Criterio de rendimiento de Drucker-Prager

Figura 1: Vista de la superficie de fluencia de Drucker-Prager en el espacio 3D de tensiones principales para ${\displaystyle c=2,\phi =-20^{\circ }}$

El criterio de fluencia de Drucker-Prager ^[1] es un modelo dependiente de la presión para determinar si un material ha fallado o ha sufrido fluencia plástica. El criterio se introdujo para abordar la deformación plástica de los suelos. Este criterio y sus muchas variantes se han aplicado a rocas, hormigón, polímeros, espumas y otros materiales dependientes de la presión.

El criterio de rendimiento de Drucker - Prager tiene la forma

${\displaystyle {\sqrt {J_{2}}}=A+B~I_{1}}$

donde es el primer invariante de la tensión de Cauchy y es el segundo invariante de la parte desviatoria de la tensión de Cauchy . Las constantes se determinan a partir de experimentos. ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle A,B}$

En términos de la tensión equivalente (o tensión de von Mises ) y la tensión hidrostática (o media) , el criterio de Drucker-Prager se puede expresar como

${\displaystyle \sigma _{e}=a+b~\sigma _{m}}$

donde es la tensión equivalente, es la tensión hidrostática y son constantes del material. El criterio de fluencia de Drucker-Prager expresado en coordenadas de Haigh-Westergaard es ${\displaystyle \sigma _{e}}$ ${\displaystyle \sigma _{m}}$ ${\displaystyle a,b}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\rho -{\sqrt {3}}~B\xi =A}$

La superficie de fluencia de Drucker-Prager es una versión suave de la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb .

Expresiones para A y B

El modelo de Drucker-Prager se puede escribir en términos de las tensiones principales como

${\displaystyle {\sqrt {{\cfrac {1}{6}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]}}=A+B~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})~.}$

Si es la tensión de fluencia en tensión uniaxial, el criterio de Drucker-Prager implica ${\displaystyle \sigma _{t}}$

${\displaystyle {\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\sigma _{t}=A+B~\sigma _{t}~.}$

Si es la tensión de fluencia en compresión uniaxial, el criterio de Drucker-Prager implica ${\displaystyle \sigma _{c}}$

${\displaystyle {\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\sigma _{c}=A-B~\sigma _{c}~.}$

Resolviendo estas dos ecuaciones obtenemos

${\displaystyle A={\cfrac {2}{\sqrt {3}}}~\left({\cfrac {\sigma _{c}~\sigma _{t}}{\sigma _{c}+\sigma _{t}}}\right)~;~~B={\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\left({\cfrac {\sigma _{t}-\sigma _{c}}{\sigma _{c}+\sigma _{t}}}\right)~.}$

Relación de asimetría uniaxial

El modelo de Drucker-Prager predice diferentes tensiones de fluencia uniaxiales en tracción y en compresión. La relación de asimetría uniaxial para el modelo de Drucker-Prager es

${\displaystyle \beta ={\cfrac {\sigma _{\mathrm {c} }}{\sigma _{\mathrm {t} }}}={\cfrac {1-{\sqrt {3}}~B}{1+{\sqrt {3}}~B}}~.}$

Expresiones en términos de cohesión y ángulo de fricción

Dado que la superficie de fluencia de Drucker-Prager es una versión suave de la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb , a menudo se expresa en términos de la cohesión ( ) y el ángulo de fricción interna ( ) que se utilizan para describir la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb . ^[2] Si suponemos que la superficie de fluencia de Drucker-Prager circunscribe la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb, entonces las expresiones para y son ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle A={\cfrac {6~c~\cos \phi }{{\sqrt {3}}(3-\sin \phi )}}~;~~B={\cfrac {2~\sin \phi }{{\sqrt {3}}(3-\sin \phi )}}}$

Si la superficie de fluencia de Drucker-Prager circunscribe la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb, entonces

${\displaystyle A={\cfrac {6~c~\cos \phi }{{\sqrt {3}}(3+\sin \phi )}}~;~~B={\cfrac {2~\sin \phi }{{\sqrt {3}}(3+\sin \phi )}}}$

Si la superficie de fluencia de Drucker-Prager inscribe la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb, entonces

${\displaystyle A={\cfrac {3~c~\cos \phi }{\sqrt {9+3~\sin ^{2}\phi }}}~;~~B={\cfrac {\sin \phi }{\sqrt {9+3~\sin ^{2}\phi }}}}$

Modelo de Drucker-Prager para polímeros

El modelo de Drucker-Prager se ha utilizado para modelar polímeros como el polioximetileno y el polipropileno ^{[ cita requerida ]} . ^[3] En el caso del polioximetileno, el límite elástico es una función lineal de la presión. Sin embargo, el polipropileno muestra una dependencia cuadrática de la presión del límite elástico.

Modelo de Drucker-Prager para espumas

Para las espumas, el modelo GAZT ^[4] utiliza

${\displaystyle A=\pm {\cfrac {\sigma _{y}}{\sqrt {3}}}~;~~B=\mp {\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\left({\cfrac {\rho }{5~\rho _{s}}}\right)}$

donde es una tensión crítica de falla en tensión o compresión, es la densidad de la espuma y es la densidad del material base. ${\displaystyle \sigma _{y}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho _{s}}$

Extensiones del modelo isotrópico de Drucker-Prager

El criterio de Drucker-Prager también puede expresarse en la forma alternativa

${\displaystyle J_{2}=(A+B~I_{1})^{2}=a+b~I_{1}+c~I_{1}^{2}~.}$

Criterio de rendimiento de Deshpande-Fleck o criterio de rendimiento de espuma isotrópica

El criterio de fluencia de Deshpande-Fleck ^[5] para espumas tiene la forma que se indica en la ecuación anterior. Los parámetros para el criterio de Deshpande-Fleck son ${\displaystyle a,b,c}$

${\displaystyle a=(1+\beta ^{2})~\sigma _{y}^{2}~,~~b=0~,~~c=-{\cfrac {\beta ^{2}}{3}}}$

donde es un parámetro ^[6] que determina la forma de la superficie de fluencia, y es la tensión de fluencia en tracción o compresión. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \sigma _{y}}$

Criterio de rendimiento anisotrópico de Drucker-Prager

Una forma anisotrópica del criterio de rendimiento de Drucker-Prager es el criterio de rendimiento de Liu-Huang-Stout. ^[7] Este criterio de rendimiento es una extensión del criterio de rendimiento generalizado de Hill y tiene la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}f:=&{\sqrt {F(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+G(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+H(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+2L\sigma _{23}^{2}+2M\sigma _{31}^{2}+2N\sigma _{12}^{2}}}\\&+I\sigma _{11}+J\sigma _{22}+K\sigma _{33}-1\leq 0\end{aligned}}}$

Los coeficientes son ${\displaystyle F,G,H,L,M,N,I,J,K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F=&{\cfrac {1}{2}}\left[\Sigma _{2}^{2}+\Sigma _{3}^{2}-\Sigma _{1}^{2}\right]~;~~G={\cfrac {1}{2}}\left[\Sigma _{3}^{2}+\Sigma _{1}^{2}-\Sigma _{2}^{2}\right]~;~~H={\cfrac {1}{2}}\left[\Sigma _{1}^{2}+\Sigma _{2}^{2}-\Sigma _{3}^{2}\right]\\L=&{\cfrac {1}{2(\sigma _{23}^{y})^{2}}}~;~~M={\cfrac {1}{2(\sigma _{31}^{y})^{2}}}~;~~N={\cfrac {1}{2(\sigma _{12}^{y})^{2}}}\\I=&{\cfrac {\sigma _{1c}-\sigma _{1t}}{2\sigma _{1c}\sigma _{1t}}}~;~~J={\cfrac {\sigma _{2c}-\sigma _{2t}}{2\sigma _{2c}\sigma _{2t}}}~;~~K={\cfrac {\sigma _{3c}-\sigma _{3t}}{2\sigma _{3c}\sigma _{3t}}}\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle \Sigma _{1}:={\cfrac {\sigma _{1c}+\sigma _{1t}}{2\sigma _{1c}\sigma _{1t}}}~;~~\Sigma _{2}:={\cfrac {\sigma _{2c}+\sigma _{2t}}{2\sigma _{2c}\sigma _{2t}}}~;~~\Sigma _{3}:={\cfrac {\sigma _{3c}+\sigma _{3t}}{2\sigma _{3c}\sigma _{3t}}}}$

y son las tensiones de fluencia uniaxiales en compresión en las tres direcciones principales de anisotropía, son las tensiones de fluencia uniaxiales en tracción y son las tensiones de fluencia en cizallamiento puro. Se ha supuesto en lo anterior que las cantidades son positivas y negativas. ${\displaystyle \sigma _{ic},i=1,2,3}$ ${\displaystyle \sigma _{it},i=1,2,3}$ ${\displaystyle \sigma _{23}^{y},\sigma _{31}^{y},\sigma _{12}^{y}}$ ${\displaystyle \sigma _{1c},\sigma _{2c},\sigma _{3c}}$ ${\displaystyle \sigma _{1t},\sigma _{2t},\sigma _{3t}}$

El criterio de rendimiento de Drucker

El criterio de Drucker-Prager no debe confundirse con el criterio anterior de Drucker ^[8] que es independiente de la presión ( ). El criterio de rendimiento de Drucker tiene la forma ${\displaystyle I_{1}}$

${\displaystyle f:=J_{2}^{3}-\alpha ~J_{3}^{2}-k^{2}\leq 0}$

donde es el segundo invariante de la tensión desviadora, es el tercer invariante de la tensión desviadora, es una constante que se encuentra entre -27/8 y 9/4 (para que la superficie de fluencia sea convexa), es una constante que varía con el valor de . Para , donde es la tensión de fluencia en tensión uniaxial. ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle J_{3}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle k^{2}={\cfrac {\sigma _{y}^{6}}{27}}}$ ${\displaystyle \sigma _{y}}$

Criterio anisotrópico de Drucker

Una versión anisotrópica del criterio de rendimiento de Drucker es el criterio de rendimiento de Cazacu-Barlat (CZ) ^[9] que tiene la forma

${\displaystyle f:=(J_{2}^{0})^{3}-\alpha ~(J_{3}^{0})^{2}-k^{2}\leq 0}$

donde son formas generalizadas del estrés desviatorio y se definen como ${\displaystyle J_{2}^{0},J_{3}^{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{2}^{0}:=&{\cfrac {1}{6}}\left[a_{1}(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+a_{2}(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+a_{3}(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}\right]+a_{4}\sigma _{23}^{2}+a_{5}\sigma _{31}^{2}+a_{6}\sigma _{12}^{2}\\J_{3}^{0}:=&{\cfrac {1}{27}}\left[(b_{1}+b_{2})\sigma _{11}^{3}+(b_{3}+b_{4})\sigma _{22}^{3}+\{2(b_{1}+b_{4})-(b_{2}+b_{3})\}\sigma _{33}^{3}\right]\\&-{\cfrac {1}{9}}\left[(b_{1}\sigma _{22}+b_{2}\sigma _{33})\sigma _{11}^{2}+(b_{3}\sigma _{33}+b_{4}\sigma _{11})\sigma _{22}^{2}+\{(b_{1}-b_{2}+b_{4})\sigma _{11}+(b_{1}-b_{3}+b_{4})\sigma _{22}\}\sigma _{33}^{2}\right]\\&+{\cfrac {2}{9}}(b_{1}+b_{4})\sigma _{11}\sigma _{22}\sigma _{33}+2b_{11}\sigma _{12}\sigma _{23}\sigma _{31}\\&-{\cfrac {1}{3}}\left[\{2b_{9}\sigma _{22}-b_{8}\sigma _{33}-(2b_{9}-b_{8})\sigma _{11}\}\sigma _{31}^{2}+\{2b_{10}\sigma _{33}-b_{5}\sigma _{22}-(2b_{10}-b_{5})\sigma _{11}\}\sigma _{12}^{2}\right.\\&\qquad \qquad \left.\{(b_{6}+b_{7})\sigma _{11}-b_{6}\sigma _{22}-b_{7}\sigma _{33}\}\sigma _{23}^{2}\right]\end{aligned}}}$

Criterio de fluencia de Cazacu-Barlat para tensión plana

Para láminas metálicas delgadas, el estado de tensión se puede aproximar como tensión plana . En ese caso, el criterio de fluencia de Cazacu-Barlat se reduce a su versión bidimensional con

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{2}^{0}=&{\cfrac {1}{6}}\left[(a_{2}+a_{3})\sigma _{11}^{2}+(a_{1}+a_{3})\sigma _{22}^{2}-2a_{3}\sigma _{1}\sigma _{2}\right]+a_{6}\sigma _{12}^{2}\\J_{3}^{0}=&{\cfrac {1}{27}}\left[(b_{1}+b_{2})\sigma _{11}^{3}+(b_{3}+b_{4})\sigma _{22}^{3}\right]-{\cfrac {1}{9}}\left[b_{1}\sigma _{11}+b_{4}\sigma _{22}\right]\sigma _{11}\sigma _{22}+{\cfrac {1}{3}}\left[b_{5}\sigma _{22}+(2b_{10}-b_{5})\sigma _{11}\right]\sigma _{12}^{2}\end{aligned}}}$

Para láminas delgadas de metales y aleaciones, los parámetros del criterio de fluencia de Cazacu-Barlat son

Véase también

• Superficie de rendimiento
• Rendimiento (ingeniería)
• Plasticidad (física)
• Teoría de la falla del material
• Daniel C. Drucker
• William Prager

Referencias

1. Drucker, DC y Prager, W. (1952). Mecánica de suelos y análisis plástico para diseño límite . Quarterly of Applied Mathematics, vol. 10, núm. 2, págs. 157–165.
2. McLean, MR; Addis, MA (1990). "Estabilidad del pozo: el efecto de los criterios de resistencia en las recomendaciones de densidad del lodo". Todos los días . doi :10.2118/20405-MS.
3. Abrate, S. (2008). Criterios de fluencia o falla de materiales celulares . Journal of Sandwich Structures and Materials, vol. 10. págs. 5–51.
4. Gibson, LJ, Ashby, MF , Zhang, J. y Triantafilliou, TC (1989). Superficies de falla para materiales celulares bajo cargas multiaxiales. I. Modelado . Revista internacional de ciencias mecánicas, vol. 31, núm. 9, págs. 635–665.
5. VS Deshpande y Fleck, NA (2001). Comportamiento de fluencia multiaxial de espumas poliméricas. Acta Materialia, vol. 49, núm. 10, págs. 1859–1866.
6. Dónde está la cantidad utilizada por Deshpande–Fleck? ${\displaystyle \beta =\alpha /3}$ ${\displaystyle \alpha }$
7. Liu, C., Huang, Y. y Stout, MG (1997). Sobre la superficie de fluencia asimétrica de materiales plásticamente ortotrópicos: un estudio fenomenológico. Acta Materialia, vol. 45, núm. 6, págs. 2397–2406
8. Drucker, DC (1949) Relaciones de los experimentos con las teorías matemáticas de la plasticidad , Journal of Applied Mechanics, vol. 16, págs. 349–357.
9. Cazacu, O.; Barlat, F. (2001), "Generalización del criterio de fluencia de Drucker a la ortotropía", Mathematics & Mechanics of Solids , 6 (6): 613–630, doi :10.1177/108128650100600603, S2CID  121817612.