Criterio de rendimiento de Willam-Warnke

Superficie de fluencia de Willam-Warnke de tres parámetros.

El criterio de fluencia de Willam-Warnke ^[1] es una función que se utiliza para predecir cuándo se producirá una falla en el hormigón y otros materiales cohesivos-friccionales como la roca , el suelo y la cerámica . Este criterio de fluencia tiene la forma funcional

${\displaystyle f(I_{1},J_{2},J_{3})=0\,}$

donde es el primer invariante del tensor de tensiones de Cauchy, y son el segundo y tercer invariante de la parte desviatoria del tensor de tensiones de Cauchy. Hay tres parámetros del material ( - la resistencia a la compresión uniaxial, - la resistencia a la tracción uniaxial, - la resistencia a la compresión equibiaxial) que deben determinarse antes de que se pueda aplicar el criterio de fluencia de Willam-Warnke para predecir la falla. ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle J_{2},J_{3}}$ ${\displaystyle \sigma _{c}}$ ${\displaystyle \sigma _{t}}$ ${\displaystyle \sigma _{b}}$

En términos de , el criterio de rendimiento de Willam-Warnke se puede expresar como ${\displaystyle I_{1},J_{2},J_{3}}$

${\displaystyle f:={\sqrt {J_{2}}}+\lambda (J_{2},J_{3})~({\tfrac {I_{1}}{3}}-B)=0}$

donde es una función que depende de y de los tres parámetros del material y depende únicamente de los parámetros del material. La función se puede interpretar como el ángulo de fricción que depende del ángulo de Lode ( ). La cantidad se interpreta como una presión de cohesión. Por lo tanto, el criterio de fluencia de Willam-Warnke puede considerarse como una combinación de los criterios de fluencia de Mohr-Coulomb y de Drucker-Prager . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle J_{2},J_{3}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle B}$

Función de rendimiento de Willam-Warnke

Vista de la superficie de fluencia de Willam-Warnke de tres parámetros en el espacio 3D de tensiones principales para ${\displaystyle \sigma _{c}=1,\sigma _{t}=0.3,\sigma _{b}=1.7}$

Traza de la superficie de fluencia de Willam-Warnke de tres parámetros en el plano para ${\displaystyle \sigma _{1}-\sigma _{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{c}=1,\sigma _{t}=0.3,\sigma _{b}=1.7}$

En el artículo original, la función de rendimiento de Willam-Warnke de tres parámetros se expresó como

${\displaystyle f={\cfrac {1}{3z}}~{\cfrac {I_{1}}{\sigma _{c}}}+{\sqrt {\cfrac {2}{5}}}~{\cfrac {1}{r(\theta )}}{\cfrac {\sqrt {J_{2}}}{\sigma _{c}}}-1\leq 0}$

donde es el primer invariante del tensor de tensión, es el segundo invariante de la parte desviatoria del tensor de tensión, es la tensión de fluencia en compresión uniaxial, y es el ángulo de Lode dado por ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{c}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{3}}\cos ^{-1}\left({\cfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}~{\cfrac {J_{3}}{J_{2}^{3/2}}}\right)~.}$

El lugar del límite de la superficie de tensión en el plano de tensión desviatorio se expresa en coordenadas polares por la cantidad que viene dada por ${\displaystyle r(\theta )}$

${\displaystyle r(\theta ):={\cfrac {u(\theta )+v(\theta )}{w(\theta )}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}u(\theta ):=&2~r_{c}~(r_{c}^{2}-r_{t}^{2})~\cos \theta \\v(\theta ):=&r_{c}~(2~r_{t}-r_{c}){\sqrt {4~(r_{c}^{2}-r_{t}^{2})~\cos ^{2}\theta +5~r_{t}^{2}-4~r_{t}~r_{c}}}\\w(\theta ):=&4(r_{c}^{2}-r_{t}^{2})\cos ^{2}\theta +(r_{c}-2~r_{t})^{2}\end{aligned}}}$

Las cantidades y describen los vectores de posición en las ubicaciones y se pueden expresar en términos de (aquí es la tensión de falla bajo compresión equi-biaxial y es la tensión de falla bajo tensión uniaxial) ${\displaystyle r_{t}}$ ${\displaystyle r_{c}}$ ${\displaystyle \theta =0^{\circ },60^{\circ }}$ ${\displaystyle \sigma _{c},\sigma _{b},\sigma _{t}}$ ${\displaystyle \sigma _{b}}$ ${\displaystyle \sigma _{t}}$

${\displaystyle r_{c}:={\sqrt {\cfrac {6}{5}}}\left[{\cfrac {\sigma _{b}\sigma _{t}}{3\sigma _{b}\sigma _{t}+\sigma _{c}(\sigma _{b}-\sigma _{t})}}\right]~;~~r_{t}:={\sqrt {\cfrac {6}{5}}}\left[{\cfrac {\sigma _{b}\sigma _{t}}{\sigma _{c}(2\sigma _{b}+\sigma _{t})}}\right]}$

El parámetro en el modelo viene dado por ${\displaystyle z}$

${\displaystyle z:={\cfrac {\sigma _{b}\sigma _{t}}{\sigma _{c}(\sigma _{b}-\sigma _{t})}}~.}$

La representación de Haigh-Westergaard de la condición de rendimiento de Willam-Warnke se puede escribir como

${\displaystyle f(\xi ,\rho ,\theta )=0\,\quad \equiv \quad f:={\bar {\lambda }}(\theta )~\rho +{\bar {B}}~\xi -\sigma _{c}\leq 0}$

dónde

${\displaystyle {\bar {B}}:={\cfrac {1}{{\sqrt {3}}~z}}~;~~{\bar {\lambda }}:={\cfrac {1}{{\sqrt {5}}~r(\theta )}}~.}$

Formas modificadas del criterio de rendimiento de Willam-Warnke

Versión de Ulm-Coussy-Bazant de la superficie de fluencia de Willam-Warnke de tres parámetros en el plano para ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \sigma _{c}=1,\sigma _{t}=0.3,\sigma _{b}=1.7}$

Una forma alternativa del criterio de rendimiento de Willam-Warnke en coordenadas de Haigh-Westergaard es la forma Ulm-Coussy-Bazant: ^[2]

${\displaystyle f(\xi ,\rho ,\theta )=0\,\quad {\text{or}}\quad f:=\rho +{\bar {\lambda }}(\theta )~\left(\xi -{\bar {B}}\right)=0}$

dónde

${\displaystyle {\bar {\lambda }}:={\sqrt {\tfrac {2}{3}}}~{\cfrac {u(\theta )+v(\theta )}{w(\theta )}}~;~~{\bar {B}}:={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}~\left[{\cfrac {\sigma _{b}\sigma _{t}}{\sigma _{b}-\sigma _{t}}}\right]}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{t}:=&{\cfrac {{\sqrt {3}}~(\sigma _{b}-\sigma _{t})}{2\sigma _{b}-\sigma _{t}}}\\r_{c}:=&{\cfrac {{\sqrt {3}}~\sigma _{c}~(\sigma _{b}-\sigma _{t})}{(\sigma _{c}+\sigma _{t})\sigma _{b}-\sigma _{c}\sigma _{t}}}\end{aligned}}}$

Las cantidades se interpretan como coeficientes de fricción. Para que la superficie de fluencia sea convexa, el criterio de fluencia de Willam-Warnke requiere que y . ${\displaystyle r_{c},r_{t}}$ ${\displaystyle 2~r_{t}\geq r_{c}\geq r_{t}/2}$ ${\displaystyle 0\leq \theta \leq {\cfrac {\pi }{3}}}$

Véase también

• Rendimiento (ingeniería)
• Superficie de rendimiento
• Plasticidad (física)

Referencias

1. Willam, KJ y Warnke, EP (1975). "Modelos constitutivos para el comportamiento triaxial del hormigón". Actas de la Asociación Internacional de Ingeniería de Puentes y Estructuras , vol. 19, págs. 1–30.
2. Ulm, FJ., Coussy, O., Bazant, Z. (1999) El incendio del «Chunnel». I: Ablandamiento quimioplástico en hormigón calentado rápidamente. ASCE Journal of Engineering Mechanics, vol. 125, núm. 3, págs. 272-282.

• Chen, WF (1982). Plasticidad en hormigón armado . McGraw Hill. Nueva York.

Enlaces externos

• Kaspar Willam y EP Warnke (1974). Modelo constitutivo del comportamiento triaxial del hormigón
• Palko, JL (1993). Modelo de confiabilidad interactiva para cerámicas endurecidas por filamentos
• El incendio del «Chunnel». I: Ablandamiento quimioplástico en hormigón calentado rápidamente por Franz-Josef Ulm, Olivier Coussy y Zdeneˇk P. Bazˇant.