correlación cruzada

Covarianza y correlación

Comparación visual de convolución , correlación cruzada y autocorrelación . Para las operaciones que involucran la función f , y suponiendo que la altura de f es 1,0, el valor del resultado en 5 puntos diferentes se indica mediante el área sombreada debajo de cada punto. Además, la simetría vertical de f es la razón y son idénticas en este ejemplo. ${\displaystyle f*g}$ ${\displaystyle f\star g}$

En el procesamiento de señales , la correlación cruzada es una medida de similitud de dos series en función del desplazamiento de una con respecto a la otra. Esto también se conoce como producto escalar deslizante o producto interno deslizante . Se utiliza comúnmente para buscar una señal larga para una característica conocida más corta. Tiene aplicaciones en reconocimiento de patrones , análisis de partículas individuales , tomografía electrónica , promedios , criptoanálisis y neurofisiología . La correlación cruzada es de naturaleza similar a la convolución de dos funciones. En una autocorrelación , que es la correlación cruzada de una señal consigo misma, siempre habrá un pico con un retraso de cero, y su tamaño será la energía de la señal.

En probabilidad y estadística , el término correlaciones cruzadas se refiere a las correlaciones entre las entradas de dos vectores aleatorios y , mientras que las correlaciones de un vector aleatorio son las correlaciones entre las entradas de sí mismo, las que forman la matriz de correlación de . Si cada uno de y es una variable aleatoria escalar que se realiza repetidamente en una serie de tiempo , entonces las correlaciones de las diversas instancias temporales de se conocen como autocorrelaciones de , y las correlaciones cruzadas de con a lo largo del tiempo son correlaciones cruzadas temporales. En probabilidad y estadística, la definición de correlación siempre incluye un factor estandarizador de tal manera que las correlaciones tengan valores entre −1 y +1. ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$

Si y son dos variables aleatorias independientes con funciones de densidad de probabilidad y , respectivamente, entonces la densidad de probabilidad de la diferencia viene dada formalmente por la correlación cruzada (en el sentido del procesamiento de señales) ; sin embargo, esta terminología no se utiliza en probabilidad y estadística. Por el contrario, la convolución (equivalente a la correlación cruzada de y ) da la función de densidad de probabilidad de la suma . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle Y-X}$ ${\displaystyle f\star g}$ ${\displaystyle f*g}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle g(-t)}$ ${\displaystyle X+Y}$

Correlación cruzada de señales deterministas.

Para funciones continuas y , la correlación cruzada se define como: ^{[1] [2] [3]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

$${\displaystyle (f\star g)(\tau )\ \triangleq \int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(t)}}g(t+\tau )\,dt}$$

$${\displaystyle (f\star g)(\tau )\ \triangleq \int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(t-\tau )}}g(t)\,dt}$$

conjugado complejodesplazamientoretraso.retrasada ${\displaystyle {\overline {f(t)}}}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle t+\tau }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \tau }$

Si y son funciones periódicas continuas del período , la integración desde hasta se reemplaza por la integración en cualquier intervalo de longitud : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle [t_{0},t_{0}+T]}$ ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle (f\star g)(\tau )\ \triangleq \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{\overline {f(t)}}g(t+\tau )\,dt}$$

$${\displaystyle (f\star g)(\tau )\ \triangleq \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{\overline {f(t-\tau )}}g(t)\,dt}$$

^{[4] [5]}

$${\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\overline {f[m]}}g[m+n]}$$

$${\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\overline {f[m-n]}}g[m]}$$

^[6] ${\displaystyle f,g\in \mathbb {C} ^{N}}$

$${\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[m]}}g[(m+n)_{{\text{mod}}~N}]}$$

$${\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[(m-n)_{{\text{mod}}~N}]}}g[m]}$$

^[7] ${\displaystyle f\in \mathbb {C} ^{N}}$ ${\displaystyle g\in \mathbb {C} ^{M}}$

$${\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[m]}}K_{g}[(m+n)_{{\text{mod}}~N}]}$$

transformación afín ${\displaystyle K_{g}=[k(g,T_{0}(g)),k(g,T_{1}(g)),\dots ,k(g,T_{N-1}(g))]}$ ${\displaystyle k(\cdot ,\cdot )\colon \mathbb {C} ^{M}\times \mathbb {C} ^{M}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T_{i}(\cdot )\colon \mathbb {C} ^{M}\to \mathbb {C} ^{M}}$

Específicamente, puede ser una transformación de traslación circular, una transformación de rotación o una transformación de escala, etc. La correlación cruzada del núcleo extiende la correlación cruzada desde el espacio lineal al espacio del núcleo. La correlación cruzada es equivalente a la traducción; la correlación cruzada del núcleo es equivalente a cualquier transformación afín, incluida la traslación, la rotación y la escala, etc. ${\displaystyle T_{i}(\cdot )}$

Explicación

Como ejemplo, consideremos dos funciones con valores reales que difieren sólo en un desplazamiento desconocido a lo largo del eje x. Se puede utilizar la correlación cruzada para encontrar cuánto se debe desplazar a lo largo del eje x para que sea idéntico a . Básicamente, la fórmula desliza la función a lo largo del eje x, calculando la integral de su producto en cada posición. Cuando las funciones coinciden, el valor de se maximiza. Esto se debe a que cuando los picos (áreas positivas) están alineados, contribuyen en gran medida a la integral. De manera similar, cuando los valles (áreas negativas) se alinean, también contribuyen positivamente a la integral porque el producto de dos números negativos es positivo. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (f\star g)}$

Animación de cómo se calcula la correlación cruzada. La gráfica de la izquierda muestra una función verde G que está desfasada con respecto a la función F en un desplazamiento temporal de 𝜏. El gráfico del medio muestra la función F y la G desfasada representadas juntas como una curva de Lissajous . Integrar F multiplicado por G desfasado produce la gráfica correcta, la correlación cruzada entre todos los valores de 𝜏.

Con funciones de valores complejos y , tomar el conjugado de garantiza que los picos alineados (o valles alineados) con componentes imaginarios contribuirán positivamente a la integral. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$

En econometría , la correlación cruzada rezagada a veces se denomina autocorrelación cruzada. ^{[8] : pág. 74}

Propiedades

• La correlación cruzada de funciones y es equivalente a la convolución (denotada por ) de y . Eso es: ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle g(t)}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle {\overline {f(-t)}}}$ ${\displaystyle g(t)}$

  ${\displaystyle [f(t)\star g(t)](t)=[{\overline {f(-t)}}*g(t)](t).}$

• ${\displaystyle [f(t)\star g(t)](t)=[{\overline {g(t)}}\star {\overline {f(t)}}](-t).}$
• Si es una función hermitiana , entonces ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\star g=f*g.}$
• Si ambos y son hermitianos, entonces . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\star g=g\star f}$
• ${\displaystyle \left(f\star g\right)\star \left(f\star g\right)=\left(f\star f\right)\star \left(g\star g\right)}$.
• De manera análoga al teorema de convolución , la correlación cruzada satisface
  ${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{f\star g\right\}={\overline {{\mathcal {F}}\left\{f\right\}}}\cdot {\mathcal {F}}\left\{g\right\},}$
  donde denota la transformada de Fourier y nuevamente indica el conjugado complejo de , desde . Junto con los algoritmos rápidos de transformada de Fourier , esta propiedad a menudo se explota para el cálculo numérico eficiente de correlaciones cruzadas ^[9] (ver correlación cruzada circular ). ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\overline {f}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{{\overline {f(-t)}}\right\}={\overline {{\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}}}}$
• La correlación cruzada está relacionada con la densidad espectral (ver teorema de Wiener-Khinchin ).
• La correlación cruzada de una convolución de y con una función es la convolución de la correlación cruzada de y con el núcleo : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$

  ${\displaystyle g\star \left(f*h\right)=\left(g\star f\right)*h}$.

Correlación cruzada de vectores aleatorios.

Definición

Para vectores aleatorios y , cada uno de los cuales contiene elementos aleatorios cuyo valor esperado y varianza existen, la matriz de correlación cruzada de y está definida por ^{[10] : p.337} ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$

$${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }\triangleq \ \operatorname {E} \left[\mathbf {X} \mathbf {Y} \right]}$$

${\displaystyle m\times n}$

$${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }={\begin{bmatrix}\operatorname {E} [X_{1}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{1}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{1}Y_{n}]\\\\\operatorname {E} [X_{2}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{2}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{2}Y_{n}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\operatorname {E} [X_{m}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{m}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{m}Y_{n}]\end{bmatrix}}}$$

valor esperado ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ ${\displaystyle \operatorname {E} }$

Ejemplo

Por ejemplo, si y son vectores aleatorios, entonces es una matriz cuya entrada -ésima es . ${\displaystyle \mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} =\left(Y_{1},Y_{2}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }}$ ${\displaystyle 3\times 2}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}Y_{j}]}$

Definición de vectores aleatorios complejos

Si y son vectores aleatorios complejos , cada uno de los cuales contiene variables aleatorias cuyo valor esperado y varianza existen, la matriz de correlación cruzada de y está definida por ${\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{m})}$ ${\displaystyle \mathbf {W} =(W_{1},\ldots ,W_{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {W} }$

$${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {H}}]}$$

transposición hermitiana ${\displaystyle {}^{\rm {H}}}$

Correlación cruzada de procesos estocásticos.

En estadística y análisis de series de tiempo , la correlación cruzada de un par de procesos aleatorios es la correlación entre los valores de los procesos en diferentes momentos, en función de los dos tiempos. Sea un par de procesos aleatorios y cualquier momento ( puede ser un número entero para un proceso de tiempo discreto o un número real para un proceso de tiempo continuo ). Entonces es el valor (o realización ) producido por una ejecución determinada del proceso en un momento dado . ${\displaystyle (X_{t},Y_{t})}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle t}$

Función de correlación cruzada

Supongamos que el proceso tiene medias y variaciones y en el tiempo , para cada una . Entonces la definición de la correlación cruzada entre tiempos y es ^{[10] : p.392} ${\displaystyle \mu _{X}(t)}$ ${\displaystyle \mu _{Y}(t)}$ ${\displaystyle \sigma _{X}^{2}(t)}$ ${\displaystyle \sigma _{Y}^{2}(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$

$${\displaystyle \operatorname {R} _{XY}(t_{1},t_{2})\triangleq \ \operatorname {E} \left[X_{t_{1}}{\overline {Y_{t_{2}}}}\right]}$$

del valor esperado ${\displaystyle \operatorname {E} }$

Función de covarianza cruzada

Restar la media antes de la multiplicación produce la covarianza cruzada entre tiempos y : ^{[10] : p.392} ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$

$${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2})\triangleq \ \operatorname {E} \left[\left(X_{t_{1}}-\mu _{X}(t_{1})\right){\overline {(Y_{t_{2}}-\mu _{Y}(t_{2}))}}\right]}$$

Definición de proceso estocástico estacionario de sentido amplio

Representemos un par de procesos estocásticos que en conjunto son estacionarios en sentido amplio . Luego, la función de covarianza cruzada y la función de correlación cruzada se dan de la siguiente manera. ${\displaystyle (X_{t},Y_{t})}$

Función de correlación cruzada

$${\displaystyle \operatorname {R} _{XY}(\tau )\triangleq \ \operatorname {E} \left[X_{t}{\overline {Y_{t+\tau }}}\right]}$$

$${\displaystyle \operatorname {R} _{XY}(\tau )=\operatorname {E} \left[X_{t-\tau }{\overline {Y_{t}}}\right]}$$

Función de covarianza cruzada

$${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau )\triangleq \ \operatorname {E} \left[\left(X_{t}-\mu _{X}\right){\overline {\left(Y_{t+\tau }-\mu _{Y}\right)}}\right]}$$

$${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau )=\operatorname {E} \left[\left(X_{t-\tau }-\mu _{X}\right){\overline {\left(Y_{t}-\mu _{Y}\right)}}\right]}$$

valor esperadoen conjunto . ${\displaystyle \mu _{X}}$ ${\displaystyle \sigma _{X}}$ ${\displaystyle (X_{t})}$ ${\displaystyle (Y_{t})}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [\ ]}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle (X_{t},Y_{t})}$

La correlación cruzada de un par de procesos estocásticos estacionarios de sentido amplio conjunto se puede estimar promediando el producto de las muestras medidas de un proceso y las muestras medidas del otro (y sus cambios de tiempo). Las muestras incluidas en el promedio pueden ser un subconjunto arbitrario de todas las muestras de la señal (por ejemplo, muestras dentro de una ventana de tiempo finita o un submuestreo ^{[ ¿cuál? ]} de una de las señales). Para una gran cantidad de muestras, el promedio converge a la verdadera correlación cruzada.

Normalización

Es una práctica común en algunas disciplinas (por ejemplo, estadística y análisis de series de tiempo ) normalizar la función de correlación cruzada para obtener un coeficiente de correlación de Pearson dependiente del tiempo . Sin embargo, en otras disciplinas (por ejemplo, ingeniería) la normalización suele descartarse y los términos "correlación cruzada" y "covarianza cruzada" se utilizan indistintamente.

La definición de correlación cruzada normalizada de un proceso estocástico es

$${\displaystyle \rho _{XX}(t_{1},t_{2})={\frac {\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})}{\sigma _{X}(t_{1})\sigma _{X}(t_{2})}}={\frac {\operatorname {E} \left[\left(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}}\right){\overline {\left(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}}\right)}}\right]}{\sigma _{X}(t_{1})\sigma _{X}(t_{2})}}}$$

anticorrelación ${\displaystyle \rho _{XX}}$ ${\displaystyle [-1,1]}$

Para procesos estocásticos estacionarios de sentido amplio conjunto, la definición es

$${\displaystyle \rho _{XY}(\tau )={\frac {\operatorname {K} _{XY}(\tau )}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}={\frac {\operatorname {E} \left[\left(X_{t}-\mu _{X}\right){\overline {\left(Y_{t+\tau }-\mu _{Y}\right)}}\right]}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}}$$

dependencia estadística

Propiedades

Propiedad de simetría

Para procesos estocásticos estacionarios de sentido amplio conjunto, la función de correlación cruzada tiene la siguiente propiedad de simetría: ^{[11] : p.173}

$${\displaystyle \operatorname {R} _{XY}(t_{1},t_{2})={\overline {\operatorname {R} _{YX}(t_{2},t_{1})}}}$$

$${\displaystyle \operatorname {R} _{XY}(\tau )={\overline {\operatorname {R} _{YX}(-\tau )}}}$$

Análisis de retardo de tiempo

Las correlaciones cruzadas son útiles para determinar el retardo de tiempo entre dos señales, por ejemplo, para determinar retardos de tiempo para la propagación de señales acústicas a través de una matriz de micrófonos. ^{[12] [13] [ aclaración necesaria ]} Después de calcular la correlación cruzada entre las dos señales, el máximo (o mínimo si las señales están correlacionadas negativamente) de la función de correlación cruzada indica el momento en el que las señales están mejor alineadas ; es decir, el retardo de tiempo entre las dos señales está determinado por el argumento del máximo, o arg max de la correlación cruzada , como en

$${\displaystyle \tau _{\mathrm {delay} }={\underset {t\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}((f\star g)(t))}$$

Correlación cruzada normalizada cero (ZNCC)

Para aplicaciones de procesamiento de imágenes en las que el brillo de la imagen y la plantilla pueden variar debido a las condiciones de iluminación y exposición, las imágenes se pueden normalizar primero. Por lo general, esto se hace en cada paso restando la media y dividiendo por la desviación estándar . Es decir, la correlación cruzada de una plantilla con una subimagen es ${\displaystyle t(x,y)}$ ${\displaystyle f(x,y)}$

$${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{x,y}{\frac {1}{\sigma _{f}\sigma _{t}}}\left(f(x,y)-\mu _{f}\right)\left(t(x,y)-\mu _{t}\right)}$$

donde es el número de píxeles en y , es el promedio de y es la desviación estándar de . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t(x,y)}$ ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sigma _{f}}$ ${\displaystyle f}$

En términos de análisis funcional , esto puede considerarse como el producto escalar de dos vectores normalizados . Es decir, si

$${\displaystyle F(x,y)=f(x,y)-\mu _{f}}$$

$${\displaystyle T(x,y)=t(x,y)-\mu _{t}}$$

$${\displaystyle \left\langle {\frac {F}{\|F\|}},{\frac {T}{\|T\|}}\right\rangle }$$

producto interiornorma L²Cauchy-Schwarz ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle [-1,1]}$

Así, si y son matrices reales, su correlación cruzada normalizada es igual al coseno del ángulo entre los vectores unitarios y , siendo así si y sólo si es igual a multiplicado por un escalar positivo. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle T}$

La correlación normalizada es uno de los métodos utilizados para la coincidencia de plantillas , un proceso utilizado para encontrar instancias de un patrón u objeto dentro de una imagen. También es la versión bidimensional del coeficiente de correlación momento-producto de Pearson .

Correlación cruzada normalizada (NCC)

NCC es similar a ZNCC con la única diferencia de no restar el valor medio local de intensidades:

$${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{x,y}{\frac {1}{\sigma _{f}\sigma _{t}}}f(x,y)t(x,y)}$$

Sistemas no lineales

Se debe tener precaución al utilizar correlación cruzada para sistemas no lineales. En determinadas circunstancias, que dependen de las propiedades de la entrada, la correlación cruzada entre la entrada y la salida de un sistema con dinámica no lineal puede ser completamente ciega a ciertos efectos no lineales. ^[14] Este problema surge porque algunos momentos cuadráticos pueden ser iguales a cero y esto puede sugerir incorrectamente que hay poca "correlación" (en el sentido de dependencia estadística) entre dos señales, cuando en realidad las dos señales están fuertemente relacionadas por dinámica no lineal.

Ver también

• Autocorrelación
• Autocovarianza
• Coherencia
• Circunvolución
• Correlación
• Función de correlación
• Matriz de correlación cruzada
• Covarianza cruzada
• Espectro cruzado
• Correlación de imágenes digitales
• Correlación de fase
• Correlación escalada
• Densidad espectral
• Teorema de Wiener-Khinchin

Referencias

1. Bracewell, R. "Notación de pentagrama para correlación cruzada". La transformada de Fourier y sus aplicaciones. Nueva York: McGraw-Hill, págs. 46 y 243, 1965.
2. Papoulis, A. La integral de Fourier y sus aplicaciones. Nueva York: McGraw-Hill, págs. 244–245 y 252-253, 1962.
3. Weisstein, Eric W. "Correlación cruzada". De MathWorld: un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Cross-Correlation.html
4. Rabiner, LR; Schafer, RW (1978). Procesamiento Digital de Señales del Habla . Serie de procesamiento de señales. Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall. págs. 147-148. ISBN 0132136031.
5. Rabiner, Lawrence R.; Oro, Bernard (1975). Teoría y Aplicación del Procesamiento de Señales Digitales . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall. págs.401. ISBN 0139141014.
6. Wang, Chen (2019). Aprendizaje del kernel para la percepción visual, Capítulo 2.2.1 (Tesis doctoral). Universidad Tecnológica de Nanyang, Singapur. págs. 17-18. doi : 10.32657/10220/47835 . hdl : 10356/105527 .
7. Wang, Chen; Zhang, Le; Yuan, Junsong; Xie, Lihua (2018). "Correlacionador cruzado del kernel". Actas de la Conferencia AAAI sobre Inteligencia Artificial . La trigésima segunda conferencia de la AAAI sobre inteligencia artificial. 32 . Asociación para el Avance de la Inteligencia Artificial: 4179–4186. doi : 10.1609/aaai.v32i1.11710 . S2CID  3544911.
8. Campbell; Lo; MacKinlay (1996). La econometría de los mercados financieros . Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 0691043019.
9. Kapinchev, Konstantin; Bradu, Adrián; Barnes, Federico; Podoleanu, Adrián (2015). "Implementación GPU de correlación cruzada para generación de imágenes en tiempo real". 2015 9ª Conferencia Internacional sobre Sistemas de Comunicación y Procesamiento de Señales (ICSPCS) . págs. 1–6. doi :10.1109/ICSPCS.2015.7391783. ISBN 978-1-4673-8118-5. S2CID  17108908.
10. Gubner, John A. (2006). Probabilidad y Procesos Aleatorios para Ingenieros Eléctricos e Informáticos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-86470-1.
11. Kun Il Park, Fundamentos de probabilidad y procesos estocásticos con aplicaciones a las comunicaciones, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3
12. Rhudy, Mateo; Brian Bucci; Jeffrey Vipperman; Jeffrey Allanach; Bruce Abraham (noviembre de 2009). "Métodos de análisis de matrices de micrófonos mediante correlaciones cruzadas" . Actas del Congreso Internacional de Ingeniería Mecánica ASME 2009, Lake Buena Vista, FL. págs. 281–288. doi :10.1115/IMECE2009-10798. ISBN 978-0-7918-4388-8.
13. Rhudy, Matthew (noviembre de 2009). Implementación en tiempo real de un clasificador de impulsos militares (tesis de maestría). Universidad de Pittsburgh.
14. Facturaciones, SA (2013). Identificación de sistemas no lineales: métodos NARMAX en los dominios de tiempo, frecuencia y espacio-temporal . Wiley. ISBN 978-1-118-53556-1.

Otras lecturas

• Tahmasebi, Pejman; Hezarkhani, Ardeshir; Sahimi, Mahoma (2012). "Modelado geoestadístico de múltiples puntos basado en funciones de correlación cruzada". Geociencias computacionales . 16 (3): 779–797. Código Bib : 2012CmpGe..16..779T. doi :10.1007/s10596-012-9287-1. S2CID  62710397.

enlaces externos

• Correlación cruzada de Mathworld
• http://scribblethink.org/Work/nvisionInterface/nip.html
• http://www.staff.ncl.ac.uk/oliver.hinton/eee305/Chapter6.pdf