Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Desigualdad matemática que relaciona productos internos y normas

La desigualdad de Cauchy-Schwarz (también llamada desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz ) ^{[1] [2] [3] [4]} es una cota superior del producto interno entre dos vectores en un espacio de producto interno en términos del producto de las normas vectoriales . Se considera una de las desigualdades más importantes y ampliamente utilizadas en matemáticas. ^[5]

Los productos internos de vectores pueden describir sumas finitas (a través de espacios vectoriales de dimensión finita), series infinitas (a través de vectores en espacios de secuencias ) e integrales (a través de vectores en espacios de Hilbert ). La desigualdad para sumas fue publicada por Augustin-Louis Cauchy  (1821). La desigualdad correspondiente para integrales fue publicada por Viktor Bunyakovsky  (1859) ^[2] y Hermann Schwarz  (1888). Schwarz dio la prueba moderna de la versión integral. ^[5]

Enunciado de la desigualdad

La desigualdad de Cauchy-Schwarz establece que para todos los vectores y de un espacio de producto interno ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

donde es el producto interno . Ejemplos de productos internos incluyen el producto escalar real y complejo ; vea los ejemplos en producto interno . Cada producto interno da lugar a una norma euclidiana , llamada norma canónica o inducida , donde la norma de un vector se denota y define por donde es siempre un número real no negativo (incluso si el producto interno es de valor complejo). Al tomar la raíz cuadrada de ambos lados de la desigualdad anterior, la desigualdad de Cauchy-Schwarz se puede escribir en su forma más familiar en términos de la norma: ^{[6] [7]} ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle l_{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ $${\displaystyle \|\mathbf {u} \|:={\sqrt {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }},}$$ ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }$

Además, los dos lados son iguales si y sólo si y son linealmente dependientes . ^{[8] [9] [10]} ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Casos especiales

Lema de Sedrakyan: números reales positivos

La desigualdad de Sedrakyan , también conocida como desigualdad de Bergström , forma de Engel , lema de Titu (o lema T2), establece que para los números reales y los números reales positivos : ${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}}$ ${\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}}$ $${\displaystyle {\frac {\left(\displaystyle \sum _{i=1}^{n}u_{i}\right)^{2}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}v_{i}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {u_{i}^{2}}{v_{i}}}\quad {\text{ or equivalently, }}\quad {\frac {\left(u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}\right)^{2}}{v_{1}+v_{2}+\cdots +v_{n}}}\leq {\frac {u_{1}^{2}}{v_{1}}}+{\frac {u_{2}^{2}}{v_{2}}}+\cdots +{\frac {u_{n}^{2}}{v_{n}}}.}$$

Es una consecuencia directa de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, que se obtiene utilizando el producto escalar de al sustituir y . Esta forma es especialmente útil cuando la desigualdad involucra fracciones donde el numerador es un cuadrado perfecto . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle u_{i}'={\frac {u_{i}}{\sqrt {v_{i}}}}}$ ${\displaystyle v_{i}'={\sqrt {v_{i}}}}$

R2​- El avión

Desigualdad de Cauchy-Schwarz en un círculo unitario del plano euclidiano

El espacio vectorial real denota el plano bidimensional. También es el espacio euclidiano bidimensional donde el producto interno es el producto escalar . Si y entonces la desigualdad de Cauchy-Schwarz se convierte en: donde es el ángulo entre y . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} =\left(u_{1},u_{2}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\left(v_{1},v_{2}\right)}$ $${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ^{2}=(\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|\cos \theta )^{2}\leq \|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2},}$$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

La forma anterior es quizás la más fácil de entender para la desigualdad, ya que el cuadrado del coseno puede ser como máximo 1, lo que ocurre cuando los vectores están en la misma dirección o en direcciones opuestas. También se puede reformular en términos de las coordenadas del vector , , , y como donde la igualdad se cumple si y solo si el vector está en la misma dirección o en dirección opuesta que el vector , o si uno de ellos es el vector cero. ${\displaystyle u_{1}}$ ${\displaystyle u_{2}}$ ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}}$ $${\displaystyle \left(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}\right)^{2}\leq \left(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}\right)\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right),}$$ ${\displaystyle \left(u_{1},u_{2}\right)}$ ${\displaystyle \left(v_{1},v_{2}\right)}$

Rn​:norte-espacio euclidiano dimensional

En el espacio euclidiano con el producto interno estándar, que es el producto escalar , la desigualdad de Cauchy-Schwarz se convierte en: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\right).}$$

La desigualdad de Cauchy-Schwarz se puede demostrar usando solo álgebra elemental en este caso observando que la diferencia del lado derecho y el izquierdo es $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1,\ldots ,n}(u_{i}v_{j}-u_{j}v_{i})^{2}\geq 0}$$

o considerando el siguiente polinomio cuadrático en ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \left(u_{1}x+v_{1}\right)^{2}+\cdots +\left(u_{n}x+v_{n}\right)^{2}=\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)x^{2}+2\left(\sum _{i}u_{i}v_{i}\right)x+\sum _{i}v_{i}^{2}.}$$

Como el último polinomio no es negativo, tiene como máximo una raíz real, por lo que su discriminante es menor o igual a cero. Es decir, $${\displaystyle \left(\sum _{i}u_{i}v_{i}\right)^{2}-\left(\sum _{i}{u_{i}^{2}}\right)\left(\sum _{i}{v_{i}^{2}}\right)\leq 0.}$$

C n:norteEspacio complejo -dimensional

Si con y (donde y ) y si el producto interno en el espacio vectorial es el producto interno complejo canónico (definido por donde se utiliza la notación de barra para la conjugación compleja ), entonces la desigualdad puede reformularse de manera más explícita de la siguiente manera: ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} =\left(u_{1},\ldots ,u_{n}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)}$ ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle :=u_{1}{\overline {v_{1}}}+\cdots +u_{n}{\overline {v_{n}}},}$ $${\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}=\left|\sum _{k=1}^{n}u_{k}{\bar {v}}_{k}\right|^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle =\left(\sum _{k=1}^{n}u_{k}{\bar {u}}_{k}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}v_{k}{\bar {v}}_{k}\right)=\sum _{j=1}^{n}\left|u_{j}\right|^{2}\sum _{k=1}^{n}\left|v_{k}\right|^{2}.}$$

Eso es, $${\displaystyle \left|u_{1}{\bar {v}}_{1}+\cdots +u_{n}{\bar {v}}_{n}\right|^{2}\leq \left(\left|u_{1}\right|^{2}+\cdots +\left|u_{n}\right|^{2}\right)\left(\left|v_{1}\right|^{2}+\cdots +\left|v_{n}\right|^{2}\right).}$$

L 2

Para el espacio del producto interno de funciones complejas integrables al cuadrado , se cumple la siguiente desigualdad. $${\displaystyle \left|\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\overline {g(x)}}\,dx\right|^{2}\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x)|^{2}\,dx\int _{\mathbb {R} ^{n}}|g(x)|^{2}\,dx.}$$

La desigualdad de Hölder es una generalización de esto.

Aplicaciones

Análisis

En cualquier espacio de producto interno , la desigualdad triangular es una consecuencia de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, como se muestra ahora: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}&=\langle \mathbf {u} +\mathbf {v} ,\mathbf {u} +\mathbf {v} \rangle &&\\&=\|\mathbf {u} \|^{2}+\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle +\|\mathbf {v} \|^{2}~&&~{\text{ where }}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }}\\&=\|\mathbf {u} \|^{2}+2\operatorname {Re} \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\|\mathbf {v} \|^{2}&&\\&\leq \|\mathbf {u} \|^{2}+2|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |+\|\mathbf {v} \|^{2}&&\\&\leq \|\mathbf {u} \|^{2}+2\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|+\|\mathbf {v} \|^{2}~&&~{\text{ using CS}}\\&=(\|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|)^{2}.&&\end{alignedat}}}$$

Tomando raíces cuadradas obtenemos la desigualdad triangular: $${\displaystyle \|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|\leq \|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|.}$$

La desigualdad de Cauchy-Schwarz se utiliza para demostrar que el producto interno es una función continua con respecto a la topología inducida por el propio producto interno. ^{[11] [12]}

Geometría

La desigualdad de Cauchy-Schwarz permite extender la noción de "ángulo entre dos vectores" a cualquier espacio de producto interno real definiendo: ^{[13] [14]} $${\displaystyle \cos \theta _{\mathbf {u} \mathbf {v} }={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}}.}$$

La desigualdad de Cauchy-Schwarz demuestra que esta definición es sensata, al mostrar que el lado derecho se encuentra en el intervalo [−1, 1] y justifica la noción de que los espacios de Hilbert (reales) son simplemente generalizaciones del espacio euclidiano . También se puede utilizar para definir un ángulo en espacios complejos de producto interno , tomando el valor absoluto o la parte real del lado derecho, ^{[15] [16]} como se hace al extraer una métrica de la fidelidad cuántica .

Teoría de la probabilidad

Sean y variables aleatorias . Entonces la desigualdad de covarianza ^{[17] [18]} viene dada por: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle \operatorname {Var} (X)\geq {\frac {\operatorname {Cov} (X,Y)^{2}}{\operatorname {Var} (Y)}}.}$$

Después de definir un producto interno en el conjunto de variables aleatorias utilizando la expectativa de su producto, la desigualdad de Cauchy-Schwarz se convierte en $${\displaystyle \langle X,Y\rangle :=\operatorname {E} (XY),}$$ $${\displaystyle |\operatorname {E} (XY)|^{2}\leq \operatorname {E} (X^{2})\operatorname {E} (Y^{2}).}$$

Para demostrar la desigualdad de covarianza utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz, sea y luego donde denota varianza y denota covarianza . ${\displaystyle \mu =\operatorname {E} (X)}$ ${\displaystyle \nu =\operatorname {E} (Y),}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}|\operatorname {Cov} (X,Y)|^{2}&=|\operatorname {E} ((X-\mu )(Y-\nu ))|^{2}\\&=|\langle X-\mu ,Y-\nu \rangle |^{2}\\&\leq \langle X-\mu ,X-\mu \rangle \langle Y-\nu ,Y-\nu \rangle \\&=\operatorname {E} \left((X-\mu )^{2}\right)\operatorname {E} \left((Y-\nu )^{2}\right)\\&=\operatorname {Var} (X)\operatorname {Var} (Y),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \operatorname {Var} }$ ${\displaystyle \operatorname {Cov} }$

Pruebas

Existen muchas demostraciones diferentes ^[19] de la desigualdad de Cauchy-Schwarz además de las que se dan a continuación. ^{[5] [7]} Al consultar otras fuentes, a menudo hay dos fuentes de confusión. En primer lugar, algunos autores definen ⟨⋅,⋅⟩ como lineal en el segundo argumento en lugar de en el primero. En segundo lugar, algunas demostraciones solo son válidas cuando el cuerpo es y no ^[20] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Esta sección da dos pruebas del siguiente teorema:

Desigualdad de Cauchy-Schwarz  :  Sean y vectores arbitrarios en un espacio de producto interno sobre el campo escalar donde es el campo de números reales o números complejos . Entonces ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

conLa igualdad se cumple en la desigualdad de Cauchy-Schwarz si y sólo si yson linealmente dependientes . ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Además, si y entonces ${\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |=\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\|\mathbf {v} \|^{2}}}\mathbf {v} .}$

En ambas demostraciones que se dan a continuación, la demostración en el caso trivial donde al menos uno de los vectores es cero (o equivalentemente, en el caso donde ) es la misma. Se presenta inmediatamente a continuación solo una vez para reducir la repetición. También incluye la parte fácil de la demostración de la caracterización de igualdad dada anteriormente; es decir, demuestra que si y son linealmente dependientes entonces ${\displaystyle \|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|=0}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|.}$

En consecuencia, la desigualdad de Cauchy-Schwarz solo necesita probarse únicamente para vectores distintos de cero y también solo debe mostrarse la dirección no trivial de la caracterización de la igualdad.

Demostración mediante el teorema de Pitágoras

El caso especial de se demostró anteriormente, por lo que de ahora en adelante se supone que Sea ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} .}$ $${\displaystyle \mathbf {z} :=\mathbf {u} -{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {v} .}$$

De la linealidad del producto interno en su primer argumento se desprende que: $${\displaystyle \langle \mathbf {z} ,\mathbf {v} \rangle =\left\langle \mathbf {u} -{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {v} ,\mathbf {v} \right\rangle =\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle -{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle =0.}$$

Por lo tanto, es un vector ortogonal al vector (De hecho, es la proyección de sobre el plano ortogonal a ) Podemos aplicar entonces el teorema de Pitágoras a lo que da ${\displaystyle \mathbf {z} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {z} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} .}$ $${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {v} +\mathbf {z} }$$ $${\displaystyle \|\mathbf {u} \|^{2}=\left|{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\right|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2}+\|\mathbf {z} \|^{2}={\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}}{(\|\mathbf {v} \|^{2})^{2}}}\,\|\mathbf {v} \|^{2}+\|\mathbf {z} \|^{2}={\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}}{\|\mathbf {v} \|^{2}}}+\|\mathbf {z} \|^{2}\geq {\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}}{\|\mathbf {v} \|^{2}}}.}$$

La desigualdad de Cauchy-Schwarz se obtiene multiplicando por y luego sacando la raíz cuadrada. Además, si la relación en la expresión anterior es en realidad una igualdad, entonces y por lo tanto la definición de entonces establece una relación de dependencia lineal entre y El recíproco se demostró al comienzo de esta sección, por lo que la prueba está completa. ${\displaystyle \|\mathbf {v} \|^{2}}$ ${\displaystyle \geq }$ ${\displaystyle \|\mathbf {z} \|^{2}=0}$ ${\displaystyle \mathbf {z} =\mathbf {0} ;}$ ${\displaystyle \mathbf {z} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} .}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Demostración mediante el análisis de una ecuación cuadrática

Consideremos un par arbitrario de vectores . Definamos la función definida por , donde es un número complejo que satisface y . Tal función existe porque si entonces puede tomarse como 1. ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} }$ ${\displaystyle p:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p(t)=\langle t\alpha \mathbf {u} +\mathbf {v} ,t\alpha \mathbf {u} +\mathbf {v} \rangle }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle |\alpha |=1}$ ${\displaystyle \alpha \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =0}$ ${\displaystyle \alpha }$

Como el producto interno es positivo-definido, solo toma valores reales no negativos. Por otra parte, se puede desarrollar utilizando la bilinealidad del producto interno: Por lo tanto, es un polinomio de grado (a menos que sea un caso que se verificó anteriormente). Como el signo de no cambia, el discriminante de este polinomio debe ser no positivo: La conclusión se deduce. ^[21] ${\displaystyle p(t)}$ ${\displaystyle p(t)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}p(t)&=\langle t\alpha \mathbf {u} ,t\alpha \mathbf {u} \rangle +\langle t\alpha \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {v} ,t\alpha \mathbf {u} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \\&=t\alpha t{\overline {\alpha }}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle +t\alpha \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +t{\overline {\alpha }}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \\&=\lVert \mathbf {u} \rVert ^{2}t^{2}+2|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |t+\lVert \mathbf {v} \rVert ^{2}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathbf {u} =0,}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \Delta =4\left(|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}-\Vert \mathbf {u} \Vert ^{2}\Vert \mathbf {v} \Vert ^{2}\right)\leqslant 0.}$$

Para el caso de igualdad, observe que sucede si y solo si Si entonces y por lo tanto ${\displaystyle \Delta =0}$ ${\displaystyle p(t)=(t\Vert \mathbf {u} \Vert +\Vert \mathbf {v} \Vert )^{2}.}$ ${\displaystyle t_{0}=-\Vert \mathbf {v} \Vert /\Vert \mathbf {u} \Vert ,}$ ${\displaystyle p(t_{0})=\langle t_{0}\alpha \mathbf {u} +\mathbf {v} ,t_{0}\alpha \mathbf {u} +\mathbf {v} \rangle =0,}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =-t_{0}\alpha \mathbf {u} .}$

Generalizaciones

Existen varias generalizaciones de la desigualdad de Cauchy-Schwarz. La desigualdad de Hölder la generaliza a normas. De manera más general, puede interpretarse como un caso especial de la definición de la norma de un operador lineal en un espacio de Banach (es decir, cuando el espacio es un espacio de Hilbert ). Otras generalizaciones se encuentran en el contexto de la teoría de operadores , por ejemplo, para funciones operador-convexas y álgebras de operadores , donde el dominio y/o el rango se reemplazan por un C*-álgebra o un W*-álgebra . ${\displaystyle L^{p}}$

Un producto interno puede utilizarse para definir un funcional lineal positivo . Por ejemplo, dado que un espacio de Hilbert es una medida finita, el producto interno estándar da lugar a un funcional positivo por A la inversa, cada funcional lineal positivo en puede utilizarse para definir un producto interno donde es el conjugado complejo puntual de En este lenguaje, la desigualdad de Cauchy-Schwarz se convierte en ^[22] ${\displaystyle L^{2}(m),m}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (g)=\langle g,1\rangle .}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle L^{2}(m)}$ ${\displaystyle \langle f,g\rangle _{\varphi }:=\varphi \left(g^{*}f\right),}$ ${\displaystyle g^{*}}$ ${\displaystyle g.}$ $${\displaystyle \left|\varphi \left(g^{*}f\right)\right|^{2}\leq \varphi \left(f^{*}f\right)\varphi \left(g^{*}g\right),}$$

que se extiende textualmente a los funcionales positivos en C*-álgebras:

Desigualdad de Cauchy-Schwarz para funcionales positivos en C*-álgebras ^{[23] [24]}  —  Si es un funcional lineal positivo en un C*-álgebra entonces para todo ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle a,b\in A,}$ ${\displaystyle \left|\varphi \left(b^{*}a\right)\right|^{2}\leq \varphi \left(b^{*}b\right)\varphi \left(a^{*}a\right).}$

Los siguientes dos teoremas son otros ejemplos del álgebra de operadores.

Desigualdad de Kadison-Schwarz ^{[25] [26]}  (Nombrada en honor a Richard Kadison )  —  Si es una función unital positiva, entonces para cada elemento normal en su dominio, tenemos y ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \varphi (a^{*}a)\geq \varphi \left(a^{*}\right)\varphi (a)}$ ${\displaystyle \varphi \left(a^{*}a\right)\geq \varphi (a)\varphi \left(a^{*}\right).}$

Esto extiende el hecho de que cuando es una función lineal. El caso cuando es autoadjunto, es decir, a veces se conoce como desigualdad de Kadison . ${\displaystyle \varphi \left(a^{*}a\right)\cdot 1\geq \varphi (a)^{*}\varphi (a)=|\varphi (a)|^{2},}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=a^{*},}$

Desigualdad de Cauchy-Schwarz  (desigualdad de Schwarz modificada para aplicaciones 2-positivas ^[27] )  —  Para una aplicación 2-positiva entre C*-álgebras, para todas en su dominio, ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle a,b}$ $${\displaystyle \varphi (a)^{*}\varphi (a)\leq \Vert \varphi (1)\Vert \varphi \left(a^{*}a\right),{\text{ and }}}$$ $${\displaystyle \Vert \varphi \left(a^{*}b\right)\Vert ^{2}\leq \Vert \varphi \left(a^{*}a\right)\Vert \cdot \Vert \varphi \left(b^{*}b\right)\Vert .}$$

Otra generalización es un refinamiento que se obtiene interpolando entre ambos lados de la desigualdad de Cauchy-Schwarz:

La desigualdad de Callebaut ^[28]  —  En serio ${\displaystyle 0\leqslant s\leqslant t\leqslant 1,}$ $${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}~\leqslant ~\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1+s}b_{i}^{1-s}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1-s}b_{i}^{1+s}\right)~\leqslant ~\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1+t}b_{i}^{1-t}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1-t}b_{i}^{1+t}\right)~\leqslant ~\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right).}$$

Este teorema se puede deducir de la desigualdad de Hölder . ^[29] También existen versiones no conmutativas para operadores y productos tensoriales de matrices. ^[30]

Se aplican varias versiones matriciales de la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la desigualdad de Kantorovich a los modelos de regresión lineal. ^{[31] [32]}

Véase también

• Desigualdad de Bessel  – Teorema sobre sucesiones ortonormales
• Desigualdad de Hölder  – Desigualdad entre integrales en espacios Lp
• Desigualdad de Jensen  – Teorema de funciones convexas
• Desigualdad de Kantorovich
• Desigualdad de Kunita-Watanabe
• Desigualdad de Minkowski  : desigualdad que establece que los espacios L ^p son espacios vectoriales normados
• Desigualdad de Paley-Zygmund  : desigualdad aplicada a variables aleatorias de varianza finitaPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Notas

Citas

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Referencias

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• Steele, JM (2004), La clase magistral de Cauchy-Schwarz, Cambridge University Press, ISBN 0-521-54677-X

Enlaces externos

• Usos más tempranos: La entrada sobre la desigualdad de Cauchy-Schwarz tiene cierta información histórica.
• Ejemplo de aplicación de la desigualdad de Cauchy-Schwarz para determinar vectores linealmente independientes Tutorial y programa interactivo.