Concepto en la teoría matemática de categorías
En matemáticas , se dice que una subcategoría completa A de una categoría B es reflexiva en B cuando el funtor de inclusión de A a B tiene un adjunto izquierdo . [1] : 91 Este adjunto a veces se denomina reflector o localización . [2] Dualmente, se dice que A es correflectiva en B cuando el funtor de inclusión tiene un adjunto derecho .
De manera informal, un reflector actúa como una especie de operación de terminación: agrega las piezas "faltantes" de la estructura de tal manera que reflejarlas nuevamente no tenga ningún efecto.
Definición
Se dice que una subcategoría completa A de una categoría B es reflexiva en B si para cada B - objeto B existe un A - objeto y un B - morfismo tales que para cada B - morfismo a un A - objeto existe un A - morfismo único con .
![{\displaystyle r_{B}\colon B\to A_{B}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f\colon B\a A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\overline {f}}\colon A_{B}\to A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\overline {f}}\circ r_{B}=f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El par se llama A-reflexión de B. El morfismo se llama flecha de A-reflexión. (Aunque a menudo, por razones de brevedad, hablamos solo de él como A -reflexión de B ).![{\estilo de visualización (A_{B},r_{B})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![estilo de visualización rB](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![Estilo de visualización A_{B}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esto equivale a decir que el funtor de incrustación es un adjunto derecho. El funtor adjunto izquierdo se llama reflector . La función es la unidad de este adjunto.
![{\displaystyle R\colon \mathbf {B} \a \mathbf {A} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![estilo de visualización rB](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El reflector se asigna al objeto A y para un morfismo B está determinado por el diagrama de conmutación.![{\estilo de visualización B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![Estilo de visualización A_{B}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización Rf}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si todas las flechas de reflexión A son epimorfismos (extremales) , entonces se dice que la subcategoría A es epirreflectiva (extremal) . De manera similar, es birreflectiva si todas las flechas de reflexión son bimorfismos .
Todas estas nociones son casos especiales de la generalización común: la subcategoría reflexiva, donde es una clase de morfismos.![{\estilo de visualización E}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización E}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La envoltura -reflectiva de una clase A de objetos se define como la subcategoría -reflectiva más pequeña que contiene A. Así, podemos hablar de envoltura reflectiva, envoltura epirreflectiva, envoltura epirreflectiva extremal, etc.![{\estilo de visualización E}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización E}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Una subcategoría antirreflectiva es una subcategoría A completa tal que los únicos objetos de B que tienen una flecha de reflexión A son aquellos que ya están en A. [ cita requerida ]
Las nociones duales a las nociones mencionadas anteriormente son correflexión, flecha de correflexión, subcategoría (mono)correflectiva, casco correflectivo y subcategoría anti-correflectiva.
Ejemplos
Álgebra
Topología
- La categoría de espacios de Kolmogorov ( espacios T 0 ) es una subcategoría reflexiva de Top , la categoría de espacios topológicos , y el cociente de Kolmogorov es el reflector.
- La categoría de espacios completamente regulares CReg es una subcategoría reflexiva de Top . Al tomar los cocientes de Kolmogorov, se ve que la subcategoría de espacios de Tichonoff también es reflexiva.
- La categoría de todos los espacios compactos de Hausdorff es una subcategoría reflexiva de la categoría de todos los espacios de Tichonoff (y de la categoría de todos los espacios topológicos [2] : 140 ). El reflector está dado por la compactificación de Stone–Čech .
- La categoría de todos los espacios métricos completos con aplicaciones uniformemente continuas es una subcategoría reflexiva de la categoría de espacios métricos . El reflector es la terminación de un espacio métrico en objetos y la extensión por densidad en flechas. [1] : 90
- La categoría de haces es una subcategoría reflexiva de los prehaces en un espacio topológico. El reflector es la gavillación, que asigna a un prehaz el haz de secciones del haz de sus gérmenes.
- La categoría Seq de espacios secuenciales es una subcategoría coflectiva de Top . La correflexión secuencial de un espacio topológico es el espacio , donde la topología es una topología más fina que la que consiste en todos los conjuntos secuencialmente abiertos en (es decir, complementos de conjuntos secuencialmente cerrados ).
![{\displaystyle (X,\tau )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (X,\tau _{\mathrm {seq} })}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \tau _{\text{seq}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización \tau}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Análisis funcional
Teoría de categorías
Propiedades
- Los componentes del counit son isomorfismos . [2] : 140 [1]
- Si D es una subcategoría reflexiva de C , entonces el funtor de inclusión D → C crea todos los límites que están presentes en C . [2] : 141
- Una subcategoría reflexiva tiene todos los límites que están presentes en la categoría ambiental. [2] : 141
- La mónada inducida por la unión reflector/localización es idempotente. [2] : 158
Notas
- ^ abc Mac Lane, Saunders, 1909-2005. (1998). Categorías para el matemático en activo (2.ª ed.). Nueva York: Springer. pág. 89. ISBN 0387984038.OCLC 37928530 .
{{cite book}}
: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link) - ^ abcdef Riehl, Emily (9 de marzo de 2017). Teoría de categorías en contexto . Mineola, Nueva York. pág. 140. ISBN 9780486820804. OCLC 976394474.
{{cite book}}
: CS1 maint: location missing publisher (link) - ^ Lawson (1998), pág. 63, Teorema 2.
- ^ "subcategoría correflectiva en nLab". ncatlab.org . Consultado el 2 de abril de 2019 .
Referencias