Ecuaciones de Bloch para semiconductores

Describir la respuesta óptica de los semiconductores.

Las ecuaciones de Bloch para semiconductores ^[1] (abreviadas como SBE) describen la respuesta óptica de los semiconductores excitados por fuentes de luz clásicas coherentes , como los láseres . Se basan en una teoría cuántica completa y forman un conjunto cerrado de ecuaciones integrodiferenciales para la dinámica cuántica de la polarización microscópica y la distribución de portadores de carga . ^{[2] [3]} Los SBE reciben su nombre de la analogía estructural con las ecuaciones ópticas de Bloch que describen la dinámica de excitación en un átomo de dos niveles que interactúa con un campo electromagnético clásico . Como mayor complicación más allá del enfoque atómico, los SBE deben abordar las interacciones de muchos cuerpos resultantes de la fuerza de Coulomb entre cargas y el acoplamiento entre las vibraciones de la red y los electrones.

Fondo

La respuesta óptica de un semiconductor se obtiene si se puede determinar su polarización macroscópica en función del campo eléctrico que lo excita. La conexión entre y la polarización microscópica está dada por ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$

${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {d} \,\sum _{\mathbf {k} }P_{\mathbf {k} }+\operatorname {c.c.} \;,}$

donde la suma involucra momentos cristalinos de todos los estados electrónicos relevantes. En óptica de semiconductores, normalmente se excitan transiciones entre una banda de valencia y una de conducción . En este sentido, el elemento de matriz dipolar se encuentra entre las bandas de conducción y de valencia y define la correspondiente amplitud de transición. ${\displaystyle \hbar {\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle \mathbf {d} }$ ${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$

La derivación de los SBE parte de un sistema hamiltoniano que incluye completamente las partículas libres , la interacción de Coulomb , la interacción dipolar entre los estados clásicos de luz y electrónicos, así como las contribuciones de fonones . ^[3] Como casi siempre en la física de muchos cuerpos , lo más conveniente es aplicar el formalismo de segunda cuantificación después de identificar el sistema hamiltoniano apropiado . Luego se puede derivar la dinámica cuántica de observables relevantes utilizando la ecuación de movimiento de Heisenberg. ${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathrm {System} }}$ ${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}}$

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {\mathcal {O}}}\rangle =\langle [{\hat {\mathcal {O}}},{\hat {H}}_{\mathrm {System} }]_{-}\rangle \;.}$

Debido a las interacciones de muchos cuerpos dentro de , la dinámica de las parejas observables con nuevos observables y la estructura de la ecuación no se pueden cerrar. Este es el conocido problema de jerarquía BBGKY que puede truncarse sistemáticamente con diferentes métodos, como el enfoque de expansión de clústeres . ^[4] ${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathrm {System} }}$ ${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}}$

A nivel de operador, la polarización microscópica se define por un valor esperado para una única transición electrónica entre una banda de valencia y una de conducción. En la segunda cuantificación, los electrones de la banda de conducción se definen mediante operadores fermiónicos de creación y aniquilación y , respectivamente. Se realiza una identificación análoga, es decir, y , para los electrones de la banda de valencia. La correspondiente transición electrónica entre bandas se convierte entonces en ${\displaystyle {\hat {a}}_{c,{\mathbf {k} }}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {a}}_{c,{\mathbf {k} }}}$ ${\displaystyle {\hat {a}}_{v,{\mathbf {k} }}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {a}}_{v,{\mathbf {k} }}}$

${\displaystyle P_{\mathbf {k} }^{\star }=\langle {\hat {a}}_{c,\mathbf {k} }^{\dagger }{\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }\rangle \,,\qquad P_{\mathbf {k} }=\langle {\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }^{\dagger }{\hat {a}}_{c,\mathbf {k} }\rangle \,,}$

que describen amplitudes de transición para mover un electrón de la banda de conducción a la banda de valencia ( término) o viceversa ( término). Al mismo tiempo, se sigue una distribución de electrones de ${\displaystyle P_{\mathbf {k} }^{\star }}$ ${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$

${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{e}=\langle {\hat {a}}_{c,\mathbf {k} }^{\dagger }{\hat {a}}_{c,\mathbf {k} }\rangle \;.}$

También es conveniente seguir la distribución de las vacantes electrónicas, es decir, los huecos ,

${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{h}=1-\langle {\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }^{\dagger }{\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }\rangle =\langle {\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }{\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }^{\dagger }\rangle }$

que quedan en la banda de valencia debido a procesos de excitación óptica.

Estructura principal de las PYME

La dinámica cuántica de las excitaciones ópticas produce ecuaciones integrodiferenciales que constituyen los SBE ^{[1] [3]}

Ecuaciones de Bloch para semiconductores

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}P_{\mathbf {k} }={\tilde {\varepsilon }}_{\mathbf {k} }P_{\mathbf {k} }-\left[1-f_{\mathbf {k} }^{e}(t)-f_{\mathbf {k} }^{h}(t)\right]\Omega _{\mathbf {k} }+\mathrm {i} \hbar \left.{\frac {\partial }{\partial t}}P_{\mathbf {k} }\right|_{\mathrm {scatter} }\,,}$

${\displaystyle \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}f_{\mathbf {k} }^{e}=2\operatorname {Im} \left[\Omega _{\mathbf {k} }^{\star }P_{\mathbf {k} }\right]+\hbar \left.{\frac {\partial }{\partial t}}f_{\mathbf {k} }^{e}\right|_{\mathrm {scatter} }\,,}$

${\displaystyle \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}f_{\mathbf {k} }^{h}=2\operatorname {Im} \left[\Omega _{\mathbf {k} }^{\star }P_{\mathbf {k} }\right]+\hbar \left.{\frac {\partial }{\partial t}}f_{\mathbf {k} }^{h}\right|_{\mathrm {scatter} }\;.}$

Estos contienen la energía Rabi renormalizada.

${\displaystyle \Omega _{\mathbf {k} }=\mathbf {d} \cdot \mathbf {E} +\sum _{\mathbf {k} '\neq \mathbf {k} }V_{\mathbf {k} -\mathbf {k} '}P_{\mathbf {k} '}}$

así como la energía portadora renormalizada

${\displaystyle {\tilde {\varepsilon }}_{\mathbf {k} }=\varepsilon _{\mathbf {k} }-\sum _{\mathbf {k} '\neq \mathbf {k} }V_{\mathbf {k} -\mathbf {k} '}\left[f_{\mathbf {k} '}^{e}+f_{\mathbf {k} '}^{h}\right]\,,}$

donde corresponde a la energía de los pares libres electrón-hueco y es el elemento de la matriz de Coulomb, dado aquí en términos del vector de onda portadora . ${\displaystyle \varepsilon _{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle V_{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$

Las contribuciones denotadas simbólicamente surgen del acoplamiento jerárquico debido a las interacciones de muchos cuerpos. Conceptualmente, , y son valores esperados de una sola partícula, mientras que el acoplamiento jerárquico se origina a partir de correlaciones de dos partículas, como las correlaciones de polarización-densidad o las correlaciones de polarización-fonón. Físicamente, estas correlaciones de dos partículas introducen varios efectos no triviales, como la detección de la interacción de Coulomb, la dispersión tipo Boltzmann de y hacia la distribución de Fermi-Dirac , el desfase inducido por excitación y una mayor renormalización de energías debido a las correlaciones. ${\displaystyle \left.\cdots \right|_{\mathrm {scatter} }}$ ${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{e}}$ ${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{h}}$ ${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{e}}$ ${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{h}}$

Todos estos efectos de correlación se pueden incluir sistemáticamente resolviendo también la dinámica de las correlaciones de dos partículas. ^[5] En este nivel de sofisticación, se pueden utilizar los SBE para predecir la respuesta óptica de semiconductores sin parámetros fenomenológicos , lo que les da a los SBE un grado muy alto de previsibilidad. De hecho, se pueden utilizar los SBE para predecir diseños de láser adecuados a través del conocimiento preciso que producen sobre el espectro de ganancia del semiconductor . Incluso se pueden utilizar los SBE para deducir la existencia de correlaciones, como excitones unidos, a partir de mediciones cuantitativas. ^[6]

Los SBE presentados están formulados en el espacio de impulso, ya que el impulso cristalino del transportista se deriva de . También se puede formular un conjunto equivalente de ecuaciones en el espacio de posiciones. ^[7] Sin embargo, especialmente, los cálculos de correlación son mucho más simples de realizar en el espacio de impulso. ${\displaystyle \hbar \mathbf {k} }$

Interpretación y consecuencias.

Espectro de absorción lineal característico de GaAs a granel utilizando SBE de dos bandas. La caída de la polarización se aproxima con una constante de caída y se calcula en función de la energía del fotón del campo de bombeo . La energía se desplaza con respecto a la energía de banda prohibida y el semiconductor inicialmente no está excitado. Debido a la pequeña constante de desfase utilizada, varias resonancias excitónicas aparecen muy por debajo de la energía de banda prohibida. La magnitud de las resonancias de alta energía se multiplica por 5 para mayor visibilidad. ${\displaystyle \alpha (E)}$ ${\displaystyle \hbar \gamma =0.13\,\mathrm {meV} }$ ${\displaystyle \alpha (E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E_{\mathrm {gap} }=1.490\,\mathrm {meV} }$

La dinámica muestra una estructura donde un individuo está acoplado a todas las demás polarizaciones microscópicas debido a la interacción de Coulomb . Por lo tanto, la amplitud de transición se modifica colectivamente por la presencia de otras amplitudes de transición. Sólo si uno se pone a cero, se encuentran transiciones aisladas dentro de cada estado que siguen exactamente la misma dinámica que predicen las ecuaciones ópticas de Bloch . Por lo tanto, la interacción de Coulomb ya produce un nuevo efecto de estado sólido en comparación con las transiciones ópticas en átomos simples. ${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle V_{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle V_{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle {\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$

Conceptualmente, es solo una amplitud de transición para excitar un electrón desde la banda de valencia a la de conducción. Al mismo tiempo, la parte homogénea de la dinámica produce un problema de valores propios que puede expresarse mediante la ecuación de Wannier generalizada . Los estados propios de la ecuación de Wannier son análogos a las soluciones ligadas del problema del hidrógeno de la mecánica cuántica. A menudo se las denomina soluciones de excitones y describen formalmente la unión de Coulomb mediante electrones y huecos con cargas opuestas. ${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$

Sin embargo, un excitón real es una verdadera correlación de dos partículas porque entonces se debe tener una correlación entre un electrón y otro hueco. Por tanto, la aparición de resonancias de excitones en la polarización no significa la presencia de excitones porque se trata de una amplitud de transición de una sola partícula. Las resonancias excitónicas son una consecuencia directa del acoplamiento de Coulomb entre todas las transiciones posibles en el sistema. En otras palabras, las transiciones de una sola partícula están influenciadas por la interacción de Coulomb, lo que permite detectar la resonancia de excitones en la respuesta óptica incluso cuando no hay excitones verdaderos presentes. ^[8] ${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$

Por lo tanto, a menudo es habitual especificar las resonancias ópticas como excitónicas en lugar de resonancias excitónicas. El papel real de los excitones en la respuesta óptica sólo puede deducirse mediante cambios cuantitativos para inducir el ancho de línea y el cambio de energía de las resonancias excitónicas. ^[6]

Las soluciones de la ecuación de Wannier producen información valiosa sobre las propiedades básicas de la respuesta óptica de un semiconductor. En particular, se pueden resolver las soluciones de estado estacionario de los SBE para predecir analíticamente el espectro de absorción óptica con la llamada fórmula de Elliott . De esta forma, se puede verificar que un semiconductor no excitado muestra varias resonancias de absorción excitónica muy por debajo de la energía de banda prohibida fundamental. Obviamente, esta situación no puede ser un sondeo de excitones porque, para empezar, el sistema inicial de muchos cuerpos no contiene electrones ni huecos. Además, en principio, el sondeo puede realizarse con tanta suavidad que esencialmente no se excitan los pares electrón-hueco. Este experimento ilustrado ilustra muy bien por qué se pueden detectar resonancias excitónicas sin tener excitones en el sistema, todo gracias al acoplamiento de Coulomb entre amplitudes de transición.

Extensiones

Los SBE son particularmente útiles para resolver la propagación de la luz a través de una estructura semiconductora. En este caso, es necesario resolver los SBE junto con las ecuaciones de Maxwell impulsadas por la polarización óptica. Este conjunto autoconsistente se llama Maxwell-SBE y se aplica con frecuencia para analizar experimentos actuales y simular diseños de dispositivos.

En este nivel, los SBE proporcionan un método extremadamente versátil que describe fenómenos lineales y no lineales, como efectos excitónicos , efectos de propagación, efectos de microcavidades de semiconductores , mezcla de cuatro ondas , polaritones en microcavidades de semiconductores, espectroscopia de ganancia , etc. ^{[4] [8] [9]} También se pueden generalizar los SBE incluyendo excitación con campos de terahercios (THz) ^[5] que típicamente resuenan con transiciones intrabanda. También se puede cuantificar el campo luminoso e investigar los efectos óptico-cuánticos resultantes. En esta situación, los SBE se acoplan a las ecuaciones de luminiscencia del semiconductor .

Ver también

• Absorción
• Ecuaciones de luminiscencia de semiconductores.
• fórmula de elliott
• Espectroscopia óptica cuántica
• Ecuaciones ópticas de Bloch
• ecuación de Wannier
• Obtenga espectroscopia de semiconductores.
• Teoría del láser semiconductor
• Teoría no lineal de los láseres semiconductores.

Otras lecturas

• Ashcroft, Neil W.; Mermín, N. David (1976). Física del Estado Sólido. Holt, Rinehart y Winston . ISBN 978-0-03-083993-1.
• Shah, J. (1999). Espectroscopia ultrarrápida de semiconductores y nanoestructuras de semiconductores (2ª ed.). Saltador. ISBN 978-3-540-64226-8.
• Kittel, C. (2004). Introducción a la Física del Estado Sólido (8ª ed.). Científico mundial. ISBN 978-0471415268.
• Haug, H.; Koch, SW (2009). Teoría cuántica de las propiedades ópticas y electrónicas de los semiconductores (5ª ed.). Científico mundial. ISBN 978-9812838841.
• Klingshirn, CF (2006). Óptica semiconductora . Saltador. ISBN 978-3540383451.
• Kira, M.; Koch, SW (2011). Óptica cuántica de semiconductores . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521875097.

Referencias

1. Lindberg, M.; Koch, SW (1988). "Ecuaciones efectivas de Bloch para semiconductores". Revisión física B 38 (5): 3342–3350. doi:10.1103/PhysRevB.38.3342
2. Schäfer, W.; Wegener, M. (2002). Óptica de semiconductores y fenómenos de transporte . Saltador. ISBN 3540616144 . 
3. Haug, H.; Koch, SW (2009). Teoría cuántica de las propiedades ópticas y electrónicas de los semiconductores (5ª ed.). Científico mundial. pag. 216. ISBN 9812838848 . 
4. Kira, M.; Koch, SW (2011). Óptica cuántica de semiconductores . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521875097 . 
5. Kira, M.; Koch, SW (2006). "Correlaciones de muchos cuerpos y efectos excitónicos en espectroscopia de semiconductores". Progreso en electrónica cuántica 30 (5): 155–296. doi:10.1016/j.pquantelec.2006.12.002
6. Smith, RP; Wahlstrand, JK; Funk, CA; Mirin, RP; Cundiff, ST; Steiner, JT; Schäfer, M.; Kira, M. y col. (2010). "Extracción de configuraciones de muchos cuerpos a partir de absorción no lineal en pozos cuánticos de semiconductores". Cartas de revisión física 104 (24). doi:10.1103/PhysRevLett.104.247401
7. Stahl, A. (1984). "Electrodinámica del borde de la banda en un semiconductor de separación directa". Comunicaciones de estado sólido 49 (1): 91–93. doi:10.1016/0038-1098(84)90569-6
8. Koch, SW; Kira, M.; Khitrova, G .; Gibbs, HM (2006). "Excitones semiconductores bajo una nueva luz". Materiales de la naturaleza 5 (7): 523–531. doi:10.1038/nmat1658
9. Klingshirn, CF (2006). Óptica semiconductora . Saltador. ISBN 978-3540383451 .