencia en compresión uniaxial, es la tensión de fluencia en tensión uniaxial y es la tensión de fluencia en compresión biaxial, los parámetros se pueden expresar como ${\displaystyle c_{0},c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{c}}$ ${\displaystyle \sigma _{t}}$ ${\displaystyle \sigma _{b}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}=&\left({\cfrac {\sigma _{t}-\sigma _{c}}{(\sigma _{t}+\sigma _{c})}}\right)\left({\cfrac {4\sigma _{b}^{2}-\sigma _{b}(\sigma _{c}+\sigma _{t})+\sigma _{c}\sigma _{t}}{4\sigma _{b}^{2}+2\sigma _{b}(\sigma _{t}-\sigma _{c})-\sigma _{c}\sigma _{t}}}\right)\\c_{2}=&\left({\cfrac {1}{(\sigma _{t}+\sigma _{c})}}\right)\left({\cfrac {\sigma _{b}(3\sigma _{t}-\sigma _{c})-2\sigma _{c}\sigma _{t}}{4\sigma _{b}^{2}+2\sigma _{b}(\sigma _{t}-\sigma _{c})-\sigma _{c}\sigma _{t}}}\right)\\c_{0}=&c_{1}\sigma _{c}-c_{2}\sigma _{c}^{2}\end{aligned}}}$

Figura 9: Vista de la superficie de fluencia de Bresler-Pister en el espacio 3D de tensiones principales

Figura 10: Superficie de fluencia de Bresler-Pister en el espacio 2D ( ) ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

Superficie de fluencia de Willam-Warnke

El criterio de rendimiento de Willam-Warnke es una versión suavizada de tres parámetros del criterio de rendimiento de Mohr-Coulomb que tiene similitudes en la forma con los criterios de rendimiento de Drucker-Prager y Bresler-Pister .

El criterio de rendimiento tiene la forma funcional

${\displaystyle f(I_{1},J_{2},J_{3})=0~.}$

Sin embargo, se expresa más comúnmente en coordenadas Haigh-Westergaard como

${\displaystyle f(\xi ,\rho ,\theta )=0~.}$

La sección transversal de la superficie, cuando se observa a lo largo de su eje, es un triángulo suavizado (a diferencia del modelo de Mohr-Coulomb). La superficie de fluencia de Willam-Warnke es convexa y tiene derivadas primera y segunda únicas y bien definidas en cada punto de su superficie. Por lo tanto, el modelo de Willam-Warnke es computacionalmente sólido y se ha utilizado para una variedad de materiales cohesivos-friccionales.

Figura 11: Vista de la superficie de fluencia de Willam-Warnke en el espacio 3D de tensiones principales

Figura 12: Superficie de fluencia de Willam–Warnke en el plano ${\displaystyle \pi }$

Superficies de fluencia trigonométricas de Podgórski y Rosendahl

Normalizado con respecto a la tensión de tracción uniaxial , el criterio de Podgórski ^[29] en función del ángulo de tensión se lee ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }=\sigma _{+}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {3\,I_{2}'}}\,{\frac {\Omega _{3}(\theta ,\beta _{3},\chi _{3})}{\Omega _{3}(0,\beta _{3},\chi _{3})}},}$

con la función de forma de simetría trigonal en el plano ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \Omega _{3}(\theta ,\beta _{3},\chi _{3})=\cos \left[\displaystyle {\frac {1}{3}}\left(\pi \beta _{3}-\arccos[\,\sin(\chi _{3}\,{\frac {\pi }{2}})\,\!\cos 3\,\theta \,]\right)\right],\qquad \beta _{3}\in [0,\,1],\quad \chi _{3}\in [-1,\,1].}$

Contiene los criterios de von Mises (círculo en el plano -, , ), Tresca (hexágono regular, , ), Mariotte (triángulo regular, , ), Ivlev ^[30] (triángulo regular, , ) y también el criterio cúbico de Sayir ^[31] (criterio de Ottosen ^[32] ) con y los hexágonos isotoxales (equiláteros) del criterio de Capurso ^{[30] [31] [33]} con . La transición de von Mises - Tresca ^[34] sigue con , . Los hexágonos isogonales (equiangulares) del criterio de Haythornthwaite ^{[23] [35] [36]} que contienen el criterio de Schmidt-Ishlinsky (hexágono regular) no se pueden describir con el ctiterión de Podgórski. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \beta _{3}=[0,\,1]}$ ${\displaystyle \chi _{3}=0}$ ${\displaystyle \beta _{3}=1/2}$ ${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$ ${\displaystyle \beta _{3}=\{0,1\}}$ ${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$ ${\displaystyle \beta _{3}=\{1,0\}}$ ${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$ ${\displaystyle \beta _{3}=\{0,1\}}$ ${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$ ${\displaystyle \beta _{3}=1/2}$ ${\displaystyle \chi _{3}=[0,1]}$

El criterio de Rosendahl ^{[37] [38] [39]} dice:

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {3\,I_{2}'}}\,{\frac {\Omega _{6}(\theta ,\beta _{6},\chi _{6})}{\Omega _{6}(0,\beta _{6},\chi _{6})}},}$

con la función de forma de simetría hexagonal en el plano ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \Omega _{6}(\theta ,\beta _{6},\chi _{6})=\cos \left[\displaystyle {\frac {1}{6}}\left(\pi \beta _{6}-\arccos[\,\sin(\chi _{6}\,{\frac {\pi }{2}})\,\!\cos 6\,\theta \,]\right)\right],\qquad \beta _{6}\in [0,\,1],\quad \chi _{6}\in [-1,\,1].}$

Contiene los criterios de von Mises (círculo, , ), Tresca (hexágono regular, , ), Schmidt—Ishlinsky (hexágono regular, , ), Sokolovsky (dodecágono regular, , ), y también el criterio bicúbico ^{[23] [37] [40] [41]} con o igualmente con y los dodecágonos isotoxales del criterio de fluencia unificado de Yu ^[42] con . Los dodecágonos isogonales del criterio de ansatz multiplicativo de simetría hexagonal ^[23] que contienen el criterio de Ishlinsky-Ivlev (dodecágono regular) no pueden describirse mediante el criterio de Rosendahl. ${\displaystyle \beta _{6}=[0,\,1]}$ ${\displaystyle \chi _{6}=0}$ ${\displaystyle \beta _{6}=\{1,0\}}$ ${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$ ${\displaystyle \beta _{6}=\{0,1\}}$ ${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$ ${\displaystyle \beta _{6}=1/2}$ ${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$ ${\displaystyle \beta _{6}=0}$ ${\displaystyle \beta _{6}=1}$ ${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$

Los criterios de Podgórski y Rosendahl describen superficies individuales en el espacio de tensiones principales sin ningún contorno exterior adicional ni intersecciones de planos. Nótese que para evitar problemas numéricos, la función de la parte real se puede introducir en la función de forma: y . La generalización en la forma ^[37] es relevante para las investigaciones teóricas. ${\displaystyle Re}$ ${\displaystyle Re(\Omega _{3})}$ ${\displaystyle Re(\Omega _{6})}$ ${\displaystyle \Omega _{3n}}$

Se puede obtener una extensión sensible a la presión de los criterios con la sustitución lineal ^[23] ${\displaystyle I_{1}}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }\rightarrow {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\qquad {\mbox{with}}\qquad \gamma _{1}\in [0,\,1[,}$

lo cual es suficiente para muchas aplicaciones, por ejemplo, metales, hierro fundido, aleaciones, hormigón, polímeros no reforzados, etc.

Secciones transversales básicas descritas por un círculo y polígonos regulares de simetrías trigonométricas o hexagonales en el plano . ${\displaystyle \pi }$

Superficie de rendimiento de Bigoni-Piccolroaz

El criterio de rendimiento de Bigoni-Piccolroaz ^{[43] [44]} es una superficie de siete parámetros definida por

${\displaystyle f(p,q,\theta )=F(p)+{\frac {q}{g(\theta )}}=0,}$

¿Dónde está la función "meridiano"? ${\displaystyle F(p)}$

${\displaystyle F(p)=\left\{{\begin{array}{ll}-Mp_{c}{\sqrt {(\phi -\phi ^{m})[2(1-\alpha )\phi +\alpha ]}},&\phi \in [0,1],\\+\infty ,&\phi \notin [0,1],\end{array}}\right.}$

${\displaystyle \phi ={\frac {p+c}{p_{c}+c}},}$

describe la sensibilidad a la presión y es la función "desviadora" ^[45] ${\displaystyle g(\theta )}$

${\displaystyle g(\theta )={\frac {1}{\cos[\beta {\frac {\pi }{6}}-{\frac {1}{3}}\cos ^{-1}(\gamma \cos 3\theta )]}},}$

Descripción de la dependencia de Lode de la fluencia. Los siete parámetros materiales no negativos:

${\displaystyle \underbrace {M>0,~p_{c}>0,~c\geq 0,~0<\alpha <2,~m>1} _{{\mbox{defining}}~\displaystyle {F(p)}},~~~\underbrace {0\leq \beta \leq 2,~0\leq \gamma <1} _{{\mbox{defining}}~\displaystyle {g(\theta )}},}$

definir la forma de las secciones meridiana y desviadora.

Este criterio representa una superficie lisa y convexa, cerrada tanto en tensión como en compresión hidrostática y con forma de gota, particularmente adecuada para describir materiales friccionales y granulares. Este criterio también se ha generalizado al caso de superficies con esquinas. ^[46]

Superficie de rendimiento de Bigoni-Piccolroaz

Coseno Ansatz (Altenbach-Bolchoun-Kolupaev)

Para la formulación de los criterios de resistencia se toma el ángulo de tensión

${\displaystyle \cos 3\theta ={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}{\frac {I_{3}'}{I_{2}'^{\frac {3}{2}}}}}$

se puede utilizar

El siguiente criterio de comportamiento del material isótropo

${\displaystyle (3I_{2}')^{3}{\frac {1+c_{3}\cos 3\theta +c_{6}\cos ^{2}3\theta }{1+c_{3}+c_{6}}}=\displaystyle \left({\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\right)^{6-l-m}\,\left({\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}\,I_{1}}{1-\gamma _{2}}}\right)^{l}\,\sigma _{\mathrm {eq} }^{m}}$

contiene una serie de otros criterios menos generales bien conocidos, siempre que se elijan valores de parámetros adecuados.

Los parámetros y describen la geometría de la superficie en el plano. Están sujetos a las restricciones ${\displaystyle c_{3}}$ ${\displaystyle c_{6}}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle c_{6}={\frac {1}{4}}(2+c_{3}),\qquad c_{6}={\frac {1}{4}}(2-c_{3}),\qquad c_{6}\geq {\frac {5}{12}}\,c_{3}^{2}-{\frac {1}{3}},}$

^{que se desprenden de la condición de convexidad. En [47] [48]} se propone una formulación más precisa de las terceras restricciones.

Los parámetros y describen la posición de los puntos de intersección de la superficie de fluencia con el eje hidrostático (diagonal espacial en el espacio de tensión principal). Estos puntos de intersección se denominan nodos hidrostáticos. En el caso de materiales que no fallan bajo presión hidrostática (acero, latón, etc.) se obtiene . De lo contrario, para materiales que fallan bajo presión hidrostática (espumas duras, cerámicas, materiales sinterizados, etc.) se obtiene . ${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,\,1[}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$ ${\displaystyle \gamma _{2}\in [0,\,\gamma _{1}[}$ ${\displaystyle \gamma _{2}<0}$

Las potencias enteras y , describen la curvatura del meridiano. El meridiano con es una línea recta y con – una parábola. ${\displaystyle l\geq 0}$ ${\displaystyle m\geq 0}$ ${\displaystyle l+m<6}$ ${\displaystyle l=m=0}$ ${\displaystyle l=0}$

Superficie de rendimiento de Barlat

En el caso de los materiales anisotrópicos, dependiendo de la dirección del proceso aplicado (por ejemplo, laminado), las propiedades mecánicas varían y, por lo tanto, es crucial utilizar una función de fluencia anisotrópica. Desde 1989, Frederic Barlat ha desarrollado una familia de funciones de fluencia para el modelado constitutivo de la anisotropía plástica. Entre ellas, el criterio de fluencia Yld2000-2D se ha aplicado a una amplia gama de chapas metálicas (por ejemplo, aleaciones de aluminio y aceros avanzados de alta resistencia). El modelo Yld2000-2D es una función de fluencia de tipo no cuadrático basada en dos transformaciones lineales del tensor de tensión:

${\displaystyle \Phi =\Phi '(X')+\Phi ''(X'')=2{{\bar {\sigma }}^{a}}}$ :

Los loci de rendimiento Yld2000-2D para una lámina AA6022 T4.

donde es la tensión efectiva. y y son las matrices transformadas (por transformación lineal C o L): ${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X''}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}X'=C'.s=L'.\sigma \\X''=C''.s=L''.\sigma \end{array}}}$

donde s es el tensor de tensión desviatorio.

Para los valores principales de X' y X”, el modelo podría expresarse como:

${\displaystyle {\begin{array}{l}\Phi '={\left|{{{X'}_{1}}+{{X'}_{2}}}\right|^{a}}\\\Phi ''={\left|{2{{X''}_{2}}+{{X''}_{1}}}\right|^{a}}+{\left|{2{{X''}_{1}}+{{X''}_{2}}}\right|^{a}}\end{array}}\ }$

y:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{L'}_{11}}\\{{L'}_{12}}\\{{L'}_{21}}\\{{L'}_{22}}\\{{L'}_{66}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{2/3}&0&0\\{-1/3}&0&0\\0&{-1/3}&0\\0&{-2/3}&0\\0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha _{1}}\\{\alpha _{2}}\\{\alpha _{7}}\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{L''}_{11}}\\{{L''}_{12}}\\{{L''}_{21}}\\{{L''}_{22}}\\{{L''}_{66}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{-2}&2&8&{-2}&0\\1&{-4}&{-4}&4&0\\4&{-4}&{-4}&4&0\\{-2}&8&2&{-2}&0\\0&0&0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha _{3}}\\{\alpha _{4}}\\{\alpha _{5}}\\{\alpha _{6}}\\{\alpha _{8}}\end{array}}\right]}$

donde se encuentran ocho parámetros del modelo Yld2000-2D de Barlat que se identificarán con un conjunto de experimentos. ${\displaystyle \alpha _{1}...\alpha _{8}}$

Véase también

• Rendimiento (ingeniería)
• Plasticidad (física)
• Estrés
• Henri Tresca
• El estrés de von Mises
• Teoría de Mohr-Coulomb
• Criterio de fluencia en pendiente
• Criterio de rendimiento de Hosford
• Cepa
• Tensor de deformación
• Tensor de estrés-energía
• Concentración de estrés
• Elasticidad 3-D
• Frédéric Barlat

Referencias

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