Enfoque de expansión de clusters

Técnica de cálculo mecánico cuántico.

El enfoque de expansión de conglomerados es una técnica de la mecánica cuántica que trunca sistemáticamente el problema de jerarquía BBGKY que surge cuando se resuelve la dinámica cuántica de sistemas que interactúan. Este método es muy adecuado para producir un conjunto cerrado de ecuaciones numéricamente computables que pueden aplicarse para analizar una gran variedad de problemas de muchos cuerpos y/o de óptica cuántica . Por ejemplo, se aplica ampliamente en óptica cuántica de semiconductores ^[1] y se puede aplicar para generalizar las ecuaciones de Bloch de semiconductores y las ecuaciones de luminiscencia de semiconductores .

Fondo

La teoría cuántica esencialmente reemplaza los valores clásicamente precisos por una distribución probabilística que puede formularse usando, por ejemplo, una función de onda , una matriz de densidad o una distribución de espacio de fase . Conceptualmente, siempre existe, al menos formalmente, una distribución de probabilidad detrás de cada observable que se mide. Ya en 1889, mucho antes de que se formulara la física cuántica, Thorvald N. Thiele propuso los cumulantes que describen distribuciones probabilísticas con la menor cantidad posible de cantidades; los llamó semiinvariantes . ^[2] Los cumulantes forman una secuencia de cantidades como media , varianza , asimetría , curtosis , etc., que identifican la distribución con mayor precisión a medida que se utilizan más cumulantes.

La idea de cumulantes fue trasladada a la física cuántica por Fritz Coester ^[3] y Hermann Kümmel ^[4] con la intención de estudiar los fenómenos nucleares de muchos cuerpos. Posteriormente, Jiři Čížek y Josef Paldus ampliaron el enfoque de la química cuántica para describir fenómenos de muchos cuerpos en átomos y moléculas complejos. Este trabajo introdujo las bases para el enfoque de conglomerados acoplados que opera principalmente con funciones de onda de muchos cuerpos. El enfoque de clústeres acoplados es uno de los métodos más exitosos para resolver estados cuánticos de moléculas complejas.

En los sólidos , la función de onda de muchos cuerpos tiene una estructura abrumadoramente complicada, de modo que las técnicas de solución directa de la función de onda son intratables. La expansión de conglomerados es una variante del enfoque de conglomerados acoplados ^{[1] [5]} y resuelve las ecuaciones dinámicas de correlaciones en lugar de intentar resolver la dinámica cuántica de una función de onda aproximada o una matriz de densidad. Es igualmente adecuado para tratar propiedades de sistemas de muchos cuerpos y correlaciones ópticas cuánticas, lo que lo ha convertido en un enfoque muy adecuado para la óptica cuántica de semiconductores.

Como casi siempre en la física de muchos cuerpos o en la óptica cuántica, lo más conveniente es aplicar el formalismo de segunda cuantificación para describir la física involucrada. Por ejemplo, un campo de luz se describe a través de los operadores de creación y aniquilación de bosones y , respectivamente, donde se define el impulso de un fotón . El "sombrero" encima significa la naturaleza del operador de la cantidad. Cuando el estado de muchos cuerpos consiste en excitaciones electrónicas de materia, está completamente definido por los operadores de creación y aniquilación de Fermion y , respectivamente, donde se refiere al impulso de la partícula mientras que es algún grado interno de libertad , como el espín o el índice de banda . ${\displaystyle {\hat {B}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {B}}_{\mathbf {q} }}$ ${\displaystyle \hbar \mathbf {q} }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\hat {a}}_{\lambda ,\mathbf {k} }^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {a}}_{\lambda ,\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle \hbar \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \lambda }$

Clasificación denorte-contribuciones de partículas

Cuando se estudia el sistema de muchos cuerpos junto con sus propiedades ópticas cuánticas, todos los valores esperados mensurables se pueden expresar en forma de un valor esperado de N -partículas.

${\displaystyle \langle {\hat {N}}\rangle \equiv \langle {\hat {B}}_{1}^{\dagger }\cdots {\hat {B}}_{K}^{\dagger }\ {\hat {a}}_{1}^{\dagger }\cdots {\hat {a}}_{N_{\hat {a}}}^{\dagger }{\hat {a}}_{N_{\hat {a}}}\cdots {\hat {a}}_{1}\ {\hat {B}}_{J}\cdots {\hat {B}}_{1}\rangle }$

dónde y mientras se suprimen los índices de impulso explícitos en aras de la brevedad. Estas cantidades normalmente están ordenadas, lo que significa que todos los operadores de creación están en el lado izquierdo mientras que todos los operadores de aniquilación están en el lado derecho del valor esperado. Es sencillo demostrar que este valor esperado desaparece si la cantidad de operadores de creación y aniquilación de Fermion no son iguales. ^{[6] [7]} ${\displaystyle N=N_{\hat {B}}+N_{\hat {a}}}$ ${\displaystyle N_{\hat {B}}=J+K}$

Una vez que se conoce el sistema hamiltoniano, se puede utilizar la ecuación de movimiento de Heisenberg para generar la dinámica de un operador de partícula determinado. Sin embargo, las interacciones de muchos cuerpos, así como las cuánticas-ópticas, acoplan las cantidades de partículas con los valores esperados de partículas, lo que se conoce como el problema de jerarquía de Bogolyubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon (BBGKY) . Más matemáticamente, todas las partículas interactúan entre sí dando lugar a una estructura de ecuación. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (N+1)}$

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\langle {\hat {N}}\rangle =\mathrm {T} \left[\langle {\hat {N}}\rangle \right]+\mathrm {Hi} \left[\langle {\hat {N}}+1\rangle \right]}$

donde funcional simboliza contribuciones sin problema de jerarquía y el funcional para acoplamiento jerárquico (Hi) está simbolizado por . Dado que todos los niveles de valores esperados pueden ser distintos de cero, hasta el número real de partículas, esta ecuación no se puede truncar directamente sin más consideraciones. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathrm {Hi} [\langle {\hat {N}}+1\rangle ]}$

Definición recursiva de clústeres.

Representación esquemática de la clasificación basada en expansión de conglomerados. La correlación completa se compone de singletes, dobletes, tripletes y correlaciones de orden superior, todas definidas de forma única por el enfoque de expansión de conglomerados. Cada esfera azul corresponde a un operador de partículas y los círculos/elipses amarillos a correlaciones. El número de esferas dentro de una correlación identifica el número del grupo.

El problema de la jerarquía se puede truncar sistemáticamente después de identificar grupos correlacionados. Las definiciones más simples siguen después de identificar los grupos de forma recursiva. En el nivel más bajo, se encuentra la clase de valores esperados de una sola partícula (singletes) que están simbolizados por . Cualquier valor esperado de dos partículas se puede aproximar mediante una factorización que contenga una suma formal sobre todos los productos posibles de valores esperados de una sola partícula. De manera más general, define los singletes y es la factorización singlete de un valor esperado de partícula. Físicamente, la factorización singlete entre fermiones produce la aproximación de Hartree-Fock, mientras que para los bosones produce la aproximación clásica donde los operadores de bosones se reemplazan formalmente por una amplitud coherente, es decir ,. La factorización singlete constituye el primer nivel de la representación de expansión de conglomerados. ${\displaystyle \langle 1\rangle }$ ${\displaystyle \langle 2\rangle }$ ${\displaystyle \langle 2\rangle _{\mathrm {S} }=\langle 1\rangle \langle 1\rangle }$ ${\displaystyle \langle 1\rangle }$ ${\displaystyle \langle N\rangle _{\mathrm {S} }}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\hat {B}}\rightarrow \langle {\hat {B}}\rangle }$

La parte correlacionada de es entonces la diferencia de la factorización real y singlete . Más matemáticamente, se encuentra ${\displaystyle \langle 2\rangle }$ ${\displaystyle \langle 2\rangle }$ ${\displaystyle \langle 2\rangle _{\mathrm {S} }}$

${\displaystyle \langle 2\rangle =\langle 2\rangle _{\mathrm {S} }+\Delta \langle 2\rangle }$

donde la contribución denota la parte correlacionada, es decir, . Los siguientes niveles de identificaciones siguen de forma recursiva ^[1] aplicando ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta \langle 2\rangle =\langle 2\rangle -\langle 2\rangle _{\mathrm {S} }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle 3\rangle &=\langle 3\rangle _{\mathrm {S} }+\langle 1\rangle \ \Delta \langle 2\rangle +\Delta \langle 3\rangle \,,\\\langle N\rangle &=\langle N\rangle _{\mathrm {S} }\\&\quad +\langle N-2\rangle _{\mathrm {S} }\ \Delta \langle 2\rangle \\&\quad +\langle N-4\rangle _{\mathrm {S} }\ \Delta \langle 2\rangle \ \Delta \langle 2\rangle +\dots \\&\quad +\langle N-3\rangle _{\mathrm {S} }\ \Delta \langle 3\rangle \\&\quad +\langle N-5\rangle _{\mathrm {S} }\ \Delta \langle 3\rangle \ \Delta \langle 2\rangle +\dots \\&\quad +\Delta \langle N\rangle \,,\end{aligned}}}$

donde cada término del producto representa simbólicamente una factorización e implícitamente incluye una suma de todas las factorizaciones dentro de la clase de términos identificados. La parte puramente correlacionada se denota por . A partir de estos, las correlaciones de dos partículas determinan dobletes, mientras que las correlaciones de tres partículas se denominan tripletes. ${\displaystyle \Delta \langle N\rangle }$ ${\displaystyle \Delta \langle 2\rangle }$ ${\displaystyle \Delta \langle 3\rangle }$

Como esta identificación se aplica de forma recursiva, se pueden identificar directamente qué correlaciones aparecen en el problema de jerarquía. Luego se determina la dinámica cuántica de las correlaciones, obteniendo

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Delta \langle {\hat {N}}\rangle =\mathrm {T} \left[\Delta \langle {\hat {N}}\rangle \right]+\mathrm {NL} \left[\langle {\hat {1}}\rangle ,\Delta \langle {\hat {2}}\rangle ,\cdots ,\Delta \langle {\hat {N}}\rangle \right]+\mathrm {Hi} \left[\Delta \langle {\hat {N}}+1\rangle \right]\,,}$

donde las factorizaciones producen un acoplamiento no lineal entre conglomerados. Obviamente, la introducción de clusters no puede eliminar el problema de jerarquía del enfoque directo porque las contribuciones jerárquicas permanecen en la dinámica. Esta propiedad y la apariencia de los términos no lineales parecen sugerir complicaciones para la aplicabilidad del enfoque de expansión de conglomerados. ${\displaystyle \mathrm {NL} \left[\cdots \right]}$

Sin embargo, como diferencia importante con un enfoque directo del valor esperado, tanto las interacciones de muchos cuerpos como las de óptica cuántica generan correlaciones secuencialmente. ^{[1] [8]} En varios problemas relevantes, uno de hecho tiene una situación en la que sólo los grupos de orden más bajo inicialmente no desaparecen, mientras que los grupos de orden superior se acumulan lentamente. En esta situación, se puede omitir el acoplamiento jerárquico, , en el nivel que excede los grupos de partículas. Como resultado, las ecuaciones se cierran y sólo es necesario calcular la dinámica hasta las correlaciones de partículas para explicar las propiedades relevantes del sistema. Dado que suele ser mucho más pequeño que el número total de partículas, el enfoque de expansión de cúmulos produce un esquema de solución pragmático y sistemático para investigaciones de óptica cuántica y de muchos cuerpos. ^[1] ${\displaystyle \mathrm {Hi} \left[\Delta \langle {\hat {C}}+1\rangle \right]}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

Extensiones

Además de describir la dinámica cuántica, naturalmente se puede aplicar el enfoque de expansión de conglomerados para representar las distribuciones cuánticas. Una posibilidad es representar las fluctuaciones cuánticas de un modo de luz cuantificado en términos de cúmulos, dando como resultado la representación de expansión de cúmulos. Alternativamente, se pueden expresar en términos de la representación del valor esperado . En este caso, la conexión desde la matriz de densidad es única pero puede dar como resultado una serie numéricamente divergente. Este problema se puede resolver introduciendo una transformación de expansión de conglomerados (CET) ^[9] que representa la distribución en términos de Gauss , definida por las contribuciones singlete-doblete, multiplicada por un polinomio, definido por los conglomerados de orden superior. Resulta que esta formulación proporciona una convergencia extrema en las transformaciones de representación a representación. ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle \langle [{\hat {B}}^{\dagger }]^{J}{\hat {B}}^{K}\rangle }$ ${\displaystyle \langle [{\hat {B}}^{\dagger }]^{J}{\hat {B}}^{K}\rangle }$

Este problema completamente matemático tiene una aplicación física directa. Se puede aplicar la transformación de expansión de conglomerados para proyectar de manera sólida la medición clásica en una medición óptica cuántica. ^[10] Esta propiedad se basa en gran medida en la capacidad de CET para describir cualquier distribución en la forma en que una gaussiana se multiplica por un factor polinómico. Esta técnica ya se está utilizando para acceder y derivar espectroscopia óptico-cuántica a partir de un conjunto de mediciones de espectroscopia clásica, que se pueden realizar utilizando láseres de alta calidad .

Ver también

• Jerarquía BBGKY
• Espectroscopia óptica cuántica
• Ecuaciones de Bloch para semiconductores
• Ecuaciones de luminiscencia de semiconductores.

Referencias

1. Kira, M.; Koch, SW (2011). Óptica cuántica de semiconductores . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN  978-0521875097
2. Lauritzen, SL (2002). Thiele: pionero en estadística . Universidad de Oxford. Prensa. ISBN 978-0198509721 
3. Coester, F. (1958). "Estados ligados de un sistema de muchas partículas". Física Nuclear 7 : 421–424. doi:10.1016/0029-5582(58)90280-3
4. Coester, F.; Kummel, H. (1960). "Correlaciones de corto alcance en funciones de ondas nucleares". Física Nuclear 17 : 477–485. doi:10.1016/0029-5582(60)90140-1
5. Kira, M.; Koch, S. (2006). "Espectroscopia óptica cuántica de semiconductores". Revisión física A 73 (1). doi:10.1103/PhysRevA.73.013813
6. Haug, H. (2006). Statistische Physik: Gleichgewichtstheorie und Kinetik . Saltador. ISBN 978-3540256298 
7. Bartlett, RJ (2009). Métodos de muchos cuerpos en química y física: MBPT y teoría de conglomerados acoplados . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521818322 
8. Mootz, M.; Kira, M.; Koch, SW (2012). "Acumulación secuencial de correlaciones óptico-cuánticas". Revista de la Sociedad Óptica de América B 29 (2): A17. doi:10.1364/JOSAB.29.000A17
9. Kira, M.; Koch, S. (2008). "Representación de expansión de conglomerados en óptica cuántica". Revisión física A 78 (2). doi:10.1103/PhysRevA.78.022102
10. Kira, M.; Koch, SW; Smith, RP; Cazador, AE; Cundiff, ST (2011). "Espectroscopia cuántica con estados del gato de Schrödinger". Física de la naturaleza 7 (10): 799–804. doi:10.1038/nphys2091

Otras lecturas

• Kira, M.; Koch, SW (2011). Óptica cuántica de semiconductores . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521875097.
• Shavitt, I.; Bartlett, RJ (2009). Métodos de muchos cuerpos en química y física: MBPT y teoría de conglomerados acoplados . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521818322.